江西省南康中学2012届高三文科数学周练试题(1)

江西省南康中学2012届高三上学期周测试卷（一)
数学（文科）
本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟. 注意事项：
1、
选择题每小题选出答案后，必须用0。

5毫米的黑色签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上,答案不能答在试卷上。

2、
非选择题必须用0。

5毫米的黑色签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.
第I 卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “2a =”是“函数2
()1f x x
ax =-+有零点的”的（ ）．
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 2．设全集U 是实数集R ,22
{|log (4)}M x y x ==-，3{|0)1x N x x
-=>-，则图中阴影
部分所表示的集合是（ ） A ．}12|{<≤-x x B ．}22|{≤≤-x x C ．}21|{≤<x x D ．}2|{<x x 3．下列函数图象中不正确．．．
的是( )
4．函数()cos f x x =-在区间[,]a b 上是减函数,且11(),(),33f a f b ==-则cos 2
a b
+=( )．
A ．3
B ．0
C ．16
D ．23
5．等比数列{}n
a 的各项为正数，公比为q ，若2
4q
=，
则25
36
a a a a ++的值为（ ）．
A ．12
± B. 12
C 。

2
± D. 2
6．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，定义在R 上的奇函数()g x 过点()1,1-且()()1g x f x =-,则()()20112012f f +=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．1- 7．设1.52.42
.46.0,7.0,6
.0===c b a ，则c b a ,,大小关系正确的是( ）
A 。

c b a >>
B 。

a c b >> C. c a b >> D 。

a b c >>
8．在△OAB 中,, OA a OB b ==,OD 是AB 边上的高,若AB AD λ=,则实数λ等于
( ）
A ．()2
||a a b
a b ⋅-- B ．()2
||a b a a b ⋅-- C ． ()||a b a a b ⋅-- D ．()||
a a
b a b ⋅-- 9．一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)，则第9行中的第4个数是（ ） 第1行 1 第2行 2 3
第3行 4 5 6 7 … …
A 。

260
B 。

259
C 。

255
D. 132
10．已知函数()(ln 1)x
f x e x x =-+（e 是自然对数的底数）上存在0
x ,使得曲
线()y f x =在点0
x x =处的切线斜率与()x
g x e
x =-的最小值相等，则满足条
件的0
x 的个数为（ )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
第Ⅱ卷(非选择题 共90分）
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分,共25分．将答案填在答题卷相应位置上） 11．函数y=
)
34(log 15
.0-x 的定义域为 ．
12．已知｜a |＝1，|b ｜＝6，a ·（b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是 ．
13．已知变量x 、y
满足条件1,
0,29,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩
若k 为
18和14-的等差中项，则
z kx y =+的最大值是
．
14．若sin()(0,0,||)2y A x A ωϕωϕπ=+>><的最小值为2-，其图象相邻最高点与最低点横坐标之差为2
π，且图象过
点
，则其解析式
是 ． 15．已知函数
7(13)10
()x a x f x a --+⎧=⎨⎩
6
6
x x ≤> ，若数列{}n
a 满足*()()
n
a
f n n N =∈，且{}
n
a 是递减数列，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16．(本小题满分12分）已知条件a x p >-|15:|（0a >）和条件0
1
321
:2
>+-x x
q ,
请选取适当的实数a 的值,分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命
题:“若A 则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么?并说明为什么这一命题是符合要求的命题。

17．（本小题满分12分）设函数()()2203f x x x a x =-++≤≤的最大值为m ，最小值为n ，其中0,a a R ≠∈．
（Ⅰ）求m n 、的值（用a 表示）；
(Ⅱ）已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,3A m n -+．求sin()6
πβ+的值．
18．（本小题满分12分）已知函数21
()2cos ,22
f x x x x =
--∈R ． (Ⅰ)求函数()f x 的最小值和最小正周期；
(Ⅱ)设
ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且()0c f C ==，若向
量(1,sin )A =m 与向量(2,sin )B =n 共线，求,a b 的值。

19．（本小题满分12分）某饮料生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2011年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，饮料的年销售量x 万件与年促销费t 万元间满足1
13++=t t x ．已知2011年生产饮
料的设备折旧，维修等固定费用为3 万元，每生产1万件饮料需再投入32万元的生产费用，若将每件饮料的售价定为：其生产成本的150％与平均每件促销费的一半之和，则该年生产的饮料正好能销售完．
（I)将2011年的利润y (万元）表示为促销费t （万元）的函数； （2）该企业2011年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最
大？
（年生产成本=固定费用+年生产费用，年利润=年销售收入-年生产
成本-促销费)
学必求其心得，业必贵于专精
20．（本小题满分13分）已知非空集合A 中有n 个元素,若n
S 是集合A 的所有子集个数且是数列}{n
a 的前n 项和 （Ⅰ）求}{n
a 的通项公式；
(Ⅱ）若数列}{n b 满足111,(21)n n b b b n +=-=+-,且n n
n
a b c n
=，求数列}{n
c 的通项及
其前n 项和n
T 。

21．（本小题满分14分）已知函数2
()ln .f x ax bx c x =+++
（Ⅰ）当a b =时，若函数()f x 在定义域上是单调函数，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ)若函数()f x 在1,12
x x ==取得极值且(1)1f =-，若对任意的1,24
x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
使得()f x m ≤恒成立，求m 的取值范围．（参考数据 2.7e ≈）
参考答案
一、选择题
1-5 A C D B B 6—10 D C A B C 二、填空题
11．（43，1) 12．3π 13．9 14．2sin(2)3
y x π=+ 15．15
(,)36
三、解答题
16．解析：已知条件p 即a x -<-15,或a x >-15,∴5
1a x -<,或5
1a x +>,……3分
已
知条件
q
即
1322>+-x x ，∴
2
1<
x ，或
1
>x ． …………6分
令4=a ，则p 即5
3-<x ,或1>x ，此时必有q p ⇒成立,反之不然.…………10分
故可以选取的一个实数是4=a ，A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p 则q ，
由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假
命题.……………12分
17．解析:（Ⅰ)由题可得()()2
11f x x a =--++，而03x ≤≤
所以，()()11,33m f a n f a ==+==- ．．．．．．．4分 （Ⅱ）角β
终边经过点(),A a a ， ……………………5分 当
0a >时,r ==，
则sin ,cos
22ββ=
===
…………7分
所以，sin sin cos cos sin 6664πππβββ⎛⎫+=+= ⎪
⎝⎭
．．．．．．．．．．8分 当
0a <时，r ==
则sin ,cos
22ββ=
=-==-
………………9分
所以，sin sin cos cos sin 66
6
πππ
βββ⎛⎫+=+= ⎪
⎝
⎭
．．．．．．．11分
综
上所述 sin 6πβ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭或
4
…………12分
18．解析:（I)1cos 21()2sin(2)1226
x f x x x +π=
--=--…………3分
则()f x 的最小值是2-,最小正周期是22
T π==π. ……………………6分 (II ）
()sin(2)106f C C π=--=，则
sin(2)6C π
-=1， 0,022C C ππ<<∴<<，11
26
6
6C π
π
π∴-
<-
<
，
26
C π
∴-
=
2
π,
3
C π
=
, ………………………………………………8分
向量(1,sin )A =m 与向量(2,sin )B =n 共线，∴1sin 2
sin A B
=， ………………10分
由正弦定理得，12
a b
= ①
由余弦定理得，2222cos
3
c a b ab π
=+-,即3=22
a b ab +- ②
由
①②
解
得
1,2a b ==。

(12)
分
19．解析:（I ）年生产成本=固定费用+年生产费用323x =+，当销售x (万元)时，
年销售收入1150%(323)2
x t =++，由题意,生产x （万件)饮料正好销售完,
所以年利润=年销售收入-年生产成本—促销费，即
)0()
1(235
982≥+++-=t t t t y
（II ）因为4216250)132
21(50=-≤++
+-=t t y （万元），当且仅当1
3221+=+t t ，即7t =时，42max
=y
，
所以当促销费定在7万元时，利润最大．
20．解析：（Ⅰ）∵非空集合A 中有n 个元素，∴集合A 的所有子集个数为
n
2，由题意
n
n S 2=，
112(2)
n n S n --=≥, 两式相减得
11222(2)n n n n a n --=-=≥．
当1=n 时，212111
1==≠=-a S ，
∴1
2(1)
2
(2)n n n a n -⎧=⎪=⎨≥⎪⎩ ．．．．．．．．．
．．．．．5分 （Ⅱ）∵)12(1
-+=+n b b
n n ，∴112=-b b ，323=-b b ,534=-b b ,
321-=--n b b n n ．以上各式相加得
21)1(2
)
22)(1()32(531-=--=
-++++=-n n n n b b n ，
,11-=b ∴n n b n 22-= ．．．．．．．．
．．．．．．8分
∴⎩
⎨⎧
≥⨯-=-=-)2(,2)2()1(,21
n n n c n n ， ．．．．．．．．．
．．．．．9分 ∴1322)2(22222-⨯-++⨯+++-=n n
n T
，
∴n n
n T
2)2(222242432⨯-+⨯+++-=
∴n
n n
n T 2)2(2
2221
3
2
⨯--+⋅⋅⋅+++=--n n n 2)2(2
1)
21(21⨯----=
- =n n n
n n 2)3(22)2(22⨯---=⨯---。

∴n n n T
2)3(2⨯-+= ．．．．．．．
．．．．．．．．13分
21．解析：（Ⅰ)a b =时,2
()1ln f x ax
ax x =+++
2'
121
()2ax ax f x ax a x x
++∴=++=(0x >） ……………………2分
当0a =时1'()0f x x
=>，此时()f x 在(0,)+∞是单调递增, (3)
分
当0a >时，
20,210x ax ax >∴++> ，'
()0f x >，
∴
()
f x 在(0,)+∞是单调递
增， ……………………4分
当0a <时，设2
()21g x ax ax =++,函数()g x 在1[,)4
-+∞上单调递减且(0)10g =>，故在(0,)+∞函数()g x 的符号不确定，即此时，'()f x 的符号不确定,函数()f x 在
(0,)+∞不单调． ……………………5分
综
上可知,a
的取值范围是[0,)+∞． …………………………6分 （2）(1)1
f =-得1c =， …………………………7分
2121
'()2ax bx f x ax b x x
++=++=，因为()f x 在1,12x x ==处取得极值，
∴''1(1)()02f f ==，即210,20,a b a b ++=⎧⎨
++=⎩∴13
a b =⎧⎨=-⎩，…………………………9分
即2'
231(21)(1)
()x x x x f x x x -+--==且2()31ln f x x x x =-++．
∴当11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，'()0f x >,故()f x 在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增；当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时,'
()<0f x ,故()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
单调递减；当[]1,2x ∈时，'
()>0f x ，故函数在()f x 在[]1,2单调递增． ∴11311 ()=()1ln ln 224224
f x f =-++=--极大值， …………………………12分
而(2)1ln 2f =-+， 3
413
(2)()ln 4ln 4ln 24
f f e -=-+=-，
由于3
44e e >>，故1(2)()2
f f >，∴max ()1ln 2f x =-+，∴1ln 2m ≥-+．………14分。