分离变量法

X C1 cos x C2 sin x
而由边界条件
C1 0
C2 sin
因为
l 0
所以 sin
C2 0
l 0
l n

n
2 2
l
2
有
X C2 sin
n
x
l 《数学物理方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ》

n
2
2
l
2
称为本征值
X C2 sin
n l
x
是Furier级数的基本函数族
utt a 2u xx 0 (0 x l , t 0) (4) u x ( x, t ) x 0 0 ，u ( x, t ) x l 0 (t 0) u ( x, t ) t 0 ( x) ，u ( x, t ) t 0 ( x ) (0 x l )
初始条件
u t 0 u0 x / l
驻波的一般式
u ( x, t ) X ( x)T (t )
分离变量
《数学物理方法》
ut a u xx 0
2
边界条件
u ux
x 0 x l
0 0
2
u ( x, t ) X ( x)T (t )
代入泛定方程
X ( x)T ' (t ) a X " ( x)T (t ) 0
T ' (t ) a T (t ) 0
以下求X
（1）、 < 0， = 0
仅得无意义的解
（2）、 > 0
X 0
X " X 0
0
k l
d n l d
《数学物理方法》
An
2
( ) sin l
0
l
An
2
( ) sin l
0
l
n l
d
B
n 1 l

n a l n a l
n
sin
n l
x ( x) k l
l
初始条件

n 1

0
Bn
sin
n l
sin
d ( ) sin
《数学物理方法》
（四）齐次方程齐次边界条件定解问题总结：
《数学物理方法》
（五）例题（自学为主）： 1. 细杆热传导问题，初始一端温度为0，另一端为 u0 , 零的一端温度保持不变，另一端与外界绝热。求细杆温度 泛定方程 边界条件
ut a u xx 0
2
u ux
x 0 x l
0 0
(0 x l , t 0)
x l
0
(t 0) (0 x l )
《数学物理方法》
ut a 2u xx 0 (7) u ( x, t ) x 0 0 ，u x ( x, t ) u ( x, t ) t 0 ( x) ，
(0 x l , t 0)
2

X " ( x) X ( x)

边界条件有
X (0) 0 X (l ) 0 T " (t ) X " ( x) 2 a T (t ) X ( x)
2
T " (t ) a T (t ) 0
X " X 0 X (0) 0
以下求X （1）、 < 0
X (l ) 0
x
X C1e
C2e
l
x
而由边界条件 C1 C2 0
C1e
《数学物理方法》
C2e
l
0
（1）、 < 0
X C1e
x
C2e
l
x
C1 C2 0 C1 0
u ( x, t ) 0
（2）、 = 0
2
u ( x, t ) X ( x)T (t )
代入泛定方程 代入边界条件
X ( x)T " (t ) a X " ( x)T (t ) 0
X (0)T (t ) 0 X (l )T (t ) 0 X (0) 0 X (l ) 0
与x 和 t 无关
《数学物理方法》
和 令
T " (t ) a T (t )
) sin
x
《数学物理方法》
un ( x, t ) ( An cos
称为本征振动
n at l
Bn sin
n at l n a l
fn
) sin
n l
x
本征振动的角频率为
n
频率为
na 2l f a 2l
当 n =1，称为基波；

a
l
当 n >1，称为 n 阶谐波.
本征振动的线性叠加仍满足泛定方程和边界条件， 故为一般解
utt a 2u xx 0 (0 x l , t 0) (1) u ( x, t ) x 0 0 ，u ( x, t ) x l 0 (t 0) u ( x, t ) t 0 ( x) ，u ( x, t ) t 0 ( x) (0 x l )
《数学物理方法》
un ( x, t ) ( An cos

n at l
Bn sin
n at l
n at l
) sin
n l
x
n l
u un ( x, t ) ( An cos
n n 1
Bn sin
n at l
) sin
x
An 和 Bn由初始条件确定
初始条件
泛定方程
边界条件
utt a u xx 0
2
u ( x, t )
x 0
0
u ( x, t )
u( x, t )
x l
0
弦两端固定
(0 x l )
(0 x l )
《数学物理方法》
初始条件
t 0
( x)
( x)
ut ( x, t )
t 0
弦两端固定，之间形成驻波。
由T满足的方程
T " (t ) a T (t ) 0
2
T " (t )
n a
2 2
2
l
2
T (t ) 0
T A cos
n at l
B sin
n at l n at l n l
分离变数的解 un ( x, t ) ( An cos
n at l
Bn sin
《数学物理方法》
A sin
n n 1

n l
x ( x) n l
(0 x l )
B
n 1 l
n a l
n
sin
x ( x) k l
l
初始条件

n 1

0
An sin
l
n l
sin
d ( ) sin
0
k l
d
Ak
l 2
( ) sin
上次课回顾
行波法： 1.行波法思想：
先求出偏微分方程的通解，再代入定解条件求 出方程的特解。
2.解决的定解问题：
无界弦的自由振动问题；波的定点反射问题； 一端自由杆的自由振动问题。 解决的问题有限，寻求其它的方法，如分离变量法。
《数学物理方法》
第八章 分离变数法
§8.1 齐次方程的分离变数法
§8.2 非齐次振动方程和输运方程
《数学物理方法》
ut a 2u xx 0 (5) u ( x, t ) x 0 0 ，u ( x, t ) u ( x, t ) t 0 ( x)
(0 x l , t 0)
x l
0
(t 0) (0 x l )
ut a 2u xx 0 (6) u x ( x, t ) x 0 0 ，u x ( x, t ) u ( x, t ) t 0 ( x)
utt a 2u xx 0 (0 x l , t 0) (2) u x ( x, t ) x 0 0 ，u x ( x, t ) x l 0 (t 0) u ( x, t ) t 0 ( x) ，u ( x, t ) t 0 ( x ) (0 x l )
u( x, t ) t 0 ( x) ut ( x, t ) t 0 ( x)
(0 x l ) (0 x l )
An sin
n 1

n l
x ( x)
B
n 1

n a l
n
sin
n l
x ( x)
《数学物理方法》

l
l
1 cos
n l
x
系数
An Bn
2
( ) sin l
0
l
n l
d d
解题过程： 泛定方程 得X和 T
( ) sin na
0
2
l
n l
分离变数
本征振动
边界条件得本征值
初始条件得本征振动系数
《数学物理方法》
（二）分离变量法的求解步骤：
《数学物理方法》
（三）分离变量法求解齐次方程齐次边界条件的问题：
k x l
基本函数族是 正交的
dx 2l k ,0
n x l

l
l
cos
k x l

dx l kn
l
l
1 sin
k x l
dx 0
cos


l
l
sin
k x l
sin
n x l
dx l kn
l
l
cos
k x l
sin
n x l
dx 0
《数学物理方法》
utt a 2u xx 0 (0 x l , t 0) (3) u ( x, t ) x 0 0 ，u x ( x, t ) x l 0 (t 0) u ( x, t ) t 0 ( x) ，u ( x, t ) t 0 ( x ) (0 x l )
C1e
C2e
l
0
C2 0
故 < 0 不可能
X 0
X " X 0
X " 0
X C1 x C2
而由边界条件 C 0 2
C1l C2 0
C1 0
C2 0
u ( x, t ) 0
故 =0 不可能
《数学物理方法》
（3）、 > 0
X " X 0
分离变量法的基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解， 然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余 的定解条件确定叠加系数。
求解过程需要黑板推导加课件讲解。
《数学物理方法》
utt a u xx 0
2
边界条件
u ( x, t ) u ( x, t )
x 0 x l
0 0
§8.3 非齐次边界条件的处理
§8.4 泊松方程
《数学物理方法》
《数学物理方法》
《数学物理方法》
《数学物理方法》
《数学物理方法》
《数学物理方法》
§8.1
齐次方程齐次边界条件的分离变量法
（一）分离变量法解两端固定弦的自由振动问题 定解问题：一根长为 l 的弦，两端固定，给定初始位移 和速度，在没有强迫外力作用下的振动
两列反向行进的同频率的波形成驻波。驻波没有波形的 传播现象，即各点振动周期并不依次滞后，它们按同一 方式随时间振动，可以统一表示为T (t). 但它们的振幅X 却随地点x而异， 写成X (x).
y y1 y2 A cos t kx A cos t kx 2 A cos kx cos t
波腹 波腹 波腹 波腹 波腹
波 节
波 节
波 节
波 节
y ( x, t ) X ( x)T (t )
自变数x，t出现分离
《数学物理方法》
utt a 2u xx 0 (0 x l , t 0) (t 0) u ( x, t ) x 0 0 ，u ( x, t ) x l 0 u ( x, t ) t 0 ( x) ，u ( x, t ) t 0 ( x) (0 x l )
0
k l
d
Bk
k l l 2
( ) sin
0
l
k l
d n l d
《数学物理方法》
Bn
( ) sin na
0
2
l
称为本征振动
u un ( x, t ) ( An cos
n n 1

n at l
Bn sin
n at l
) sin
X (0)T (t ) 0 X ' (l )T (t ) 0 X (0) 0 X ' (l ) 0
与x 和 t 无关
代入边界条件
和 令
T ' (t ) a T (t )
2

X " ( x) X ( x)

《数学物理方法》
X " X 0 X (0) 0
2
X ' (l ) 0
x l
0
(t 0) (0 x l )
ut a 2u xx 0 (8) u x ( x, t ) x 0 0 ，u ( x, t ) u ( x, t ) t 0 ( x)
(0 x l , t 0)
x l
0
(t 0) (0 x l )