第八章 包含虚拟变量的回归模型

第八章 包含虚拟变量的回归模型
一、虚拟变量的基本含义
通常在回归分析中，因变量不仅受一些定量变量的影响，而且还受一些定性变量的影响，比如性别、种族、婚姻状况等等。

为了在模型中反映这些因素的影响，需要把定性因素进行“量化”。

通常是引进人工变量完成。

通过定性因素的属性类别，构造取值为0或者1的变量，如、 1代表男性， 0代表女性； 1代表某人是大学毕业， 0代表某人不是大学毕业，这类取值为0，1的变量称为虚拟变量(dummy variable )。

虚拟变量与定量变量一样可用于回归分析。

事实上，一个回归模型的解释变量可以仅仅是虚拟变量。

解释变量仅是虚拟变量的模型称为方差分析模型( analysis-of-variance models ) (ANOVA)。

例1：1i i Y D i βα=++ε，其中Y 表示职工工资,。

10i D ⎧=⎨⎩
，本科学历
，非本科学历这个模型与我们前面讨论过的双变量模型类似，但这里的解释变量是虚拟变量。

1(0)i E Y D β==，1(1)i E Y D βα==+
显然，1β表示非大学毕业生的平均初职年薪，1βα+表示具有大学学历职工的平均工资，α代表二者之差。

回归模型中可以有同时有虚拟变量以及定量变量。

例2：考虑是否上过大学和工龄作为职工工资的模型：
12i i i Y X D i ββαε=+++Y ，表示职工工资，X表示工龄，D同上。

含虚拟变量的模型只要扰动项符合古典假定，仍用OLS方法估计模型。

注意：虚拟变量系数显著性检验的意义：：0H 0α=；：1H 0α≠。

同学们思考：这个检验在上面两个例子中分别具有何实际意义？
二、虚拟变量的引入模型的方式 1、加法方式
上面考察的例子都是加法方式。

注意虚拟变量模型的几何意义：以上述例2考察。

例3：如果上述职工工资方程（例2）中，学历考虑三个层次：高中以下、高中、大学及以上。

该如何建模？
引进两个虚拟变量：，
1 1 0 D ⎧=⎨⎩
高中其他2 1 0 D ⎧=⎨⎩大学及以上
其他
121222Y X D D ββαα=++++ε
请同学们分析模型的含义。

模型中还可以考察多个定性因素的影响，比如上述模型中，同时考虑性
别对工资的影响，则令，模型变为：
10S ⎧=⎨⎩，男性
，女性
121222Y X D D S ββααλ=+++++εt
2、乘法方式：
加法方式引进虚拟变量考察的是定性因素不同水平下模型截距不同，许多情况下需要考虑斜率的变化，比如：考察消费函数模型的时候，样本数据包括改革前的数据也包括改革后的数据，希望用模型体现改革前和改革后边际消费倾向不同，如何建模？
令，则模型可设为：1 t>0 t<t D ⎧=⎨⎩改革后（=1978）
改革前（1978）
t t t t Y D X X αδβε=+++
注意模型的几何意义。

思考：同时反映截距和斜率的变化呢？
分析：避免虚拟变量“陷阱”
考虑冷饮的销售（或者某些产品的销售模型），需要考虑季节因素。

季节虚拟变量：，，，
1 1 0 t D ⎧=⎨⎩春季其他
2 1 0 t D ⎧=⎨⎩夏季其他
3 1 0 t D ⎧=⎨⎩秋季其他
4 1 0 t D ⎧=⎨
⎩冬季
其他。

1112233442t t t t t Y D D D D X t t βααααβ=++++++ε 思考一下：该模型出现了什么问题？该如何解决？
注意：虚拟变量的引入规则： 按类别引入虚拟变量
若类别数为M ，若第个类别有个状态，引入i i m 1i m −个虚拟变量，则共引入∑个虚拟变量。

1(1−)m
i i m =
三、样条回归
使得模型在转折点上连续。

考虑上述消费函数的例子：
1 t<=0 t>t D ⎧=⎨⎩00改革前（t ）
改革后（t ）
斜率和截距在改革前后同时变化：
12t t t t t Y D X D X t βαβγ=++++ε
()()
01200120()()t t t t E Y X E Y X βββαβγ=+⎧⎪⇒⎨
=+++⎪⎩，改革后
，改革前， 在转折点处两段方程相等，则有0t X αγ=−。

则模型变为：
()120t t t t Y X X X D t t ββγ=++−+ε
思考：
（1）0=0H γ：的含义？
（2）模型中有两次以上的转折点该如何建立连续模型？
四、虚拟变量的作用拓展
1）反映不同的属性类别，为何引进0/1类型的人工变量？ 思考：前述教育水平的例子：可否如此引进人工变量？
12
3E ⎧⎪
=⎨⎪⎩
高中以下高中大学及以上
2）阈效应
研究收入与年龄和教育程度的关系： 思考如下两种引进虚拟变量的方式有何不同？ 方式一：
1 1 0 D ⎧=⎨
⎩中学其他，，，。

2 1 0 D ⎧=⎨⎩大学其他
3 1 0 D ⎧=⎨⎩硕士
其他 1 0 t D ⎧=⎨⎩博士其他 方式二：
1 1 0 D ⎧=⎨
⎩中学以上其他，， 2 1 0 D ⎧=⎨⎩大学以上
其他3 1 0 D ⎧=⎨
⎩硕士以上
其他
，。

1 0 t D ⎧=⎨⎩博士以上其他
3）利用虚拟变量反映交互作用
如消费函数模型：1122t t t t t Y D E E X t αδγγβ=+++++ε
其中，，
1 0 t D ⎧=⎨⎩改革前改革后1 1 0 t E ⎧=⎨⎩特区其他
2 1 0 t E ⎧=⎨⎩开放区
其他
（1）不考虑交互作用
特区 开放区 一般地区 改革前： 1αδγ++， 2αδγ++， αδ+ 改革后： 1αγ+， 2αγ+， α
（2）考虑交互作用
11221122t t t t t t t t Y D E E D E D E t αδγγφφ=++++++ε1 特区 开放区 一般地区 改革前： 1αδγφ+++， 22αδγφ+++， αδ+ 改革后： 1αγ+， 2αγ+， α
4）反映模型的结构变化。

考虑截距和斜率均发生变化的消费函数模型：
1234t t t t Y D X D X t t ββββ=++++ε
考虑20β≠截距变化， 40β≠斜率变化。

解释变量观测值矩阵：
(1)(2)
000
i X i
X ⎛⎞⎜⎟⎝⎠
思考：多个解释变量呢？
可以利用虚拟变量模型检验部分解释变量系数发生结构变化。

此时的约束回归模型和无约束回归模型均比较容易理解。