高考数学二轮复习 大题规范天天练 星期三 第三周 解析几何-人教版高三全册数学试题

星期三 (解析几何)
2017年____月____日
解析几何(命题意图：考查利用向量知识求椭圆方程及直线与椭圆相交情况下的三角形、斜率、点到直线的距离等知识的综合应用)
(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 为短轴的一个端点，E 是椭圆C 上的一点，满足OE →＝OF 1→＋22
OB →，且△EF 1F 2的周长为2(2＋1).
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设点M 是线段OF 2上的一点，过点F 2且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，若△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形，求点M 到直线l 距离的取值范围.
解 (1)由已知F 1(－c ，0)，设B (0，b )，即OF 1→＝(－c ，0)，OB →＝(0，b )，
∴OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，22b ，即E ⎝
⎛⎭⎪⎫－c ，22b ， ∴c 2
a 2＋12
b 2b 2＝1，得
c a ＝22，① 又△EF 1F 2的周长为2(2＋1)，∴2a ＋2c ＝2＋22，②
又①②得c ＝1，a ＝2，∴b ＝1，∴所求椭圆C 的方程为 x 2
2＋y 2
＝1. (2)设点M (m ，0)，(0＜m ＜1)，直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，
由⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝k （x －1），x 2＋2y 2＝2，消去y ，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2
－2＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 中点为N (x 0，y 0)，
则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k 1＋2k
2， ∴x 0＝x 1＋x 2
2
＝2k 21＋2k 2，y 0＝y 1＋y 22＝－k 1＋2k 2， 即N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k
21＋2k 2，－k
1＋2k 2. 法一 ∵△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形，∴MN ⊥PQ ，即k 2
m （1＋2k 2）－2k 2
＝－1，
∴m ＝k 21＋2k 2＝12＋1k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 设点M 到直线l ：kx －y －k ＝0距离为d ，
则d 2＝k 2（m －1）2k 2＋1＝k 2（k 2
＋1）（1＋2k 2）2＜14（k 2＋k 2＋1）2（1＋2k 2）2＝14， ∴d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，即点M 到直线距离的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 法二 ∵△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形， ∴(MP →＋MQ →)·PQ →＝0，
∵MP →＝(x 1－m ，y 1)，MQ →＝(x 2－m ，y 2)，PQ →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴(x 1＋x 2－2m )(x 2－x 1)＋(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝0， 又y 2＋y 1＝k (x 2＋x 1－2)，y 2－y 1＝k (x 2－x 1)， ∴(x 2＋x 1－2m )＋k 2
(x 1＋x 2－2)＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4k
21＋2k 2－2m ＋k 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k
21＋2k 2－2＝0，∴m ＝k 21＋2k 2. 以下同解法一.。