2019-2020学年北京昌平第三中学初三上册期中考试试卷数学(含答案).doc

2019-2020学年度第一学期初三数学期中试题
班级姓名考号2015．11．12
一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分． #1．已知1sin 2
A =，且A ∠为锐角，则A ∠=（ ）． A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．75︒ 【答案】A
【解析】1sin 2
A =，且A ∠为锐角，∴30A ∠=︒．
#2．抛物线22(3)1y x =-+的顶点坐标是（ ）． A ．(3,1)-- B ．(3,1)- C ．(3,1)- D ．(3,1) 【答案】D
【解析】抛物线22(3)1y x =-+的顶点坐标是(3,1)．
#3．在ABC △中，90C ∠=︒，3sin 5
A =，那么cos
B 的值等于（ ）． A ．35 B ．45
C ．34
D ．43
【答案】A
【解析】3cos sin 5
B A ==．
#4．已知A 为⊙O 上的点，⊙O 的半径为1，该平面上另有一点P ，3PA =，那么点P 与
⊙O 的位置关系是（ ）． A ．点P 在⊙O 内 B ．点P 在⊙O 上 C ．点P 在⊙O 外 D ．无法确定 【答案】D
【解析】∵3PA =，⊙O 的直径为2， ∴点P 的位置有三种情况，：在圆外，在圆上，在圆内．
#5．把抛物线223y x =-沿x 轴翻折，所得的抛物线是（ ）．
A ．223y x =--
B ． 223y x =-
C ． 223y x =＋
D ．223y x =-+ 【答案】D
【解析】根据题意223y x -=-，∴223y x =-+．
#6．已知扇形的半径为6，圆心角为60︒，则这个扇形的面积为（ ）． A ．9π B ．6π C ．3π D ．π
【答案】B
【解析】∵扇形的半径为6cm ，圆心角为60︒，
∴2
60π66π360
S ⨯==．
#7．如图，ABC
∠=︒，则A
DBC
△内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若33
∠等于（）．
A．67︒B．66︒ C．57︒ D．33︒
【答案】C
【解析】
连接CD，如图，
∵BD是⊙O的直径，
∴90
∠=︒，
BCD
∵33
∠=︒，
DBC
∴903357
∠=︒-︒=︒．
D
∴57
∠=︒．
A
#8．已知二次函数2
y ax bx c
=++的图象如图所示，下列结论中，正确的是（）．
A．0
a>，0
c>
b<，0
B．0
b<，0
c>
a<，0
C．0
c<
b>，0
a<，0
D．0
b>，0
c>，
a<，0
【答案】B
【解析】由图知，函数开口向下，∴0
a<，
又对称轴在y轴左侧，∴0
b<，
与y轴交点在y轴正半轴，∴0
c>．
#9．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列图形中是半圆形的是（）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】A．不是圆周角，故不能判定；
B．根据90︒的圆周角所对的弦是直径，本选项符合．
C．不是圆周角，故不能判定；
D ．不是圆周角，故不能判定．
#10．如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，动点P 从B 点出发以3cm/s 的速度沿着边
BC CD DA --运动，到达A 点停止运动；另一动点Q 同时从B 点出发，以1cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达A 点停止运动．设P 点运动时间为(s)x ，BPQ △的面积为2)(cm y ，则y 关于x 的函数图象是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】由题意得BQ x =， ①01x ≤≤时，P 点在BC 边上，3BP x =， 则BPQ △的面积1
2
BP BQ =⋅，
∴212
323
y x x x =⋅⋅=，故A 错误；
②12x <≤时，P 点在CD 边上，
则BPQ △的面积1
2
BQ BC =⋅，
∴13
322
y x x =⋅⋅=，故B 错误．
③23x <≤时，P 点在AD 边上，93AP x =-，
则BPQ △的面积1
2
AP BQ =⋅，
∴213
(93)22
y x x x =⋅-⋅=，故D 错误．
二、填空题：本题共6题，每题3分，共18分． #11．如图，已知20ACB ∠=︒，则AOB ∠=__________．
【答案】40︒
【解析】∵20ACB ∠=︒，∴240AOB ACB ∠=∠=︒．
#12．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(0,2)-的抛物线的表达式__________． 【答案】22y x =-
【解析】开口向上，则0a >，与与y 轴交于点(0,2)-，则2c =-．故可以是22y x =-．
#13．已知二次函数2555632y x x =
--的图象如图，
则方程2555
0632
x x --=的根为__________．
【答案】3-或1
【解析】由图像知，0y =，3x =-或1．故方程25550632
x x --=的根为3-或1．
#14．已知原点是抛物线2(3)y m x =+的最高点，则m 的范围是__________．
【答案】3a <-
【解析】∵原点时抛物线2(3)y a x =+的最高点， ∴30a +<， 即3a <-．
#15．若1(5,)A y -、2(2,)B y -都在22y x =上，则1y __________2y (填>或<)．
【答案】>
【解析】当5x =-时，22122(5)22550y x ==⨯-=⨯=， 当2x =时，2222228y x ==⨯=． ∵508>， ∴12y y >．
#16．已知等腰ABC △的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC
边上的高为__________． 【答案】8或2
【解析】分为两种情况：
①当O 在ABC △内部时，如图，连接OB 、OA ，延长AO 交BC 于D ，
∵⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，8BC =， ∴AD BC ⊥，142
BD DC AB ===，
在Rt OBD △中，由勾股定理得：22543OD =-=， ∴BC 边上的高538AD AO OD =+=+=．
②当O 在ABC △外部时，
如图，连接OB 、OA ，AO 交BC 于D ， 此时532AD AO OD =-=-=．
三．解答题（第17—25每题5分，26、27题6分，28题7分，29题8分） #17．计算：()0
11124sin60()1π3
--︒-+-．
【答案】2- 【解析】原式3
234312
=-⨯
-+ 2=-．
#18．已知物线经过点(1,0)A 、(1,8)B -、(0,2)C ，求此抛物线的解析式． 【答案】函数解析式为2242y x x =-+． 【解析】设函数解析式为2y ax bx c =++， ∵函数过点(1,0)A 、(1,8)B -、(0,2)C ，
∴082a b c a b c c ++=⎧⎪
-+=⎨⎪=⎩， 解得242a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
．
∴函数解析式为2242y x x =-+．
#19．已知二次函数277y kx x =--的图象和x 轴有交点，求k 的取值范围． 【答案】7
4
k -≥且0k ≠
【解析】∵二次函数277y kx x =--的图像和x 轴有交点， ∴0
49280k k ≠⎧⎨
+⎩
≥，
∴74
k -≥且0k ≠． 故答案为74
k -≥且0k ≠．
#20．如图，ABC △中，30A ∠=︒，3
tan 2
B =
，23AC =，求AB ．
【答案】5
【解析】作CD AB ⊥于点D ，
∵sin CD
A AC
=， ∴sin CD AC A = sin30AC =︒ 3=．
∵cos AD
A AC
=
， ∴cos30AD AC =︒
3232
=⨯ 3=．
∵3
tan 2
CD B BD ==
， ∴2BD =．
∴235AB AD BD =+=+=．
#21．如图，O 为等腰三角形ABC 的底边AB 的中点，以AB 为直径的半圆分别交AC ，BC
于点D 、EE ．
@（1）求证：AOE BOD ∠=∠． 【答案】证明见解析． 【解析】∵CA CB =， ∴A B ∠=∠．
∵OA OD =，OB OE =，
∴A ODA ∠=∠，B OEB ∠=∠． ∴AOD BOE ∠=∠．
∴AOD DOE BOE DOE ∠+∠=∠+∠． ∴AOE BOD ∠=∠．
@（2）求证：AD BE =． 【答案】证明见解析．
【解析】∵AOD BOE ∠=∠， ∴AD BE =， ∴AD BE =．
#22．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC
于点D ，若8cm AC =，2cm DE =，求OD 的长．
【答案】3cm OD =
【解析】设OD x =，则2(cm)OA OE x ==+． ∵E 是弧AC 的中点，
∴AC OE ⊥，且14cm 2AD DC AC ===，
在直角AOD △中，2
22OA OD AD =+． 则22(2)16x x +=+，
解得3x =． 即3cm OD =．
#23．如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知1cm AE =，5cm EB =，60DEB ∠=︒，
求CD 的长．
【答案】26
【解析】作OF CD ⊥于点F ，连接OD ． ∵1AE =，5EB =．
∴6AB AE BE =+=，半径长是3．
∵在直角OEF △中，312OE OA AE =-=-=，
sin OF
DEB OE
∠=
， ∴3
sin 232
OF OE DEB =⋅∠=⨯
=． 在直角ODF △中，226DF OD OF =-=． ∴226CD DF ==．
#24．已知AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的弦，2AB =，2AC =，1AD =，求CAD
∠的度数．
【答案】15︒或105︒
【解析】有两种情况，如图所示， 连接BC ，则90ACB ∠=︒．
根据勾股定理可得2BC =，即AC BC =，且O 为AB 的中点， ∴CO AB ⊥，即90AOC ∠=︒，且OA OC =，
∴AOC △为等腰直角三角形， ∴45CAO ∠=︒．
又111AD OD OA ===，得到1AD O △为等边三角形， ∴160D AO ∠=︒． 同理260D AO ∠=︒．
则604515DAC ∠=︒-︒=︒或6045105︒+︒=︒．
#25．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8BC =，1tan 2
B =，点D 在B
C 上，且B
D AD =，求AC 的
长和cos ADC ∠的值．
【答案】3cos 5
ADC ∠=．
【解析】∵在Rt ABC △中，8BC =，1tan 2
B =，tan AC
B BC
=
， ∴tan 4AC BC B =⋅=．
设AD x =，则BD x =，8CD x =-，
在Rt ADC △中，由勾股定理得，222(8)4x x -+=，解得5x =． 5AD =，853CD =-=． ∴3
cos 5
DC ADC AD ∠=
=．
#26．已知一次函数y ax b =+的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别是3，1-，
若二次函数21
3
y x =的图象经过A 、B 两点．
@（1）请求出一次函数的表达式．
【答案】2
13
y x =+．
【解析】设A 点坐标为(3,)m ，B 点坐标为(1,)n -．
∵A 、B 两点在21
3
y x =的图像上，
∴1933m =⨯=，11133
n =⨯=．
∴(3,3)A ，1
(1,)3
B -．
∵A 、B 两点又在y ax b =+的图像上， ∴3313
a b a b =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，
解得231
a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．
∴一次函数的表达式是2
13
y x =
+． @（2）设二次函数的顶点为C ，求ABC △的面积． 【答案】2
【解析】如图，设直线AB 与x 轴的交点为D ，则D 点坐标为3(,0)
2
-． ∴32
DC =．
ABC ADC BDC S S S =-△△△
131********=⨯⨯-⨯⨯ 91
244
=-=．
#27．某超市按每袋20元的价格购进某种干果．销售过程中发现，每月销售量y (袋)与销
售单价x （元/袋）之间的关系可近似地看作一次函数10500y x =-+（2050x <<）． @（1）当45x =元时，y =__________袋；当200y =袋时，x =_________元． 【答案】50，30．
【解析】当45x =元时，104550050y =-⨯+=袋， 当200y =袋时，20010500x =-+， ∴解得：30x =元． 故答案为：50，30．
@（2）设这种干果每月获得的利润为w （元），当销售单价定为多少元/袋时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元． 【解析】∵设这种干果每月获得的利润为w （元）， ∴(20)(20)(10500)w x y x x =-=--+ 21070010000x x =-+- 210(35)2250x =--+．
∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元．
#28．二次函数2y x mx n =-++的图象经过点(1,4)A -，(1,0)B ，1
2
y x b =-+经过点B ，且与
二次函数2y x mx n =-++交于点D ．
@（1）求一次函数和二次函数的表达式及点D 的坐标． 【答案】1122y x =-+，223y x x =--+，57
(,)24
-．
【解析】∵二次函数2y x mx n =-++的图象经过点(1,4)A -，(1,0)B ．
∴4101m n
m n =--+⎧⎨=-++⎩
．
∴2m =-，3n =．
∴二次函数的表达式为223y x x =--+．
一次函数12
y x b =-+经过点B ，
∴12b =
，
一次函数表达式为：1122y x =-+．
1
2y x b =-+经与二次函数2y x mx n =-++交于点D ．
∴2112223y x y x x ⎧
=-+⎪⎨⎪=--+⎩， 解得52
74
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，10x y =⎧⎨=⎩，
∴D 点坐标为57
(,)24
-．
@（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在BD 上方），过N 作NP x ⊥轴，垂足为点P ，交BD 于点M ，求MN 的最大值．
【答案】
4916
【解析】画出图形．
设11(,)22M m m -+，则
2
(,2+3)N m m m -- ∴2
1123()22
MN m m m =--+--+， ∴235
22MN m m =--+．
∴2349
()416MN m =-++．
∴MN 的最大值为49
16
．
#29．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =++经过点(1,)A a -，(3,)B a ，且最低点
11 的纵坐标为4-．
@（1）求抛物线的表达式及a 的值．
【答案】2242y x x =--，4a =．
【解析】∵抛物线22y x mx n =++过点，
(1,)A a -，(3,)B a ，
∴抛物线的对称轴1x =．
∵抛物线最低点的纵坐标为4-，
∴抛物线的顶点是(1,4)-．
∴抛物线的表达式是22(1)4y x =--，
即2242y x x =--．
把(1,)A a -代入抛物线表达式，求出4a =．
@（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D ，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）．如果直线DP 与图象G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围．
【答案】40t -<≤
【解析】∵抛物线顶点(1,4)C -关于y 轴的对称点为点D ， ∴(1,4)D --．
求出直线CD 的表达式为4y =-．
求出直线BD 的表达式为22y x =-，
当1x =时，0y =．
所以40t -<≤．
@（3）设抛物线与y 轴的交点为E ，求BCE △面积．
【答案】6
【解析】如图，过C ，B 作y 轴垂线，垂直分布为F ，G ．
111(31)836126222
BCE GBE CEF BGFC S S S S =--=+⨯-⨯⨯-⨯⨯=梯形△△△．
12。