（经典整理）等差、等比数列的性质

（经典整理）等差、等比数列的性质
第一篇：(经典整理)等差、等比数列的性质
等差、等比数列的性质
一：考试要求
1、理解数列的概念、
2、了解数列通项公式的意义
3、了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项二:知识归纳
（一）主要知识：
有关等差、等比数列的结论1．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,ΛΛ仍为等差数列．
2．等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq 3．等比数列{an}中，若m+n=p+q，则am⋅an=ap⋅aq
4．等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,ΛΛ仍为等比数列．
5．两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an±bn}仍为等差数列．⎧an⎫⎧1⎫
6．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an⋅bn}、⎨⎬、⎨⎬仍为等比数
⎩bn⎭⎩bn⎭
列．
（二）主要方法：
1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d(q)的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n项和公式的内在联系是解题的关键．
三：例题诠释，举一反三
例题1(2011佛山)在等差数列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝()A．24B．22C．20D．－8
变式1：(2011广雅)已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A
3变式2：（2011重庆理11）在等差数列{an}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=
________
B3
A3
3A3
例题2 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()
A．130B．170C．210D．260
变式1:（2011高考创新）等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{的前11项和为（）
A.-45
B.-50
C.-55
D.-66 变式2：（2011高考创新）等差数列{an}中有两项am和ak满足am=
Snn
}
1k,ak=
1m,则该数列前mk
项之和是.例题3(1)已知等比数列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则an＝________.(2)已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m ＝30，则S3m＝________(m∈N*)．(3)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝_______.变式1：(2011佛山)在等比数列{an}中，若a3·a5·a7·a9·a11＝32，则a9
a1
1的值为()
A．4B．2C．－2D．－
4变式2（2011湛江）等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项的和Sn＝126，求n和公比q.变式3（2011广州调
研）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=6，S4=30，则S6.1 例题4 已知数列{an}，an∈N*，Sn＝(an＋2)2.8(1)求证：{an}是等差数列；
(2)若bn＝n－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．
变式1已知数列{an}中，a1
=3
5，an
=2-
1an-1
(n≥2,n∈N
+)，数列{bn}满足bn
=
1an-1
(n∈N
+)
（1）求证：数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由
变式2设等差数列{an}的前n项和为sn，已知a3=24,s11=0，求：①数列{an}的通项公式②当n为何值时，sn最大，最大值为多少？
变式3(2011·汕头模拟)已知数列{an}中，a1＝，数列an＝2－，(n≥2，n∈N*)，数列an-1{bn}满足bn＝
(n∈N*)．an-1
(1)求证数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由．
32a例题5(2008·陕西)(文)已知数列{an}的首项a1＝，an+1=n∈N*an+11
(1)求证数列－1}是等比数列；
ann
(2)求数列{前n项的和
an
变式1 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)求证对任意n∈N*都有Sn＋1≤4Sn
变式2设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，且cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
变式3.在数列{an}中，a1=1,an+1=2an+2（1）设bn=
n
an
2n-1,证明{bn}是等差数列;（2）
求数列{an}的前n项和Sn。

当堂讲练： 1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有项；
（2）已知数列{an}是等比数列,且an>0,n∈N,a3a5+2a4a6+a5a7=81，则
a4+a6=
*
（3）等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m 项和是．
2．若数列{an}成等差数列，且Sm=n,Sn=m(m≠n)，求Sn+m．
3．等差数列{an}中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，a1=1，求其项数和中间项.4．若数列{an}（n∈N*）是等差数列，则有数列bn=
a1+a2+Λ+an
n
（n∈N*）也为
等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn>0（n∈N*），则有
d
n=
n∈N*）也是等比数列．
5．设Sn和Tn分别为两个等差数列的前n项和，若对任意n∈N，都有则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是．说明：anbn
=S2n-1T2n-1
*
SnTn
=
7n+14n+27，．
四：课后练习
1基础部分
1已知各项均为正数的等差数列{an}中，a1⋅a11=36，则a6的最小值为（）
A、4
B、5
C、6
D、7
2.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）
A.3
B.4
C.5
D.23.等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120,则2a9-a10=
（）
A．24 B．22 C．20 D．-8
4{an}是等差数列，a1>0，a2009＋a2010>0，a2009·a2010<0，使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是（）A．4019B．4018C．4017D．4016
5.在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a7=5,S7=21,那么S10等于（）
A．55 B．40 C．35 D．70
6.(2009山东卷文)在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=____________.7设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S6=36,Sn=324,Sn-6=144,则n=__________.S2007
-S2005200
5=2
{a}Sa=-20088在等差数列n中，1，其前n项的和为n．若2007 S2008=_________，则
2提高部分
1、（2010惠州第三次调研理 4）等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a8+a11=30，那
么S13值的是（）A．130
B．6
5C．70D．以上都不对
2．（2010揭阳市一模理4）数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为A
B．4C．2D．
3、(2009安徽卷文 2）已知{an}为等差数列，于A.-1
12，则
B.1
C.3
D.7
等
4.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项, S8=32,则S10等于
A.18
B.24
C.60
D.90
5．（2011佛山一检）在等差数列{an}中，首项a1=0,公差d≠0，若
ak=a1+a2+a3+Λ+a7，则k=()
A．22 B．23 C．24D．25
6.（2010全国卷1文）（4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则
aaa=
(A)
7.（2010湖北文）7.已知等比数列{am}中，各项都是正数，且a1，则
a9+a10a7+
a8
=A.1+
a3,2a2成等差数列，B.1-
C.3+
D3-
8（2010福建理）3．设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于
A．6
B．7
C．8
D．9
9.（广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）在等比数列{an}中，若a1a2a3=2，a2a3a4=16, 则公比q=10．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）在等比数列{an}中，a1=1，公比
q=2，若{an}前n项和Sn=127，则n的值为．
11．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，则a2+a5+a8=．12．若Sn和Tn分别表示数列{an}和{bn}的前n项和，对任意自然数n，有an=-
2n+32
*，（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设集合A={x|x=2an,n∈N}，4Tn-12Sn=13n，B={y|y=4bn,n∈N}．若等差数列{cn}任一项cn∈A I B,c1是A I B中的最大数，且
*
-265<c10<-125，求{cn}的通项公式．
第二篇：等差、等比数列性质类比
等差、等比数列知识点
一、等差数列：
1.等差数列的证明方法：1.定义法：2．等差中项：对于数列则{an}
为等差数列。

2.等差数列的通项公式：
{an}，若2an+1=an+an+
2an=a1+(n-1)d------该公式整理后是关于n的一次函数
Sn=
n(a1+an)n(n-1)
2Sn=na1+dS=An+Bn n223.等差数列的前n项和 1．2.3.a+bA= 2或2A=a+b 4.等差中项: 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。

即：
5.等差数列的性质:（1）等差数列任意两项间的关系：如果
an是等差数列的第n项，am是等差
a=am+(n-m)d
数列的第m项，且m≤n，公差为d，则有n
（2）.对于等差数列
{an}，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。

*{}SSS-Sk，S3k-S2kak∈Nnn（3）若数列是等差数列，是其前n项的和，那么k，2k
S3k
5444444444446444444444447a1+a2+a3+Λ+ak+ak+1+Λ+a2k+a2k +1+Λ+a3k14442444314424431442443
成等差数列。

如下图所示：
（4）．设数列
SkS2k-SkS3k-S2k
{an}是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn 是前n项的和，S偶-S奇=
S奇n=n+1dS-S=a偶中，S偶n.2，○2当n为奇数时，则奇
则有如下性质：○1当n为偶数时，二、等比数列：
1.等比数列的判定方法:①定义法若数列。

an+
1=q(q≠0)an
2an}是等比aa=ann+2n+1，则数列{②等比中项：若
n-1
{}aa=aqqann12.等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是1，公比是，则等比数列的通项为。

3.等比数列的前n项和:○1
Sn=
a1(1-qn)
(q≠1)
1-q
○
2Sn=
a1-anq
(q≠1)
1-q
○3当
q=1时，Sn=na1 =ab。

4.等比中项:如果使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

那么G
5.等比数列的性质:
（1）．等比数列任意两项间的关系：如果
an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且m≤n，qan=amqn-m
公比为，则有
（2）对于等比数列{an}，若n+m=u+v，则an⋅am=au⋅av也就是：a1⋅an=a2⋅an-1=a3⋅an-2=ΛΛ。

（3）．若数列{an}是等比数列，Sn是其前n项的和，k∈N*，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比数
544444444444S63k444444444447a114+a424+a234+Λ44+a3k+a1k
+414+2Λ4+4a32k+a12k4+14+2Λ4+4a33k
列。

如下图所示：SkS2k-SkS3k-S2k
基础练习
一、选择题：
1．已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）
(A)4(B)5(C)6(D)7
2．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a1=1,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）
A.63
B.64
C.127
D.128
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）
A．63B．45C．36D．274、设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为SS
4n，则a=（）
A.2
B.4
C.15
D.17
25.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖成-（A.511个B.512个C.1023个D.1024个
6．已知等差数列｛an｝中，a2=6, a5=15.若bn=a2n,则数列｛bn｝的前5项和等于（）
(A)30（B）45(C)90(D)186
7．已知数列{an}*
对任意的p，q∈N满足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于（）
A．-165B．-33C．-30D．-2
18．设{an}是等差数列，若a2=3,a7=13，则数列{an}前8项和为（）
Ａ．128Ｂ．80Ｃ．64Ｄ．56
9．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a1＝1,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）
A.63
B.64
C.127
D.128
10．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，S4=20，则该数列的公差d=（）
A．7B.6C.3D.2
11．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1
2，S4=20，则S6=()
A．16B.24C.36D.48
a2,aa1⎫
1=n+1=n+ln
12．在数列{an}⎛中， ⎝1+n⎪⎭，则an＝（）
2)
A．2+lnnB．
二、填空题：
1．等差数列{an}中，a5=24，S5=70，则S10=___
2．等比数列{an}的前n项和为Sn=32+(n-1)lnnC．2+nlnnD．1+n+lnn +t，则t=________ 3．等比数列{an}中，an>0，a2·a4+2a3·a5+a4·a6=25，则a3+a5=_______
4．设{an}中，an=20－4n，则这个数列前__或____项和最大。

5．已知：两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An和Bn，且An=3n+1 n
Bn2n+
3求：（1）a15b15=_________（2）an=___________ bn
6.等差数列{an}的公差d=1，且前100项和S100=100,则a1+a3 +a5+…a99=__
27．在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数个数是________________
8．在数列{an}在中，an=4n-52*2，a1+a2+Λan=an+bn，n∈N,其中a,b为常数，则ab=
52an=4n-{a}a+a+Λa=an+bn，n∈N*,其中a,b为常数，则2n2，19．在数列n在中，lin→∞an-bnan+bn的值是_____________ 10．已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____
三、解答题：
1．已知数列
n项和
11111S与SSS与S43453a设Snn345342.是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=-5。

（1）求{an}的通项an；（2）求{an}前Sn的最大值。

{}
求数列
{an}的通项．
3.等差数列{an}的前n
项和为Sn，a1=1S3=9+求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
4.等差数列{an}中，a4=10且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20．
第三篇：等差等比数列
等差数列 a1, a1+d, a1+2d, …… a1+(n-1)d等差数列求和
a1+a2+a3+K+an=a1+a1+d+a1+2d+K+a1+(n-1)d=n(a1+an)n(n -1)=na1+d 22
n(1+n)2特例：1+2+3+K n=
等比数列 a1,a1q,a1q2,K,a1qn-1
等比数列求和
a1+a2+a3+K+an=a1+a1q+a1q+K+a1q2n-1a1(1-qn)=1-q
第四篇：等差与等比数列
等差与等比数列
一.填空题
1、已知{an}为等差数列，a1+a3=22，a6=7，则a5=
2、等差数列中前n项的和为210，其中前四项的和为40，后四项的和为80，则n的值等于；
3、项数为奇数的等差数列，奇数项之和为102，偶数项之和为85，则此数列的中间项为；
项数为
4、在数列{an}在中，an=4n-
则ab=
5、等差数列{an}中,3a4=7a7，且a1>0，Sn是数列的前n项和，则Sn取最大值时的n=
6、Sn是等差数列{an}的前n项和,且S10=5,S20=17,则S30=
7、各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2,值是。

8、等比数列{an}中，已知a6-a4=24,a3a5=64，则S8
二、解答题
9、已知数列{an}的前n项和Sn=-
10、设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3分别求出5*，a1+a2+Λan=an2+bn，n∈N,其中a,b为常数，2a+a41a3,a1成等差数列，则3的2a4+a532205n+n，求{an}的前n项和Tn。

22{an}及{bn}的前10项和S10及T10。

11、已知数列{an}的首项a1=22an，an+1=，n=1,2,3,…． 3an+1
（Ⅰ）证明：数列{1n（Ⅱ）数列{}的前n项和Sn．-1}是等比数列；anan
第五篇：等差、等比数列问题
等差等比数列问题
一、等差数列、等比数列基本数列问题
1．等差数列{an}，s6=36，sn-6=144，sn=324，求n的值
1）an=2an-1+1；2）an=2an-1+n+1；3）an=2an-1+n2+n+1；4）an=2an-1+2n；5）an=2an-1+3n
1）sn=2an+1；2）sn=22n-1+n+1；3）sn=2an-1+n2+n+1；4）sn=2an-1+2n；5）sn=2an-1+3n 2．已知数列，a{an}满足：a＝m （m为正整数）
anA7n+5
2．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An,Bn，且n=，则使得为整数
bnn+3Bn的的正整数n个数为：
3．已知等差数列{an}，a1+a3+a5+Λ+a99=36，公差d=-2，求s100的值。

4、已知等差数列{an}的第2项为8，前10项和为185。

1）求{an}的通项公式；2）若数列依次取出a2,a4,a8,Λ,a2n
n+1
{an}中
⎧an当a为偶数时
⎪n，若a6＝1，则m所有=⎨2
当an为奇数时⎪⎩3an+1
Λ得到新数列{bn}，求数列{bn}的通项公式。

可能的取值为
四、数列与其它
1.已知数列{an}的通项公式an=n-(n∈N*)，则数列{an}的前30项中，最大项和最小项分别
n-是
2．已知数列{an}是递增数列，且an=n2+λn，则实数3.（Ⅰ）设4．设等比数列{an}的公比为q（q>0），它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前前n项中数值最大的项为27，求数列的第前2n项。

5．已知数列{an}的首项为23，公差为整数，且前6项为正，从第7项起为负数，求Sn的最大值。

λ范围是
an为正整数，6．数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a1
数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S2=64.（1）求an,bn；（2）求证1+1+Λ+1<3.S1S2Sn
4二、数列思想问题
1．数列{an}的前n项和Sn，又bn2．求和sn=
=3,b1=1，a1,a2,ΛΛ,an是各项均不为零的等差数列（n≥4），且公差d≠0，若将此数列删
a1的数值；②求n的所有可d
去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当n =4时，
求
能值；
（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
=an
b1,b2,ΛΛ,bn，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．，求{bn}的前n项和
123n+2+3+Λ+n aaaa
3．等差数列{an}和等比{bn}，求数列{an⋅bn}的前n项和4．1+1+1+Λ+
1*2
2*3
3*4
(n+1)-n 12-13-24-3
=+++Λ+
n*n+11*22*33*4n*n+15．已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+Λ+nan=n(n+1)，求数列{an}的通项公式
三、复合数列问题
1、已知数列{an}满足下列条件，且a1=1，求数列{an}的通项公式。