考研数学一真题(含答案)

2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
、选择题 :1: 8小题，每小题 4分，共 32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的， 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .
xx
2
xy
2
kx
(4)
(1) 曲线
y
渐近线的条数
(2) (3) (A) 0 设函数
(A) (
x 2
y(x) (B) 1 (C) 2 (e x 1)e(2x 2) (e nx n), 其 1n ) 1(n 1)!
(D) 3
中 n 为正整数 , 则 y (B) ( 1
n
)(n 1) (C) (
1n ) (0)
1n!
(D) ( 1n )n!
如果函数 f (x, y)在 (00, )处连续 ,那么下列命题正确的是
(A) f (x, y)
若极限 lim
存在 , 则 f (x, y)在
(00,
)处可微
y0
xy
(B) 若极限 lim
f (x, y)
存在 , 则 f (x, y)在 (00, y 2 )处可微
(C)
x0 y0
f (x,y) 在 (00, )处可微 , 则 极限 lim
f (x, y)
存在
(D)
f (x,y)在(00, )处可微 ,则 极限 lim
f (x, y)
存在
2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
0sinxd(xk 1,2,3则) 有
(A)(B)(C)(D)
12
II
1
(5) 设 , 其
中
为任意常数，则下列向量组线性相关
1
2 3 4
C C C
1 2 3 的为
( )
(A) 1, 2, 3 (B) (C)
1
, 2, 4
1 CC C C
1, 2, 3, 4
1
(D)
1
, 3, 4
2
, 3, 4
100
(6) 设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵，且 1 则 p AP
0 1 0 . 若 P=( 1, 2, 3 )，
(
)，
002
Q 1
AQ ( )
1 0 0
2 0 0
100200
(A)(B)(C)(D)
020*********
001002002001
(7) 设随机变量X 与Y 相互独立，且分
别服从参数为1与参数为4的指数分布，则p X Y ( )
1124 (A)(B)(C)(D) 5
535
(8 )将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )
11
1
22
(A) 1 (B) (C) (D)
给大家分享点个人的秘密经验，让大家考得更轻松。

在这里我想跟大家说的是自己在整个考研过程中的经验以及自己能够成功的考上的捷径。

首先就是自己的阅读速度比别人的快，考试过程中的优势自然不必说，平时的学习效率才是关键，其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能
够做出大部分的题。

研究生考试关键就是你的专业技能和常识积累。

很多人的失败是输在时间上的，我做事情特别注重效率。

第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。

我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。

包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3 分钟，这样就比别人多出20 几分钟，这在考试中是非常不得了的。

论坛有个帖子专门介绍速读的，叫做“ 速读记忆让我的考研复习奔跑起来”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了很好的成绩。

那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。

学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。

而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。

平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。

当然，有经济条件的同学，千万不要吝啬，花点小钱在自己的未来上是最值得的，你已经耗费了那么多的时间和精力，现在既然势在必得，就不要在乎这一刻。

想成功的同学到这里用这个软件训练速读，大概30 个小时就能练出比较厉害的快速阅读的能力，这是给我帮助非常大的学习技巧，极力的推荐给大家给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl 键，然后鼠标左键点击本行文字。

其次，从选择的复习资料上来说，我用的是学习软件，不是一般的真题，我认为从电脑上面做题真的是把学习的效率提高了很多，再者这款软件集成最新题库、大纲资料、模拟、分析、动态等等各种超强的功能，性价比超高，是绝不可缺的一款必备工具，结合上速读的能力，如虎添翼，让整个备考过程效率倍增。

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(9) 若函数f (x)满足方程f '(x) f'(x) 2f(x) 0及f '(x) f(x) 2e，则f(x)
(10) x 2x x dx=
22
z gra(dxy+ )|
(2,1,1)
22
(12) 设x,y,z x y z 1x, 0,y0,z 0 ，y ds
2
则
(13) 设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，
则矩阵E XX T的秩为
(14) 设A, B, C是随机变
量， A 与 C 互不相容，
p AB,P C ,p ABC
11
23
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步
2
2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
已知曲线 L
(0
t ),
其中函数 具有连续导数，且 f(t)
f(0) 0,f '(t)
0 (0 t
若曲线
).
y cots
L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为
1，求函数 f (t)的表达式，并求此曲线 L 与 x 轴与 y 轴无边界的区域的
面积。

(19)
已知 L 是第一象限中从点 (0,0)沿圆周 x 2+y 2
2x 到点 (2,0)，
再沿圆周 x 2+y 2 4到点 (02, )的曲线段，计算曲 J
线积分
xy x x x y y 32 d ( 3 2 )d
L
(20)( 本题满分 分 )
设A
2
cosx 1 ( 1 x 1) x2
xy
22
求函数 ( , ) 的极值
f x y xe 2
(17)
2
4n 4n 3
求幂级数 x 的收敛域及和函数
2n
2n 1
n0
(18)
(),
x f t
骤.
(15)
证明
1x
xln 1
(16)
a001 0
3
( I )计算行列式 A;
(II) 当实数 a 为何值时，方程组 Ax 有无穷多解，并求其通解。

(21)
101 011
已知 A ，二次型 f(x,x,x) x T
(A T
A)x 的秩为 2
123
1 0 a
0 a 1
1)求实数 a 的值； 2)求正交变换 x Qy 将 f 化为标准型 . 22)
设二维离散型随机变量 X 、 Y 的概率分布为
0 1
04
12
1
04
Ⅰ )求 P X 2Y Ⅱ )求 CovX( Y,Y).
(23)
设随机变量 X 与 Y 相互独立且分别服从正态分布 N(u, 2
)与 N(u,2 2
)，其中 Z X Y.
(1) 求 Z 的概率密度 f(z, 2
); 是未知参数且
0。

设
2)设 1, 2, , n 为来自总体 的简单随机样本，求 z z z Z 2 ( 3)证明 2为 的无偏估计量 的最大似然估计量
2
、选择题
1 2 3 45 6 78 C C
B
DC
B
AD
二、 填空题
9、 e x
； 10、 ； 11 、
1；
1, 1,
12、 ；
3
13、2；
3
14、 4
2
12
三
、 解答题
(15)
1x
x
2
fx
xln
1x
cosx 1
2
f(x) 证明：
令 ， 是偶函数
2
0f
21 4
x2x2
1144
fx cosx 1cosx 120
1 x 1 x1x
222
222
1x1x
所以
00
f x f
4
2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
2
22
2
1x
即证得： xln
1
cosx 1 (16) f x,y
解： 得驻点
22 xy f
x,y
x
2
y
2
xe 2 1,0,
x1
xy
xe 2 x e 2 y0
22
1x
P 1,0
22
2 f x,y
xy
2xe
xy
x,y
2
( 11,)
把
P
2
1,0 代入
二阶偏导数
P 2 1,0
B=0，A<0，C<0，所以
为极大值点，极大值为
1
f 1,0 e
(17) 解： （ Ⅰ ）收敛域
3
2(n 1) 1
x
4n 2 4n 3
2(n 1) 1
a (x)
4n 4n
2
2n 1
R lim
lim
lim
x
n
a (x) 4(n 1) 4(n 1) 3 2n 1 4(n 1) 4(n 1) 3
22
n
x
1
2n 1
2(n 1) 1
x 2 1
，得
x 1 x 1
，当 时，技术发散。

所以，收敛域为
xy
2 f x,y
xe y 1
2 2
y
根据判断极值的第二充分条件，
把
P
1
1,0,
P 1 代入二阶偏导数 B=0， A>0，C>0，所以
f 1,0 e
2
xy
22
1,0,
为极
2
2
（Ⅱ）设
S(x)
x2n
x2n[(2n 1x)2n x2n](x 1) 2n12n12n 1
n0n0n0
2
令S(x)
(2n
1x)2n，S(x)x
2n
1
2
2n 1
n0n0
x x n
x n
因为S(t)dt(2n 1t)2
dt
x
2
1(x 1)
12
1 x 0
(2n 1) 2
n0n0
4n 4n 3
5
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x 1 x
2
所以
S(x) ( ) (x 1)
1 2 2 2
1 x (1 x )
2
因为 xS(x)
2n1
当
x
时，
1
(0) 1, 2(0) 2 S S
2
1 x 1 1 x ln
x ( 1,0) (0,1)
所以，
Sx () Sx () S x x 2 2 x x ( ) (1 ) 1
x 2
所以 [xS(x)]
2x
2
n
2x
(x 所以 [tS(t)]dt 2 dt 2 2
1t 00
2
1x
x
1 1
)dt l (x 1) 1 x 0
即
11
6(x,y)
令Y 0得X f (t)cott f (t)。

由于曲线L 与x 轴和y 轴的交点到切点的距离恒为故有[f (t)cott f(t) f (t)]2co2st 1，又因为f'(t) 0(0 t )
sint
函数f(t) lnsetc tant sint
此曲线L与x轴和y轴所围成的无边界的区域的面积为：
S 2cotsf (t)dt
4
(19) 解：
补充曲线沿轴由点到点,D 为曲线和围城的区域。

由格林公式可得
Ly 1(20,) (0,0)LL
1
原式=
3x
ydx(x x 2y)dy 3x ydx(x x 2y)dy
2323
LL
L
(18) 解：
dy sin
t
曲线L在任一处(x,y)的切线斜率为，过该点处的切线为
Y cots
dx f (t) sint
(X f(t)) f (t)
1.
f(t) 所以f (t) ，两边同时取不定积分可得cott ln setc tatn sint C
，又由于
f(0) 0
，所以C=0 故
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01a a001
(II) 对方程组 Ax
的增广矩阵初等行变换：
1a001 1a
01
(20) 解： (I )
1 3x 2)d 2
2 1a00
01a0
001a
( 2y)dy 1d 2ydy
12
=1
2ydy
a0
41
a a ( 1) 1 a 0
001
00 00a aa
1a0
01a
001
00
1 1 0 0 1
1 0 0 1 0
0110101011此时，方程组Ax
可知
的增广矩阵变为，进一步化为最简形得
0011000110
0000000000
01
10
1 1 1
导出组的基础解系为
1
1
(21) 解：
(1) 由二次型的秩为2，知r(A T A) 对矩阵A 初等变换得
1 0 1 1 0
0 1 1 0 1 1
1 0 a 0 0 a 1
，故其通解为
k
10
2
1 0 1
1
a1
aa
可知，要使方程组Ax有无穷多解，则有1 a40 且a a20，可知a
，非齐次方程的特解为
2，故r(A) r(A T A)
1 1 0 1
0 1 1 0 1
0 0 a 1 0 0
10
7
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因 r(A) 2，所以 a 1
20
( 2)令
2
B A A 0 2 2
T
224
12
1
3
26
1 0 2
EB 0
2) 2) 1 ( 2)( 6)
所以 B
的特征值为
0, 2, 3
对于
0，
B)X
得对应的特征向量为
(11, 1)
对于
2，
得对应的特征向量为
(1,10,)
对于
6，
得对应的特征向量为
E B)X 0
(1,12,)
1
11
1, 1 , 1
2(
E
3
将 单位化可得
1 1 1 0
3 2 6
111
正交矩阵Q，则
Q AQ
T
326
12
36
因此，作正交变换
x Qy，二次型的标准形为f(x)x T(A T A)x y T Ay2y2 6y2
2（22
）解：
X012
P1/21/31/6
Y012
P1/31/31/3
XY0124
P7/121/301/12
（Ⅰ）20,02,
1 101
P X Y PX Y PX Y
44
8
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2
i
两边求导得
dlnL( )
2
5
covX(,Y) EXY EXEY
EX EX 2
EY
EY 2
其中
1, 1,
3
3
2 2
4 5
DX EX (EX) 1
9 9
2
25 2
，
2
DY EY (EY) 1
EXY
3
3 3
2
2
所以， cov( , ) 0,cov(, )
,cov( ,)
XY YY DY X YY
XY
3
3
(23) 解：
Ⅱ ) covX( Y,Y) covX(,Y) covY(,Y) 1)因为 X: N(u, 2)，Y: N(u,2 2)，且 X 与 Y 相互独立，故 Z X Y: (03, 2)
所以 Z 的概率密度为 fz z 2
6 2
e 2 ( , ) 6
(
2)最大似然函数为
n L f z ( 2) ( ; 2
)
i
i1
两边取对数，得 n n
6
i1
lnL( )
2
ln ln
e 6 ),
2
i
12,, , )
2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一
2
i
[ 3n Z ] 22 2 d( ) 6( ) 6( )
[] i
2 2 2 2
i1 i1
9
dlnL( ) 2 令 ，得 0 1n d( ) 3n
i i1 1 n 所以 2
的最大似然估计量
2 2
Z
3n i1 1n
1n 1n 所以 3) 证明： E( 2)
E(Z 2) [D(Z) (E(Z ))2] 3n
3n 3n i1
i1 i1 2为 2
的无偏估计量。