概率统计习题 2.7 演示文稿1

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3设 . X
G a ( , ), 对 k 1，，， 2 3 4， 求 k E （ X k） 与
k k E （X E （ X k ） ）。 进一步求此分布的偏度系数和峰度系数。
+ （ k+ ) k k 1 x 解 因为E （X ）= x e d x （ ) 0 （ ) k , （ 1） 2 所 以 1 E （ X） = ， 2 E （X ）= 2 （ 1） （ 2） （ 1） （ + 2 ） （ + 3 ） 3 3 E （X ）= ， 4 3 4 1 E （X E （ X ） ） =0， 2 Var ( X ) 2 ， 2 3 3 3 3 2 1 2 1 3 , 3 （ 2) 4 4 4 3 1 6 2 12 3 14 , , 4
2
d x，
1 2

2
k

|y| e
k k
y2 / 2
dy

k
2

y e
k k
y2 / 2
dy
再 令 y 2 / 2 t , y ( 2 t ) 1 / 2 d t , 可 得
当 k 为 偶 数 时 ， E | X - |k （ k 1) !! k ..
所 以 Y与 X有 相 同 的 峰 度 系 数 。
1 1 .设 X
N （ ， 2） ， 求 E | X - |k ,
k
解 ： E | X - |
1
2 若 令 y=(x- )/ , dy dx,可 得 E | X - |
k


| X - | e
k

( x )2 2
偏度系数和峰度系数分别为
4 (b a)4 / 80 1 0，2 2 3 3 1.2, 3/ 2 2 2 [ 2 ] 2 [(b a) /12] 注：上述1，2与a，b无关，知识表明：任一均匀分布的偏度为0，
峰度为-1.2。 2. .设X U （0，a)，求此分布的变异系数。 解 因为E（X）=a/2，Var X a2 /12，所以此分布的变异系数为 Var ( X ) a2 /12 3 C （ 0.5774。 X） E （X） a/2 3
1 2 2 8. 自由度为2的 分布的密度函数为p ( x) e ，x 0。 2 试求出其分布函数及分位数x0.1，x0.5，x0.8的值。 F( x) P （X x）
x 1 2 e dt 1 e 2 , 2 xp 2 t x
x
解 此分布的分布函数F ( x )为：当x 0时，F ( x ) 0，当x 0时，
x （1）先求k阶原点距的递推公式，按定义 k x e , 0, x! x 1 显然 0 1，而当k 1时有
k k-1 k-1 x 1 x 1 i k [（x 1） 1] e . （ e x 1） （x 1） ! （x 1） ! x 1 x 1 i 0 i k 1 k-1 k-1 k-1 x 1 i e (x 1） i （x 1） ! i 0 i x 1 i 0 i k-1
解 ： 因 为 E （） Y E [a + b X ] = a + b E （ X ） ， 所 以
3 3 3 E [ Y E （ Y ） ] E [a + b X a b E （ X ） ] E [ X E （ X ） ] 2 3/2 2 3/2 2 3 / 2 { E [ Y E （ Y ） ]} { E [ X E （ X ） ] } { E [a + b X a b E （ X ） }
即 Y 与 X 有 相 同 的 偏 度 系 数 ， 又 因 为
4 4 4 E [ Y E （ Y ） ] E [a + b X a b E （ X ） ] E [ X E （ X ） ] 2 2 2 2 2 2 { E [ Y E （ Y ） ]} { E [a + b X a b E （ X ） } { E [ X E （ X ） ] }
7 .设 随 机 变 量 X 服 从 双 参 数 韦 布 尔 分 布 ， 其 分 布 函 数 为 x m F ( x ) 1 ex p { ( ) } , x 0 .其 中 0 ， m > 0 , 试 写 出 该 分 布 的 p 分 位 数 x p的 表 达 式 ， 且 求 出 当 m = 1 . 5 ， = 1 0 0 0 时 的 x 0 . 1， x 0 . 5 ， x 0 . 8 的 值 。 x m 解 ： 因 为 p 的 分 位 数 x p 满 足 1 ex p { ( ) } p ， 解之得 x p = [ - l n ( 1 - p ) ]1 / m . 将 m=1.5， =1000代 入 上 式 ， 可 得 x 0 . 1 1 0 0 0[ l n 0 . 9 ]1 / 1 . 5 2 2 3 .0 8， x 0 . 5 . 1 0 0 0[ l n 0 . 5 ]1 / 1 . 5 7 8 3 .2 2， x 0 . 8 1 0 0 0[ l n 0 . 2 ]1 / 1 . 5 1 3 7 3 .3 6。
b
k E （X E （ X ） ）k ， 进 一 步 求 此 分 布 的 偏 度 系 数 和 峰 度 系 数 。
xk 1 b k+1 - a k+1 解 因 为 E （ X ） dx * , a b-a b-a k+1 a+b 1 2 2 所 以 1 E （ X ） ， 2 E （ X ） = ( a a b b 2 ), 2 3 1 3 E （ X 3） = ( a 3 a 2 b a b 2 b 3 ) 4 1 4 E （ X 4） = ( a 4 + a 3 b a 2 b 2 a b 3 b 4 ) 5
从而，伽玛分布 Ga ( , )的偏度系数和峰度系数分别为， 2 6 1 ， 2 ，由此可见，伽玛偏度和峰度与尺度参数 无关，仅与形状参数 有关，且 愈大其偏度教育峰度愈小， 4. 设 X 进一步求此分布的偏度系数和峰度系数。 k！ k ke x 解 E （X ）= x dx k ， a 1 2 2 所以 1 E （X）= ， 2 E （X ）= 2 ， 6 24 3 4 3 E （X ）= 3 ，4 E （X ）= 4 ，
所以E （ X ） = c， 又 由
x 0.5 c

x 0.5
p ( x ) dx
x0.5 c
p ( c y ) dy
p ( c y ) dy
2 c x 0.5
p (t ) dt
所 以 2 c x 0.5 x 0.5， 由 此 得 x 0.5 c，
0
所以此分布的p分位数x p 满足p F ( x p ) 1 e
, 从中解得
x p 2 ln(1 p ).由此得x0.1 2 ln 0.9 0.211， x0.5 2 ln 0.5 1.386，x0.8 2 ln 0.2 3.219。
9.设 随 即 变 量 X 的 密 度 函 数 p ( x )关 于 c点 对 称 ， 且 E （X）存在， （ 2） 如 果 c 0， 则 x p x1 p . 证 （1） 由 p ( x )关 于 c点 对 称 可 知 ， p ( c x） p ( c x） ， - 〈〈 x + 因此E （ X c） = （ x c） p ( x ) dx t p (t+ c ) dt
(2)c 0时， p p ( x)dx
xp xp
p( y )dy

xp
p( y )dy 1 F ( x p ),
又由F ( x p ) 1 p，即 -x p x1 p 由此得结论。 10.试证随机变量X的偏度系数和峰度系数对位移和改变比例尺 是不变的，即对任意的实数a,b(b 0),Y=a+bX与X有相同的 偏度系数和峰度系数。
E | X - |
k

k
/2


t
k/2-1/2
e dt
t
2
k
/2
k+1 （ ), 2
当 k 为 奇 数 时 ， E | X - |k （ k 1) !! k * 2 / .
12.设随即变量X 服从参数为的泊松分布，试求X的前四阶原点距， 中心距，偏度与峰度。 解：分几步进行
23从而伽玛分布的偏度系数和峰度系数分别为由此可见伽玛偏度和峰度与尺度参数无关仅与形状参数有关且愈大其偏度教育峰度愈小系数与峰度系数均与参数无关它永远是正偏高峰
习 题 与 答 案 2 .7 1 .设 X U（ a , b ) , 对 k = 1 , 2 , 3 , 4 , 求 k E （ X k） 与
k 2 ( b a ) 1 E （X E （ X ） ） =0, 2 E （X E （ X ） ）2 V a r ( X ) , 12 4 ( b a ) 3 3 3 2 1 2 13 0 , 4 4 4 3 1 6 2 12 3 14 , , 80
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k Exp ( ), 对 k 1, 2, 3, 4, 求 k E （ X k）与 k E （X E （ X ））。
1 1 E （X E （ X ） ） =0， 2 Var ( X ) 2 ， 2 3 3 3 3 2 1 2 1 3 , 9 2 4 4 4 4 3 1 6 2 1 31 , 4 , 此分布变异系数，偏度系数和峰度系数分别为 Var ( X ) 1/2 C（ 1， X ） E （ X） 1/ 3 4 2/3 9/4 1 2， 2 2 3 36 3/2 2 3/2 4 [ 2 ] [1 / ] 2 1/ 由此可见，指数分布的变异系数，偏度系数与峰度系数均与 参 数 无 关 ， 它 永 远 是 正 偏 高 峰 。

试 证 （ 1 ） 这 个 对 称 中 心 c既 是 均 值 又 是 中 位 数 ， 即 E （ X ） = x 0.5 c，


t p ( c t ) dt

( c y ) p ( y ) dy E ( c X ). 0.5
5.设 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N （10，） 9 ， 试 求 x 0.1 和 x 0.2。 解：一般正态分布N （ ， 2） 的 P 分 位 数 x P的 标 准 正 态 分 布 的 P 分 位 数 u P 间 满 足 关 系 式 ： x P u P， 所 以 x 0.1 10 3 u 0.1 10 3 * （ 1.282） 6.154， x 0.2 10 3 u 0.9 10 3 * 1.282 13.846， 6 设 Y=lnX ， 且 Y N （ ， 2） ， 试 求 x 0.5。 ln x 0.5 解 ： 因 为 0.5 F X ( x 0.5 ) F（ ）。 X ln x 0.5） （ ln x 0.5 且 标 准 正 态 分 布 的 中 位 数 是 0， 故 有 0， 由 此 得 ln x 0.5 ， 即 x 0.5 e 。