正态分布 t分布参考课件
正态分布 t分布
未知时，以样本标准差 S 代替 σ 所得到的统 计量
xμ S/ n
态分布，而是服从 t 分布(t-distribution)。 它的概率分布密度函数如下：
t 分布概率密度曲线特点: 1、t 分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条 t 分布概率密度曲线。 2、t 分布概率密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称， 且在t＝0时，取得最大值。 3、与标准正态分布曲线相比，t 分布曲线顶部略低， 两尾部稍高而平。df 越小这种趋势越明显。df 越大，t 分布越趋近于标准正态分布。当n >50时，t 分布与标 准正态分布的区别很小；n >100时，t 分布基本与标准 正态分布相同；n→+∞时，t 分布与标准正态分布完全 一致。
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x=
1 2
x
-3 -2 -1 0
x=
1 2 3 x
x=
不同均数 均值 反映随机变量的平均水平（位置参数），向 右平移表示逐渐增大，向左平移表示逐渐减小。
（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴永不相交 （2）曲线是单峰的,它关于直线 x=μ对称 1 （3）曲线在 x=μ 处达到峰值(最高点) σ 2π （4）曲线与横轴 x所夹面积为1
例3 某地1986年120名8岁男孩身高均数为 X =123.02cm ，标准差为S=4.79cm，试估 计: (1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8 岁男孩总数的百分比； (2)身高在120cm～128cm者占该地8岁男孩总 数的百分比; (3)该地80%的男孩身高集中在哪个范围？
t 分布
利用公式，查附表得： (1) P(x＜1.64) =Φ(1.64) =0.9495 (2) P (x≥2.58) =1-Φ(2.58) =1-0.9951 =0.0049 (3) P (│x│≥2.56) =2-2Φ(2.56) =2-2×0.9948 =0.0104 (4) P (0.34＜x≤1.53) =Φ(1.53)-Φ(0.34) = 0.9370-0.6331=0.3039 (5) P(x＜-1.82) =1-Φ(1.82) =1-0.9656 =0.0344
正态分布 课件
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（μ－σ，μ＋σ]
0.6826
（μ－2σ，μ＋2σ]
0.9544
（μ－3σ，μ＋3σ]
0.9974
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（5）若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
5、特殊区间的概率:
m-a
m+a
x=μ
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
11
高尔顿钉板实验的 频率分布直方图
这条曲线具有 “中间高，两头低” 的特征，像这种类型的曲线, 就是（或近似地是）以下函数的图像:
正态分布详解(很详细)PPT课件
能不能根据密度函数的表达式， 得出正态分布的图形特点呢？
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
容易看到，f(x)≥0 即整个概率密度曲线都在x轴的上方;
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得
f (μ+c)=f (μ-c)
1
t2
e 2 dt
n np(1p)
将上述结论推广到一般的正态分布,
Y~N(,2)时，
P(Y | |)0.6826
P(Y | |2)0.9544
P(Y | |3)0.9974
可以认为，Y 的取值几乎全部集中在
[3,3]区间内.
这在统计学上称作“3 准则”
（三倍标准差原则）.
上一讲我们已经看到，当n很大，p接 近0或1时，二项分布近似泊松分布; 如果 n很大，而p不接近于0或1，那么可以证明， 二项分布近似于正态分布.
2
X的分布函数P(X≤x)是怎样的呢？
设X~ N(,2) , X的分布函数是
F(x) 1 xe(t2 2)2d,tx
2
正态分布由它的两个参数μ和σ唯 一确定， 当μ和σ不同时，是不同的正 态分布。
下面我们介绍一种最重要的正态分布 标准正态分布
三、标准正态分布
0,1的正态分布称为标准正态分布.
且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大
值:
f () 1
2
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
当x→ ∞时，f(x) → 0,
这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。
统计学正态分布及t分布32页PPT
统计学正态分布及t分布
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
正态分布课件课件
医学研究
正态分布经常被用来描述人体的生理指标，例 如血压、体重、心率和血糖等。
工程技术
正态分布在工程技术中也有着很重要的应用， 例如在质量控制和可靠性分析中。
正态分布在数据分析中的应用
偏度和峰度
使用偏度和峰度帮助了解正态 分布的形状和分布。偏度描述 了平均值分布在曲线的何处， 而峰度则描述了曲线的陡峭程 度。
正态分布在适用性和排除异常值方面存在一 些限制。如果样本不符合正态分布，此时用 正态分布进行分析可能会导致错误的结论。
Hale Waihona Puke 正态分布的常用假设及检验假设检验
假设检验是指在一定的显著水平下，对总体参数提 出假设，并根据样本数据的分布，用统计学方法判 断原假设是否成立。
P值
P值是在假设检验中使用的一个统计量，通常一起出 现的是显著性水平。 p值是落在拒绝域的概率，越小 说明差异越显著。
正态分布优缺点
1 优点
2 缺点
正态分布具有左右对称性，易于使用和理解， 广泛适用于各行各业的数据分析。
中心极限定理
中心极限定理告诉我们，样本 均值的分布逼近于正态分布， 无论样本分布如何。这意味着 我们可以在特定条件下使用正 态分布来预测总体分布。
置信区间
使用正态分布来计算置信区间。 在数据分析中，置信区间是指 根据样本数据计算出的一个区 间，以此来推测总体参数的范 围。
正态分布的概率计算方法
1
累积分布函数
正态性检验方法
正态Q-Q图
Q-Q图是通过将样本数据分布和正态分布进行比较来检验正态性的。如果点的分布趋近于一 条直线，则样本数据符合正态分布。
Shapiro-Wilk检验
Shapiro-Wilk检验是一种经典的正态性检验方法。该检验基于样本数据的偏度、峰度、样本 大小和简单随机抽样的原则，可以判断样本数据是否符合正态分布。
正态分布ppt精品课件
根据检验结果，解释两组数据 是否存在显著差异，并结合实
际背景进行讨论。
06
正态分布在生活中的应用举例
质量控制领域应用举例
01
产品规格设定
在制造业中，正态分布用于设定产品规格。通过对产品特性进行统计分
析，可以确定产品特性的均值和标准差，进而设定合理的上下规格限。
02 03
过程能力分析
正态分布也用于评估生产过程的能力。通过计算过程能力指数（如Cp 和Cpk），可以了解生产过程是否稳定，并确定是否需要采取改进措施 。
多元方差分析（MANOVA）与多元回归分析（ Multiple Regression Analysis）：当涉及多个自 变量或多个因变量时，可以使用多元方差分析或 多元回归分析来探究它们之间的关系。
回归分析（Regression Analysis）：用于探究自 变量与因变量之间的线性或非线性关系，通过拟 合回归方程来预测因变量的取值。
概率密度函数性质 f(x)≥0，对于所有x∈R。
02
正态分布在统计学中应用
描述性统计量计算
均值（Mean）：表示数据的“中心 ”或“平均”水平，计算方法是所有 数值之和除以数值个数。
偏度（Skewness）：描述数据分布 形态的偏斜程度，正偏态表示数据向 右偏，负偏态表示数据向左偏。
标准差（Standard Deviation）：衡 量数据分布的离散程度，即数据偏离 均值的程度，计算方法是方差的平方 根。
实例分析：两组数据是否存在显著差异
数据描述
给出两组数据的描述性统计量， 如均值、标准差等。
假设检验步骤
按照上述假设检验步骤，对两组 数据进行假设检验。
结果解释
根据检验结果，判断两组数据是 否存在显著差异，并给出相应的
T分布（近似标准正态分布）
T分布（近似标准正态分布）1.1 定义定义：假设X服从标准正态分布N（0,1），Y服从卡⽅分布，那么的分布称为⾃由度为n的t分布,记为。
T分布密度函数其中，Gam(x)为伽马函数。
可⽤于两组独⽴计量资料的假设检验。
由于在实际⼯作中，往往σ（总体⽅差）是未知的，常⽤s（样本⽅差）作为σ总体⽅差的估计值，为了与u变换（正态化变换）区别，称为t变换，统计量t 值的分布称为t分布。
【u分布也叫标准正态分布】u变换：[(X-µ)/σ]转化成标准正态变量u，以使原来各种形态的正态分布都转换为µ=0，σ=1的标准正态分布（standard normaldistribution），亦称u分布。
在和中，t-分布（t-distribution）⽤于根据⼩样本来估计呈且⽅差未知的总体的均值。
如果总体⽅差已知（例如在样本数量⾜够多时），则应该⽤正态分布来估计总体均值。
经常应⽤在对呈的总体的进⾏估计。
它是对两个差异进⾏测试的学⽣t测定的基础。
t检定改进了Z检定（en:Z-test），不论样本数量⼤或⼩皆可应⽤。
在样本数量⼤（超过120等）时，可以应⽤Z检定，但Z检定⽤在⼩的样本会产⽣很⼤的误差，因此样本很⼩的情况下得改⽤学⽣t检定。
t分布曲线形态与n（确切地说与⾃由度df）⼤⼩有关。
与标准正态分布曲线相⽐，⾃由度df越⼩，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈⾼；⾃由度df愈⼤，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当⾃由度df=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。
当总体的是未知的但却⼜需要估计时，我们可以运⽤t-分布。
【特征】：（1）以0为中⼼，左右对称的单峰分布；（2）其数学期望E(Z) = 0，n>1;⽅差D(Z)=n/n-2 , n>2 。
（3）t分布是⼀簇曲线，其形态变化与n（确切地说与df）⼤⼩有关。
⾃由度df越⼩，t分布曲线越低平；⾃由度df越⼤，t分布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线；（4）随着⾃由度逐渐增⼤，t分布逐渐接近标准正态分布。
正态分布t分布ppt(共49张PPT)
u=x-μ/σ
(五)标准正态分布曲线下的面积分布规律
标准正态分布曲线以u值为横轴变量，位置参数µ=0，形状参 数ơ=1，标准正态分布曲线与横轴之间的整体面积为1或100% 。标准正态分布曲线下面积的分布规律有如下规律（图5
） u=-1,u=1范围内的面积占正态曲线下总面积的68.27%，即有
研究以推论总体的方法，称为抽样研究方法。
由抽样而引起的样本均数与总体均数之间的差别及样
本均数与样本均数之间的差别称为抽样误差。 从正态分布的同一总体中随机抽取例数相等的若
干个样本，分别计算它们的均数，这些别
标准差描述个体变量值间的变异程度。凡同性 质的资料，标准差大表示个体变量值变异大， 样本均数对个体的代表性差。标准差小表示个 体变量值变异小，样本均数对个体的代表性好 。
B、样本均数
单项选择题
t 5、 0.05,9(单侧 )
t0.0 5,9(双侧 )
A、大于 B、小于 C、等于 D、无关
界值为
t 的t界值。0.0 5,
t0.0 1,
t值与自由度的关系
一般情况下，t分布曲线较标准正态分 布曲线低平，因此 ， t0.05,1.96 t0.0,12.58 自
t 由度越小，t分布曲线越低平则 、t 0.05, 0.01,
界值越大。
t界值与概率的关系
设以t 分布曲线与 横轴所夹总面积为 100%，则横轴上某一区间和曲线所夹面 积与总面积之比，相当于t值在该区间内 出现的概率（P），从一个正态总体中随 机抽样，获得t 值落于整个横轴的概率 P=1，获得l t l 的P t0.05, 0.05 ，对应曲线 面积 0.05 ，|t| 的P t0.01 , 0.01 ，对应的 曲线面积 0.01 。
正态分布课件课件ppt(共50张PPT)
m和标准差s
(1)
(x)
1
x2
e2,x( ,)
2
m0 , s 1
(2) (x)21 2e(x 8 1)2,x ( , ) m1 , s 2
说明：当m0 , s 1时，X 服从标准正态分布
记为X~N (0 , 1)
变式训练1
若一个正态分布的密度函数是一个偶函数且该函数与y
轴交于点 (0 , 1 ) ，求该函数的解析式。
ms ms P(70X110) P ( 2 X 2 ) 0 .9 5 4 4 .
ms ms P(80X100) P ( X ) 0 .6 8 2 6 .
即考试成绩在(80,100)间的概率为0.6826.
考试成绩在(80,100)间的考生大约有
2 0 0 0 0 .6 8 2 6 1 3 6 5 .
(2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；
(3)曲线在x＝ 处处于最高点，由这一点向左右两侧延伸时，
曲线逐渐降低；
(4)曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大 ，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.
上述叙述中，正确的有 (1) (3) (4) .
主页
课堂练习 正态分布(选修2-3)
3σ)之间的值,并简称之为 3σ原则.
主页
正态分布(选修2-3)
例4.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布 X～N(90,100).(1)求考试成绩X位于区间(70,110) 上的概率是多少?(2)若此次考试共有2000名考生, 试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人 ?
解:依题意,X～N(90,100), m90,s10.
图2.46
68.26%
μ
正态分布,卡方分布,T分布
1。
设X1服从以自由度为m的卡方分布，X2服从以自由度为n的卡方分布，X1与X2独立，则F=（X1/m）/（X2/n）的分布就是自由度为m与n的F分布2。
设随机变量X1，X2独立且X1服从标准正态分布，X2服从以自由度为n的卡方分布，则t=X1/根号（X2/n）的分布就是自由度为n的t分布、在实际工作中，抽取足够多的样本容量进行调查意味着人力、物力和财力的增加，尤其对一些具有破坏性的试验来说也不宜抽取太多的样本容量。
也就是说，对于大样本进行观察受到某些条件的限制。
这里主要讨论t分布、>2分布和F分布。
一、t-分布关于t 分布的早期理论工作，是英国统计学家威廉?西利?戈塞特（WillamSealy Gosset）在1900年进行的。
t分布是小样本分布，小样本分布一般是指n<30。
t分布适用于当总体标准差R未知时用样本标准差s代替总体标准差R，由样本平均数推断总体平均数以及2个小样本之间差异的显著性检验等。
从平均值为L、方差为R2的正态总体中抽取容量为n的一个样本，其样本平均数服从平均值为L，方差为R2/n的正态分布，因此，。
但是总体方差R2总是未知的，从而只能用s2来代替，（1）如果n很大，那么，s2就是R2的一个较好的估计量，仍然是一个近似的标准正态分布；（2）如果n较小，s2常常与R2的差异较大，因此，统计量就不再是一个标准正态分布，而是服从t分布。
（一）t分布的性质1、t分布是对称分布，且其均值为0。
2、当样本容量n较小时，t分布的方差大于1；当n增大到大于或等于30时，t分布的方差就趋近于1，t分布也就趋近于标准正态分布。
3、t分布是一个分布族，对于不同的样本容量都对应不同的分布，且其均值都为0。
4、与标准正态分布相比，t分布的中心部分较低，2个尾部较高。
5、变量t的取值范围在与之间。
t分布与标准正态分布的比较（二）t分布的自由度样本中独立观察值的个数（即样本容量）n减去1（由于样本要估计的总体参数的个数为1，即R2）。
t分布和标准正态分布
数理统计实验t分布与标准正态分布院（系）:班级:成员:成员:成员:指导老师:日期:目录t分布与标准正态分布的关系 (1)一、实验目的 (1)二、实验原理 (1)三、实验内容及步骤 (1)四、实验器材 (5)五、实验结果分析 (5)六、实验结论 (6)t分布与标准正态分布的关系一、实验目的正态分布是统计中一种很重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础。
正态分布有两个参数，μ和σ，决定了正态分布的本质。
为了应用和计算方便，常将一般的正态变量X通过μ变换[(X-μ)/σ]转化成标准正态变量μ，以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0，σ=1的标准正态分布，亦称μ分布。
对于标准正态分布来说，μ是数据整体的平均值，σ是整体的标准差。
但实际操作过程中，人们往往难以获得μ和σ。
因此人们只能通过样本对这两个参数做出估计，用样本平均值和样本标准差代替整体的平均值和标准差，从而得出了t分布。
另外从图像的层面说，正态分布的位置和形态只与μ和σ有关，而t分布不只与样本平均值和样本标准差有关，还与自由度相关。
通过实验了解t分布与标准正态分布之间的关系。
二、实验原理运用EXCEL软件验证t分布与标准正态分布的关系，绘制相应的统计图表进行分析。
三、实验内容及步骤1.打开Excel文件，将“t分布与标准正态分布N（0，1）”合并并居中，黑体，20字号，红色；2.选中文件,选项,自定义功能区,加载开发工具.在开发工具中插入滚动条,调节滚动条大小；3.设置A2单元格格式,数字自定义区” !n=#,##0;[红色]¥-#,##0”.然后左对齐,设置为红色；4.设置滚动条格式,单元格连接为$A$2；5.在A3中输入-4.0,单击开始,填充,序列,设置等差序列,步长0.1,当出现十字下拉即出现等差序列；6.在B3中插入标准正态分布函数”=NORM.S.DIST(A3,0)”,十字出现向下拉；7.在C3中插入t分布函数”=T.DIST(A3,$A$2,0)”,十字出现向下拉；8.选中整体区域,作X,Y(散点图),设置标题,横纵截距,箭头方向。
统计学正态分布及分布PPT资料(正式版)
如这果个原 公总式体表的示转平x变换均量数区为为间μμ内，发=标生准0的差,概为σ率σ，2那么=样1本的平均正数抽态样分总体布：。我们称μ=0, σ2 =1的正态分 函数曲线位置布不为变，标若σ准变大正时，态曲分线形布状变(s的t越a来n越“d胖a”r和d“n矮”o；rmal distribution)
μ= -1
y σ=0.5
y
y
μ=0 σ=1
μ=1 σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. （2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. （3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点) （4）曲线与x轴之间的面积为1 （5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,
2 只有一个峰，峰值在t = 0处；
我们从上图看到，正态总体在
以外取值的概率只有4.
δ2—.
若得变小 到时，标曲线准位置正向左态移，分故称布μ为密位置度参数函。 数：
05 分位点 u = 1.
• 数学上的正态分布。 df越大，t分布越趋近标准正态分布
我们从上图看到，正态总体在
以外取值的概率只有4.
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .
（5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.
• 当n∞，直方条面积(频率)各自的概率
• 然后组距０时，直方条的宽度０，直 方条垂直线，各个直方条顶点间的连线 构成一条光滑的曲线，即：概率密度曲线， 而曲线下(直方条)的总面积始终为１，在区 间[a,b]的概率＝对应曲线段下的面积(直方 条面积) 。
我们称μ=0, σ2 =1的正态分布为标准正态分布(standard normal distribution)
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22
u= x -μ/σ x
(四)t值 t分布
对于任何一个横轴变量为 x均数为µ ，标 准误为 x的正态分布，都可以通过变换，使之 成为µ=0， x =1的标准正态分布。变换的方法 是将变量值 x变换为u，u=x- µ / x ，u值的分
布就是标准正态分布。实际工作中 x 常用 sx
计量资料统计分析
正态分布 t分布
1
正态分布 t分布
计量资料的统计推断是以正态分布、 标 准正态分布 、t分布为理论基础。
正态分布、标准正态分布、 t分布的相互 关系是参数估计和假设检验的理论基础。
本课件主要学习正态分布、标准正态分布、 t分布的概念、分布特征、相互关系。
2
正态分布 t分布
一、正态分布 （一）正态分布的概念 （二）正态分布曲线下的面积分布规律 （三）正态分布曲线的两个参数 （四）标准正态分布 （五）标准正态分布曲线下的面积分布规律 二、 t分布 （一）均数的抽样误差 （二）样本均数的正态分布（中心极限定理） （三）样本均数的标准正态分布 （四）t值、t分布 （五）t分布特征
由抽样而引起的样本均数与总体均数之间的差 别及样本均数与样本均数之间的差别称为抽样 误差。
从正态分布的同一总体中随机抽取例数相等的 若干个样本，分别计算它们的均数，这些样本 均数的标准差称为标准误。
16
标准误与标准差的区别
标准差描述个体变量值间的变异程度。凡同性 质的资料，标准差大表示个体变量值变异大， 样本均数对个体的代表性差。标准差小表示个 体变量值变异小，样本均数对个体的代表性好。
3
一、正态分布
4
（一）正态分布的概念
正态分布又称高斯分布，是一种很重要的连 续型分布，应用甚广。在医学卫生领域中有许 多变量的频数分布资料可绘制成直方图而且频 数分布是中间（靠近均数处）频数多，两边频 数少，且左右对称。
可以设想，如果将观察人数逐渐增多，组 段不断分细，图中直条将逐渐变窄，其顶端的 中点的连线将逐渐接近于一条光滑的曲线，这 条曲线略呈钟型，两头低，中间高，左右对称， 近似于数学上的正态分布曲线（图1）
估计，t值就是样本均数 x 与总体均数µ的差数
除以 sx 所得之商 t x / sx
24
实际工作中 x 用 sx 估计，这时对
正态变量 x 采用的不是u变换，而是t
变换。如果从一个正态总体中，抽取样 本含量为n的许多样本，分别计算其样本 均数和标准误，然后再求出每一个t值， 这样可有许多t值，其频数分布是一种连 续型分布，这就是统计学上的t分布。
u=-1.96,u=1.96 范围内的面积占正态曲线下总面积的 95.00%，即有95.00%的变量值分布在此范围内；
u=-2.58,u=2.58范围内的面积占正态曲线下总面积99.00%， 即有99.00%的变量值分布在此范围内。
13
二、t 分布
15
(一)均数的抽样误差 标准误
在总体中随机抽取一部分个体作为样本，进行 调查研究以推论总体的方法，称为抽样研究方 法。
11
u=x-μ/σ
(五)标准正态分布曲线下的面积分布规律
标准正态分布曲线以u值为横轴变量，位置参数µ=0，形 状参数ơ=1，标准正态分布曲线与横轴之间的整体面积 为1或100%。标准正态分布曲线下面积的分布规律有如 下规律（图5）
u=-1,u=1范围内的面积占正态曲线下总面积的68.27%， 即有68.27%的变量值分布在此范围内；
µ+ 1ơ范围内的面积占正态曲线下总面积的68.27%，即 有68.27%的变量值分布在此范围内；
µ+ 1.96ơ范围内的面积占正态曲线下总面积的95.00%， 即有95.00%的变量值分布在此范围内；
µ+ 2.58ơ范围内的面积占正态曲线下总面积99.00%，即 有99.00%的变量值分布在此范围内
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正态分布的特征
正态分布曲线以均数为中心，左右对称。 正态分布曲线下的面积分布有一定的规
律 正态分布曲线在横轴上方均数处最高。 正态分布曲线有两个参数：均数µ 为位
置参数，标准差ơ 为形状参数。
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（二）正态分布曲线下的面积分布规律
数理统计证明：正态分布曲线下与横轴之间的整体 面积为1或100%。以µ为总体均数，ơ为总体标准差，则 正态分布曲线下面积的分布规律经积分法计算有如下 规律（图2）
值共计算出的200个t值，t值自由度 =6-
标准误是样本均数的标准差，即描述样本均数 的抽样误差。凡同性质的资料，标准误大说明 抽样误x 差大，用样本均数估计总体均数的可靠 性小；而标准误小，说明抽样误差小，用样本 均数估计总体均数的可靠性大。
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标准误与标准差的区别
µ
x1 s x2
xs
µ
x1
s x3 x
x2
x sx
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(二)样本均数的正态分布（中心极限定理）
从一个呈正态分布的总体中随机抽取样 本含量相等的许多样本，分别计算出它们 的样本均数。这些样本均数的频数分布仍 是以总体均数为中心的正态分布。
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µ
x1
x3 x
x2
(三)样本均数的标准正态分布 对于任何一个横轴变量为 x 均数为µ ，标
准误为 x 的正态分布，都可以通过变换，使之 成为µ=0、 x =1的标准正态分布。变换的方法 是将变量值x 变换为u，u= x- µ / x ，u值的分
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（三）正态分布曲线的两个参数
均数µ决定曲线在横轴上 的位置是正态分布曲线 的位置参数（图3.1）。
标准差ơ决定曲线的形状 是正态分布曲线的形状 参数（变异度参数） （图3.2）。
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（四）标准正态分布
对于任何一个均数为µ ，标准差为ơ 的正态分布，都可以通过变换，使之成 为µ=0, ơ=1的标准正态分布。变换的 方法是将变量值x变换为u，u=x- µ / ơ ， u值的分布就是标准正态分布。
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u x
x
t x
sx
（五）t 分布特征
t 值自由度( )
t 分布特征 t界值 t值与自由度的关系 t界值与概率的关系 单侧、双侧t界值
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t 值自由度( )
从一个总体中抽取200个样本，每一个 样本含量n=6则200个样本可计算出200个 样本均数 x 每一个样本均数可计算出一个t