河南省信阳高级中学高三10月月考数学(理)试题

2018届高三第五次大考
理 数 试 题 第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.
1.设集合}2,1,0,1{-=A ，}032{2
<-+=x x x B ，则=B A
A ．}1{-
B ．}0,1{-
C ．}1,0,1{-
D ．}0,1,2{-- 2.已知R y x ∈,，i 为虚数单位，若i y xi 3)2(1--=+，则=+yi x
A ．2
B ．5
C ．3
D ．10 3．下列选项中，说法正确的是
A.若0a b >>，则112
2
log log a b >
B. 向量(1,),(,21)a m b m m ==- ()m R ∈共线的充要条件是0m =
C. 命题
”“1
2)2(3,-*⋅+<∈∀n n n N n 的否定是“*1
,3(2)2n n n N n -∀∈≥+⋅”
D. 已知函数()f x 在区间[,]a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b ⋅<，则
()f x 在区间(,)a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题
4.设456log 12,log 15,log 18a b c === ，则
.A a b c >> .B b c a >> .C a c b >> .D c b a >>
5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为
A.
83
B.
4
3
C.248+
D.246+ 6．在区间[]0,π上随机地取两个数x 、y ,则事件“sin y x ≤”发生的概率为
A.
1
π
B.
2
π
C.
2
1
π
D.
2
2
π
2
2
俯视图
侧视图
7.函数3
()f x =
A ．
B ． C. D ． 8.已知),,0(,3tan παα∈=则⎪⎭
⎫
⎝⎛+a 225cos π＝ A.
5
3
B.
5
4 C.53-
D.5
4-
9．已知O 为坐标原点，设12,F F 分别是双曲线2
2
1x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线上任一点，过点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则||OH =
A ．1
B ．2
C ． 4
D ．
12
10、若定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2，且当[]1,0∈x 时，(),x x f =则函数
()x x f y 3log -=的零点个数是
A ．多于4个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
11．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x
C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为
A ．2,8e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．20,8e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．20,4e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
12. 已知1
()sin cos (,)4
f x x x x R ωωω=->∈，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(2,3)ππ，则ω的取值范围是
A. 3111119[,][,]812812
B. 1553(,][,]41284
C. 37711[,][,]812812
D. 13917
(,][,]44812
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
13.定义在R 上的函数()x f 是增函数，则满足()()23f x f x <-的取值范围是 .
14．已知平面内三个不共线向量,,a b c 两两夹角相等，且||||1a b ==，||3c =，则
||a b c ++= ．
15.某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是______________分钟．．
. 16.已知函数⎪⎩⎪
⎨⎧≤+>-=0,12
30
,1)(x x x e x f x ，若n m <，且)()(n f m f =，则m n -的取值范围
是 .
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本题满分12分）
已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且（a+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC
（Ⅰ）求∠A 的大小；
（Ⅱ）若
)
2(cos )2cos()2sin(3)(2x
x x x f +⋅=，求f （B ）的取值范围．
18.（本小题共12分）
如图，边长为3的正方形ABCD 所在平面与等腰直角三角形
ABE 所在平面互相垂直，AB AE ⊥，且EM 2=，
3=.
（Ⅰ）求证：//MN 平面BEC ； （Ⅱ）求二面角C ME N --的余弦值。

19．（本小题共12分）
为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲乙两种不同型号的节排器，分别从甲乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示
节排器等级及利润如表格表示，其中
7
1101<<a ，
（Ⅰ）若从这100件甲型号节排器按节排器等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；
（Ⅱ）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则 ①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望；
②从长期来看，哪种型号的节排器平均利润较大？
20.（本小题满分12分）
过抛物线2
y ax =（0a >）的焦点F 作圆C:2
2
8150x y y +-+=的切线，切点分别为M 、
N ，已知直线:MN 3110y -=．
（Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）直线l 经过点F ，且与抛物线交于点A 、B ，若以AB 为直径的圆与圆C 相切，求直线l 的方程．
21. （本小题满分12分） 已知函数（
，为自然对数的底数）在点
处的切线经过点
．
（Ⅰ）讨论函数
的单调性；
（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22. 选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为
，将曲线：（为参数），经过伸缩变换后得到曲线.
（Ⅰ）求曲线的参数方程；
（Ⅱ）若点的曲线上运动，试求出到直线的距离的最小值.
23. 选修4-5：不等式（本小题满分10分）
已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式有解，求实数m的取值范围.
2018届高三第五次大考
理 数 答 案
1-5 B D D A C 6-10 D A C A B 11-12 C C
13. ),3(+∞ 14. 2 15.40 16.]3
1
23ln
,32(+
17.解：（I ）∵（a+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ，由正弦定理可得：（a+b ）（a ﹣b ）=（c ﹣b ）c ，化为b 2
+c 2
﹣a 2
=bc ．
由余弦定理可得：cosA==
=，
∵A∈（0，π），∴A=．...............6分
（II ）f （x ）==sinx+=
+，
在锐角△ABC 中，＜B
，∴＜B+
＜
，
∴
∈
，
∴f（B ）的取值范围是．...............12分
18.（Ⅰ）证明：过M 作DC MF //交CE 于F ，连接.,BF MF 因为DC MF //，MD EM 2=，所以.3
2
//
DC MF ……2分 又AN AB 3=，所以.3
2
//
DC NB 故NB MF //，……4分 所以四边形NBFM 为平行四边形，故//MN BF ， 而BF ⊆平面BEC ，MN ⊄平面BEC ， 所以//MN 平面BEC ；……6分
（Ⅱ）以A 为坐标原点，.,所在方向为z y x ,,轴正方向，建立平面 直角坐标系，则)0,0,3(E ，)0,1,0(N ，)2,0,1(M ，)3,3,0(C
平面MEC 的法向量为)1,0,1(=m ，设平面MNE 的法向量为
)
,,(111z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0n EN ，即 ⎩⎨
⎧=+-=+-0
220
31111z x y x ，不妨设11=x ，则)1,3,1(= 11
2211
22|
|||,cos =
=>=<n m 所求二面角的余弦值为
11
22 ...............……12分
19解析：（Ⅰ）；.....................（4分）
（Ⅱ）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为，
二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号节排器随机抽取3件，
则二级品数所有可能的取值为，且，
所以
,
,
所以的分布列为
所以数学期望（或）..................
（10分）
②由题意知，甲型号节排器的利润的平均值，
乙型号节排器的利润的平均值，
，又，
所以投资乙型号节排器的平均利润率较大. ...................（12分） 20.解：（Ⅰ）设焦点()F 0,m ，以FC 为直径的圆()()2
40x y y m +--=，即
()22440x y m y m +-++=．
由()2222
4408150
x y m y m x y y ⎧+-++=⎪⎨+-+=⎪⎩，得()41540m y m -+-=，所以4151143m m -=-，解得
1m =，即1
4
a =
．.................（5分） （Ⅱ）由（1）知2
4x y =，圆C:()2
2
41x y +-=．
设直线:l 1y kx =+．
由214y kx x y
=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=．设()11,x y A ，()22,x y B ，
则124x x k +=，124x x =-
所以()212122444y y k x x k AB =++=++=+，AB 中点()
2
Q 2,21k k +，
①若以AB 为直径的圆与圆C 2221k =+-，
解得2
2
3
k =
．直线:l 1y x =+或1y x =+．.................（10分）
②若以AB 为直径的圆与圆C 2221k =++，解得0k =．所
以直线:l 1y =．
所以直线:l 1y x =
+或1y x =+或1y =.................（12分）
21. （Ⅰ）因为
，所以过点
的直线的斜率为
，
而，由导数的几何意义可知，，
所以，所以．则
，
当
时，，函数
在上单调递减；当
时，由得
，
当时，
，函数
单调递减，当
时，
，
函数
单调递增．.................6分
（Ⅱ）不等式
恒成立，即不等式恒成立，设
，
若，则
，函数单调递增且不存在最小值，不满足题意；当时，由
得
，
当时，单调递减； 当时，
单调递增，
所以，要使得
恒
成立，只需
恒成立，由于
，所以有
，解得
，即当时，恒成立，即恒成立，也即不等式恒成立，所以实数的取值范围为．...........（12分）22. （Ⅰ）将曲线：（为参数）化为，
由伸缩变换化为，代入圆的方程得，
即，可得参数方程为（为参数）.................（5分）（Ⅱ）曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程：，点到的距离，
∴点到的距离的最小值为.................（10分）
23.（Ⅰ）由，可得，两边同时平方化简得解得
，即不等式的解集为 ................（5分）（Ⅱ）由不等式有解，即有解设
，而，由
可得或 ..............（10分）。