2015-2016学年福建省厦门市高一上学期期末数学试卷和解析
2015-2016年福建省厦门市高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2015-2016学年福建省厦门市高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求的.1.(5分)抛物线x2=2y的焦点坐标是()A.B.C.(1,0)D.(0,1)2.(5分)命题“∃x 0∈(0,+∞),x=x0﹣1”的否定是()A.∀x∈(0,+∞),x2≠x﹣1B.∀x∈(0,+∞),x2=x﹣1C.∃x0∉(0,+∞),x≠x0﹣1D.∃x0∈(0,+∞),x≠x0﹣13.(5分)已知数列{a n}满足a4=23,a n+1=2a n+1,则a2等于()A.5B.C.6D.4.(5分)已知向量=(1,0,1),=(0,﹣1,﹣1),则与的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°5.(5分)下列命题中,真命题的是()A.若a>b,c>d,则a﹣c>b﹣d B.若a>b,c>d,则ac>bdC.若<<0,则ab<b2D.若>,则a>b6.(5分)命题p“若sinα=,则α=30°;命题q:若点(m,n)在直线x+y+1=0的上方,则m+n+1>0,下列命题是真命题的是()A.p∨¬q B.¬p∧q C.¬q∧¬q D.p∧q7.(5分)△ABC的三个内角A,B,C对应的边分别a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列,则角B等于()A.30°B.60°C.90°D.120°8.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,若=x+y+z,则x+y+z等于()A.3B.2C.D.19.(5分)已知直线l:+=1(a>0,b>0),直线l过点P(1,4),则a+b的最小值是()A.6B.8C.9D.1010.(5分)已知正项等比数列{a n},其前n项和为S n,a k﹣1=2,a k•a k+2=a=64,则S10等于()A.410﹣1B.C.210﹣1D.11.(5分)长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,E为线段A1C上的动点,则满足ED⊥ED1的点E的个数为()A.0B.1C.2D.无数个12.(5分)已知点F为双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右焦点,过F作直线l与双曲线C相交于A,B两点,若满足|AB|=2的直线l有且仅有两条,则双曲线C的方程可以是()A.x2﹣4y2=1B.x2﹣=1C.2x2﹣2y2=1D.x2﹣y2=1二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分.、共20分.13.(5分)若“x2+x﹣2≤0”是“x≤k”的充分不必要条件,则k的取值范围是.14.(5分)已知点P(0,1)到双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为,则双曲线C的离心率为.15.(5分)如图,某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30°,乙山山顶B 的仰角为45°,∠APB的大小为45°,山脚P到山顶A的直线距离为2km,在A处测得山顶B的仰角为30°,则乙山的高度为km.16.(5分)数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=1,且a n+1=λS n﹣S n+1,其中λ是常数,若{a n}是递增数列,则λ的取值范围是.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a3+a7=22,S4=24.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{}的前n项和为T n,求证:T n<.18.(12分)在△ABC中,AB=4,AC=6,cosB=.(Ⅰ)求△ABC面积;(Ⅱ)求AC边上的中线BD的长度.19.(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=2,AC=2,BC=2,AA1=2,点D,E分别为棱BC,A1C1的中点.(Ⅰ)求证:DF∥平面ABB1A1;(Ⅱ)求二面角B﹣AB1﹣D的余弦值.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,点F(1,0),直线x=﹣1与动直线y=n 的交点为M,线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P.(Ⅰ)求点P的轨迹Г的方程;(Ⅱ)过动点M作曲线Г的两条切线,切点分别为A,B,求证:∠AMB的大小为定值.21.(12分)甲、乙两个粮库要项A,B量诊运送大米,已知甲库将调出100吨大米,乙库将调出80吨大米,A镇至少需要60吨大米,B镇至少需要100吨大米,且甲往B镇运送大米的吨数不少于乙往A镇运送大米的吨数的2倍,两库到两镇运费如表(其中a为常数,<a<2).为了满足上述要求,同时使总运费最省,试问甲、乙粮库应运往A镇各多少吨大米?22.(12分)如图,已知F1(0,﹣1),F2(0,1)为椭圆Γ:+=1(a>b>0)的两个焦点,过F1作两条倾斜角互补的直线l1,l2,l1,l2分别与椭圆Γ相交于A,B,C,D四点,且△ABF2的周长为8.(Ⅰ)求椭圆Γ的方程;(Ⅱ)求阴影部分S的最大值;(Ⅲ)求证:直线AD与直线BC的交点是定点.2015-2016学年福建省厦门市高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求的.1.(5分)抛物线x2=2y的焦点坐标是()A.B.C.(1,0)D.(0,1)【解答】解:根据抛物线的定义可得,x2=2y的焦点坐标(0,)故选:B.2.(5分)命题“∃x0∈(0,+∞),x=x0﹣1”的否定是()A.∀x∈(0,+∞),x2≠x﹣1B.∀x∈(0,+∞),x2=x﹣1C.∃x0∉(0,+∞),x≠x0﹣1D.∃x0∈(0,+∞),x≠x0﹣1【解答】解:命题为特称命题,则命题的否定是全称命题,则命题的否定是:∀x∈(0,+∞),x2≠x﹣1,故选:A.3.(5分)已知数列{a n}满足a4=23,a n+1=2a n+1,则a2等于()A.5B.C.6D.【解答】解:∵a4=23,a n+1=2a n+1,∴a4=2a3+1=23,解得a3=11;∴11=a3=2a2+1,解得a2=5.故选:A.4.(5分)已知向量=(1,0,1),=(0,﹣1,﹣1),则与的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解答】解:||=,||=,=﹣1.∴cos<>==﹣.∴与的夹角为120°.故选:C.5.(5分)下列命题中,真命题的是()A.若a>b,c>d,则a﹣c>b﹣d B.若a>b,c>d,则ac>bdC.若<<0,则ab<b2D.若>,则a>b【解答】解:对于A:令a=2,b=0,c=1,d=﹣2,不成立;对于B:令a=2,b=﹣1,c=﹣1,d=﹣3,不成立;对于C:若<<0,则b<a<0,∴ab<b2,故C正确;对于D:若>,a(a﹣1)<0时,ab﹣b<ab﹣a,则﹣b<﹣a,则a<b,不成立;故选:C.6.(5分)命题p“若sinα=,则α=30°;命题q:若点(m,n)在直线x+y+1=0的上方,则m+n+1>0,下列命题是真命题的是()A.p∨¬q B.¬p∧q C.¬q∧¬q D.p∧q【解答】解:命题p“若sinα=,则α=30°,是假命题;命题q:若点(m,n)在直线x+y+1=0的上方,则m+n+1>0,是真命题;故¬p∧q∧真命题,故选:B.7.(5分)△ABC的三个内角A,B,C对应的边分别a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列,则角B等于()A.30°B.60°C.90°D.120°【解答】解:由题意可得2b•cosB=a•cosC+c•cosA,再利用正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,∴sin2B=sin(A+C),即2sinBcosB=sinB.由于sinB≠0,∴cosB=,∴B=60°,故选:B.8.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,若=x+y+z,则x+y+z等于()A.3B.2C.D.1【解答】解:∵,=,=,∴=x+y+z=(x+y)+(x+z)+(y+z).∵=,∴,解得x=y=z=.∴x+y+z=.故选:C.9.(5分)已知直线l:+=1(a>0,b>0),直线l过点P(1,4),则a+b的最小值是()A.6B.8C.9D.10【解答】解:∵直线l:+=1(a>0,b>0),直线l过点P(1,4),∴=1.则a+b=(a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当b=2a=6时取等号.∴a+b的最小值是9.故选:C.10.(5分)已知正项等比数列{a n},其前n项和为S n,a k﹣1=2,a k•a k+2=a=64,则S10等于()A.410﹣1B.C.210﹣1D.【解答】解:设正项等比数列{a n}的公比为q>0,=2,a k•a k+2=a=64,∵a k﹣1==2q2,∴a k+1∴64=(q4)2==(2q2)2,解得q=2,a1=.∴S10==.故选:D.11.(5分)长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,E为线段A1C上的动点,则满足ED⊥ED1的点E的个数为()A.0B.1C.2D.无数个【解答】解:以A为坐标原点建立如图所示的空间坐标系,则D(0,2,0),D1(0,2,3),设A1E=λA1C,(0≤λ≤1),则由A1(0,0,3),=(1,2,﹣3)得:=(λ,2λ,3﹣3λ),则=(﹣λ,2﹣2λ,3λ﹣3),=(﹣λ,2﹣2λ,3λ),若ED⊥ED1,则⊥,即λ2+(2﹣2λ)2+3λ(3λ﹣3)=0,即14λ2﹣17λ+4=0,解得:λ=,故存在两个满足条件的点,故选:C.12.(5分)已知点F为双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右焦点,过F作直线l与双曲线C相交于A,B两点,若满足|AB|=2的直线l有且仅有两条,则双曲线C的方程可以是()A.x2﹣4y2=1B.x2﹣=1C.2x2﹣2y2=1D.x2﹣y2=1【解答】解:对于A,即有x2﹣=1,可得a=1,b=,当AB垂直于x轴时,弦长AB为=<2,由2a=2,可得直线l与双曲线的交点在左右支上,有一条;交于右支,有两条,共有3条;对于B,x2﹣=1,可得a=1,b=,当AB垂直于x轴时,弦长AB为=4>2,由2a=2,可得直线l与双曲线的交点在左右支上,有一条;交于右支,有0条,共有1条;对于C,即有﹣=1,可得a=b=,当AB垂直于x轴时,弦长AB为=<2,由2a=<2,可得直线l与双曲线的交点在左右支上,有两条;交于右支,有两条,共有4条;对于D,可得a=b=1,当AB垂直于x轴时,弦长AB为=2,由2a=2,可得直线l与双曲线的交点在左右支上,有一条;交于右支,有一条,共有2条.故选:D.二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分.、共20分.13.(5分)若“x2+x﹣2≤0”是“x≤k”的充分不必要条件,则k的取值范围是k ≥1.【解答】解:x2+x﹣2≤0,解得﹣2≤x≤1,∵“x2+x﹣2≤0”是“x≤k”的充分不必要条件,∴k≥1.∴k的取值范围是:k≥1.故答案为:k≥1.14.(5分)已知点P(0,1)到双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为,则双曲线C的离心率为3.【解答】解:双曲线C:﹣=1的一条渐近线设为y=x,即为bx﹣ay=0,可得点P(0,1)到渐近线的距离为=,即有3a==c,可得e==3.故答案为:3.15.(5分)如图,某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30°,乙山山顶B 的仰角为45°,∠APB的大小为45°,山脚P到山顶A的直线距离为2km,在A处测得山顶B的仰角为30°,则乙山的高度为2km.【解答】解:假设甲山底部为C,乙山底部为D,过A作AE⊥BD于E.由题意可知∠APC=30°,∠BPD=45°,AP=2,∴AC=AP•sin30°=1,DE=AC=1,设BD=h,则DP=BD=h,BE=h﹣1,∴BP=h.∵∠BAE=30°,∴AB=2BE=2h﹣2.在△ABP中,由余弦定理得:cos45°===.解得h=2.∴乙山的高度为2km.故答案为:2.16.(5分)数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=1,且a n+1=λS n﹣S n+1,其中λ是常数,若{a n}是递增数列,则λ的取值范围是λ>3.【解答】解:∵a n+1=λS n﹣S n+1,∴a n+2=λS n+1﹣S n+2,两式相减得:a n+2﹣a n+1=λa n+1﹣a n+2,整理得:2a n+2=(λ+1)a n+1,即=,依题意>1,即λ>1(n≥2),又∵a2=λS1﹣S2,∴2a2=(λ﹣1)a1,即=,依题意,>1,即λ>3,综上所述,λ>3,故答案为:λ>3.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a3+a7=22,S4=24.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{}的前n项和为T n,求证:T n<.【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,则由已知可得:,解得,∴a n=3+2(n﹣1)=2n+1;(Ⅱ)由(I)可知S n===n(n+2),∴==(﹣),∴T n=(1﹣+﹣+…+﹣)=(1+﹣﹣)=﹣<.18.(12分)在△ABC中,AB=4,AC=6,cosB=.(Ⅰ)求△ABC面积;(Ⅱ)求AC边上的中线BD的长度.【解答】解:(Ⅰ)由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB,即36=16+a2﹣2×4a×.∴a2﹣a﹣20=0,解得a=5.又cosB=,B为三角形内角,∴sinB==.=sinB==.∴S△ABC(Ⅱ)设∠ADB=α,则∠CDB=π﹣α.设BD=m.在△ABD与△BCD中,分别利用余弦定理可得:42=m2+32﹣6mcosα,52=m2+32﹣6mcos(π﹣α),∴41=2m2+18,解得m=.19.(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=2,AC=2,BC=2,AA1=2,点D,E分别为棱BC,A1C1的中点.(Ⅰ)求证:DF∥平面ABB1A1;(Ⅱ)求二面角B﹣AB1﹣D的余弦值.【解答】解:(Ⅰ)取AB中点F,连接DF,FA1,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∵A1E=EC1,A1C1∥AC,∴A1E∥AC,A1E=,BD=DC,BF=FA,∴DF∥AC,DF=,∴DF∥A1E,DF=A1E,∴四边形A1FDE为平行四边形,∴A1F∥DE,A1F⊂面B1BAA1,DE⊄面B1BAA1,∴DE∥平面ABB1A1.(Ⅱ)∵AB2+AC2=8=BC2,∴AB⊥AC,又AA1⊥底面ABC,以AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴,如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(0,2,2),D(1,1,0),E(0,1,2),=(0,2,0),=(﹣1,0,2),由AA1⊥底面ABC,AC⊂面ABC,得AA1⊥AC,又AB⊥AC,且AB∩AA1=A,∴AC⊥面B1BAA1,∴=(0,2,0)是平面B1BAA1的法向量,=(2,0,2),=(1,1,0),设面AB1D的法向量为=(x,y,z),则,取x=1,得=(1,﹣1,﹣1),cos<>===﹣,由图得,二面角B﹣AB 1﹣D为锐二面角,∴二面角B﹣AB1﹣D的余弦值为.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,点F(1,0),直线x=﹣1与动直线y=n 的交点为M,线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P.(Ⅰ)求点P的轨迹Г的方程;(Ⅱ)过动点M作曲线Г的两条切线,切点分别为A,B,求证:∠AMB的大小为定值.【解答】解:(Ⅰ)据题意,MP⊥直线x=﹣1,∴|MP|为点P到直线x=﹣1的距离,连接PF,∵P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点,∴|MP|=|PF|,∴P点的轨迹是抛物线,焦点为F(1,0),准线为直线x=﹣1,∴曲线Г的方程为y2=4x;(Ⅱ)证明:据题意,M(﹣1,n),过点M的切线斜率存在,设为k,则切线方程为:y﹣n=k(x+1),联立抛物线方程可得ky2﹣4y+4k+4n=0,由直线和抛物线相切,可得△=16﹣4k(4k+4n)=0,即k2+kn﹣1=0,(*)∵△=n2+4>0,∴方程(*)存在两个不等实根,设为k1,k2,∵k1=k AM,k2=k BM,由方程(*)可知,k AM•k BM=k1•k2=﹣1,∴切线AM⊥BM,∴∠AMB=90°,结论得证.21.(12分)甲、乙两个粮库要项A,B量诊运送大米,已知甲库将调出100吨大米,乙库将调出80吨大米,A镇至少需要60吨大米,B镇至少需要100吨大米,且甲往B镇运送大米的吨数不少于乙往A镇运送大米的吨数的2倍,两库到两镇运费如表(其中a为常数,<a<2).为了满足上述要求,同时使总运费最省,试问甲、乙粮库应运往A镇各多少吨大米?【解答】解:设甲、乙库往A镇运送x、y 吨大米,则甲、乙库往B镇运送100﹣x、80﹣y吨大米.依题意有:,整理得:,根据上述约束条件作出可行域,如下图所示:设总运费为z,则z=(240+10a)x+260(100﹣x)+180y+210(80﹣y)=(10a﹣20)x﹣30y+42800目标直线为l:y=x+﹣,且l越上移z的值越小,因为<a<2,所以斜率∈(﹣,0),如图,当l过点M(20,40)时,Z的值取得最小,答:应该按甲库往A镇运送的大米量为20吨;乙库往A镇运送的大米量为40吨的方案派送大米,总运费最省.22.(12分)如图,已知F1(0,﹣1),F2(0,1)为椭圆Γ:+=1(a>b>0)的两个焦点,过F1作两条倾斜角互补的直线l1,l2,l1,l2分别与椭圆Γ相交于A,B,C,D四点,且△ABF2的周长为8.(Ⅰ)求椭圆Γ的方程;(Ⅱ)求阴影部分S的最大值;(Ⅲ)求证:直线AD与直线BC的交点是定点.【解答】解:(Ⅰ)依题意可知|AF2|+|BF2|+|AB|=8,由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=|BF2|+|BF1|=2a,可得4a=8,解得a=2,又c=1,b==,则椭圆方程为+=1;(Ⅱ)设直线AB:y=kx﹣1与椭圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2),C(﹣x1,y1),D(﹣x2,y2),根据对称性,不妨设k>0,x1<0<x2,y2>y1,由得:(4+3k2)x2﹣6kx﹣9=0,得△=36k2+36(3k2+4)>0,x1+x2=,x1x2=﹣,S=2=2••|x1|•=2|k|•|x1x2|==≤,当且仅当|3k|=,即k=±时,取到最大值;(Ⅲ)证明:依题意可知AD与BC的交点在y轴上,直线BC:=,令x=0,得y=+y2=,代入x1+x2=,x1x2=﹣,可得y=﹣4,所以直线AD与BC的交点为(0,﹣4).赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减. (2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a -、]a 上为减函数.(3)最大(小)值定义①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤; (2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M =.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.【1.3.2】奇偶性(4)函数的奇偶性①定义及判定方法yxo第21页(共21页)②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反.④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题:本大题共8小题,共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$,集合 $M=\{1,4\}$,$N=\{1,3,5\}$,则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$,$B(2,4)$,$C(-1,3)$,则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$,$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$,则 $\tan\alpha$ 的值是()A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$($x\inR,\omega>0$)的最小正周期为 $\pi$,为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象,只要将 $y=f(x)$ 的图象():A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$,$4a-b\perp b$,则 $a$ 与 $b$ 的夹角是()A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
2015届福建省厦门市高三上学期期末质量检测文科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015届福建省厦门市高三上学期期末质量检测文科数学试卷(带解析)试卷副标题考试范围:xxx ;考试时间:49分钟;命题人:xxx学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________注意事项.1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)一、选择题(题型注释)1、已知函数的导函数的图象如图所示,,令,则不等式的解集是( )A .B .C .D .[-1,2]2、如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体最长的棱的长度等于( )A .B .C .D .3、过双曲线C :的左焦点作倾斜角为的直线,则直线与双曲线C 的交点情况是( ) A .没有交点 B .只有一个交点 C .两个交点都在左支上 D .两个交点分别在左、右支上4、如图,在棱长为1的正方体中,E 是棱BC 上的一点,则三棱锥的体积等于( )A .B .C .D .5、若关于的不等式组 ,表示的平面区域是直角三角形区域,则正数的值为( )A .1B .2C .3D .46、若,则( )7、向量,若为实数),则的值为()A.2 B.-2 C. D.8、已知集合,则()A.{0,1} B.{0,2} C.{1,2} D.{0,1,2}9、已知m∈R,“函数有零点”是“函数在(0,+∞)上为减函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第II卷(非选择题)二、填空题(题型注释)10、点P在直线上,记,若使T取得最小值的点P有无数个,则实数的取值是 .11、如图,正方形ABCD中,AB=2,DE=EC,若F是线段BC上的一个动点,则的最大值是 .12、数列中,,则该数列的前22项和等于 .13、函数的最小值是 .14、将函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象,则.15、抛物线的准线方程是 .16、函数是定义在R上的奇函数,当时,,则()A.1B.-1C.2D.-2参考答案1、A2、C3、D4、D5、A6、C7、B8、A9、B10、±111、612、1113、514、15、x=-116、D【解析】1、试题分析:由题根据所给函数图像得到f(x)的得到性,结合所给条件不难得到不等式的解集;由题f(x)在时,单调递减,在时,单调递增,,或或,故选A.考点:利用导数研究函数的性质2、试题分析:由题易知该几何体为三棱锥,底面为直角三角形,直角边长为3,4,三棱锥的高为5,不难得到其最长棱;由题易知该几何体为底面为直角三角形,高为5的三棱锥,其最长棱为.考点:由几何体的三视图求体积3、试题分析:求出直线方程,联立双曲线方程,消去y,得到x的方程,运用判别式和韦达定理,即可得到.双曲线C:的a=2,b=3,左焦点为过左焦点作倾斜角为的直线l的方程为代入双曲线方程,可得,则直线和双曲线有两个交点,且为左右两支各一个,故选D.考点:双曲线的简单性质4、试题分析:由题利用等积法求得对应三棱锥的体积.∵在棱长为1的正方体中,E是棱BC上的一点,∴E到平面的距离h=1,,故选D. 考点:柱,锥,台体的体积5、试题分析:作出不等式组对应的平面区域,利用平面区域是直角三角形即可得到结论.作出不等式组对应的平面区域如图,直线kx-y+1=0,过定点A(0,1),当直线kx-y+1=0与直线x=0垂直时,满足平面区域是直角三角形区域,此时k=0不是正数,不成立,当直线kx-y+1=0与直线y=-x垂直时,满足条件,此时k=1,故选:A考点:简单线性规划6、试题分析:由题根据所给条件应用诱导公式不难得到,然后结合角的范围求得其对应余弦值,根据正切函数对应求得结果即可;由题,故选C考点:三角函数诱导公式的应用7、试题分析:由题根据向量共线对应坐标成比例,不难求得m值.由题,故选B.考点:共线向量的坐标运算8、试题分析:由题根据集合B={x|x<2},不难求得A,B的交集;由题,故选A.考点:集合的运算9、试题分析:由题根据函数有零点可以得到m-1<0,所以m<1,根据函数为减函数可得0<m<1,不难得到前者与后者的关系;由题函数“函数有零点”则“m<0”,“函数在(0,+∞)上为减函数”则“0<m<1”,所以前者是后者的必要不充分条件. 考点:充分条件,必要条件,充要条件10、试题分析:直线y=kx+2上恒过定点(0,2),由当且仅当|x|=|y|时取等号,结合图形可得只有当k=±1时,使T取得最小值的点P有无数个.直线y=kx+2上恒过定点(0,2),,当且仅当|x|=|y|时取等号,可得:只有当k=±1时,使T取得最小值的点P有无数个.故答案为:±1.考点:直线斜截式方程11、试题分析:建立平面直角坐标系A-xy,得到向量的坐标,利用向量的数量积的坐标运算求数量积的最大值.解:建立平面直角坐标系A-xy,因为正方形ABCD中,AB=2,DE=EC,F是线段BC 上的一个动点,则A(0,0),E(1,2),F(2,y),因为F是线段BC上的一个动点,所以y的最大值为2,,故答案为6.考点:平面向量的数量积运算12、试题分析:由可得即数列是以3为周期的周期数列.即可得出.∴数列是以3为周期的周期数列.考点:数列求和13、试题分析:由题将所给函数配成,然后应用均值不等式求解即可..当且仅当x=3时,等号成立.考点:均值不等式14、试题分析:由题根据三角函数平移规律不难得到g(x)的解析式,代入求解即可;由题.考点:三角函数的图像和性质15、试题分析:由题根据所给抛物线的方程结合抛物线定义不难得到其准线方程;,所以其准线方程为x=-1.考点:抛物线的简单性质16、试题分析:由题根据函数的奇偶性集合分段函数性质不难得到f(-1)=-f(1),通过计算f(1)求得f(-1);由题f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2,故选D.考点:函数奇偶性,分段函数的性质。
【百强校】2015-2016学年福建省厦门一中高一上期中数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2015-2016学年福建省厦门一中高一上期中数学试卷(带解析)试卷副标题考试范围:xxx ;考试时间:150分钟;命题人:xxx学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________注意事项.1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)一、选择题(题型注释)1、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2b=a+c ,则角B 的取值范围是( )A .B .C .D .2、已知x,y 满足约束条件,若z=ax+y 的最大值为4,则a 的值为( )A .3B .2C .-2D .-33、方程sin 2x +sin x -1-m=0在实数集上有解,则实数m 的范围为( ) A .B .C .D .4、已知且sin,sin 2,sin 4成等比数列,则的值为( )A .B .C .D .5、数列{a n }中,a n = ,则该数列最大项是( ) A .B .C .D .6、已知数列满足,则前200项的和为( )A .0B .C .D .7、在△ABC 中,角A=60°,AB=2,且△ABC 的面积S △ABC =,则BC 的长为( )A .B .3C .D .78、设0<a <b ,则下列不等式中正确的是( ) A .a <b <<B .a <<<bC .a <<b <D .<a <<b9、函数f (x )=2sin (ωx +φ)对任意x 都有f=f,则f等于( )A .2或0B .-2或2C .0D .-2或010、在等差数列{a n }中,若a 1,a 4是方程x 2-x-6=0的两根,则a 2+a 3的值为( ) A .6 B .-6 C .-1 D .111、与两数的等比中项是( )A .2B .-2C .±2D .以上均不是12、汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A .消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B .以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C .甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D .某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油第II卷(非选择题)二、填空题(题型注释)13、已知是方程的两根,且,则的范围是________.14、等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,若,则=________.15、等比数列{a n}的前n项和为S n,若,则的值为________.16、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,则边长c的取值范围是________.三、解答题(题型注释)17、设数列的前n项和为.已知.(I)求的通项公式;(II)若数列满足,的前n项和.①求;②若对于恒成立,求与的范围.18、已知函数.(1)若当时在上恒成立,求范围;(2)解不等式.19、如图,某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点A 、B 、C .景区管委会又开发了风景优美的景点D .经测量景点D 位于景点A 的北偏东30°方向上8 km 处,位于景点B 的正北方向,还位于景点C 的北偏西75°方向上,已知AB =5 km.(1)景区管委会准备由景点D 向景点B 修建一条笔直的公路,不考虑其他因素,求出这条公路的长;(2)求景点C 和景点D 之间的距离.参考数据:sin75°=20、要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:今需A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块,问各截这两种钢板多少张可得所需A 、B 、C 三种规格成品,且使所用的钢板的张数最少?21、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 5=35,a 5和a 7的等差中项为13. (1)求a n 及S n ; (2)令b n =(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和T n .22、函数.(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且,求△ABC的面积的最大值.参考答案1、D2、B3、B4、C5、C6、B7、A8、B9、B10、D11、C12、D13、14、15、316、(1,3)17、(I)(II)①;②.18、(1);(2)当时得到;当时得到或;当时得到;当时得到或;当时,化为;当时得到;当时得到当时得到.19、(1)公路长为千米;(2)CD=km.20、第一种钢板4张,第二种钢板8张或第一种3张,第二种9张.21、(1),;(2).22、(1)最小正周期为;(2)△ABC的面积的最大值为.【解析】1、试题分析:,即,,则B的范围是.考点:正余弦定理解三角形,基本不等式.【方法点睛】在利用正余弦定理解三角形时,知道三边之间的关系,一般情况下会选择余弦定理,此题求范围问题最容易与基本不等式结合,因为式子中出现平方和即.在由三角函数值的取值范围求角的取值范围时要注意画图象解决,并注意在三角形中角的范围是.2、试题分析:作出不等式组对应的平面区域,如图(阴影部分),则,,若过点A时取得最大值4,则.此时目标函数为,即,平移直线,当直线过点A时截距最大,此时z的最大值为4,符合题意.若过点B时取到最大值4,则,此时目标函数为,即,平移直线,当直线过点A时截距最大,此时z的最大值为6,不符合题意..考点:简单的线性规划.【名师点睛】本题主要考察线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域,然后确定目标函数的几何意义,通过数形结合确定目标函数何时取得最值.画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证,防止出现错误.3、试题分析:,,令,则,,由二次函数的知识知:二次函数的对称轴为,再由二次函数的单调性可得当时,取到最小值,当时取到最大值1.所以结果是B选项.考点:正弦函数的值域,二次函数在闭区间上的值域.4、试题分析:由题意可得,且不为0,则,化简得,,即,解得,因为所以.考点:三角函数的恒等变换.5、试题分析:,当时,,单调递减;当时,,单调递减,所以数列的最大项为第六项.考点:数列的单调性.6、试题分析:由数列递推公式可得,所以数列是以3为周期的数列,前200项有66个周期多两个,则.考点:数列求和.7、试题分析:,则,再由余弦定理得,所以.考点:三角形面积公式;正余弦定理解三角形.【名师点睛】在解决三角形的问题中,(1)面积公式最常用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来;(2)在三角形中,两边和一角知道,该三角形是确定的,其解是唯一的,利用余弦定理求第三边.(3)若是已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据大边对大角进行判断.(4)在三角形中,注意这个隐含条件的使用,在求范围时,注意根据题中条件限制角的范围.8、试题分析:;由基本不等式得,因为,所以等号不成立,所以;,综上.考点:不等式的性质.9、试题分析:说明函数是以为对称轴,而正弦型函数在对称轴的地方取到最大值或最小值,所以.考点:三角函数的性质.10、试题分析:由韦达定理得,再由等差数列下标和的性质可知.考点:等差数列下标和的性质.11、试题分析:等比中项有两个,,与两数的等比中项是.考点:等比中项的定义.12、试题分析:A选项:从图中可以看出乙车的行使速度大于40千米每小时的燃油效率大于5千米每升,故乙车消耗1升汽油的行驶路程大于5千米,所以错误;B选项以相同的速度行驶相同的路程,甲车消耗的汽油最小,B错;C选项:甲车以80千米每小时的速度行驶1小时,里程为80千米,燃油效率为10,故消耗8升汽油,C错误;D选项,因为在速度低于80千米每小时,丙的燃油效率高于乙的,所以D正确.考点:函数的图象和图象变化.13、试题分析:设,因为,则,作出不等式组的平面区域,.的几何意义是与连线斜率的取值范围,由图像可知OA的斜率最大,最大斜率为0,OB的斜率最小,最小斜率为,所以,则,令,构造函数,,函数在单调递减,在单调递增,所以当时函数取最小值,最小值为2,当时,函数取最大值,最大值为,所以最后结果是.考点:线性规划.【方法点睛】要充分理解目标函数的几何意义,诸如直线的截距、两点间的距离(或平方)、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率等.线性规划问题求解步骤:(1)确定目标函数;(2)作可行域;(3)作基准线(z=0时的直线);(4)平移找最优解;(5)求最值.此题的关键是看清目标函数的几何意义,并结合函数有关知识求最值.14、试题分析:,.考点:等差数列前n 项和公式及等差数列的下标和性质.方法点睛:(1)此题主要考察等差数列前n项和的公式及等差数列下标和的性质,熟练掌握公式是解决此题的基础;(2)解决此题的关键地方在于如何把数列的和转化为项和项之间的关系,可以看一下上边的转化过程,记忆此种题型的解题方法.15、试题分析:若数列是等比数列,则它的前n项和公式为,其中,此题,则.考点:等比数列前n项和.16、试题分析:由余弦定理得,,,则,.考点:正余弦定理解三角形,三角函数的值域.17、试题分析:(1)给出与的关系,求,常用思路:一是利用转化为的递推关系,再求其通项公式;二是转化为的递推关系,先求出与的关系,再求,需注意当时的讨论;(2)题目中当时,是等差乘以等比的形式,用错位相减来解决,运算过程一定要注意,这是易错点;(3)最后一问主要是恒成立问题,把它转化为求最值问题,即求的最值,可通过函数单调性来求.试题解析:解:(I)因为所以,,故当时,此时,,即,所以,(Ⅱ)因为,所以当时,所以当时,所以两式相减得所以②由知道递增,而当若对于恒成立,有考点:数列前n项和求数列的通项公式,错位相减求和,恒成立问题.【方法点睛】(1)一般地,如果数列是等差数列,是等比数列,求数列的前项的和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列的公比,然后做差求解.(2)恒成立问题一般需转化为最值,利用单调性证明在闭区间的单调性.而数列是一种特殊的函数,所以数列问题可以通过函数知识来解决.18、试题分析:(1)恒成立问题一般需转化为最值,利用单调性证明在闭区间的单调性.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法:一是利用二次函数在区间上的最值来处理;二是分离参数,再去求函数的最值来处理,一般后者比较简单.(2)注意讨论二次项系数是否为0,解含参的一元二次不等式需要从两根的大小以及开口方向以及判别式的正负进行判断.对参数进行的讨论是根据解题的需要自然引出的,并非一开始就对参数加以分类讨论.当二次项系数不含参数且能进行因式分解时,其解法较容易,只讨论根的大小.试题解析:解:(1)只需解得(2)当时得到当时,化为当时得到或当时得到当时得到或当时,化为当时得到当时得到当时得到考点:恒成立问题,含参的一元二次不等式的解法.【方法点睛】解含参一元二次不等式,常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解,这是解含参一元二次不等式问题的一个难点.解含参一元二次不等式时对参数的分类主要依据有三个因素:①比较两根大小;②判别式的符号;③二次项系数的符号.对参数进行的讨论是根据解题的需要而自然引出的,并非一开始就对参数加以分类讨论.当二次项系数不含参数且能进行因式分解时,其解法较容易,只讨论根的大小.解题关键是熟练掌握二次函数的图象特征,做到眼中有题,心中有图.19、试题分析:(1)此题为解三角形的应用问题,一般情况下要理解方向角、方位角、坡角等基本概念,并会通过已知条件正确画出图形,转化为解三角形问题;(2)此题第一问主要考察两边及一边对角的基本题型,这种情况下应注意解的取舍;(3)第二问是两角一边问题,应用正弦定理来解决;(4)计算过程需要注意,化简过程做到准确无误.试题解析:解:(1)在△ABD中,∠ADB=30°,AD=8 km,AB=5 km,设DB=x km,则由余弦定理得52=82+x2-2×8×x·cos30°,即x2-8x+39=0,解得x=4±3.∵4+3>8,舍去,∴x=4-3,∴这条公路长为(4-3)km.(2)在△ADB中,=,∴sin∠DAB===,∴cos∠DAB=.在△ACD中,∠ADC=30°+75°=105°,∴sin∠ACD=sin[180°-(∠DAC+105°)]=sin(∠DAC+105°)=sin∠DACcos105°+cos∠DACsin105°=·+·=.∴在△ACD中,=,∴=,∴CD=km.考点:解三角形的应用.20、试题分析:本题主要考察线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域,然后确定目标函数的几何意义,通过数形结合确定目标函数何时取得最值.画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证,防止出现错误.此题需特别注意第一种和第二种钢板均为整数,所以要找到最优整数解,一般的方法就是画网格.试题解析:解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,可得且x、y 都是整数,求使z=x+y取得最小值时的x、y.首先作出可行域,其次平移直线z=x+y,可知直线经过点(),此时x=,y=.z=x+y有最小值11,但(,)不是最优解.首先在可行域内打网格,其次推出点A(,)附近所有整点,接着平移直线l:x+y=0,会发现当平移至B(4,8)、C(3,9)时直线与原点的距离最近,即z的最小值为12.考点:线性规划的应用.21、试题分析:(1)等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用;(2)解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质,不要把两者的性质搞混了.(3)观测数列的特点形式,看使用什么方法求和.使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源和目的.试题解析:解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,因为S5=5a3=35,a5+a7=26,所以解得a1=3,d=2,所以a n=3+2(n-1)=2n+1,S n=3n+×2=n2+2n.(2)由(1)知a n=2n+1,所以b n===-,所以T n=++…+=1-=.考点:等差数列求通项公式及前n项和,裂项相消求数列的和.22、试题分析:(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2x ﹣)+,利用周期公式即可求得最小正周期.(2)由三角形面积公式可得,由,结合范围A∈(0,π),可得,由余弦定理可得:b2+c2=4+bc,利用基本不等式可得bc≤4,即可求得△ABC的面积的最大值.解:(1)∵,∴最小正周期T==π.(2),由=sin(2A﹣)+,可得:sin(2A﹣)=1,由A∈(0,π),2A﹣∈(﹣,),即可得:2A﹣=,得到,所以由余弦定理可得:cosA=,解得:c2+b2﹣4=bc,所以,b2+c2=4+bc,由于b2+c2≥2bc,所以4+bc≥2bc解得bc≤4,b=c=2取等号,所以△ABC的面积的最大值为.考点:余弦定理;两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法.。
2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题及参考答案
2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题一、选择题(该大题共12小题,每小题5分,共计60分) 1.下列图形中,表示⊆M N 的是 ( ▲ )2.120cos ︒= ( ▲ ) A.12-B.12C.32-D.223.下列命题正确的是 ( ▲ )A .向量AB 与BA 是两平行向量;B .若,a b 都是单位向量,则a b =;C .若AB =DC ,则A B CD 、、、四点构成平行四边形; D .两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同. 4.45154515cos cos sin sin ︒︒-︒︒= ( ▲ )A.22 B.32C.12D.12-5.如图,在ABC ∆中,D 是AC 的中点,向量AB a =,AC b =,那么向量BD 可表示为 ( ▲ ) A.b a 1122- B.a b 12-C.b a 12-D.a b 12-6.函数2212()()=+-+f x x a x 在区间(],4-∞上是递减的,则实数a 的取值范 ( ▲ ) A.3≤-a B.3≥-a C.5≤a D.5≥a 7.已知指数函数()xf x a =和函数2()g x ax =+,下列图象正确的是 ( ▲ )A. B. C. D.8.已知平面向量,a b ,8a =||,4||=b ,且,a b 的夹角是150︒,则a 在b 方向上的射影是 ( ▲ )A.4-B.43-C.4D.439.要得到函数2sin 2=y x 的图像,只需将2sin(2)6π=-y x 的图像 ( ▲ )A.向右平移6π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位D.向左平移12π个单位10.若平面向量(3,4)b =与向量(4,3)a =,则向量,a b 夹角余弦值为 ( ▲ )A.1225 B. 1225- C. 2425- D.2425 11.设()338x f x x =+-,用二分法求方程(),338012xx x +-=∈在内近似解的过程中得()()(),.,.,101501250f f f <><则方程的根落在区间 ( ▲ )A .(,.)1125B .(.,.)12515C .(.,)152D .不能确定12.若函数tan ,0(2)lg(),0x x f x x x ≥⎧+=⎨-<⎩,则(2)(98)4f f π+⋅-= ( ▲ )A.12B.12- C.2 D.2-二、填空题(共4小题,每小题5分,共计20分) 13.函数212()log ()=-f x x 的定义域是 ▲ .14.有一半径为4的扇形,其圆心角是3π弧度,则该扇形的面积是 ▲ . 15.已知平面向量(4,3)a =-和单位向量b ,且b a ⊥,那么向量b 为 ▲ . 16.关于函数sin (()42)3f x x =+π,(R)x ∈有下列命题: ①()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数;②()y f x =可改写为cos (6)42y x =-π; ③()y f x =的图象关于(0)6-,π对称; ④()y f x =的图象关于直线6x =-π对称; 其中正确的序号为 ▲ .M N D.N M C. M N B. MN A. o 2 1 y x2 1 oy x2 1 oyx2 1 oy xD C AB 第5小题三、解答题(共6小题,共计70分) 17.化简或求值:(1)log lg lg 223212732548--⨯++ (2)已知3sin ,054x x =<<π,求cos 2cos()4xx +π. 18.已知全集U R =,集合{}A x x =<<17,集合{}B x a x a 125=+<<+,若满足A B B =,求 (1)集合U C A ;(2)实数a 的取值范围.19.若平面向量(1,2)a =,(3,2)b =-, k 为何值时: (1)()(3)ka b a b +⊥-;(2)//()(3)ka b a b +-?20.设函数()2sin(2)(0)f x x =+<<ϕϕπ,()y f x =图象的一个对称中心是(,0)3π.(1)求ϕ;(2)在给定的平面直角坐标系中作出该函数在(0,)2x ∈π的图象;(3)求函数()1()f x x R ≥∈的解集21.已知函数2()3sin 22cos f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间;(2)将()f x 的图象向右平移12π个单位长度,再将周期扩大一倍,得到函数()g x 的图象,求()g x 的解析式.22.已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数(1)求a 值;(2)判断并证明该函数在定义域R 上的单调性;(3)若对任意的t R ∈,不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求实数k 的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题(该大题共12小题,每小题5分,共计60分)CAACC ADBDD BC二、填空题(共4小题,每小题5分,共计20分) 13. 2{|>x x ,且3}≠x 或者填(2,3)(3,)+∞ .14.83π. 15.34(,)55和 34(,)55--.16. ② ③ .三、解答题(共6小题,共计70分) 17.(本小题满分8分) 解:(1)原式=()lg lg 2193549-⨯-++=()lg 1931009-⨯-+=()19329-⨯-+=1113(2)3sin ,054x x π=<<2cos 1sin xx ∴=-=45227cos 2cos sin cos sin 72552222cos()cos sin 42222x x x x x x x x π-+∴====+-18.(本小题满分10分)解;(1)(,][,)U C A =-∞+∞17(2)A B B =B A ∴⊆(i )当B φ=时,由a a 251+≤+得a 4≤-(ii )当B φ≠时,由a a a a 11257125+≥⎧⎪+≤⎨⎪+<+⎩解得a 01≤≤a ∴的取值范围是(,][,]401-∞-.19.(本小题满分12分) 解:(1)a b (1,2),(3,2)==- ka b k k (3,22)∴+=-+ a b 3(10,4)-=-()(3)ka b a b +⊥-(k 3)10(2k 2)(4)0∴-⨯++⨯-=解得 k 19=(2)由(1)及//()(3)ka b a b +-得(k 3)(4)(2k 2)100-⨯--+⨯=解得 1k 3=-20.(本小题满分14分) 解: (1)(,)π03是函数()y f x = 的图像的对称中心sin()πϕ∴⨯+=2203()k k Z πϕπ∴+=∈23()k k Z πϕπ∴=-∈23(,)πϕπϕ∈∴=03()sin()f x x π∴=+223(2)列表:(3)()f x ≥1即sin()x π+≥2213sin()x π+≥1232解得,k x k k Z πππππ+≤+≤+∈5222636亦即,k x k k Z ππππ-+≤≤+∈124所以,()f x ≥1的解集是[,],k k k Z ππππ-++∈12421.(本小题满分12分)解:(1)依题意,得f x x x =++()3sin 2cos 21x x =++312(sin 2cos 2)122x π=++2sin(2)16将()y f x =的图像向右平移12π个单位长度,得到函数f x x x ππ=-++=+1()2sin[2()]12sin 21126的图像,该函数的周期为π,若将其周期变为π2,则得g x x =+()2sin 1 (2)函数f x ()的最小正周期为T π=,(3)当,k x k k Z πππππ-≤+≤-∈222262时,函数单调递增,解得,k x k k Zππππ-≤≤+∈36∴函数的单调递增区间为 [,],k k k Z ππππ-+∈36. 22.(本小题满分14分) 解:(1)由题设,需(),,()xxa f a f x +-==∴=∴=+112001212经验证,()f x 为奇函数,a ∴=1xπ12π3 π712 π56πx π+23 π3π2 ππ32π2π73 ()f x32-23(2)减函数.证明:任意,,,x x R x x x x ∈<∴->1212210由(1)得()()()()()x x x x x x x x f x f x --⨯--=-=++++2112212121121222212121212 ,x x x x x x <∴<<∴-<121212022220,()()x x ++>2112120()()f x f x ∴-<210所以,该函数在定义域R 上是减函数(3)由22(2)(2)0f t t f t k -+-<得f t t f t k -<--22(2)(2)()f x 是奇函数∴f t t f k t -<-22(2)(2),由(2),()f x 是减函数. ∴原问题转化为t t k t ->-2222,即t t k -->2320对任意t R ∈恒成立.∴k ∆=+<4120,解得k <-13即为所求.。
2015届福建省厦门市高三上学期期末质量检测理科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015届福建省厦门市高三上学期期末质量检测理科数学试卷(带解析)试卷副标题考试范围:xxx ;考试时间:69分钟;命题人:xxx学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________注意事项.1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)一、选择题(题型注释)1、设函数,则 ( ).A .B .C .D .2、椭圆E :的右焦点为F,直线与椭圆E 交于A,B 两点.若△EAB周长的最大值是8,则m 的值等于 ( ). A .0 B .1 C .D .23、在直角坐标系中,函数的图像可能是( ) .4、等差数列中,和是关于方程的两根,则该数列的前11项和( )A .58B .88C .143D .1765、函数的图形的一条对称轴经过点( ) .6、曲线与直线x=1,x=2及x 轴围城的封闭图形的面积是( ) .A .1B .3C .7D .87、已知向量若存在使得则m=( ) .A .0B .2C .0或2D .0或-28、已知命题则是( ).C. D.9、设集合则().A. B.C. D.10、已知l,m表示两条不同的直线,表示平面,下列说法正确的是() . A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则第II卷(非选择题)二、填空题(题型注释)11、已知且则的最大值等于 .12、在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,若直线L的极坐标方程为,圆C的参数方程为;,则圆心C到直线L的距离等于 .13、已知矩阵A且,则x+y= .14、已知数列中,,①当b=1时,=12;②存在,数列成等比数列;③当时,数列是递增数列;④当时数列是递增数列以上命题为真命题的是 .(写出所有真命题对应的序号)15、已知双曲线C:的渐近线与圆相切,则双曲线C的离心率等于 .16、三棱柱的三视图如图所示,则该棱柱的体积等于 .三、解答题(题型注释)17、已知则= .参考答案1、A2、B3、A4、B5、D6、C7、C8、9、D10、A11、12、113、314、①②③15、16、317、-3【解析】1、试题分析:由题根据所给函数取值进行分析判断即可.由题方法一:x=0时,,时,,;故选A.方法二:设,同理令可得..故选A方法三:由题根据泰勒公式和中值定理可得,故选A.考点:导数在研究函数问题中的应用2、试题分析:首先利用椭圆的定义建立周长的等式,进一步利用三角形的边长关系建立等式,求出相应的值,最后求出结果.椭圆E:的右焦点为F,N为左焦点,直线y=x+m与椭圆E交于A,B两点,则△EAB周长l=AB+BF+AF=AB+2a-NB+2a-NA=4a+(AB-NA-NB),,N、A、B三点共线时,所以椭圆的方程为:直线直线y=x+m 经过左焦点.所以:m=1故选B考点:椭圆的性质3、试题分析:由题意根据函数的奇偶性排除C,结合排除B、D,得到正确选项. 由题意∴图象关于原点对称,故排除C;当时,;故排除B、D;故选A.考点:函数的图像和性质4、试题分析:由题根据韦达定理和等差中项性质不难得到,然后求得数列的前11项和.由题根据韦达定理得到,故选B.考点:等差数列性质5、试题分析:先化简可得函数解析式为从而可求其对称轴方程,即可确定答案.∴令可得∴当k=0时,函数的图象的一条对称轴经过点,故选D.考点:二倍角公式,余弦函数的图像6、试题分析:首利用定积分的几何意义求解即可.由题意,,故选C.考点:定积分在求面积中的应用7、试题分析:根据向量的坐标运算和题意求出,利用向量相等的条件列出方程组,求出m的值即可;,故选C.考点:平面向量坐标运算8、试题分析:根据特称命题的否定是全称命题,即可得到结论.原命题为特称命题,故其否定为全称命题,故选D考点:命题的否定9、试题分析:由题根据所给集合满足条件化简集合,然后根据交集定义求解即可.,故选D 考点:交集运算10、试题分析:对四个命题分别进行判断,即可得出结论.对于A,若,则根据直线与平面垂直的性质定理知:,故A正确;对于B,若,则根据直线与平面垂直的判定定理知:不正确,故B不正确;对于C,,∴由直线与平面平行的性质定理知:l与m平行或异面,故C不正确;对于D,若,则l与m平行,异面或相交,故D不正确.故选:A.考点:空间中线线,线面,面面位置关系11、试题分析:∵x、y均为正数,且x+2y=2,∴由柯西不等式可得当且仅当时,取等号.故所求式子最大值为考点:函数最值及其几何意义12、试题分析:利用消去参数将圆C的参数方程化成直角坐标方程,再将直线l的极坐标方程也化成直角坐标的方程,把圆C与直线l的方程组成方程组解出对应的方程组的解,即得到交点坐标.由圆C的参数方程消去参数化为普通方程,直线l的极坐标方程为,的直角坐标方程为:x=1;所以圆心C到直线l的距离等于1.故答案为:1.考点:参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.13、试题分析:由题根据矩阵运算首先求得A的逆矩阵,然后根据矩阵的乘法性质不难得到x,y对应的值,求得结果.由题.考点:矩阵运算14、试题分析:①由题根据所给条件直接验证即可;②假设存在满足条件的值,根据等比数列定义分析,然后根据所给条件利用系数相等求得对应的即可;③④由题根据所给条件应用累加法不难得到数列的单调性,从而判断对应命题的真假;①当b=1时,易知,故①对;②若为等比数列,设公比为q,则,,故存在使数列为等比数列;故②对;③由题可得,,所以b>1时,数列为递增数列;故③对;④由题可得所以,当时数列是递减数列,故④错.考点:等比数列的性质,数列与函数的关系15、试题分析:根据双曲线的渐近线与圆E :相切⇔圆心(5,0)到渐近线的距离等于半径r=3,利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出.设的一条渐近线bx-ay=0.所给圆的圆心(5,0),半径r=3.∵渐近线与圆E:相切. 故答案为考点:双曲线的简单性质16、试题分析:由三棱柱的三视图可得原三棱柱的底面边长及高,三棱柱的高为2,求出底面三角形的面积,然后直接由棱柱的体积公式求体积.由棱柱的三视图可得原三棱柱的底面边长为2,底边上的高为1.故棱柱的底面面积棱柱的高h=3,故棱柱的体积V=Sh=3,故答案为:3考点:由三视图求面积,体积17、试题分析:由条件求得,然后运用和角公式求解即可..考点:三角函数化简求值。
高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题:共10题1.下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a=0时,函数y=xα的图象是一条直线C.若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y=xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知,A错误;当x=0时,y=0,故B错误;令a=-1,则y=x-1,显然C错误;故D正确.2.如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3.下列关于函数y=f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,f(x)=0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知,零点是曲线与x轴交点的横坐标,故①错误;当f(a)=0时,无法用二分法求解,故②错误;显然,③正确;若f(x)=2x-x-1,在区间(-1,1)上的零点,用二分法,可得f(0)=0,显然,④错误.4.如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC=,SA=SB=SC=AB=BC=2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D,连接BD、DE,则,是异面直线AC与BE所成的角或补角,由题意可得BD=BE=,DE=,即三角形BDE是等边三角形,所以5.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角,考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1,则AC⊥BE,A正确,不选;易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD,则EF∥平面ABCD,B正确,不选;因为平面BEF即是平面BDD1B1,所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值,故C正确,不选;故选D.6.若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时,函数是减函数,最多只有1个零点,不符合题意,故排除A、D;令,易判断函数在区间上分别有一个零点,故排除C,所以B正确.7.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8.已知直线(1+k)x+y-k-2=0过定点P,则点P关于直线x-y-2=0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2=0整理为:k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则,则x=3,y=-1,故答案:C.9.如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和.过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则=A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角,考查了空间想象能力.根据题意,由面面垂直的性质定理可得,,则,则AB=2,则10.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0 C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0),则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为:4-k,1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-,即k=-2时,等号成立,则直线的方程为2x+y-6=0二、填空题:共5题11.已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx+2y+8=0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________.【答案】2x-y-4=0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx+2y+8=0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1,直线: x+2y-1=0,根据题意,设所求直线方程为2x-y+t=0,将点A(3,2)代入可得t=-4,即:2x-y-4=012.用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意,直观图中,梯形的下底长为5,一腰长为,则易求上底为3,高为1,面积为,所以原四边形的面积是13.已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________.【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积,考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体,由题意,可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体,所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线,所以2r=,则该三棱锥的外接球的表面积为S=14.已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________.【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知:,求解可得15.甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动,其路程关于时间的函数关系式分别为,,,,有以下结论:①当时,甲走在最前面;②当时,乙走在最前面;③当时,丁走在最前面,当时,丁走在最后面;④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲.其中,正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为,,所以,所以时,乙在甲的前面.②错误.因为,,所以,所以时,甲在乙的前面.③正确.当时,,的图象在图象的上方.④正确.当时,丙在甲乙前面,在丁后面,时,丙在丁前面,在甲、乙后面,时,甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快,x充分大时,的图象必定在,,上方,所以最终走在最前面的是甲.三、解答题:共5题16.如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2)).(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积.【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)=.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积,考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知,则结果易得.17.已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2.【答案】设点的坐标为.∵.∴的中点的坐标为.又的斜率.∴的垂直平分线方程为,即.而在直线上.∴.①又已知点到的距离为2.∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或.∴点在直线或上.∴或②∴①②得:或.∴点或为所求的点.【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为,求出统一线段AB的垂直平分线,即可求出a、b的一个关系式;由题意知,点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:,求出m的值,又得到a、b的一个关系式,两个关系式联立求解即可.18.(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为,将y =1代入圆的方程,利用韦达定理,求出D 、E 、F 的一个关系式,再由点O 、Q 在圆上,联立求出D 、E 、F 的值,即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2),由题意:,又,化简求解即可得到结论.19.如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC =60°,PA =AB =BC ,E 是PC 的中点.C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值.【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD=A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC=A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD=C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示.由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角.由已知,可得∠CAD=30°.设AC=a,可得PA=a,AD=a,PD=a,AE=在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD=PA·AD,则AM==.在Rt△AEM中,sin∠AME==.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角,考查了空间想象能力.(1)根据题意,证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角,则易求结果;(2)由题意,易证CD⊥平面PA C,可得AE⊥C D,由题意易知AC=PA,又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C,则结论易证;(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示,由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD,因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角,则结论易求.20.诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加.假设基金平均年利率为r=6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元.设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由.(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)=f(1)(1+6.24%)-f(1)·6.24%=f(1)×(1+3.12%),f(3)=f(2)×(1+6.24%)-f(2)×6.24%=f(2)×(1+3.12%)=f(1)×(1+3.12%)2,∴f(x)=19800(1+3.12%)x-1(x∈N*).(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)=19800(1+3.12%)9=26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻.【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)=f(1)(1+6.24%)-f(1)·6.24%,f(3)=f(2)×(1+6.24%)-f(2)×6.24%,化简,即可归纳出函数f(x)的解析式;(2)根据题意,求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10),再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%,即可判断出结论.。
厦门市2015-2016学年度第二学期高一年级质量检测数学试题定稿-1
第 1 页 共 8 页厦门市2015 - 2016学年度第二学期高一年级质量检测数 学 试 题试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分.满分150分,考试时间120分钟参考公式:锥体体积公式:V =13Sh 其中S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式:V =Sh 其中S 为底面面积,h 为高球的表面积、体积公式:24S R π=,343V R π= 其中R 为球的半径第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.7cos6π= A.2- B .12- C .12D.22.已知向量(1,2)a =,向量(,2)b x =-,且()a a b ⊥-,则实数x 等于A .4-B .1-C .4D .93.已知圆1C :221x y +=,圆2C :224640x y x y ++-+=,则圆1C 与圆2C 的位置关系是 A .外离B .相切C .相交D .内含A .B .C .D .5.已知O 为坐标原点,点A 的坐标为(3,4)-,将线段OA 绕点O 逆时针旋转2π至OB , 则点B 的纵坐标为 A .4-B .3-C .3D .4第 2 页 共 8 页 6.为了得到函数22cos y x =的图象,可以将函数1cos y x =+图象上所有的点 A .横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 B .横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 C .纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变D .纵坐标缩短到原来的12倍,横坐标不变7.已知直线α平面⊥l ,直线β平面⊂m ,下列命题中正确的是 A .α∥l β⇒∥m B .m l //⇒⊥βα C .βα⊥⇒m l //D .βα⊥⇒⊥m l8.在ABC ∆中,||1AB =,||3AC =,60BAC ∠=,则||BC = A .1BC .3D9.如图,长方体''''D C B A ABCD -中,'3,4,5AA AB AD ===,,E F 分别是线段'AA 和AC 的中点,则异面直线EF 与'CD 所成的角是 A .30 B .45 C .60D .9010.直线:3440l x y ++=与圆C :22(2)9x y -+=交于A ,B 两点,则cos ACB ∠=A .19-B .19C .23-D .2311.如图,等腰直角三角形ABC 中,90BAC ∠=,D 为BC 的中点,BE 平分ABC ∠,AD 与BE 交于点P ,若AP AB AC λμ=+,则λ等于A .12B1CD12.如图,一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2,AD ,BC 是圆台的两条母线(四边形ABCD 是经过轴的截面).一只蚂蚁从A 处沿容器侧面(含边沿线)爬到C 处,最短路程等于 A. B .2π+ C.3π+D.43π+B第 3 页 共 8 页第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知1sin cos 3θθ+=,则sin 2θ= ▲ . 14.已知斜率为2的直线l 经过点(1,3)P ,将直线l 沿x 轴向右平移m 个单位得到直线'l .若点(2,1)A 在直线'l 上,则实数m = ▲ .15.已知||1a =,||3a b +=,||2b =,则a 在b 方向上的投影等于 ▲ . 16.如图,在三棱锥BCD A -中,AB BCD ⊥底面,BC CD ⊥,2===CD BC AB ,该三棱锥外接球的表面积等于 ▲ .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知()()()0,0,2,1,1,2O A B -. (Ⅰ)求OAB ∆的面积;(Ⅱ)若点C 满足直线BC ⊥AB ,且AC ∥OB ,求点C 的坐标. 18.(本小题满分12分)长方体截去一个三棱锥后的直观图和部分三视图如图所示. (Ⅰ)画出这个几何体的俯视图,并求截面AEF 的面积;(Ⅱ)若M 为EF 的中点,求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.19.(本小题满分12分)已知函数()sin cos f x A x x =+,0A >. (Ⅰ)若1A =,求()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)函数()f x 在0x x=处取得最大值0cos x 的值.F E AG D CB第 4 页 共 8 页20.(本小题满分12分)在四棱锥ABCD P -中,ABCD PA 平面⊥,底面ABCD 为平行四边形, 1=AB ,3=AC ,2AD =.,M N 分别为棱,PA BC 的中点. (Ⅰ)求证:MN ∥平面PCD ;(Ⅱ)若二面角P CD B --等于30,求四棱锥ABCD P -的体积.21.(本小题满分12分)如图,已知函数()sin()(0)24f x m x m ππ=+>的图象在y 轴右侧的最高点从左到右依次为123,,,B B B ,与x 轴正半轴的交点从左到右依次为123,,,C C C .(Ⅰ)若1m =,求111OB B C ⋅;(Ⅱ)在11233521,,,,,(1,2,3,)ii OBC OB C OB C OBC i -∆∆∆∆=中,有且只有三个锐角三角形,求实数m 的取值范围.22.(本小题满分12分)已知动点M 与两点12(,0),(2,0)2rP P r 的距离之比为12,0r >. (Ⅰ)求动点M 的轨迹Γ的方程;(Ⅱ)已知菱形ABCD 的一个内角为60,顶点,A B 在直线:23l y x =+上,顶点,C D 在Γ上.当直线l 与Γ无公共点时,求菱形ABCD 的面积S 的取值范围.第 5 页 共 8 页厦门市2015 - 2016学年度第二学期高一年级质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1~5:ADCAC 6~10:BCBBA 11~12:DC 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.89- 14.2 15.12-16.12π 三、解答题:本大题共6小题,共70分.17.本小题考查直线与方程的概念及直线平行与垂直的判定等基础知识,考查运算求解能力,考查方程思想与数形结合的数学思想.本题满分10分. 解:(Ⅰ)解法一:连接,OA 101,202OA OB k k --==-=-1OA OB k k ∴⋅=-,即OA ⊥···················(()(2,1,OA OB =-=2OA OB ⋅=-又5,OA OB == (1522)ABC S OA OB ∆∴==····················解法二:3AB k =-的方程为2y -原点O 到直线AB 的距离0510d -=,又10AB =, ····························································································· 4分 1522ABC S d AB ∆∴=⋅=. ····················································································· 5分(Ⅱ)解法一:C A ∥,2AC OB k k OB =∴=, ···························································· 6分 则直线AC 的方程为()122y x +=-,即250x y --=, ········································ 7分 B BC A ⊥,113BC AB k k ∴=-=, ······································································· 8分 则直线BC 的方程为()1213y x -=-,即350x y -+=, ········································· 9分 联立直线方程:250350x y x y --=⎧⎨-+=⎩,可得点()4,3C . ··················································· 10分 解法二:设点(),C x y ,()()2,1,1,2AC x y BC x y ∴=-+=--, ····························· 6分 又()()1,3,1,2,AB OB =-= ················································································ 7分 0BC AB ⋅=,且OB ∥AC ,()()()()13202210x y x y --+-=⎧⎪∴⎨--+=⎪⎩,解得350250x y x y -+=⎧⎨--=⎩,·················································· 9分 可得点()4,3C . ································································································ 10分第 6 页 共 8 页OM F E A G DCB18.本题考查几何体的直观图与三视图及线面角等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力,考查化归与转化等数学思想方法. 本题满分12分.解:(Ⅰ)俯视图如图所示 ························································································ 2分(必须长对正,高平齐,宽相等.否则不给分)由勾股定理计算得22==BD EF , ·································································· 3分 在Rt △ADE 中,52=AE , ············································································· 4分 在Rt △ABF 中,52=AF , ············································································ 5分可知AEF ∆为等腰三角形,其面积为6. ································································· 6分(Ⅱ)如图,连接AC 与BD 交于O 点,由直观图和三视图可知MO ∥DE ,则⊥MO 平面ABCD , ····································· 8分所以AM 在平面ABCD 上的射影为AC ,所以MAC ∠为线AM 与平面ABCD 所成的角, ···················································· 10分 由三视图可知,15,22AO AC MO ==, ······························································· 11分 所以552tan ==∠AO MO MAC ,故直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为552. ···· 12分19.本题主要考查三角恒等变换、三角函数图象与性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化数学思想.本题满分12分. 解:(Ⅰ)当1A =时, ()sin cos f x x x =+2(sin coscos sin )44x x ππ=+ ········································· 1分2)4x π=+ ····························································· 2分 令22,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈时, ·························································· 3分 解得322,44k x k k Z ππππ-+<<+∈, ······························································· 4分 所以()f x 的单调递增区间为32,2()44k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭. ··································· 5分 (Ⅱ)∵()y f x =在0x x =13∴()sin cos f x A x x =+21sin()A x ϕ=++, ····················································· 6分 2113A +=, ·························································································· 7分 又∵0A >,∴23A = ················································································· 8分注:写成闭区间同样给分.第 7 页 共此时,cos ,sin 1313ϕϕ==,·································································· 10分 02,2x k k Z πϕπ+=+∈,02,2x k k Z ππϕ=+-∈, ············································ 11分 ∴0cos cos(2)2x k ππϕ=+-cos()2πϕ=-=sin ϕ=······································· 12分20.本题考查线面平行的判定、二面角及体积计算等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归转化思想.本题满分12分. (Ⅰ)证法一:取PD 中点E ,连接CE ,EM ,由已知得NC ∥AD 且12NC AD =,································· 1分 在PAD ∆中,由中位线定理,ME ∥AD 且12ME AD =, ···· 2分 ∴NC ∥ME 且NC ME =, ············································ 3分∴四边形MNCE 为平行四边形,∴//MN CE ························· 4分 CE ⊂平面PCD ,MN ⊄平面PCD ,∴//MN 平面PCD ···· 6分 证法二:取AD 中点F ,连接MF ,NF ,M ,N 分别是P A ,BC 的中点,//NF CD ∴ ·························· 1分 又CD ⊂平面PCD ,NF ⊄平面PCD , ∴//NF 平面PCD , ························································· 3分 同理可证://MF 平面PCD , ··········································································· 4分MF NF F =,∴平面//MNF 平面PCD , ···················································· 5分 MN ⊂平面MNF ,∴ //MN 平面PCD ·························································· 6分 (Ⅱ)解:222AB AC AD +=,由勾股定理,∴CD AC ⊥PA ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,∴PA CD ⊥PA AC A = ∴CD ⊥平面PAC , ······························································· 8分 PC ⊂平面PAC ∴CD ⊥PCCD AC ⊥,CD ⊥PC ,AC PC C =,∴ACP ∠是二面角P CD B --的平面角,即30ACP ∠= ······································ 10分 ∴在Rt PAC ∆中,1PA =,1233P ABCD ACD V S PA -∆∴=⨯⋅⋅=. ···································································· 12分21.本题考查形如()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的函数的图象及性质、向量及其运算和不等式等基础知识,考查分析和解决问题、运用向量运算和解不等式等运算求解的能力,考查数形结合、特殊到一般、化归与转化等数学思想.本题满分12分.解:(Ⅰ)1m =,函数()sin()24f x x ππ=+,1113(,1),(,0)22B C , ············································ 2分1111(,1),(1,1)2OB B C ∴==-, ·················································································· 3分11111122OB B C ∴⋅=-=-.····················································································· 4分(Ⅱ)在21(1,2,3,)i i OBC i -∆=中2121,i i i i BOC OC B --∠∠均为锐角,只需讨论21i i OBC -∠, ················ 5分 由三角函数性质得2175(4,),(4,0)22ii B i m C i ---(1,2,3,)i =· 7分 217(4,),(1,)2i i i B O i m B C m -∴=-+-=-, ························· 8分221742i i i B O B C i m -∴⋅=-++,(1,2,3,)i =. ··················· 9分第 8 页 共 8 页221742i i i B O B C i m -⋅=-++关于i 是减函数, ···························································· 10分 只需3354470,0OB B C OB B C ⋅>⋅≤即227430274402m m ⎧-⨯++>⎪⎪⎨⎪-⨯++≤⎪⎩, ··············································· 11分 解得2172522m <≤3452m < 3452m <≤112335,,,OBC OB C OB C ∆∆∆中,有且只有三个锐角三角形. ··············· 12分 22.本题考查直接法求轨迹方程、函数性质、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合、化归与转化等数学思想.本题满分12分. 解:(Ⅰ)依题意,设(,)M x y ,由1212MP MP =2222()122(2)rx y x r y-+=-+, ··························································· 2分 整理得222x y r +=,所以动点M 的轨迹Γ的方程为222x y r +=. ··························································· 4分 (Ⅱ)如图所示,不妨设60ABC ∠=.设:2CD y x m =+,则l 与CD 的距离135m d -=·············································································· 5分 原点O 到CD 的距离25m d =由垂径定理知,22222225m CD r d r =-=- ····················································· 6分又由60ABC ∠=可知132d CD = 2233255m m r -=-,整理得2246915m m r -+= ··································· 7分 又因为直线l 与曲线Γ0035r ++>,所以350r << ·················· 8分所以22946915155m m r -+=<⨯,即22390m m --<,解得332m -<<, ··························································································· 9分因为菱形ABCD 的一个内角为60,所以所求22211(3)23(3)51533m S CD d m -=⨯===-, ···························· 10分 所以2730S <<························································································ 12分。
2015-2016学年福建省厦门一中高一6月月考数学试题(解析版)资料
2015-2016学年福建省厦门一中高一6月月考数学试题一、选择题1.直线033=-+y x 的倾斜角是( ) A .6π B .3πC .32πD .65π【答案】D【解析】试题分析:直线的斜率30x k +-===倾斜角为65π【考点】直线的斜率与倾斜角的关系2.已知)2,0,4(A ,)2,6,2(-B ,点M 在x 轴上,且到B A ,两距离相等,则M 的坐标为( )A .)0,0,6(-B .)0,6,0(-C .)6,0,0(-D .)0,0,6( 【答案】A【解析】试题分析:因为点M 在x 轴上,故设(),0,0M x ,又MA MB =即6x ==-,(6,0,0)M -【考点】空间两点间距离公式 3.31)2cos(=-απ,则=-)2cos(απ( ) A .924-B .924 C .97- D .97【答案】C【解析】试题分析:()2117cos()sin cos(2)cos 212sin 2339πααπααα-=∴=∴-=-=--=-【考点】同角三角函数基本关系式,二倍角公式4.若直线02)1(=-++y m x 和直线082=++y mx 平行,则m 的值为( ) A .1 B .2- C .1或2- D .32- 【答案】C【解析】试题分析:显然0m ≠,则直线02)1(=-++y m x 和直线082=++y mx 平行即1121228m m m m +-=≠∴==-或 【考点】直线与直线平行5.平面上四个点C B A P ,,,满足AB AC PC 2=-,且PB PA λ=,则实数λ的值为( )A .2B .32C .23D .3 【答案】B【解析】试题分析:222,33PC AC PC CA PA AB PA PB λ-=+==∴== 【考点】共线向量6.已知四面体ABCD 中,F E ,分别是BD AC ,的中点,若4=AB ,2CD =,AB EF ⊥,则EF 与CD 所成角的度数为( )A . 90B . 45C . 60D . 30 【答案】D【解析】试题分析:设G 为AD 的中点,连接GF GE ,,则GF GE ,,分别为ABD ACD ,的中位线.由此可得GFAB ,且112GF AB ==,GE CD ,且122GE CD FEG ==∴∠,或其补角即为EF 与CD 所成角.又,GF AB EF GF EF AB ⊥∴⊥,,因此,Rt EFG 中,12GF GE ==,,由正弦的定义,得12GF sin GEF GE ∠==,可得30GEF ∠=︒. ∴EF 与CD 所成的角的度数为30故选:D 【考点】异面直线所成的角7.函数)sin()(ϕ+=x A x f )0(>A 在3π=x 处取得最小值,则( )A .)3(π+x f 是奇函数 B .)3(π-x f 是奇函数 C .)3(π+x f 是偶函数 D .)3(π-x f 是偶函数【答案】C【解析】试题分析:因为函数)sin()(ϕ+=x A x f )0(>A 在3π=x 处取得最小值∴直线3π=x 是()f x 的一条对称轴.∴将()f x 的函数图象向左平移3π个单位后关于y 轴对称, ∴)3(π+x f 是偶函数 故选C .【考点】正弦函数的图像 8.《九章算术》中,将底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中虚线平分矩形的面积,则该“堑堵”的表面积为( )A .224+B .2C .244+D .246+【答案】【解析】试题分析:由题意及三视图可知,该棱柱底面为等腰直角三角形,其斜边上的高为1,则斜边长为2 ,直角边长为,则其表面积为12222262S =⨯⨯+=+【考点】三视图,几何体的表面积9.设D 为ABC ∆所在平面内一点,3=,则( )A .3431-=B .3431+-= C .3134+= D .3134-=【答案】B【解析】试题分析:()441433333BC CD AD AB BD AB BC CD AB BC AB AC AB AB AC =∴=+=++=+=+-=-+ 选B【考点】向量的运算10.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高cm 8,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为cm 6,如不计容器的厚度,则球的表面积为( )A .π100B .3500πC .π50D .π200 【答案】A【解析】试题分析:设正方体上底面所在平面截球得小圆M ,则圆心M 为正方体上底面正方形的中心.如图.设球的半径为R ,根据题意得球心到上底面的距离等于()2R cm -, 而圆M 的半径为4,由球的截面圆性质,得222224100R R R ππ=-+∴=(),R=5,S=4,故选A .【考点】球的简单性质11.设当θ=x 时,x x x f cos 2sin )(-=取得最大值,则θcos 的值为( )A .552 B .55 C .552- D .55- 【答案】C【解析】试题分析:()()sin 2cos f x x x x α=-=-(其中sin αα==, ∵θ=x 时,函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值,1sin θα∴-=(),即12sin sin cos θαθθ∴-=∴-=()又221sin cos θθ+=,联立得(22215cos cos cos θθθ+=∴=-, C 【考点】两角和与差的正弦函数,同角三角函数间的基本关系式12.在直角坐标系xoy 中,全集},|),{(R y x y x U ∈=,集合}20,1s i n )4(c o s |),{(πθθθ≤≤=-+=y x y x A ,已知集合A 的补集A C U 所对应区域的对称中心为M ,点P 是线段)0,0(8>>=+y x y x 上的动点,点Q 是x 轴上的动点,则MPQ ∆周长的最小值为( )A .24B .104C .14D .248+ 【答案】B【解析】试题分析:∵点(0,4)到直线c o s (4)s i x y θθ+-=的距离1d ==,∴直线c o s (4x y θθ+-=始终与圆()2241x y +-=相切, ∴集合A 表示除圆()2241x y +-=以外所有的点组成的集合, ∴集合A C U 表示圆()2241x y +-=,其对称中心()0,4M如图所示:设M '是点()0,4M 关于直线线段)0,0(8>>=+y x y x 的对称点,设M a b '(,),则由1 044282a b a b ⎧⎪⎪⎨++⎪+=⎪-⎩-=求得4 8a b =⎧⎨=⎩,可得M '(4,8). 设M '关于x 轴的对称点为M m n "(,),易得M "(4,-8),则直线QM ',和线段的交点为P ,则此时,M P ∆的周长为MP PQ QM PM PQ QM M Q QM M Q QM M M ''''''++=++=+=+==,为最小值,故选B .【考点】补集的概念,点关于直线的对称点的坐标,线段的中垂线的性质,三点共线的性质等二、填空题13.已知等腰直角三角形ABC ∆的斜边为BC ,则向量AB 与夹角的大小为 . 【答案】34π 【解析】试题分析:由向量夹角的定义可知与夹角为34π 【考点】向量夹角的定义14.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上,且6=AB ,32=BC ,则棱锥ABCD O -的体积为 .【答案】【解析】试题分析:矩形的对角线的长为:,所以球心到矩形的2,所以棱锥ABCD O -的体积为:1623⨯⨯= 【考点】棱锥的体积,球的简单性质15.若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同点到直线l :0=+-b y x 的距离为22,则b 的取值范围是 . 【答案】22b -≤≤【解析】试题分析:圆0104422=---+y x y x 整理为222218x y -+-=()(),∴圆心坐标为22(,),半径为要求圆上至少有三个不同的点到直线l :0=+-b y x 的距离为22则圆心到直线的距离22d b =≤∴-≤≤.【考点】直线与圆的位置关系16.已知函数k x kx x f 234)(2-+--=有两个零点1x ,2x ,则||21x x k -+的取值范围是 【答案】]100331,125(【解析】试题分析:由题意得,半圆y =和直线23y kx k =-+有两个交点,又直线23y kx k =-+过定点23C (,),如图:当直线在AC 位置时,斜率303224k -==+. 当直线和半圆相切时,由半径2=解得512k =,故实数k 的取值范围是]53124(,,又12||k x x k +-=,则由32kx k +-理得()()()2221222324125123241250,11k k k k k x k k x k k x x x x k k --+++-+-+=∴+=-=++代入上式,结合53124]∈k (,,,可得||21x x k -+的取值范围是]100331,125( 【考点】函数的零点三、解答题17.如图,已知三角形的顶点为)4,2(A ,)2,0(-B ,)3,2(-C ,(1)求AB 边上的中线CM 所在直线的方程;(2)求ABC ∆的面积.【答案】(1)0532=-+y x ;(2)11S =【解析】试题分析:(1)求出AB 的中点坐标,利用两点式,可得AB 边上的中线所在的直线方程.(2)求出AB 的长,利用两点间距离公式求得三角形的高,则ABC ∆的面积可得 试题解析:(1)AB 中点M 的坐标是)1,1(M ,中线CM 所在直线的方程是121131---=--x y ,即0532=-+y x (2)102)42()20(22=--+-=AB ,直线AB 的方程是023=--y x点C 到直线AB 的距离是101113|23)2(3|22=+---⋅=d ,所以A B C ∆的面积是1121=⋅=d AB S 【考点】直线的方程,两点间距离公式18.如图,在三棱柱中,侧棱⊥1AA 底面ABC ,且3=AC ,4=BC ,5=AB ,41=AA ,点D 是AB 的中点.(1)求证://1AC 平面1CDB ; (2)求证:1BC AC ⊥;(3)求直线1AB 与平面C C BB 11所成角的正切值.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)823 【解析】试题分析:(1)设11BC B C O ⋂=,由三角形的中位线性质可得OD AC 1,从而利用线面平行的判定定理证明1AC CDB 平面1.(2)利用勾股定理证明BC AC ⊥,证明1C C ABC ⊥底面,可得C C AC 1⊥,由线面垂直的判定定理证得⊥AC 平面1BCC ,从而证得1BC AC ⊥; (3)证明C AB 1∠是直线1AB 与平面11BCC B 所成的角,则其正切值可求试题解析:(1)令11BC B C O ⋂=,连接OD ,∵D O ,分别是1BC 和AB 的中点,∴OD 平行且等于1AC ,又⊂OD 平面1CDB ,⊄1AC 平面1CDB ,所以//1AC 平面1CDB .(2)证明:∵3=AC ,4=BC ,5=AB ,∴90=∠ACB ,即BC AC ⊥,在直三棱柱111C B A ABC -中,C C AC 1⊥,又C C C BC =1 ,∴,又⊂1BC 平面1BCC ,所以1BC AC ⊥.(3)由(2)得⊥AC 平面11BCC B ,∴直线C B 1是斜线1AB 在平面11BCC B 上的射影,∴C AB 1∠是直线1AB 与平面11BCC B 所成的角,在C AB Rt 1∆中,241=C B ,3=AC ,所以823243tan 1==∠C AB ,即直线1AB 与平面C C BB 11所成角的正切值为823. 【考点】直线与平面的位置关系,直线与平面所成的角19.如图,以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴相交于点A ,点P B ,在单位圆上,且)552,55(-B ,α=∠AOB .(1)求ααααsin 3cos 5sin 3cos 4+-的值;(2)若四边形OAQP 是平行四边形,(i )当P 在单位圆上运动时,求点O 的轨迹方程;(ii )设θ=∠P O A (πθ20≤≤),点),(n m Q ,且n m f 3)(+=θ.求关于θ的函数)(θf 的解析式,并求其单调增区间.【答案】(1)10-;(2)(i )1)1(22=+-y x ;(ii )()2sin()16f πθθ=++,)(θf 的增区间为]3,0[π和]2,34[ππ【解析】试题分析:(1)由三角函数定义得2tan -=α,则4c o s 3s i n43t a n 5c o s 3s i n53t a nαααααα--=++可求; (2)∵PA 与OQ 互相平分,(i )设PA 中点为H ,),(11y x P ,),(y x Q ,利用代入法可求点O 的轨迹方程;(ii )依题意得⎩⎨⎧==θθsin cos 11y x ,又由(i )知⎩⎨⎧=-=n y m x 111,∴⎩⎨⎧=+=θθsin 1cos n m ,∴()cos 1f θθθ=+,则利用辅助角公式,可求其单调增区间 试题解析:(1)由三角函数定义得2tan -=α,所以原式10110tan 35tan 34-=-=+-=αα.(2)∵四边形OAQP 是平行四边形,所以PA 与OQ 互相平分,(i )设PA 中点为H ,),(11y x P ,),(y x Q ,则12121=+y x ,)2,21(11y x H +,又)2,2(yx H ,所以⎩⎨⎧=-=y y x x 111,代入上式得点Q 的轨迹方程为1)1(22=+-y x . (ii )依题意得⎩⎨⎧==θθsin cos 11y x ,又由(i )知⎩⎨⎧=-=n y m x 111,∴⎩⎨⎧=+=θθsin 1cos n m ,∴1)6sin(21sin 3cos )(++=++=πθθθθf∵⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈+≤+≤-πθπππθππ20,22622Z k k k ,∴ 30πθ≤≤或πθπ234≤≤, ∴)(θf 的增区间为]3,0[π和]2,34[ππ. 【考点】三角函数的定义,代入法求轨迹方程,三角函数的性质20.一台风中心于某天中午12:00在港口O 的正南方向,距该港口2200千米的海面A 处形成(如图),并以每小时a 千米的速度向北偏东45方向上沿直线匀速运动,距台风中心5100千米以内的范围将受到台风的影响,请建立适当的坐标系.(1)当台风中心离港口O 距离最近时,求该台风所影响区域的边界曲线方程; (2)若港口O 于当天下午17:00开始受到此台风的影响,(i )求a 的值;(ii )求港口O 受该台风影响持续时间段的长.【答案】(1)该台风影响区域的边界曲线方程为圆:50000)2100()2100(22=++-y x ;(2)持续时间段的长为10小时. 【解析】试题分析:(1)依题,建立适当的直角坐标系,过O 作台风中线运动的直线L的垂线,垂足为H ,当台风中心离港口O 距离最近时,该台风影响区域的边界曲线方程为圆:50000)2100()2100(22=++-y x ;(2)依题意知台风形成后5小时开始影响港口,记以O 为圆心,5100为半径的圆与L 相交于N M ,两点(M 离A 近),可求得100=HM ,则100=AM ,1005=a ,2002==HM MN ,所以持续时间段的长为1020200=小时 试题解析:(1)以O 为原点,正东方向为x 正半轴,如图建立直角坐标系,则)2200,0(-A过O 作台风中线运动的直线L 的垂线,垂足为H ,依题意得:200=OH ,OH :x y -=,AH :2200-=y ,联立求得交点)2100,2100(-H ,当台风中心离港口O 距离最近时,该台风影响区域的边界曲线方程为圆:50000)2100()2100(22=++-y x(2)依题意知台风形成后5小时开始影响港口,记以O 为圆心,5100为半径的圆与L 相交于N M ,两点(M 离A 近),因为5100,200==OM OH ,所以100=HM ,又200=AH ,所以100=AM ,于是1005=a ,得20=a ,又2002==HM MN ,∴1020200=,所以持续时间段的长为10小时. 【考点】实际应用问题21.已知1≥a ,a x a a x x f 2)cos )((sin )(+--=.(1)求当1=a 时,)(x f 的值域;(2)若函数)(x f 在],0[π内有且只有一个零点,求a 的取值范围.【答案】(1))(x f 的值域为]2,23[-;(2)121+<≤a 或262+=a .【解析】试题分析:(1)当1=a 时,()sin cos sin cos 1f x x x x x =-++-x x t cos sin +=,则2)1(212121)(22+--=+-+--=t t t t g ,]2,2[-∈t ,可求)(x f 的值域;(2)a a x x a x x a x a a x x f 2)cos (sin cos sin 2)cos )((sin )(2+-++-=+--=, 令x x u cos sin +=,则当],0[π∈x 时,a a a u a a au u u h 22121)(21221)(2222++---=+-+--=,]2,1[-∈u ,)(x f 在],0[π内有且只有一个零点等价于)(u h 在}2{)1,1[ -内有且只有一个零点,)2,1[无零点.因为1≥a ,∴)(u h 在)1,1[-内为增函数,分①若)(u h 在)1,1[-内有且只有一个零点,)2,1[无零点,和②若2为)(u h 的零点,)2,1[内无零点两种情况讨论即可.试题解析:(1)当1=a 时,21c o s s i n c o s s i n 2)co s 1)(1(sin )(+-++-=+--=x x x x x x x f ,令x x t c o s s i n +=,则]2,2[-∈t ,21cos sin 2-=t x x , 2)1(212121)(22+--=+-+--=t t t t g ,当1=t 时,2)(max =t g ,当2=t 时,23)(min -=t g ,所以)(x f 的值域为]2,23[-. (2)a a x x a x x a x a a x x f 2)cos (sin cos sin 2)cos )((sin )(2+-++-=+--=,令x x u cos sin +=,则当],0[π∈x 时,]2,1[-∈u ,21cos sin 2-=u x x , a a a u a a au u u h 22121)(21221)(2222++---=+-+--=,)(x f 在],0[π内有且只有一个零点等价于)(u h 在}2{)1,1[ -内有且只有一个零点,)2,1[无零点.因为1≥a ,∴)(u h 在)1,1[-内为增函数,①若)(u h 在)1,1[-内有且只有一个零点,)2,1[无零点,故只需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-≤-+->++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤->021220)12(0)12(0)2(0)1(0)1(222a a a a a a h h h 得121+<≤a ; ②若2为)(u h 的零点,)2,1[内无零点,则021222=-+-a a ,得262±=a ,经检验,262+=a 符合题意. 综上,121+<≤a 或262+=a . 【考点】利用换元思想解决三角函数问题,函数的零点22.已知曲线1C :04222=+--+m y x y x .(1)若曲线1C 是一个圆,且点)1,1(P 在圆1C 外,求实数m 的取值范围;(2)当4=m 时,曲线1C 关于直线0=+y x 对称的曲线为2C .设P 为平面上的点,满足:存在过P 点的无穷多对互相垂直的直线21,L L ,它们分别与曲线1C 和曲线2C 相交,且直线1L 被曲线1C 截得的弦长与直线2L 被曲线2C 截得的弦长总相等.(i )求所有满足条件的点P 的坐标;(ii )若直线1L 被曲线1C 截得的弦为MN ,直线2L 被曲线2C 截得的弦为RS ,设PMR ∆与PNS ∆的面积分别为1S 与2S ,试探究21S S ⋅是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.【答案】(1)54<<m ;(2)(i )点P 的坐标为)1,1(-或)2,2(-;(ii )21S S ⋅为定值16【解析】试题分析:(1)依题意可得⎩⎨⎧>-+>+--041640422m m ,可求m 的取值范围;(2)当4=m 时,1C :1)2()1(22=-+-y x 它关于0=+y x 对称的圆2C 方程为1)1()2(22=+++y x ,(i )由题意可得=++--1|2|2k n mk k ,整理讨论可得点P 的坐标为)1,1(-或)2,2(-; (ii ) 1214S S PM PR PN PS ⋅=⋅⋅⋅,求出PM PN ⋅,PR PS ⋅ 即可试题解析:(1)依题意⎩⎨⎧>-+>+--041640422m m ,解得54<<m . (2)当4=m 时,1C :1)2()1(22=-+-y x 是以)2,1(1C 为圆心,半径为1的圆,所以它关于0=+y x 对称的圆2C 方程为1)1()2(22=+++y x ,)1,2(2--C .(i )因为要存在无穷多对直线1L 与2L ,所以必有无穷多对的斜率都存在,设1L 的斜率为k ,),(n m P ,则2L 的斜率为k1-,∴1L :0=+--n mk y kx ,2L :0=--+kn m ky x ,由于两圆半径都等于1,因此,若相交弦长相等,则两圆心到对应直线的距离必相等,所以=++--1|2|2k n mk k |)2()1(||)2()1(|1|2|2+++=---⇔-----m n k n k m k kn m k)2()1()2()1(+++=---⇔m n k n k m 或)2()1()2()1(+-+-=---m n k n k m ,即 0)()2(=+---n m k n m 或0)4()(=+-++n m k n m 对无穷多个k 值成立. ∴⎩⎨⎧-==--n m n m 02或⎩⎨⎧-==+-n m n m 04,解得⎩⎨⎧-==11m m 或⎩⎨⎧=-=22m m ,所以点P 的坐标为)1,1(-或)2,2(-(ii )设1C 到MN 的距离为d ,则81)1)(1(2122212221=-=------=⋅PC d d PC d d PC PN PM 同理,81)1)(1(2222222222=-=------=⋅PC d d PC d d PC PS PR 又164121=⋅⋅⋅=⋅PS PN PR PM S S ,所以21S S ⋅为定值16. 【考点】直线与圆的位置关系。
2015-2016学年福建省师大附中高一上学期期末考试数学试题(解析版)附答案
2015-2016学年福建省师大附中高一上学期期末考试数学试题(附答案)一、选择题1.已知直线方程34)y x --,则这条直线的倾斜角是( ) A .150︒B .120︒C .60︒D .30︒【答案】C【解析】试题分析:由题意得,直线的斜率为k =tan α=60α= ,故选C .【考点】直线的倾斜角.2.在空间直角坐标系中,点(1,3,6)P 关于x 轴对称的点的坐标是( ) A .(1,3,6)- B .(1,3,6)-- C .(1,3,6)-- D .(1,3,6)-- 【答案】D【解析】试题分析:由题意得,根据空间直角坐标系,可得点(1,3,6)P 关于x 轴对称的点的坐标是(1,3,6)--,故选D .【考点】空间直角坐标系.3.已知α,β是平面,m ,n 是直线.下列命题中不.正确的是( ) A .若m ∥n ,m ⊥α,则n ⊥α B .若m ∥α,α∩β= n ,则m ∥n C .若m ⊥α,m ⊥β,则α∥β D .若m ⊥α,m β,则α⊥β 【答案】B【解析】试题分析:由题意得,A 中,若//,m n m α⊥,则有直线与平面垂直的判定定理得n α⊥,所以是正确的;B 中,若//,m n ααβ= ,则m 与n 平行或异面,所以是不正确的;C 中,若,m m αβ⊥⊥,则由平面与平面平行的判定定理得//αβ,所以是正确的;D 中,,m m αβ⊥⊂,则由平面与平面垂直的判定定理得αβ⊥,所以是正确的. 【考点】空间中线面位置的判定.4.已知12:20,:(1)210,l mx y l m x my +-=+-+=若12l l ⊥ 则m =( )ÌA .m=0B .m=1C .m=0或m=1D .m=0或m=1- 【答案】C【解析】试题分析:由12l l ⊥,得(1)1(2)0m m m ⨯++⨯-=,解得0m =或1m =,故选C .【考点】两直线垂直的应用.5.正方体''''ABCD A B C D -中,AB 的中点为M ,'DD 的中点为N ,异面直线M B '与CN 所成的角是( )A .0 B . 90 C . 45 D .60【答案】B 【解析】试题分析:取A A '的中点为E ,连接BE ,则直线B M '与CN 所成角就是直线B M'与BE 所成的角,由题意得得B M BE '⊥,所以异面直线M B '与CN 所成的角是90,故选B .【考点】异面直线所成的角.6.若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2,且它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的体积是( )A .6π BC .3πD .12π【答案】B【解析】试题分析:由题意得,此问题是球内接长方体,所以可得长方体的对角线长等于球的直径,即2R =所以R =,所以求得体积为334433V R ππ==⨯=.【考点】球的组合及球的体积的计算.7.圆(x ﹣1)2+(y ﹣2)2=1关于直线20x y --=对称的圆的方程为( ) A .22(4)(1)1x y -++= B .22(4)(1)1x y +++= C .(x+2)2+(y+4)2=1 D .22(2)(1)1x y -++= 【答案】A【解析】试题分析:由题意得,圆心坐标为()1,2,设圆心()1,2关于直线20x y --=的对称点为(,)P x y ,则2111122022y x x y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩,解得4,1x y ==-,所以对称圆方程为22(4)(1)1x y -++=.【考点】点关于直线的对称点;圆的标准方程.8.已知实数,x y满足22(5)(12)25,x y ++-= )A .5B .8C .13D .18 【答案】B【解析】试题分析:=(,)P x y 到原点的距离,所以的最小值表示圆()()2251225x y ++-=上一点到原点距离的最小值,又圆心()5,12-到原点的距离为13=的最小值为138R -=,故选B .【考点】圆的标准方程及圆的最值.9.如图,在长方体中,,,则与平面所成角的正弦值为( )A .B .C .D . 【答案】D【解析】试题分析:连接11AC 交11B D 于点O ,连接BO ,因为长方体中,,所以1C O ⊥平面11BDD B ,所以1C BO ∠为1BC 与平面11BDD B 所成角,因为11112C O A C ==,1BC ,所以111sin C O C BO BC ∠===,故选D .1111D C B A ABCD -2==BC AB 11=AA 1BC D D BB 11635525155101111D C B A ABCD -2==BC AB1A 1A【考点】直线与平面所成角的求解.10.已知点()()4,0,0,2B A -,点P 在圆()()5=4+3-:22-y x C ,则使090=∠APB 的点P 的个数为( )A .0B .1C .2D .3 【答案】B【解析】试题分析:设(,)P x y ,要使90APB ∠=,只需P 到AB 中点(1,2)-的距离为12AB ==,而圆上的所有点到AB 中点距离范围为,即,所以使090=∠APB 的点P 的个数只有一个,就是AB 中点与圆心连线与圆的交点.【考点】点与圆的位置关系.11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为6480π+,则r =( )A .1B . 2C . 4D . 8 【答案】 C【解析】试题分析:由几何体的三视图中的正视图和俯视图可知,截圆柱的平面过圆柱的轴线,该几何体的一个半球和一个半圆柱,所以其表面积为22222111422254222S r r r r r r r r πππππ=⨯+++⨯+=+,又因为该几何体的表面积为1620π+,即22546480r r ππ+=+,解得4r =.【考点】几何体的三视图;体积的计算. 【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用和几何体的体积的计算与应用,属于中档试题,同时着重考查了学生的空间想象能力和运算能力,求解三视图问题时,要牢记三是的规则“长对正,高平齐、宽相等”,得到原结合体的形状,再根据几何体的体积公式求解几何体的体积,本题的解答中通过给定的三视图可得该几何体为一个半球和半个圆锥拼接的几何体,通过计算半球的体积和半个圆柱的体积,从而得到给几何体的体积. 12.已知点(,)M a b ,(0)ab ≠是圆222:O x y r +=内一点,直线m 是以点M 为中点的弦所在直线,直线n 的方程是2ax by r +=,那么( )A .//m n 且n 与圆O 相离B .//m n 且n 与圆O 相交C .m 与n 重合且n 与圆O 相离D .m n ⊥且n 与圆O 相交 【答案】A【解析】试题分析:直线m 是以点M 为中点的弦所在直线,所以m PO ⊥,所以m 的斜率为ab -,所以//n m ,圆心到直线n,因为M 在圆内,所以2ax by r +<,r >,所以直线n 与圆相离,故选A .【考点】直线与圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及应用,属于中档试题,对于直线和圆的位置关系分为相交、相离、相切三种情形,常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断,本题解答中利用直线m 是以点M 为中点的弦所在直线可求得其斜率,进而根据直线n 的方程可判断出两直线平行,表示出点到直线n 的距离,根据点M 在园内判断出,a b 和r 的关系,进而判断长圆心到直线n 的距离大于半径,判断长二者的关系是相离.二、填空题13.不论k 为何值,直线(21)(2)(4)0k x k y k ----+=恒过的一个定点是__________. 【答案】(2,3)【解析】试题分析:由题意得,直线(21)(2)(4)k x k y k ----+=,可化为(21)(24)0k x y x y ---+-=,解方程组240210x y x y +-=⎧⎨--=⎩,解得2,3x y ==,所以直线恒经过点(2,3). 【考点】直线方程.14.在正方体1111ABCD A BC D -中,二面角1C BD C --的正切值为 .【解析】试题分析:设正方体111A B C D A B C D -的棱长为a ,则111,BD DC BC CD BC CC a ======,取BD 的中点O ,连接1,OC OC ,则1COC ∠就是二面角1C B DC --的平面角,因为12CO BD ==,所以1t a n 2C O C ∠.【考点】二面角的求解.15.点P (4,-2)与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是 . 【答案】22(2)(1)1x y -++=【解析】试题分析:设圆上任意一点为11(,)A x y ,AP 中点为(),x y ,则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,所以112422x x y y =-⎧⎨=+⎩,代入224x y +=得22(24)(22)4x y -++=,化简22(2)(1)1x y -++=,所以轨迹方程为22(2)(1)1x y -++=.【考点】轨迹方程的求解.【方法点晴】本题主要考查了与圆有关的轨迹方程的求解,属于基础题,着重考查了代入法求解轨迹方程,其中确定坐标之间的关系是解答此类问题的关键.本题解答中通过设圆上任意一点为11(,)A x y ,表示AP 中点为(),x y ,确定出A 与AP 中点坐标之间的关系112422x x y y =-⎧⎨=+⎩,再代入圆的方程,化简即可得到动点的轨迹方程. 16.若直线x y k +=与曲线y =k 的取值范围是 .【答案】11k k -≤<=或【解析】试题分析:曲线y =(1,0)A -时,直线y x k =-+与半圆只有一个交点,此时1k =-;当直线过点(1,0),(0,1)B C 时,直线y x k =-+与半圆有两个交点,此时1k =;当直线y x k =-+与半圆相切时,只有一个公共点,k =11k -≤<或k =x y k +=与曲线y =个公共点.【考点】直线与圆的方程的应用.17.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值等于 .【答案】【解析】试题分析:由题意得,不妨设棱长为2,如图,在底面内的射影为的中心,故DA =由勾股定理得13A D ==,过1B 作1B E ⊥平面ABC ,则1B AE ∠为1AB 与底面ABC所成角,且1B E =,作1A S AB ⊥于中点S,所以111ABC A B C -1A ABC ABC △1ABABC 31A ABC ABC △1AS =,所以1AB ==,所以与底面所成角的正弦值为1sin 3B AE ∠==.【考点】直线与平面所成的角.18.若直线被两平行线12:0:0l x y l x y +=+=与所截得的线段的长为的倾斜角可以是①;②;③;④105︒;⑤120︒;⑥165︒其中正确答案的序号是 .(写出所有正确答案的序号) 【答案】④或⑥【解析】试题分析:由题意得,两直线12,l l之间的距离为d ===线被两平行线1:0l x y +=与2:0l x y +=所截得的线段的长为m 与直线0x y +=的夹角为45,所以直线的倾斜角可以是105︒或165︒.【考点】两平行线之间的距离;直线的夹角. 【方法点晴】本题主要考查了两条平行线之间的距离公式的应用及两直线的位置关系的应用,属于中档试题,解答的关键是根据两平行线之间的距离和被截得的线段的长,确定两条直线的位置关系(夹角的大小),本题的解答中,根据平行线之间的距离和被截得的线段长为确定直线m 与两平行线的夹角为45,从而得到直线m 的倾斜角.三、解答题19.如图,已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为(14)A ,-,(21)B ,--,(23)C ,.1ABABC m m 15 45 60 m m(1)求平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标; (2)在∆ACD 中,求CD 边上的高线所在直线方程; (3)求ACD ∆的面积.【答案】(1)(3,8);(2)5190x y +-=;(3)8.【解析】试题分析:(1)设AC 的中点为M ,则由M 为AC 的中点求得17(,)22M ,设点D 坐标为(,)x y ,由已知得M 为线段BD 中点,求D 的坐标;(2)求得直线CD 的斜率CD k ,可得CD 边上的高线所在的直线的斜率为15-,从而在ACD ∆中,求得CD 边上的高线所在直线的方程;(3)求得CD ,用两点式求得直线CD 的方程,利用点到直线的距离公式,求得点A 到直线CD 的距离,可得ACD ∆的面积. 试题解析:(1)),点坐标为(则边中点为设2721,M M AC 设点D 坐标为(x ,y ),由已知得M 为线段BD 中点,有[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-27212122y x 解得⎩⎨⎧==83y x 所以D (3,8)(2)所以CD 边上的高线所在直线的斜率为15-故CD 边上的高线所在直线的方程为14(1)5y x -=-+,即为5190x y +-= (3)(2,3),(3,8)C D由C ,D 两点得直线CD 的方程为:570x y --=【考点】待定系数法求直线方程;点到直线的距离公式. 20.如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,设、分别为、的中点.(1)求证://平面; (2)求证:面平面; (3)求二面角的正切值.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3. 【解析】试题分析:(1)利用线面平行的判定定理:连接AC ,直线证明//EF PA ,利用中位线定理即可得证;(2)利用面面垂直的判定定理:只需证明PA ⊥面PDC ,进而转化为证明,PA PD PA DC⊥⊥,可证PAD ∆为等腰直角三角形,可得PA AD ⊥;由面PAD ⊥面ABCD 的性质及正方形ABCD 的性质可证CD ⊥面PAD ,得CD PA ⊥;(3)设PD 的中点为M ,连接,EM MF ,则EM P D ⊥,由此可知PD ⊥平面EFM ,则EM F ∠是二面角的平面角,通过解Rt FEM ∆可得所求二面角的正切值. 试题解析:(1)证明:为平行四边形,连结,为中点, 为中点∴在中,//,且平面,平面 ∴(2)证明:面面 ,平面面 又为正方形,且平面平面,∴,又是等腰直角三角形, 又,且、面面 又面,面面(3)解:设的中点为,连结,,则, 由(2)知面面 , 是二面角的平面角P ABCD -ABCD a PAD ⊥ABCD PA PD AD ==E F PC BD EF PAD PAB ⊥PDC B PD C --B PD C --ABCD AC BD F = F AC E PC CPA ∆EF PA PA ⊆PAD EF ⊄PAD PAD EF 平面// PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD = ABCD ∴CD AD ⊥CD ⊂ABCD CD ⊥PAD CD PA ⊥2PA PD AD ==∴PAD ∆∴PA PD ⊥CD PD D = CD PD ⊆ABCD ∴PA ⊥PDC PA ⊆PAB ∴PAB ⊥PDC PD M EM MF EM PD ⊥EF ⊥PDC ∴EF PD ⊥∴PD ⊥EFM ∴PD MF ⊥∴EMF ∠B PD C --B在中,【考点】直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定;二面角的求解.21.一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥.在正常水位时,拱圈最高点距水面8m ,拱圈内水面宽32m ,船只在水面以上部分高6.5m ,船顶部宽8m ,故通行无阻,如下图所示.(1)建立适当平面直角坐标系,求正常水位时圆弧所在的圆的方程;(2)近日水位暴涨了2m ,船已经不能通过桥洞了.船员必须加重船载,降低船身在水面以上的高度,试问:船身至少降低多少米才能通过桥洞?(精确到0.1m 2.45≈)【答案】(1)400;(2)0.9.【解析】试题分析:(1)建立平面直角坐标系,确定,,A B D 三点的坐标,根据CD CB =,求解圆心坐标,从而得到圆的方程;(2)代入4x =,可得7.6y ≈米,可判断桥拱宽为8m 的地方距离正常水位时水面的宽度,通过比较可判断船是否通过.试题分析:(1)解:在正常水位时,设水面与桥横截面的交线为x 轴,过拱圈最高点且与水面垂直的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A ,B ,D 三点的坐标分别为(-16,0),(16,0),(0,8).又圆心C 在y 轴上,故可设C (0,b ).因为|CD|=|CB|,所以8b -12b =-.所以圆拱所在圆的方程为: 2222(12)(812)20x y ++=+==400(2)当x=4时,求得y ≈7.6,即桥拱宽为8m 的地方距正常水位时的水面约7.60m ,距涨水后的水面约5.6m ,因为船高6.5m ,顶宽8m ,所以船身至少降低6.5-5.6=0.9(m )以上,船才能顺利通过桥洞.【考点】圆的方程及其应用.22.如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠= .Rt FEM ∆124EF PA a ==1122EM CD a ==4tan 12a EF EMF EM a ∠===(1)证明:1AB AC ⊥; (2)若2AB CB ==,1AC =111ABC A B C -的体积.【答案】(1)证明见解析;(2)3.【解析】试题分析:(1)由题目给出的边的关系,可取AB 的中点O ,连接1,OC OA ,通过证明AB ⊥平面1OAC ,即可证明1AB AC ⊥;(2)在三角形1OAC 中,由勾股定理得到1OA OC ⊥,再根据1OA AB ⊥,得到1OA 为三棱柱111ABC A B C -的高,利用已知给出的边的长度,直接利用棱柱体积公式求解体积.试题解析:(1)取AB 的中点O ,连接OC 、1OA 、1A B ,因为CA=CB ,所以OC AB ⊥,由于AB=AA 1,∠BA A 1=600,故,AA B ∆为等边三角形,所以OA 1⊥AB .因为OC ⋂OA 1=O ,所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊆平面OA 1C ,故AB ⊥A 1C .(2)由题设知12ABC AA B ∆∆与都是边长为的等边三角形, 12AA B 都是边长为的等边三角形,所以22111111,OC OA AC OA OC OA OC OA AB ===+⊥⊥ 又=A C ,故又111111111,--= 3.ABC ABC OC AB O OA ABC OA ABC A B C ABC S A B C V S OA =⊥∆=⨯= 因为所以平面,为棱柱的高,又的面积ABC 的体积【考点】直线与平面垂直的判定与性质;棱柱、棱锥、棱台的体积.【方法点晴】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与性质和几何体的体积的计算,属于中档试题,着重考查了空间想象能力、运算能力和推理论证能力,解答此类问题的关键是把线线垂直的证明转化为线与面垂直,利用线面垂直的性质证明1AB AC ⊥;第2问中,利用线面垂直,确定几何体的高是解答三棱锥的体积的是求解几何体体积的一个难点.23.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆221:16C x y +=和圆222:(7)(4)4C x y -+-=.(1)求过点(4,6)的圆1C 的切线方程;(2)设P 为坐标平面上的点,且满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ,它们分别与圆1C 和圆2C 相交,且直线1l 被圆1C 截得的弦长是直线2l 被圆2C 截得的弦长的2倍.试求所有满足条件的点P 的坐标.【答案】(1)512520x y -+=或4x =;(2)1(4,6)P 或2362(,)55P . 【解析】试题分析:(1)设出切线方程()64y k x -=-,利用圆心到切线的距离等于圆的半径,求解k 的值,从而确定切线的方程;(2)设出直线1l 的方程,确定2l 的方程,利用截得的弦长之间的关系转为圆心到两条直线的距离的关系,利用点到直线的距离求解列出方程,根据方程无穷多个解,确定,a b 的值,从而得到点的坐标.试题解析:(1)若切线的斜率存在,可设切线的方程为()64y k x -=-,则圆心1C 到切线的距离4d ==,解得512k =所以切线的方程为:512520x y -+=;若切线的斜率不存在,则切线方程为4x =,符合题意.综上所述,过P 点的圆1C 的切线方程为512520x y -+=或4x =.(2)设点(,)P a b 满足条件, 不妨设直线1l 的方程为:()(0)y b k x a k -=-≠,即0(0)kx y b ak k -+-=≠,则直线2l 的方程为:1()y b x a k-=--,即0x k y b k a +--=.因为圆1C 的半径是圆2C 的半径的2倍,及直线1l 被圆1C 截得的弦长是直线2l 被圆2C 截得的弦长的2倍,所以圆1C 的圆心到直线1l 的距离是圆2C 的圆心到直线2l 的距离的2倍,2=整理得 214(28)ak b a b k -=-+-从而214(28)ak b a b k -=-+-或214(28)b ak a b k -=-+-,即(28)214a b k a b -+=+-或(28)214a b k a b +-=-++,因为k 的取值有无穷多个,所以2802140a b a b -+=⎧⎨+-=⎩或2802140a b a b +-=⎧⎨-++=⎩,解得46a b =⎧⎨=⎩或36525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,这样点P 只可能是点1(4,6)P 或点2362(,)55P . 经检验点1P 和点2P 满足题目条件.【考点】直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式和方程问题的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系求解圆的切线方程及利用点到直线的距离公式和方程解问题的综合应用,属于难度较大的试题,并着重考查了转化的思想方法和计算能力.本题的解答中设出直线1l 的方程,根据垂直关系,确定2l 的方程,利用截得的弦长之间的关系转为圆心到两条直线的距离的关系,利用点到直线的距离求解列出方程,根据方程无穷多个解,是解答一个难点,平时应重视圆的转化思想在求解圆的方程中的应用.。
2015-2016学年(福建省)高一上学期期末考试数学试题(解析版)8
高一上学期期末考试数学试题一、选择题1.若,,,则实数()A. B. C. D. 2或【答案】D【解析】由于两个向量平行,故.点睛:本题主要考查两个向量的位置关系.两个向量,两个向量平行时,有;若两个向量垂直,则有.本题中将题目所给的两个向量的坐标代入,即可求得的值.2.下列图形中可以是某个函数的图象的是()A. B.C. D.【答案】D【解析】对于函数来说,一个只有唯一一个和其对应,故错误,选.3.函数(且)的图象经过的定点是()A. B. C. D.【答案】B【解析】当时,函数值恒为,故定点为.4.函数的图象的一条对称轴方程是()A. B. C. D.【答案】D【解析】正弦函数对称轴为,令,求得对称轴为.5.若,则一定存在一个实数,使得当时,都有()A. B.C. D.【答案】A【解析】当时,的图像在的上方,故,排除选项.当时,,而是幂函数,增长速度比对数函数要快,故当时,.故选选项.6.若,,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】由于两个向量垂直,根据向量加法的几何性质可知,平行四边形为矩形,对角线相等,即.7.若集合,集合,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意,故.8.若,,则在方向上的投影是()A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意有投影为.9.若一扇形的周长为4,面积为1,则该扇形的圆心角的弧度数是()A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意,解得,所以弧度数为.10.若函数在上的最大值与最小值之和为,则实数的值是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】依题意函数在上单调,故,解得.11.( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由于,即.点睛:本题主要考查两角和的正切公式的变形,考查了化归与转化的数学思想方法.首先注意到题目所给的两个角度的特殊关系,即.而题目涉及到正切的公式,我们就联想到两角和的正切公式,变形为.12.已知向量与的夹角为,,,若与的夹角为锐角,则实数的取值范围是( )A. B.C.D. 【答案】D 【解析】根据夹角为锐角,有,即,也即,即,解得.点睛:本题主要考查平面向量的数量积运算与夹角公式,考查了锐角对应三角函数的取值范围,考查了两个向量的位置关系.题目一开始给定两个向量的模和夹角,那么它们的数量积可以通过公式求解出来.由于后面给定两个向量的夹角为锐角,则转化为数量积大于零,且不等于,就说明两个向量不能共线,由此得到.二、填空题13.,,,则与的夹角是__________.【答案】【解析】,所以夹角为.14.若函数是偶函数,则__________.【答案】【解析】由于函数为偶函数,故需要符合诱导公式中的奇变偶不变,故,由于,所以.15.若,则__________.【答案】【解析】,化简得.所以.16.若定义在上的函数满足,是奇函数,现给出下列4个论断:①是周期为4的周期函数;②的图象关于点对称;③是偶函数;④的图象经过点.其中正确论断的序号是__________(请填上所有正确论断的序号).【答案】①②③【解析】由可知函数周期为.由是奇函数关于原点对称,可知关于对称,即.,所以函数为偶函数,无法判断其值.综上,正确的序号是①②③.点睛:本题主要考查函数的奇偶性与周期性,考查函数平移变换等知识.在阅读题目的时候,采用逐句转化的方法,即读到“”时,将其转化为函数的周期为,这个要记住小结论,即若,,则函数为周期函数,且周期为.向左平移个单位后得到,这是函数变换的知识.三、解答题17.已知函数.(Ⅰ)求函数的定义域与零点;(Ⅱ)判断函数的奇偶性.【答案】(I)定义域为,零点为;(II)奇函数.【解析】试题分析:(I)定义域为.令,即.(II)利用奇偶性的定义,判断,所以函数为奇函数.试题解析:解:(Ⅰ)∵∴,∴的定义域为.由,得,∴,解得,∴的零点为.(Ⅱ)∵对任意的实数,都有,∴是奇函数.18.已知函数.(Ⅰ)求函数的最小正周期和递增区间;(Ⅱ)求函数的图象的对称中心的坐标.【答案】(I)最小正周期,单调递增区间是,;(II)对称中心的坐标是,.【解析】试题分析:(I)利用降次公式和二倍角公式,化简,由此得到最小正周期.令,解出的范围即是函数的增区间.(II)令,解出的值即是对称中心的横坐标,由此得到对称中心的坐标.试题解析:解:.(Ⅰ)函数的最小正周期.由,,得,.∴函数的单调递增区间是,.(Ⅱ)由,,得,,∴函数的图象的对称中心的坐标是,.19.已知某海滨浴场的海浪高度(单位:米)是时间(单位:小时,)的函数,记作.如表是某日各时的浪高数据:(时)(米)(Ⅰ)在如图的网格中描出所给的点;(Ⅱ)观察图,从,,中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的解析式;(Ⅲ)依据规定,当海浪高度高于1.25米时才对冲浪爱好者开放,请依据(Ⅱ)的结论判断一天内的8:00到20:00之间有多长时间可供冲浪爱好者进行活动.【答案】(I)详见解析;(II),(III)小时.【解析】试题分析:(I)根据题目所给数据进行描点.(II)根据图象,应该选择,利用可求得的值,利用周期可求得的值,最后代入图像上一个最高点或最低点,求得的值.(III)由(II)令,解这个三角不等式可求得的取值范围.试题解析:解:(Ⅰ)(Ⅱ)根据图,应选择.不妨设,,由图可知,,,.∴,又当时,,∴,∴,∴,.∴,∴所求的解析式为.(Ⅲ)由,即,得,即,.又,∴.答:一天内的8:00到20:00之间有4个小时可供冲浪爱好者进行活动.20.已知,,,求的值.【答案】.【解析】试题分析:由于,故可以用诱导公式,将已知的表达式转化为.利用平方差公式,可将化简为.利用对数的运算公式,可将化简为.由此求得的值.试题解析:解:∵...∴.21.已知,,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.【答案】(I);(II).【解析】试题分析:(I)依题意有,利用正切的二倍角公式可求得.(II)利用,求出,由此求得,利用求得,所以.试题解析:解:(Ⅰ)∵,,∴,即.∵,∴,∴,∴,∴.(Ⅱ)∵,∴,又∵,∴,∴,.又,∴.点睛:本题主要考查向量模的概念,考查正切函数的二倍角公式,考查三角恒等变形.第一步是利用向量的模的概念,求得,然后利用正切的二倍角公式求得的值.第二问主要通过划归与转化的思想方法,将进行转化,利用其正切值求得相应的弧度数.22.已知函数的值域为,函数,的值域为.(Ⅰ)求集合和集合;(Ⅱ)若对任意的实数,都存在,使得,求实数的取值范围.【答案】(I)详见解析;(II).【解析】试题分析:(I)利用两角和与差的正弦、余弦公式,辅助角公式,化简.所以.对分成三类,利用配方法,分类讨论的取值.(II)由于,,根据题意,有.由(I)的讨论,列出不等式组,由此求得的取值范围.试题解析:解:(Ⅰ).∴..(1)若,则,;(2)若,则.∵,∴,当时,,①若,则,∴;②若,则,(i )若,即,则;(ii )若,即,则.综上,若,则;若,则;若,则;若,则.(Ⅱ)∵,∴的值域为,∴的值域.∴对任意的实数,都存在,使得,即,或或或第 11 页共 12 页或或或或或或或.∴所求的取值范围为.点睛:本题主要考查两角和与差的正弦、余弦公式,辅助角公式.考查恒成立问题的处理方法,考查三角函数的值域等知识,还考查了分类讨论的数学思想方法.第一问主要利用三角函数公式进行三角恒等变形,化为一个角且次数为一次的三角函数,由此求得值域.第二问需要对分类讨论,情况比较多,分类要做到不重不漏.第 12 页共 12 页。
厦门市2015-2016学年度第二学期高一年级质量检测数学模拟试题及参考答案
厦门市2015-2016学年度第二学期高一年级质量检测数学模拟试题试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分,满分150分,考试时间120分钟注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.cos 420 的值为( )2.设(1,2)a = ,(2,)b k = ,若(2)a b a +⊥,则实数k 的值为( ) A .2-B .4-C .6- D .8-3.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆0442:221=-+-+y x y x C ,圆0222:222=--++y x y x C ,则两圆的公切线的条数是( )A .1条B .3条 D .4条4.A .B .C .D .5.直线0632=-+y x 分别交x 轴和y 轴于B A 、两点,P 是直线x y -=上的一点,最小,则点P 的坐标是( )A.)(1,1-B.)(0,0C.)(1,1- D.6.有的点的( )ABD 7.已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β,有下面四个命题: (1)α∥β⇒l ⊥m ,(2)α⊥β⇒l ∥m , (3)l ∥m ⇒α⊥β,(4)l ⊥m ⇒α∥β, 其中正确命题是( )A .(1)与(2)B .(1)与(3)C .(2)与(4)D .(3)与(4)8.在等腰ABC ∆中,4BC =,AB AC =,BA BC ⋅=( ) A .4-B .4C .8-D .89.如图所示,在正方体1111ABCD A BC D -中,E 、F 、G 、H 分别为1AA 、AB 、1BB 、11B C 的中点,则异面直线EF 与GH 所成的角等于( ) A .45︒ B .60︒C .90︒D .120︒10.已知B A ,为圆),(9)()(:22R b a b y a x C ∈=-+-上的两个不同的点,且满足)A .1B .2D 11.如图,P 是正方体1111ABCD A BCD -对角线1AC 上一动点,设AP 的长度为x ,若PBD ∆的面积为(x)f ,则(x)f 的图象大致是( )12.直线ax +by =1A ,B 两点(其中a ,b 是实数),且OA OB ⋅ >0(O 是坐标原点),则22a b +-2a 的取值范围为( )第II 卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 13.已知tan 3α=,则sin cos αα的值是. 14.__________.15.已知向量,的夹角为,且,,则向量在向量方向上的投影是________.16.如图1111ABCD A BC D -是棱长为1的正方体,S ABCD -是高为1的正四棱锥,若点S ,1111,,,A BC D在同一球面上,则该球的表面积为___________.三、解答题:本大题共6小题,共70分。
福建师大附中2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年福建师大附中高一(上)期末数学试卷一、选择题:(每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)1.已知直线方程y﹣3=(x﹣4),则这条直线的倾斜角是()A.150°B.120°C.60°D.30°2.在空间直角坐标系中,点P(1,3,6)关于x轴对称的点的坐标是()A.(1,3,﹣6) B.(﹣1,3,﹣6)C.(﹣1,﹣3,6)D.(1,﹣3,﹣6)3.已知α,β是平面,m,n是直线.下列命题中不正确的是()A.若m∥n,m⊥α,则n⊥αB.若m∥α,α∩β=n,则m∥nC.若m⊥α,m⊥β,则α∥βD.若m⊥α,m∩β,则α⊥β4.已知l1:mx+y﹣2=0,l2:(m+1)x﹣2my+1=0,若l1⊥l2则m=()A.m=0 B.m=1 C.m=0或m=1 D.m=0或m=﹣15.正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,AB的中点为M,DD′的中点为N,则异面直线B′M与CN 所成角的大小为()A.0°B.45°C.60°D.90°6.若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2,且它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的体积是()A.6πB.C.3πD.12π7.圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为()A.(x﹣4)2+(y+1)2=1 B.(x+4)2+(y+1)2=1 C.(x+2)2+(y+4)2=1 D.(x﹣2)2+(y+1)2=18.已知实数x,y满足(x+5)2+(y﹣12)2=25,那么的最小值为()A.5 B.8 C.13 D.189.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.B.C.D.10.已知点A(﹣2,0),B(0,4),点P在圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=5上,则使∠APB=90°的点P的个数为()A.0 B.1 C.2 D.311.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为64+80π,则r=()A.1 B.2 C.4 D.812.已知点P(a,b)(ab≠0)是圆O:x2+y2=r2内一点,直线m是以P为中点的弦所在的直线,若直线n的方程为ax+by=r2,则()A.m∥n且n与圆O相离B.m∥n且n与圆O相交C.m与n重合且n与圆O相离D.m⊥n且n与圆O相离二、填空题:(本大题6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答卷上)13.不论k为何值,直线(2k﹣1)x﹣(k﹣2)y﹣(k+4)=0恒过的一个定点是.14.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,二面角C1﹣BD﹣C的正切值为.15.点P(4,﹣2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是.16.若直线x+y=k与曲线y=恰有一个公共点,则k的取值范围是.17.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC 的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于.18.若直线m被两平行线l1:x+y=0与l2:x+y+=0所截得的线段的长为2,则m的倾斜角可以是①15°②45°③60°④105°⑤120°⑥165°其中正确答案的序号是.(写出所有正确答案的序号)三、解答题:(本大题共5题,满分60分)19.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A(﹣1,4),B(﹣2,﹣1),C(2,3).(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标(2)在△ACD中,求CD边上的高线所在直线方程;(3)求△ACD的面积.20.如图在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,设E、F分别为PC、BD的中点.(Ⅰ)求证:EF∥平面PAD;(Ⅱ)求证:面PAB⊥平面PDC;(Ⅲ)求二面角B﹣PD﹣C的正切值.21.一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥.在正常水位时,拱桥最高点距水面8m,拱桥内水面宽32m,船只在水面以上部分高6.5m,船顶部宽8m,故通行无阻,如图所示.(1)建立适当的平面直角坐标系,求正常水位时圆弧所在的圆的方程;(2)近日水位暴涨了2m,船已经不能通过桥洞了.船员必须加重船载,降低船身在水面以上的高度,试问:船身至少降低多少米才能通过桥洞?(精确到0.1m,)22.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°(Ⅰ)证明:AB⊥A1C;(Ⅱ)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积.23.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2=16和圆C2:(x﹣7)2+(y﹣4)2=4,(1)求过点(4,6)的圆C1的切线方程;(2)设P为坐标平面上的点,且满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍.试求所有满足条件的点P的坐标.2015-2016学年福建师大附中高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:(每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)1.已知直线方程y﹣3=(x﹣4),则这条直线的倾斜角是()A.150°B.120°C.60°D.30°【考点】直线的倾斜角.【分析】由直线方程求出直线的斜率,再由直线的斜率等于直线倾斜角的正切值求得答案.【解答】解:化直线方程y﹣3=(x﹣4)为,可得直线的斜率为,设直线的倾斜角为α(0°≤α<180°),则tan,∴α=60°.故选:C.2.在空间直角坐标系中,点P(1,3,6)关于x轴对称的点的坐标是()A.(1,3,﹣6) B.(﹣1,3,﹣6)C.(﹣1,﹣3,6)D.(1,﹣3,﹣6)【考点】空间两点间的距离公式.【分析】由点P的坐标,利用点关于x轴对称的条件,建立相等关系,可得其对称点的坐标.【解答】解:设p(1,3,6)关于x轴对称的点的坐标为(x,y,z),则x=1,y=﹣3,z=﹣6,所以对称点的坐标为(1,﹣3,﹣6).故选:C.3.已知α,β是平面,m,n是直线.下列命题中不正确的是()A.若m∥n,m⊥α,则n⊥αB.若m∥α,α∩β=n,则m∥nC.若m⊥α,m⊥β,则α∥βD.若m⊥α,m∩β,则α⊥β【考点】平面与平面之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】在A中,由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α;在B中,m与n平行或异面;在C中,由平面与平面平行的判定定理得α∥β;在D中,由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β.【解答】解:∵在A中:若m∥n,m⊥α,则由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α,故A 正确;在B中:若m∥α,α∩β=n,则m与n平行或异面,故B错误;在C中:若m⊥α,m⊥β,则由平面与平面平行的判定定理得α∥β,故C正确;在D中:若m⊥α,m∩β,则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β,故D正确.故选:B.4.已知l1:mx+y﹣2=0,l2:(m+1)x﹣2my+1=0,若l1⊥l2则m=()A.m=0 B.m=1 C.m=0或m=1 D.m=0或m=﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.【分析】对m分类讨论,利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出.【解答】解:当m=0时,两条直线分别化为:y﹣2=0,x+1=0,此时两条直线相互垂直,∴m=0.当m≠0时,∵l1⊥l2,∴﹣m×=﹣1,解得m=1.综上可得:m=0,或m=1.故选:C.5.正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,AB的中点为M,DD′的中点为N,则异面直线B′M与CN 所成角的大小为()A.0°B.45°C.60°D.90°【考点】异面直线及其所成的角.【分析】利用异面直线所成的角的定义,取A′A的中点为E,则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE成的角.【解答】解:取A′A的中点为E,连接BE,则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE 成的角,由题意得B′M⊥BE,故异面直线B′M与CN所成角的大小为90°,故选D.6.若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2,且它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的体积是()A.6πB.C.3πD.12π【考点】球的体积和表面积.【分析】长方体的对角线的长度,就是外接球的直径,求出直径即可求出体积【解答】解:长方体的对角线的长度,就是外接球的直径,设球的半径为r,所以2r==,所以这个球的体积积:=π故选:B.7.圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为()A.(x﹣4)2+(y+1)2=1 B.(x+4)2+(y+1)2=1 C.(x+2)2+(y+4)2=1 D.(x﹣2)2+(y+1)2=1【考点】关于点、直线对称的圆的方程.【分析】求出圆心(1,2)关于直线x﹣y﹣2=0对称的点的坐标,可得要求的对称圆的方程.【解答】解:由于圆心(1,2)关于直线x﹣y﹣2=0对称的点的坐标为(4,﹣1),半径为1,故圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为(x﹣4)2+(y+1)2=1,故选:A.8.已知实数x,y满足(x+5)2+(y﹣12)2=25,那么的最小值为()A.5 B.8 C.13 D.18【考点】圆的标准方程.【分析】由题意画出图形,利用的几何意义结合图象得答案.【解答】解:如图,圆(x+5)2+(y﹣12)2=25的圆心M(﹣5,12),|MO|=,的几何意义为圆(x+5)2+(y﹣12)2=25上的点到原点的距离,则最小值为|OM|﹣5=13﹣5=8.故选:B.9.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.B.C.D.【考点】直线与平面所成的角.【分析】由题意,由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角.【解答】解:以D点为坐标原点,以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1)∴=(﹣2,0,1),=(﹣2,2,0),且为平面BB1D1D的一个法向量.∴cos<,>═=.∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D.10.已知点A(﹣2,0),B(0,4),点P在圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=5上,则使∠APB=90°的点P的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3【考点】点与圆的位置关系.【分析】设P(x,y),要使∠APB=90°,只要求出P到AB中点的距离以及圆上的所有点到AB中点距离范围.【解答】解:设P(x,y),要使∠APB=90°,那么P到AB中点(﹣1,2)的距离为,而圆上的所有点到AB中点距离范围为[,],即[,3],所以使∠APB=90°的点P的个数只有一个,就是AB中点与圆心连线与圆的交点;故选B11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为64+80π,则r=()A.1 B.2 C.4 D.8【考点】由三视图求面积、体积.【分析】几何体为半圆柱与半球的组合体.【解答】解:由俯视图可知几何体为半圆柱与半球的组合体,半圆柱与半球的半径均为r,半圆柱的高为2r,∴几何体的表面积为为+++πr×2r+2r×2r=5πr2+4r2=64+80π.解得r=4.故选:C.12.已知点P(a,b)(ab≠0)是圆O:x2+y2=r2内一点,直线m是以P为中点的弦所在的直线,若直线n的方程为ax+by=r2,则()A.m∥n且n与圆O相离B.m∥n且n与圆O相交C.m与n重合且n与圆O相离D.m⊥n且n与圆O相离【考点】直线与圆的位置关系.【分析】利用直线m是以P为中点的弦所在的直线可求得其斜率,进而根据直线n的方程可判断出两直线平行;表示出点到直线n的距离,根据点P在圆内判断出a,b和r的关系,进而判断出圆心到直线n的距离大于半径,判断出二者的关系是相离.【解答】解:直线m是以P为中点的弦所在的直线∴直线m⊥PO,∴m的斜率为﹣,∵直线n的斜率为﹣∴n∥m圆心到直线n的距离为∵P在圆内,∴a2+b2<r2,∴>r∴直线n与圆相离故选A二、填空题:(本大题6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答卷上)13.不论k为何值,直线(2k﹣1)x﹣(k﹣2)y﹣(k+4)=0恒过的一个定点是(2,3).【考点】恒过定点的直线.【分析】把所给的直线分离参数,再令参数的系数等于零,即可求得定点的坐标.【解答】解:直线(2k﹣1)x﹣(k﹣2)y﹣(k+4)=0,即k(2x﹣y﹣1)+(﹣x+2y﹣4)=0,一定经过直线2x﹣y﹣1=0 和直线﹣x+2y﹣4=0的交点(2,3),故答案为:(2,3).14.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,二面角C1﹣BD﹣C的正切值为.【考点】二面角的平面角及求法.【分析】取BD的中点O,连接OC1,OC,则∠COC1就是二面角C1﹣BD﹣C的平面角,由此能求出二面角C1﹣BD﹣C的正切值.【解答】解:设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a,则,CD=BC=CC1=a,取BD的中点O,连接OC1,OC,则∠COC1就是二面角C1﹣BD﹣C的平面角,∵CO==,∴tan∠COC1==.故答案为:.15.点P(4,﹣2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是(x﹣2)2+(y+1)2=1.【考点】轨迹方程;圆的标准方程.【分析】设圆上任意一点为A,确定A与AP中点坐标之间的关系,再代入圆的方程,即可得到结论.【解答】解:设圆上任意一点为A(x1,y1),AP中点为(x,y),则,∴代入x2+y2=4得(2x﹣4)2+(2y+2)2=4,化简得(x﹣2)2+(y+1)2=1.故答案为:(x﹣2)2+(y+1)2=116.若直线x+y=k与曲线y=恰有一个公共点,则k的取值范围是﹣1≤k<1或k=.【考点】直线和圆的方程的应用.【分析】曲线y=表示一个半圆,如图所示.当直线过点A(﹣1,0)时,直线y=﹣x+k与半圆只有一个交点;当直线过点B(1,0),C(0,1)时,直线y=﹣x+k与半圆有两个交点,此时k=1;当直线位于此两条直线之间时满足题意.当直线y=﹣x+k与半圆相切时只有一个公共点,也满足条件.【解答】解:曲线y=表示一个半圆,如图所示.当直线过点A(﹣1,0)时,直线y=﹣x+k与半圆只有一个交点,此时k=﹣1;当直线过点B(1,0),C(0,1)时,直线y=﹣x+k与半圆有两个交点,此时k=1;当直线y=﹣x+k与半圆相切时只有一个公共点,k=.因此当﹣1≤k<1时,或k=,直线x+y=k与曲线y=恰有一个公共点.故答案为﹣1≤k<1,或k=.17.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC 的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于.【考点】直线与平面所成的角.【分析】先求出点A1到底面的距离A1D的长度,即知点B1到底面的距离B1E的长度,再求出AB1的长度,在直角三角形AEB1中,即可求得结论.【解答】解:由题意不妨令棱长为2,如图,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,故DA=,由勾股定理得A1D==过B1作B1E⊥平面ABC,则∠B1AE为AB1与底面ABC所成角,且B1E=,如图作A1S⊥AB于中点S,∴A1S=,∴AB1==∴AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==.故答案为:18.若直线m被两平行线l1:x+y=0与l2:x+y+=0所截得的线段的长为2,则m的倾斜角可以是①15°②45°③60°④105°⑤120°⑥165°其中正确答案的序号是④或⑥.(写出所有正确答案的序号)【考点】直线的倾斜角;直线的一般式方程与直线的平行关系.【分析】由两平行线间的距离=,得直线m和两平行线的夹角为30°.再根据两条平行线的倾斜角为135°,可得直线m的倾斜角的值.【解答】解:由两平行线间的距离为=,直线m被平行线截得线段的长为2,可得直线m和两平行线的夹角为30°.由于两条平行线的倾斜角为135°,故直线m的倾斜角为105°或165°,故答案为:④或⑥.三、解答题:(本大题共5题,满分60分)19.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A(﹣1,4),B(﹣2,﹣1),C(2,3).(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标(2)在△ACD中,求CD边上的高线所在直线方程;(3)求△ACD的面积.【考点】待定系数法求直线方程;点到直线的距离公式.【分析】(1)设AC的中点为M,则由M为AC的中点求得M(,),设点D坐标为(x,y),由已知得M为线段BD中点,求得D的坐标.(2)求得直线CD的斜率K CD,可得CD边上的高线所在直线的斜率为,从而在△ACD 中,求得CD边上的高线所在直线的方程0.(3)求得,用两点式求得直线CD的方程,利用点到直线的距离公式求得点A到直线CD的距离,可得△ACD的面积.【解答】解:(1)由于平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A(﹣1,4),B(﹣2,﹣1),C(2,3),设AC的中点为M,则M(,),设点D坐标为(x,y),由已知得M为线段BD中点,有,解得,所以,D(3,8).(2)∵直线CD的斜率K CD==5,所以CD边上的高线所在直线的斜率为,故△ACD中,CD边上的高线所在直线的方程为,即为x+5y﹣19=0.(3)∵C(2,3),D(3,8),∴,由C,D两点得直线CD的方程为:5x﹣y﹣7=0,∴点A到直线CD的距离为=,∴.20.如图在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,设E、F分别为PC、BD的中点.(Ⅰ)求证:EF∥平面PAD;(Ⅱ)求证:面PAB⊥平面PDC;(Ⅲ)求二面角B﹣PD﹣C的正切值.【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.【分析】(Ⅰ)利用线面平行的判定定理:连接AC,只需证明EF∥PA,利用中位线定理即可得证;(Ⅱ)利用面面垂直的判定定理:只需证明PA⊥面PDC,进而转化为证明PA⊥PD,PA⊥DC,易证三角形PAD为等腰直角三角形,可得PA⊥PD;由面PAD⊥面ABCD的性质及正方形ABCD的性质可证CD⊥面PAD,得CD⊥PA;(Ⅲ)设PD的中点为M,连结EM,MF,则EM⊥PD,由(Ⅱ)可证PD⊥平面EFM,则∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角,通过解Rt△FEM可得所求二面角的正切值;【解答】(Ⅰ)证明:ABCD为平行四边形,连结AC∩BD=F,F为AC中点,E为PC中点,∴在△CPA中EF∥PA,且PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,∴EF∥平面PAD;(Ⅱ)证明:因为面PAD⊥面ABCD,平面PAD∩面ABCD=AD,ABCD为正方形,∴CD⊥AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD,∴CD⊥PA,又,所以△PAD是等腰直角三角形,且,即PA⊥PD,CD∩PD=D,且CD、PD⊂面ABCD,PA⊥面PDC,又PA⊂面PAB,∴面PAB⊥面PDC;(Ⅲ)解:设PD的中点为M,连结EM,MF,则EM⊥PD,由(Ⅱ)知EF⊥面PDC,EF⊥PD,PD⊥面EFM,PD⊥MF,∠EMF是二面角B﹣PD﹣C 的平面角,Rt△FEM中,,,,故所求二面角的正切值为;21.一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥.在正常水位时,拱桥最高点距水面8m,拱桥内水面宽32m,船只在水面以上部分高6.5m,船顶部宽8m,故通行无阻,如图所示.(1)建立适当的平面直角坐标系,求正常水位时圆弧所在的圆的方程;(2)近日水位暴涨了2m,船已经不能通过桥洞了.船员必须加重船载,降低船身在水面以上的高度,试问:船身至少降低多少米才能通过桥洞?(精确到0.1m,)【考点】圆方程的综合应用.【分析】(1)在正常水位时,设水面与桥横截面的交线为x轴,过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系建立坐标系,利用|CD|=|CB|,确定圆的方程;(2)令x=4时,求得y≈7.6,即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m,即可求得通过桥洞,船身至少应该降低多少.【解答】解:(1)在正常水位时,设水面与桥横截面的交线为x轴,过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A,B,D三点的坐标分别为(﹣16,0),(16,0),(0,8).又圆心C在y轴上,故可设C(0,b).…因为|CD|=|CB|,所以,解得b=﹣12.…所以圆拱所在圆的方程为:x2+(y+12)2=(8+12)2=202=400…(2)当x=4时,求得y≈7.6,即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m,…距涨水后的水面约5.6m,因为船高6.5m,顶宽8m,所以船身至少降低6.5﹣5.6=0.9(m)以上,船才能顺利通过桥洞.…22.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°(Ⅰ)证明:AB⊥A1C;(Ⅱ)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积.【考点】直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】(Ⅰ)由题目给出的边的关系,可想到去AB中点O,连结OC,OA1,可通过证明AB⊥平面OA1C得要证的结论;(Ⅱ)在三角形OCA1中,由勾股定理得到OA1⊥OC,再根据OA1⊥AB,得到OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高,利用已知给出的边的长度,直接利用棱柱体积公式求体积.【解答】(Ⅰ)证明:如图,取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OC⊥AB.由于AB=AA1,,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C;(Ⅱ)解:由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,所以.又,则,故OA1⊥OC.因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.又△ABC的面积,故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积.23.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2=16和圆C2:(x﹣7)2+(y﹣4)2=4,(1)求过点(4,6)的圆C1的切线方程;(2)设P为坐标平面上的点,且满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍.试求所有满足条件的点P的坐标.【考点】直线和圆的方程的应用.【分析】(1)分类讨论,利用圆心到直线的距离等于半径,建立方程,求出k,即可求过点(4,6)的圆C1的切线方程;(2)设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程,根据⊙C1和⊙C2的半径,及直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2,可得⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离2倍,故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程,即可以求所有满足条件的点P的坐标.【解答】解:(1)若切线的斜率存在,可设切线的方程为y﹣6=k(x﹣4),则圆心C1到切线的距离,解得,所以切线的方程为:5x﹣12y+52=0;若切线的斜率不存在,则切线方程为x=4,符合题意.综上所述,过P点的圆C1的切线方程为5x﹣12y+52=0或x=4.…(2)设点P(a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为:y﹣b=k(x﹣a)(k≠0),即kx﹣y+b﹣ak=0(k≠0),则直线l2的方程为:,即x+ky﹣bk﹣a=0.因为圆C1的半径是圆C2的半径的2倍,及直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍,所以圆C1的圆心到直线l1的距离是圆C2的圆心到直线l2的距离的2倍,即…整理得|ak﹣b|=|2a﹣14+(2b﹣8)k|从而ak﹣b=2a﹣14+(2b﹣8)k或b﹣ak=2a﹣14+(2b﹣8)k,即(a﹣2b+8)k=2a+b﹣14或(a+2b﹣8)k=﹣2a+b+14,因为k的取值有无穷多个,所以或,…解得或,这样点P只可能是点P1(4,6)或点.经检验点P1和点P2满足题目条件.…2016年7月31日。
福建省厦门市2015届高三上学期期末质量检查数学文Word版及答案
厦门市2014-2015学年第一学期高三年级质量检测数学(文科)试题第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题所给的四个选项中有且只有一个答案是正确的1、已知集合|}02|{},2,1,0{<-==x x B A ,则=B AA.{0,1}B.{0,2}C.{1,2}D.{0,1,2}2、向量)4,2(),,1(-==b m a ,若λλ(b a =为实数),则m 的值为 A.2 B.-2 C.21 D.21- 3、函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0>x 时,1)(2+=x x f ,则=-)1(fA.1B.-1C.2D.-24、若53)sin(),,2(=-∈απππα,则=αtan A.34- B.34 C.-43 D.43 5、若关于y x ,的不等式组 0100≥+-≥+≤y kx y x x ,表示的平面区域是直角三角形区域,则正数k 的值为A.1B.2C.3D.46、如图,在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,E 是棱BC 上的一点,则三棱锥E C B D 111-的体积等于A.31B.125C.63 D.61 7、过双曲线C :19422=-y x 的左焦点作倾斜角为6π的直线l ,则直线l 与双曲线C 的交点情况是A.没有交点B.只有一个交点C.两个交点都在左支上D.两个交点分别在左、右支上8、已知m ∈R ,“函数12-+=m y x 有零点”是“函数x y m log =在(0,+∞)上为减函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9、如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体最长的棱的长度等于A.34B.41C.25D.15210、已知函数)(x f 的导函数)('x f 的图象如图所示,3)2()1(==-f f ,令)()1()(x f x x g -=,则不等式33)(-≥x x g 的解集是第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分。
福建师大附中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题
福建师大附中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题试卷说明:福建师大附中2015-2016学年高(上)期末数学试卷一、选择题:(每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)1.(5分)下列条件中,能使α∥β的条件是()A.平面α内有无数条直线平行于平面βB.平面α与平面β同平行于一条直线C.平面α内有两条直线平行于平面βD.平面α内有两条相交直线平行于平面β考点:平面与平面之间的位置关系..专题:规律型.分析:直接利用平面与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的定义,判断选项即可.解答:解:对于A,如果直线都是平行线,平面α不平行于平面β,所以A不正确;对于B,平面α与平面β同平行于一条直线,这条直线平行与两个平面的交线,两个平面也不平行,B不正确;对于C,平面α内有两条直线平行于平面β,不满足直线与平面平行的判定定理,所以C不正确;对于D,平面α内有两条相交直线平行于平面β,这是两个平面平行的判定定理,所以正确.故选D.点评:本题考查平面与平面平行的判定定理与定义的应用,基本知识的考查.2.(5分)直线x+y+1=0的倾斜角与在 y 轴上的截距分别是()A.135°,1B.45°,?1C.45°,1D.135°,?1考点:直线的截距式方程;直线的倾斜角..专题:计算题.分析:先求出直线的斜率,再求直线的倾斜角;在直线方程中,令x=0,能得到它在 y 轴上的截距.解答:解:∵直线x+y+1=0的斜率为?1,所以它的倾斜角为135°,在x+y+1=0中,由x=0,得y=?1,∴x+y+1=0在 y 轴上的截距为?1.故选D.点评:本题考查直线的倾斜角的求法和求直线的截距,解题时要注意公式的合理运用.3.(5分)三个平面把空间分成7部分时,它们的交线有()A.1条B.2条C.3条D.1条或2条考点:平面的基本性质及推论..分析:画出把空间分成7部分时的三个平面,如图产,可知它们的交线情况,从而解决问题.解答:解:根据题意,三个平面把空间分成7部分,此时三个平面两两相交,且有三条平行的交线.故选C.点评:本题主要考查了平面的基本性质及推论、确定平面的条件及空间想象的能力,属于基础题.4.(5分)已知直线l1:ax?y+a=0,l2:(2a?3)x+ay?a=0互相平行,则a的值是()A.1B.?3C.1或?3D.0考点:直线的一般式方程与直线的平行关系..专题:计算题;直线与圆.分析:利用两条直线平行,斜率相等,建立等式即可求a的值.解答:解:因为直线l1:ax?y+a=0,的斜率存在,斜率为a,要使两条直线平行,必有l2:(2a?3)x+ay?a=0的斜率为a,即=a,解得 a=?3或a=1,当a=1时,已知直线l1:ax?y+a=0,l2:(2a?3)x+ay?a=0,两直线重合,当a=?3时,已知直线l1:?3x+y?3=0与直线l2:?3x?y=1,两直线平行,则实数a的值为?3.故选B.点评:本题考查两条直线平行的判定,是基础题.本题先用斜率相等求出参数的值,再代入验证,是解本题的常用方法5.(5分)(2009?浙江)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,以下命题正确的是()A.若l⊥α,α⊥β,则l?βB.若l∥α,α∥β,则l?βC.若l⊥α,α∥β,则l⊥βD.若l∥α,α⊥β,则l⊥β考点:空间中直线与平面之间的位置关系..分析:本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系,逐一分析四个答案中的结论,发现A,B,D中由条件均可能得到l∥β,即A,B,D三个答案均错误,只有C满足平面平行的性质,分析后不难得出答案.解答:解:若l ⊥α,α⊥β,则l?β或l∥β,故A错误;若l∥α,α∥β,则l?β或l∥β,故B错误;若l⊥α,α∥β,由平面平行的性质,我们可得l⊥β,故C正确;若l∥α,α⊥β,则l⊥β或l∥β,故D错误;故选C点评:判断或证明线面平行的常用方法有:①利用线面平行的定义(无公共点);②利用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a ∥α);③利用面面平行的性质定理(α∥β,a?α?a∥β);④利用面面平行的性质(α∥β,a?α,a?,a∥α??a∥β).线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.垂直问题的证明,其一般规律是“由已知想性质,由求证想判定”,也就是说,根据已知条件去思考有关的性质定理;根据要求证的结论去思考有关的判定定理,往往需要将分析与综合的思路结合起来.6.(5分)已知点M(a,b)在直线3x+4y=15上,则的最小值为()A.2B.3C.D.5考点:基本不等式..专题:计算题.分析:由题意可得,3a+4b=15,而a2+b2==,根据二次函数的性质可求解答:解:由题意可得,3a+4b=15∵a2+b2==根据二次函数的性质可得,当b=时有最小值9则的最小值为3故选B点评:本题主要考查了最值的求解,解题的关键是根据已知关系把所求的式子转化为二次函数的最值求解7.(5分)一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形OA′B′C′的面积为,则原梯形的面积为()A.2B.C.2D.4考点:平面图形的直观图..专题:计算题;作图题.分析:根据斜二测画法的规则将图形还原,平面图是一个直角梯形,面积易求.解答:解:如图,有斜二测画法原理知,平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的,不一样的是两个梯形的高,其高的关系是这样的:平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍,如直观图,OA'的长度是直观图中梯形的高的倍,由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的2×=2倍,故其面积是梯形OA′B′C′的面积2倍,梯形OA′B′C′的面积为,所以原梯形的面积是4.故应选D.点评:本题考查斜二测画法作图规则,属于规则逆用的题型.8.(5分)若P(2,?1)为圆(x?1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是()A.x?y?3=0B.2x+y?3=0C.x+y?1=0D.2x?y?5=0考点:直线和圆的方程的应用;直线与圆相交的性质..专题:计算题.分析:由圆心为O(1,0),由点P为弦的中点,则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率,再由点斜式求得其方程.解答:解:已知圆心为O(1,0)根据题意:Kop=kABkOP=?1kAB=1∴直线AB的方程是x?y?3=0故选A点评:本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用,主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直.9.(5分)长方体的三个相邻面的面积分别是2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为()A.B.56πC.14πD.16π考点:球的体积和表面积..专题:计算题.分析:根据题意可得长方体的三条棱长,再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线,求出长方体的对角线,即可得到球的直径,进而根据球的表面积公式求出球的表面积.解答:解:因为长方体相邻的三个面的面积分别是2,3,6,∴长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,2,1,又因为长方体的8个顶点都在同一个球面上,所以长方体的对角线就是圆的直径,因为长方体的体对角线的长是:球的半径是:这个球的表面积:4 =14π故选C.点评:解决此类问题的关键是熟练掌握常用几何体的结构特征,以及球的内接多面体的有关知识,球的表面积公式,而解决此题的关键是知道球的直径与长方体的体对角线,考查计算能力,空间想象能力,此题属于基础题.10.(5分)(2009?宁夏)已知圆C1:(x+1)2+(y?1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x?y?1=0对称,则圆C2的方程为()A.(x+2)2+(y?2)2=1B.(x?2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x?2)2+(y?2)2=1考点:关于点、直线对称的圆的方程..专题:计算题.分析:求出圆C1:(x+1)2+(y?1)2=1的圆心坐标,关于直线x?y?1=0对称的圆心坐标求出,即可得到圆C2的方程.解答:解:圆C1:(x+1)2+(y?1)2=1的圆心坐标(?1,1),关于直线x?y?1=0对称的圆心坐标为(2,?2)所求的圆C2的方程为:(x?2)2+(y+2)2=1故选B点评:本题是基础题,考查点关于直线对称的圆的方程的求法,考查计算能力,注意对称点的坐标的求法是本题的关键.11.(5分)M(x0,y0)为圆x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的一点,则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为()A.相切B.相交C.相离D.相切或相交考点:直线与圆的位置关系..专题:计算题.分析:由圆的方程找出圆心坐标与半径,因为M为圆内一点,所以M到圆心的距离小于圆的半径,利用两点间的距离公式表示出一个不等式,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d,根据求出的不等式即可得到d大于半径r,得到直线与圆的位置关系是相离.解答:解:由圆的方程得到圆心坐标为(0,0),半径r=a,由M为圆内一点得到:<a,则圆心到已知直线的距离d=>=a=r,所以直线与圆的位置关系为:相离.故选C点评:此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法,灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值,是一道综合题.12.(5分)如图,正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F,且EF=,则下列结论中错误的是()A.AC⊥BEB.EF ∥平面ABCD C.三棱锥A?BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等考点:棱柱的结构特征..专题:计算题.分析:A.AC⊥BE,可由线面垂直证两线垂直;B.EF∥平面ABCD,可由线面平行的定义证线面平行;C.三棱锥A?BEF 的体积为定值,可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值;D.由图形可以看出,B到线段EF的距离与A到EF 的距离不相等,故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确.福建师大附中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题。
福建省厦门市高一数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年福建省厦门市高一(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出四个选项,只有一个选项符合题目要求.1.设集合A={﹣2,﹣1,1},B={x∈Z|﹣1≤x≤1},则A∪B=()A.{﹣1,1} B.{0,1} C.{﹣2,﹣1,1} D.{﹣2,﹣1,0,1}2.已知f(x﹣1)=2x,则f(3)=()A.2 B.4 C.6 D.83.在区间[﹣1,3]内任选一个实数,则x恰好在区间[1,3]内的概率是()A.B.C.D.4.某产品的广告费x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表:广告费用x 2 3 5 6销售额y 20 30 40 50由最小二乘法可得回归方程=7x+a,据此预测,当广告费用为7万元时,销售额约为()A.56万元B.58万元C.68万元D.70万元5.运行如图的程序,若输入的数为1,则输出的数是()A.﹣2 B.0 C.1 D.36.已知a=log0.50.9,b=log0.50.8,c=0.5﹣0.9,则()A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.c<a<b7.已知函数f(x)=3x,对于定义域内任意的x1,x2(x1≠x2),给出如下结论:①f(x1+x2)=f(x1)•f(x2)②f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)③>0④f(﹣x1)+f(﹣x2)=f(x1)+f(x2)其中正确结论的序号是()A.①③ B.①④ C.②③ D.②④8.甲、乙两位运动员6场比赛的茎叶图如图所示,记甲、乙的平均成绩分别为,,下列判断正确的是()A.>,甲比乙成绩稳定B.>,乙比甲成绩稳定C.<,甲比乙成绩稳定D.<,乙比甲成绩稳定9.在标准化的考试中既有单选题又有多选题,多选题是从A,B,C,D四个选项中选出所有正确的答案(正确答案可能是一个或多个选项),有一道多选题考生不会做,若他随机作答,则他答对的概率是()A.B.C.D.10.函数f(x)=2的图象大致是()A.B.C.D.11.阅读如图所示的程序框图,若输出d=0.1,a=0,b=0.5,则输出的结果是()参考数据:x f(x)=2x﹣3x0.25 0.440.375 0.170.4375 0.040.46875 ﹣0.020.5 ﹣0.08A.0.375 B.0.4375 C.0.46875 D.0.512.已知[t]表示不超过t的最大整数,例如[1.25]=1,[2]=2,若关于x的方程=a在(1,+∞)恰有2个不同的实数解,则实数a的取值范围是()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(,2] D.[,2]二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.一个田径队中有男运动员56人,女运动员42人,用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本,其中男运动员应抽取人.14.已知函数f(x)=x2﹣2x+3的定义域为[0,3],则函数f(x)的值域为.15.在不同的进位制之间的转化中,若132(k)=42(10),则k= .16.已知函数f(x)=|log2x|,g(x)=,若对任意x∈[a,+∞),总存在两个x0∈[,4],使得g(x)•f(x0)=1,则实数a的取值范围是.三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知R为实数集,集合A={x|log2x≥1},B={x|x﹣a>4}.(Ⅰ)若a=2,求A∩(∁R B);(Ⅱ)若A∪B=B,求实数a的取值范围.18.某校举行一次安全知识教育检查活动,从全校1500名学生中随机抽取50名参加笔试,测试成绩的频率分布表如下:分组(分数段)频数(人数)频率[50,60) a 0.08[60,70) 13 0.26[70,80) 16 0.32[80,90) 10 0.20[90,100) b c合计 50 1.00(Ⅰ)请根据频率分布表写出a,b,c的值,并完成频率分布直方图;(Ⅱ)根据(Ⅰ)得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数,选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是什么?19.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x a(a∈R),函数f(x)的图象经过点(4,2).(1)求函数f(x)的解析式;(2)解不等式f(x2)﹣f(﹣x2+x﹣1)>0.20.联合国教科文组织规定:一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的10%以上(含10%),该国家或地区就进入了老龄化社会,结合统计数据发现,某地区人口数在一段时间内可近似表示为P(x)=(万),60岁以上的人口数可近似表示为L(x)=10×[1+k%•(x﹣2010)](万)(x为年份,W,k为常数),根据第六次全国人口普查公报,2010年该地区人口共计105万.(Ⅰ)求W的值,判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万,并说明理由;(Ⅱ)已知该地区2013年恰好进入老龄化社会,请预测2040年该地区60岁以上人口数(精确到1万).参考数据“0.942=0.88,0.943=0.83,139420=0.29,0.9430=0.16.21.某港口船舶停靠的方案是先到先停.(Ⅰ)若甲乙两艘船同时到达港口,双方约定各派一名代表猜拳:从1,2,3,4,5中各随机选一个数,若两数之和为奇数,则甲先停靠;若两数之和为偶数,则乙先停靠,这种对着是否公平?请说明理由.(2)根据已往经验,甲船将于早上7:00~8:00到达,乙船将于早上7:30~8:30到达,请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率,随机数模拟实验数据参考如下:记X,Y都是0~1之间的均与随机数,用计算机做了100次试验,得到的结果有12次,满足X﹣Y≥0.5,有6次满足X﹣2Y≥0.5.22.设函数f(x)=(Ⅰ)若a=1,在直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象;(Ⅱ)若f(x)≥2﹣x对任意x∈[1,2]恒成立,求实数a的取值范围;(Ⅲ)若函数f(x)恰有2个零点,求实数a的取值范围.2015-2016学年福建省厦门市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出四个选项,只有一个选项符合题目要求.1.设集合A={﹣2,﹣1,1},B={x∈Z|﹣1≤x≤1},则A∪B=()A.{﹣1,1} B.{0,1} C.{﹣2,﹣1,1} D.{﹣2,﹣1,0,1}【考点】并集及其运算.【专题】计算题;集合.【分析】列举出B中的元素确定出B,找出A与B的并集即可.【解答】解:∵A={﹣2,﹣1,1},B={x∈Z|﹣1≤x≤1}={﹣1,0,1},∴A∪B={﹣2,﹣1,0,1},故选:D.【点评】此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.2.已知f(x﹣1)=2x,则f(3)=()A.2 B.4 C.6 D.8【考点】函数的值.【专题】计算题;函数思想;同一法;函数的性质及应用.【分析】令x﹣1=3,求出x的值,代入可得答案.【解答】解:∵f(x﹣1)=2x,令x﹣1=3,则x=4,∴f(3)=2×4=8,故选:D【点评】本题考查的知识点是函数的值,难度不大,属于基础题.3.在区间[﹣1,3]内任选一个实数,则x恰好在区间[1,3]内的概率是()A.B.C.D.【考点】几何概型.【专题】计算题;方程思想;综合法;概率与统计.【分析】本题利用几何概型求概率,解得的区间长度,求比值即得.【解答】解:利用几何概型,其测度为线段的长度,区间[﹣1,3]的长度为4,区间[1,3]长度为2,由几何概型公式得x恰好在区间[1,3]内的概率是为=.故选:C.【点评】本题主要考查了几何概型,简单地说,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.4.某产品的广告费x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表:广告费用x 2 3 5 6销售额y 20 30 40 50由最小二乘法可得回归方程=7x+a,据此预测,当广告费用为7万元时,销售额约为()A.56万元B.58万元C.68万元D.70万元【考点】线性回归方程.【专题】函数思想;综合法;概率与统计.【分析】求出数据中心(,),代入回归方程求出,再将x=7代入回归方程得出答案.【解答】解: ==4, ==35.∴35=4×7+,解得=7.∴回归方程为=7x+7.∴当x=7时,y=7×7+7=56.故选:A.【点评】本题考查了线性回归方程的特点与数值估计,属于基础题.5.运行如图的程序,若输入的数为1,则输出的数是()A.﹣2 B.0 C.1 D.3【考点】伪代码;程序框图.【专题】计算题;阅读型;分类讨论;算法和程序框图.【分析】模拟执行程序代码,可得程序的功能是计算并输出y=,由x=1满足条件x≥0,执行输出y=2x+1即可得解.【解答】解:模拟执行程序代码,可得程序的功能是计算并输出y=,x=1,满足条件a≥0,执行y=2x+1=3,输出y的值为3.故选:D.【点评】本题考查的知识点是条件结构,其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键,属于基础题.6.已知a=log0.50.9,b=log0.50.8,c=0.5﹣0.9,则()A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.c<a<b【考点】对数值大小的比较.【专题】计算题;函数思想;分析法;函数的性质及应用.【分析】利用对数函数的单调性比较a,b,再以1为媒介比较b,c得答案.【解答】解:∵log0.50.9<log0.50.8<log0.50.5=1,0.5﹣0.9>0.50=1,∴a<b<c.故选:B.【点评】本题考查对数值的大小比较,考查了对数函数与指数函数的单调性,是基础题.7.已知函数f(x)=3x,对于定义域内任意的x1,x2(x1≠x2),给出如下结论:①f(x1+x2)=f(x1)•f(x2)②f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)③>0④f(﹣x1)+f(﹣x2)=f(x1)+f(x2)其中正确结论的序号是()A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【考点】指数函数的图象与性质.【专题】数形结合;定义法;函数的性质及应用.【分析】根据指数的运算法则即可①正确,②错误,④错误;根据函数f(x)=3x的单调性可以判断③正确.【解答】解:关于函数f(x)=3x,对于定义域内任意的x1,x2(x1≠x2):①f(x1+x2)==•=f(x1)•f(x2),∴①正确;②f(x1•x2)=≠+=f(x1)+f(x2),∴②错误;③f(x)=3x是定义域上的增函数,f′(x)=k=>0,∴③正确;④f(﹣x1)+f(﹣x2)=+≠+=f(x1)+f(x2),∴④错误;综上,正确结论的序号是①③.故选:A.【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题,解题时应结合指数的运算性质与函数图象分析结论中式子的几何意义,再进行判断,是基础题目.8.甲、乙两位运动员6场比赛的茎叶图如图所示,记甲、乙的平均成绩分别为,,下列判断正确的是()A.>,甲比乙成绩稳定B.>,乙比甲成绩稳定C.<,甲比乙成绩稳定D.<,乙比甲成绩稳定【考点】茎叶图.【专题】对应思想;定义法;概率与统计.【分析】计算甲、乙二人得分的平均数与方差,即可得出正确的结论.【解答】解:6场比赛甲的得分为16、17、18、22、32和33,乙的得分为14、17、24、28、28和33;∴=(16+17+18+22+32+33)=23,=(14+17+24+28+28+33)=24,∴<;又=(49+36+25+1+81+100)=,=(100+49+0+16+16+81)=∴>,乙比甲成绩稳定些.故选:D.【点评】本题利用茎叶图中的数据计算平均数与方差的问题,也考查了计算能力,是基础题目.9.在标准化的考试中既有单选题又有多选题,多选题是从A,B,C,D四个选项中选出所有正确的答案(正确答案可能是一个或多个选项),有一道多选题考生不会做,若他随机作答,则他答对的概率是()A.B.C.D.【考点】互斥事件的概率加法公式;相互独立事件的概率乘法公式.【专题】计算题;方程思想;综合法;概率与统计.【分析】先求出基本事件总数,由此利用等可能事件概率计算公式能求出结果.【解答】解:由已知基本事件总数n==15,∴他随机作答,则他答对的概率p=.故选:C.【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.10.函数f(x)=2的图象大致是()A.B.C.D.【考点】函数的图象.【专题】作图题;函数思想;数形结合法;函数的性质及应用.【分析】根据指数函数和对数的函数的图象和性质即可判断.【解答】解:因为t=log3x的函数为增函数,且函数值的变化越来越慢,即图象的变化越来越趋向于平缓,又因为y=2t为增函数,其图象的变化是函数值的变化越来越慢,故选:B.【点评】本题考查了指数函数和对数的函数的图象和性质,属于基础题.11.阅读如图所示的程序框图,若输出d=0.1,a=0,b=0.5,则输出的结果是()参考数据:x f(x)=2x﹣3x0.25 0.440.375 0.170.4375 0.040.46875 ﹣0.020.5 ﹣0.08A.0.375 B.0.4375 C.0.46875 D.0.5【考点】程序框图.【专题】计算题;图表型;数学模型法;算法和程序框图.【分析】根据题意,按照程序框图的顺序进行执行,当|a﹣b|=0.0625,满足条件|a﹣b|<d,退出循环,输出m的值为0.4375.【解答】解:模拟执行程序,可得:f(x)=2x﹣3x,d=0.1,a=0,b=0.5,m=0.25,不满足条件f(0)f(0.25)<0,a=0.25,|a﹣b|=0.25,不满足条件|a﹣b|<d或f(m)=0,m=0.375,不满足条件f(0. 25)f(0.375)<0,a=0.375,|a﹣b|=0.125,不满足条件|a﹣b|<d或f(m)=0,m=0.4375,不满足条件f(0.375)f(0.4375)<0,a=0.4375,|a﹣b|=0.0625,满足条件|a﹣b|<d,退出循环,输出m的值为0.4375.故选:B.【点评】本题考查了循环结构的程序框图,根据表中函数的值,按照程序框图的顺序进行执行求解即可,考查了用二分法方程近似解的方法步骤,属于基础题.12.已知[t]表示不超过t的最大整数,例如[1.25]=1,[2]=2,若关于x的方程=a在(1,+∞)恰有2个不同的实数解,则实数a的取值范围是()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(,2] D.[,2]【考点】根的存在性及根的个数判断.【专题】计算题;作图题;数形结合;函数的性质及应用.【分析】化为解y=[x]与y=a(x﹣1)在(1,+∞)上恰有2个不同的交点,从而作图求解即可.【解答】解:∵关于x的方程=a在(1,+∞)恰有2个不同的实数解,∴y=[x]与y=a(x﹣1)在(1,+∞)上恰有2个不同的交点,作函数y=[x]与y=a(x﹣1)在(1,+∞)上的图象如下,,结合图象可知,k l=2,k m=,实数a的取值范围是(,2],故选C.【点评】本题考查了方程的解与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.一个田径队中有男运动员56人,女运动员42人,用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本,其中男运动员应抽取16 人.【考点】分层抽样方法.【专题】计算题.【分析】先求出样本容量与总人数的比,在分层抽样中,应该按比例抽取,所以只需让男运动员人数乘以这个比值,即为男运动员应抽取的人数.【解答】解:∵运动员总数有98人,样本容量为28,样本容量占总人数的∴男运动员应抽取56×=16;故答案为16.【点评】本题主要考查了抽样方法中的分层抽样,关键是找到样本容量与总人数的比.14.已知函数f(x)=x2﹣2x+3的定义域为[0,3],则函数f(x)的值域为[2,6] .【考点】函数的值域.【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】配方得到f(x)=(x﹣1)2+2,而f(x)的定义域为[0,3],这样便可求出f(x)的最大值和最小值,从而求出f(x)的值域.【解答】解:f(x)=(x﹣1)2+2;∵x∈[0,3];∴x=1时,f(x)取最小值2;x=3时,f(x)取最大值6;∴f(x)的值域为[2,6].故答案为:[2,6].【点评】考查函数定义域、值域的概念,以及配方求二次函数值域的方法.15.在不同的进位制之间的转化中,若132(k)=42(10),则k= 5 .【考点】进位制.【专题】计算题;方程思想;转化思想;算法和程序框图.【分析】由已知中132(k)=42(10),可得:k2+3k+2=42,解得答案.【解答】解:∵132(k)=42(10),∴k2+3k+2=42,解得:k=5,或k=﹣8(舍去),故答案为:5【点评】本题考查的知识点是进位制,难度不大,属于基础题.16.已知函数f(x)=|log2x|,g(x)=,若对任意x∈[a,+∞),总存在两个x0∈[,4],使得g(x)•f(x0)=1,则实数a的取值范围是[2,+∞).【考点】对数函数的图象与性质.【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】根据g(x)的值域和g(x)•f(x0)=1得出f(x0)的范围,结合f(x)的图象得出f(x0)的范围解出a.【解答】解:f(x0)==,∵x∈[a,+∞),∴f(x0)≤,作出f(x)在[,4]上的函数图象如图:∵对任意x∈[a,+∞),总存在两个x0∈[,4],使得g(x)•f(x0)=1,∴0<≤1,解得a≥2.故答案为[2,+∞).【点评】本题考查了对数函数的图象与性质,结合函数图象是解题关键.三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知R为实数集,集合A={x|log2x≥1},B={x|x﹣a>4}.(Ⅰ)若a=2,求A∩(∁R B);(Ⅱ)若A∪B=B,求实数a的取值范围.【考点】集合的包含关系判断及应用;交、并、补集的混合运算.【专题】计算题;集合思想;综合法;集合.【分析】(Ⅰ)若a=2,求出A,∁R B,即可求A∩(∁R B);(Ⅱ)若A∪B=B,则A⊂B,即可求实数a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)∵log2x≥1,∴x≥2,即A=[2,+∞),∵a=2,∴B={x|x>6},∴∁R B=(﹣∞,6],∴A∩(∁R B)=[2,6];(Ⅱ)∵A∪B=B,∴A⊆B,∵A=[2,+∞),B={x|x>a+4},∴a+4<2,∴a<﹣2.【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于基础题.18.某校举行一次安全知识教育检查活动,从全校1500名学生中随机抽取50名参加笔试,测试成绩的频率分布表如下:分组(分数段)频数(人数)频率[50,60) a 0.08[60,70) 13 0.26[70,80) 16 0.32[80,90) 10 0.20[90,100) b c合计 50 1.00(Ⅰ)请根据频率分布表写出a,b,c的值,并完成频率分布直方图;(Ⅱ)根据(Ⅰ)得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数,选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是什么?【考点】众数、中位数、平均数;频率分布直方图.【专题】对应思想;综合法;概率与统计.【分析】(Ⅰ)由题意知分别求出a,b,c的值即可,由频率分布表能作出频率分布直方图.(Ⅱ)根据频率分布直方图,能估计出全校学生成绩的中位数.【解答】解:(Ⅰ)a=50×0.08=4,b=50﹣10﹣16﹣13﹣4=7,c=0.14,如图示:;(Ⅱ)根据(Ⅰ)得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数约是80分,选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是:不准确,很笼统.【点评】本题考查频率分布直方图的作法,考查中位数的估计,是基础题,解题时要认真审题.19.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x a(a∈R),函数f(x)的图象经过点(4,2).(1)求函数f(x)的解析式;(2)解不等式f(x2)﹣f(﹣x2+x﹣1)>0.【考点】函数奇偶性的性质;指数函数的图象与性质.【专题】综合题;转化思想;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.【分析】(1)根据函数f(x)的图象经过点(4,2).可得a值,结合f(x)是定义在R上的偶函数,可得函数的解析式;(2)不等式f(x2)﹣f(﹣x2+x﹣1)>0可化为:|x2|>|﹣x2+x﹣1|,即x2>x2﹣x+1,解得答案.【解答】解:(1)∵函数f(x)的图象经过点(4,2).∴4a=2,解得:a=,故当x≥0时,f(x)=,当x<0时,﹣x>0,由f(x)是定义在R上的偶函数,可得此时f(x)=f(﹣x)=,综上可得:f(x)=(2)若f(x2)﹣f(﹣x2+x﹣1)>0,则f(x2)>f(﹣x2+x﹣1),则|x2|>|﹣x2+x﹣1|,即x2>x2﹣x+1,解得:x>1【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性性质,不等式的解法,函数解析式的求法,难度中档.20.联合国教科文组织规定:一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的10%以上(含10%),该国家或地区就进入了老龄化社会,结合统计数据发现,某地区人口数在一段时间内可近似表示为P(x)=(万),60岁以上的人口数可近似表示为L(x)=10×[1+k%•(x﹣2010)](万)(x为年份,W,k为常数),根据第六次全国人口普查公报,2010年该地区人口共计105万.(Ⅰ)求W的值,判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万,并说明理由;(Ⅱ)已知该地区2013年恰好进入老龄化社会,请预测2040年该地区60岁以上人口数(精确到1万).参考数据“0.942=0.88,0.943=0.83,139420=0.29,0.9430=0.16.【考点】函数模型的选择与应用.【专题】应用题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】(Ⅰ)利用2010年该地区人口共计105万求W的值,利用≥142,即可判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万;(Ⅱ)利用该地区2013年恰好进入老龄化社会,求出k%≈,即可预测2040年该地区60岁以上人口数.【解答】解:(Ⅰ)∵2010年该地区人口共计105万,∴x=2010,P==105,∴W≈142.令≥142,∴0.35×(0.94)x﹣2010≤0无解,∴未来该地区的人口总数不可能突破142万;(Ⅰ)∵该地区2013年恰好进入老龄化社会,∴10×[1+k%•(2013﹣2010)]=10%×,∴k%≈,∴x=2040,L(2040)≈10×[1+•(2040﹣2010)]=20万【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,正确理解题意是关键.21.某港口船舶停靠的方案是先到先停.(Ⅰ)若甲乙两艘船同时到达港口,双方约定各派一名代表猜拳:从1,2,3,4,5中各随机选一个数,若两数之和为奇数,则甲先停靠;若两数之和为偶数,则乙先停靠,这种对着是否公平?请说明理由.(2)根据已往经验,甲船将于早上7:00~8:00到达,乙船将于早上7:30~8:30到达,请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率,随机数模拟实验数据参考如下:记X,Y都是0~1之间的均与随机数,用计算机做了100次试验,得到的结果有12次,满足X﹣Y≥0.5,有6次满足X﹣2Y≥0.5.【考点】模拟方法估计概率;几何概型.【专题】应用题;对应思想;转化法;概率与统计.【分析】(Ⅰ)这种规则不公平,求出甲胜的概率P(A)与乙胜的概率P(B),比较得出结论;(2)根据题意,求出应用随机模拟的方法甲船先停靠的概率值是X﹣Y≤0的对应值.【解答】解:(Ⅰ)这种规则是不公平的;设甲胜为事件A,乙胜为事件B,基本事件总数为5×5=25种,则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)∴甲胜的概率P(A)=,乙胜的概率P(B)=1﹣P(A)=;∴这种游戏规则是不公平;(2)根据题意,应用随机模拟的方法求出甲船先停靠的概率是P(C)=1﹣=0.88.【点评】本题考查了古典概型的概率与模拟方法估计概率的应用问题,求解的关键是掌握两种求概率的方法与定义及规则,是基础题.22.设函数f(x)=(Ⅰ)若a=1,在直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象;(Ⅱ)若f(x)≥2﹣x对任意x∈[1,2]恒成立,求实数a的取值范围;(Ⅲ)若函数f(x)恰有2个零点,求实数a的取值范围.【考点】分段函数的应用;函数零点的判定定理.【专题】作图题;数形结合;分类讨论;分类法;函数的性质及应用.【分析】(Ⅰ)若a=1,则f(x)=,进而可得函数的图象;(Ⅱ)若f(x)≥2﹣x对任意x∈[1,2]恒成立,即x2+(1﹣4a)x+(3a2﹣2)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,结合二次函数的图象和性质,可得答案;(Ⅲ)若函数f(x)恰有2个零点,则,或解得答案.【解答】解:(Ⅰ)若a=1,则f(x)=,函数f(x)的图象如下图所示:;(Ⅱ)若f(x)≥2﹣x对任意x∈[1,2]恒成立,即x2﹣4ax+3a2≥2﹣x对任意x∈[1,2]恒成立,即x2+(1﹣4a)x+(3a2﹣2)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,由y=x2+(1﹣4a)x+(3a2﹣2)的图象是开口朝上,且以直线x=为对称轴的抛物线,故,或,或解得:a≤0,或a≥2,(Ⅲ)解3x﹣a=0得:x=log3a,解x2﹣4ax+3a2=0得:x=a,或x=3a若函数f(x)恰有2个零点,则,或解得:a≥3,或≤a<1.【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数恒成立问题,二次函数的图象和性质,函数的零点,难度中档.。
2016-2017学年厦门市高一(上)期末数学试卷((有答案))AlPnPw
2016-2017学年福建省厦门市高一(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={3,4},B={1,2},则(∁U A)∩B等于()A.{1,2}B.[1,3}C.{1,2,5}D.{1,2,3}2.(5分)下列函数中,是奇函数且在(0,+∞)上单调递减的是()A.y=x﹣1B.y=()x C.y=x3 D.3.(5分)用系统抽样方法从编号为1,2,3,…,700的学生中抽样50人,若第2段中编号为20的学生被抽中,则第5段中被抽中的学生编号为()A.48 B.62 C.76 D.904.(5分)如图所示为某城市去年风向频率图,图中A点表示该城市去年有的天数吹北风,点表示该城B市去年有10%的天数吹东南风,下面叙述不正确的是()A.去年吹西北风和吹东风的频率接近B.去年几乎不吹西风C.去年吹东风的天数超过100天D.去年吹西南风的频率为15%左右5.(5分)已知函数f(x)=|lnx﹣|,若a≠b,f(a)=f(b),则ab等于()A.1 B.e﹣1C.e D.e26.(5分)保险柜的密码由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的四个数字组成,假设一个人记不清自己的保险柜密码,只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列,则最多输入2次就能开锁的频率是()A.B.C.D.7.(5分)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为98,63,则输出的a为()A.0 B.7 C.14 D.288.(5分)已知函数y=a x(a>0且a≠1)是减函数,则下列函数图象正确的是()A.B.C.D.9.(5分)已知f(x)=ln(1﹣)+1,则f(﹣7)+f(﹣5 )+f(﹣3)+f(﹣1)+f(3 )+f (5)+f(7 )+f(9)=()A.0 B.4 C.8 D.1610.(5分)矩形ABCD中,AB=2,AD=1,在矩形ABCD的边CD上随机取一点E,记“△AEB的最大边是AB”为事件M,则P(M)等于()A.2﹣B.﹣1 C.D.11.(5分)元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》一书,是中国古代数学的重要著作之一,共分卷首、上卷、中卷、下卷四卷,下卷中《果垛叠藏》第一问是:“今有三角垛果子一所,值钱一贯三百二十文,只云从上一个值钱二文,次下层层每个累贯一文,问底子每面几何?”据此,绘制如图所示程序框图,求得底面每边的果子数n为()A.7 B.8 C.9 D.1012.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=|x﹣1|,若方程f(x)=有4个不相等的实根,则实数a的取值范围是()A.(﹣,1)B.(,1)C.(,1)D.(﹣1,)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示,则这些成绩的中位数为.14.(5分)空气质量指数(AirQualityIndex,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数.AQI 数值越小,说明空气质量越好.某地区1月份平均AQI(y)与年份(x)具有线性相关关系.下列最近3年的数据:年份2014201520161月份平均AQI(y)766848根据数据求得y关于x的线性回归方程为=﹣14x+a,则可预测2017年1月份该地区的平均AQI为.15.(5分)已知f(x)=x3+(a﹣1)x2是奇函数,则不等式f(ax)>f(a﹣x)的解集是.16.(5分)已知函数f(x)=,若存在实数k使得函数f(x)的值域为[0,2],则实数a的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)已知集合A={x|x<﹣2或x>0},B={x|()x≥3}(Ⅰ)求A∪B(Ⅱ)若集合C={x|a<x≤a+1},且A∩C=C,求a的取值范围.18.(12分)已知函数f(x)=,(x>0且a≠1)的图象经过点(﹣2,3).(Ⅰ)求a的值,并在给出的直角坐标系中画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)若f(x)在区间(m,m+1)上是单调函数,求m的取值范围.19.(12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖,抽奖有两种方案可供选择.方案一:从装有4个红球和2个白球的不透明箱中,随机摸出2个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖;方案二:掷2颗骰子,如果出现的点数至少有一个为4则中奖,否则不中奖.(注:骰子(或球)的大小、形状、质地均相同)(Ⅰ)有顾客认为,在方案一种,箱子中的红球个数比白球个数多,所以中奖的概率大于.你认为正确吗?请说明理由;(Ⅱ)如果是你参加抽奖,你会选择哪种方案?请说明理由.20.(12分)下面给出了2010年亚洲一些国家的国民平均寿命(单位:岁)国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命阿曼76.1巴林76.1朝鲜68.9韩国80.6老挝64.3蒙古67.6缅甸64.9日本82.8泰国73.7约旦73.4越南75.0中国74.8伊朗74.0印度66.5文莱77.6也门62.8阿富汗59.0阿联酋76.7东帝汶67.3柬埔寨66.4卡塔尔77.8科威特74.1菲律宾67.8黎巴嫩78.5尼泊尔68.0土耳其74.1伊拉克68.5以色列81.6新加坡81.5叙利亚72.3巴基斯坦65.2马来西亚74.2孟加拉国70.1塞浦路斯79.4沙特阿拉伯73.7哈萨克斯坦68.3印度尼西亚68.2土库曼斯坦65.0吉尔吉斯斯坦69.3乌兹别克斯坦67.9(Ⅰ)请补齐频率分布表,并求出相应频率分布直方图中的a,b;分组频数频率[59.0,63.0)20.05[63.0,67.0)[67.0,71.0)[71.0,75.0)90.225[75.0,7.0)70.175[79.0,83.0]50.125合计40 1.00(Ⅱ)请根据统计思想,利用(Ⅰ)中的频率分布直方图估计亚洲人民的平均寿命.21.(12分)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2,三月底测得覆盖面积为36m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=ka x(k>0,a>1)与y=px+q (p>0)可供选择.(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(Ⅱ)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)22.(12分)已知函数f(x)=x2+ax(a>0)在[﹣1,2]上的最大值为8,函数g(x)是h(x)=e x的反函数.(1)求函数g(f(x))的单调区间;(2)求证:函数y=f(x)h(x)﹣(x>0)恰有一个零点x0,且g(x0)<x02h(x0)﹣1(参考数据:e=2.71828…,ln2≈0.693).2016-2017学年福建省厦门市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={3,4},B={1,2},则(∁U A)∩B等于()A.{1,2}B.[1,3}C.{1,2,5}D.{1,2,3}【解答】解:全集U={1,2,3,4,5},集合A={3,4},B={1,2},则∁U A={1,2,5},∴(∁U A)∩B={1,2}.故选:A.2.(5分)下列函数中,是奇函数且在(0,+∞)上单调递减的是()A.y=x﹣1B.y=()x C.y=x3 D.【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A、y=x﹣1=,是奇函数,且其在(0,+∞)上单调递减,符合题意;对于B、y=()x是指数函数,不是奇函数,不符合题意;对于C、y=x3是幂函数,是奇函数但其在(0,+∞)上单调递增,不符合题意;对于D、y=是对数函数,不是奇函数,不符合题意;故选:A.3.(5分)用系统抽样方法从编号为1,2,3,…,700的学生中抽样50人,若第2段中编号为20的学生被抽中,则第5段中被抽中的学生编号为()A.48 B.62 C.76 D.90【解答】解:因为是从700名学生中抽出50名学生,组距是14,∵第2段中编号为20的学生被抽中,∴第5组抽取的为20+3×14=62号,故选B.4.(5分)如图所示为某城市去年风向频率图,图中A点表示该城市去年有的天数吹北风,点表示该城B市去年有10%的天数吹东南风,下面叙述不正确的是()A.去年吹西北风和吹东风的频率接近B.去年几乎不吹西风C.去年吹东风的天数超过100天D.去年吹西南风的频率为15%左右【解答】解:根据风向频率图,可知去年吹西南风的频率为5%左右,故选D.5.(5分)已知函数f(x)=|lnx﹣|,若a≠b,f(a)=f(b),则ab等于()A.1 B.e﹣1C.e D.e2【解答】解:∵函数f(x)=|lnx﹣|,a≠b,f(a)=f(b),∴|lna﹣|=|lnb﹣|,∴lna﹣=lnb﹣或lna﹣=,即lna=lnb或ln(ab)=1,解得a=b(舍)或ab=e.∴ab=e.故选:C.6.(5分)保险柜的密码由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的四个数字组成,假设一个人记不清自己的保险柜密码,只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列,则最多输入2次就能开锁的频率是()A.B.C.D.【解答】解:满足条件的数分别是1,3,5,7,9,共1,3,5,7;1,3,5,9;1,3,7,9;1,5,7,9;3,5,7,9 共5种密码,最多输入2次就能开锁的频率是p=,故选:C.7.(5分)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为98,63,则输出的a为()A.0 B.7 C.14 D.28【解答】解:由程序框图可知:a=98>63=b,∴a←35=98﹣63,b←28=63﹣35,∴a←7=35﹣28,b←21←28﹣7,a←14=21﹣7,b←7=21﹣14,a←7=14﹣7,则a=b=7,因此输出的a为7.故选:B.8.(5分)已知函数y=a x(a>0且a≠1)是减函数,则下列函数图象正确的是()A.B.C.D.【解答】解:函数y=a x(a>0且a≠1)是减函数,是指数函数,a∈(0,1),函数y=x a的图象为:所以A不正确;y=x﹣a,第一象限的图象为:第三象限也可能有图象.所以B不正确;y=log a x,是减函数,所以选项C不正确;y=log a(﹣x),定义域是x<0,是增函数,所以D正确.故选:D.9.(5分)已知f(x)=ln(1﹣)+1,则f(﹣7)+f(﹣5 )+f(﹣3)+f(﹣1)+f(3 )+f (5)+f(7 )+f(9)=()A.0 B.4 C.8 D.16【解答】解:∵f(x)=ln(1﹣)+1,则f(﹣7)=ln9﹣ln7+1,f(﹣5 )=ln7﹣ln5+1,f(﹣3)=ln5﹣ln3+1,f(﹣1)=ln3+1,f(3 )=﹣ln3+1,f(5)=ln3﹣ln5+1,f(7 )=ln5﹣ln7+1,f(9)=ln7﹣ln9+1,则f(﹣7)+f(﹣5 )+f(﹣3)+f(﹣1)+f(3 )+f(5)+f(7 )+f(9)=8,故选:C.10.(5分)矩形ABCD中,AB=2,AD=1,在矩形ABCD的边CD上随机取一点E,记“△AEB的最大边是AB”为事件M,则P(M)等于()A.2﹣B.﹣1 C.D.【解答】解:分别以A、B为圆心,AB为半径作弧,交C、D于P1,P2,当E在线段P1P2间运动时,能使得△ABE的最大边为AB,∵在矩形中ABCD中,AB=2,AD=1,∴AP1=BP2=2,∴CP1=DP2=2﹣,∴P1P2=2﹣2(2﹣)=2﹣2,∴△ABE的最大边是AB的概率:p==﹣1故选:B.11.(5分)元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》一书,是中国古代数学的重要著作之一,共分卷首、上卷、中卷、下卷四卷,下卷中《果垛叠藏》第一问是:“今有三角垛果子一所,值钱一贯三百二十文,只云从上一个值钱二文,次下层层每个累贯一文,问底子每面几何?”据此,绘制如图所示程序框图,求得底面每边的果子数n为()A.7 B.8 C.9 D.10【解答】解:由S0=2,S n+1=S n+×(n+2),∴S9=2+++>1320,故选:C.12.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=|x﹣1|,若方程f(x)=有4个不相等的实根,则实数a的取值范围是()A.(﹣,1)B.(,1)C.(,1)D.(﹣1,)【解答】解:设x<0,则﹣x>0,∵当x≥0时,f(x)=|x﹣1|,∴f(﹣x)=|﹣x﹣1|=|x+1|,∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(x)=f(﹣x)=|x+1|,则f(x)=,即,由f(x)=得,f2(x)=x+a,画出函数y=x+a与y=f2(x)的图象,如图所示:由图知,当直线y=x+a过点A时有三个交点,且A(1,1),此时a=1,当直线y=x+a相切与点P时有三个交点,由图知,y=f2(x)=(x+1)2=x2+2x+1,则y′=2x+2,令y′=2x+2=1得x=,则y=,此时切点P(,),代入y=x+a得a=,∵方程f(x)=有4个不相等的实根,∴函数y=x+a与y=f2(x)的图象有四个不同的交点,由图可得,实数a的取值范围是(,1),故选B.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示,则这些成绩的中位数为85.【解答】解:由茎叶图得:学习小组6名同学的英语口试成绩从小到大为:76,81,84,86,87,90,∴这些成绩的中位数为:.故答案为:85.14.(5分)空气质量指数(AirQualityIndex,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数.AQI 数值越小,说明空气质量越好.某地区1月份平均AQI(y)与年份(x)具有线性相关关系.下列最近3年的数据:年份2014201520161月份平均AQI(y)766848根据数据求得y关于x的线性回归方程为=﹣14x+a,则可预测2017年1月份该地区的平均AQI为36.【解答】解:=2015,=64,故64=﹣14×2015+a,解得:a=14×2015+64,故2017年1月份该地区的平均AQI为:y=﹣14×2017+14×2015+64=36,故答案为:36.15.(5分)已知f(x)=x3+(a﹣1)x2是奇函数,则不等式f(ax)>f(a﹣x)的解集是{x|x>} .【解答】解:若f(x)=x3+(a﹣1)x2是奇函数,则a﹣1=0,即a=1,此时f(x)=x3,在R递增,则不等式f(ax)>f(a﹣x),即x>1﹣x,解得:x>,故不等式的解集是:{x|x>},故答案为:{x|x>}.16.(5分)已知函数f(x)=,若存在实数k使得函数f(x)的值域为[0,2],则实数a的取值范围是[1,2] .【解答】解:当﹣1≤x≤k时,函数f(x)=log2(1﹣x)+1为减函数,且在区间左端点处有f(﹣1)=2,令f(x)=0,解得x=,令f(x)=x|x﹣1|=2,解得x=2,∵f(x)的值域为[0,2],∴k≤,当k≤x≤a时,f(x)=x|x﹣1|=,∴f(x)在[k,],[1,a]上单调递增,在[,1]上单调递减,从而当x=1时,函数有最小值,即为f(1)=0函数在右端点的函数值为f(2)=2,∵f(x)的值域为[0,2],∴1≤a≤2故答案为:[1,2]三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)已知集合A={x|x<﹣2或x>0},B={x|()x≥3}(Ⅰ)求A∪B(Ⅱ)若集合C={x|a<x≤a+1},且A∩C=C,求a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)∵,且函数在R上为减函数,∴x≤﹣1.∴A∪B={x|x<﹣2或x>0}∪{x|x≤﹣1}={x|x≤﹣1或x>0};(Ⅱ)∵A∩C=C,∴C⊆A,∴a+1<﹣2或a≥0,解得a<﹣3或a≥0.18.(12分)已知函数f(x)=,(x>0且a≠1)的图象经过点(﹣2,3).(Ⅰ)求a的值,并在给出的直角坐标系中画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)若f(x)在区间(m,m+1)上是单调函数,求m的取值范围.【解答】本题满分(12分).解:(Ⅰ)∵函数的图象经过点(﹣2,3),∴a﹣2﹣1=3,解得,∴其图象如图所示:(Ⅱ)由(Ⅰ)可知函数的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(﹣∞,0),(2,+∞),∴m+1≤0或m≥2或,∴m的取值范围为m≤﹣1或0≤m≤1或m≥2.19.(12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖,抽奖有两种方案可供选择.方案一:从装有4个红球和2个白球的不透明箱中,随机摸出2个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖;方案二:掷2颗骰子,如果出现的点数至少有一个为4则中奖,否则不中奖.(注:骰子(或球)的大小、形状、质地均相同)(Ⅰ)有顾客认为,在方案一种,箱子中的红球个数比白球个数多,所以中奖的概率大于.你认为正确吗?请说明理由;(Ⅱ)如果是你参加抽奖,你会选择哪种方案?请说明理由.【解答】解:(Ⅰ)将4个红球分别记为a1,a2,a3,a4,2个白球分别记为b1,b2,则从箱中随机摸出2个球有以下结果:{a1,a2},{a1,a3},{a1,a4},{a1,b1},{a1,b2},{a2,a3},{a2,a4},{a2,b1},{a2,b2},{a3,a4},{a3,b1},{a3,b2},{a4,b1},{a4,b2},{b1,b2},总共15种,其中2个都是红球的有{a1,a2},{a1,a3},{a1,a4},{a2,a3},{a2,a4},{a3,a4}共6 种,所以方案一中奖的概率为,所以顾客的想法是错误的.(Ⅱ)抛掷2颗骰子,所有基本事件共有36种,其中出现的点数至少有一个4的基本事件有(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6)共11种,所以方案二中奖的概率为,所以应该选择方案一.20.(12分)下面给出了2010年亚洲一些国家的国民平均寿命(单位:岁)国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命阿曼76.1巴林76.1朝鲜68.9韩国80.6老挝64.3蒙古67.6缅甸64.9日本82.8泰国73.7约旦73.4越南75.0中国74.8伊朗74.0印度66.5文莱77.6也门62.8阿富汗59.0阿联酋76.7东帝汶67.3柬埔寨66.4卡塔尔77.8科威特74.1菲律宾67.8黎巴嫩78.5尼泊尔68.0土耳其74.1伊拉克68.5以色列81.6新加坡81.5叙利亚72.3巴基斯坦65.2马来西亚74.2孟加拉国70.1塞浦路斯79.4沙特阿拉伯73.7哈萨克斯坦68.3印度尼西亚68.2土库曼斯坦65.0吉尔吉斯斯坦69.3乌兹别克斯坦67.9(Ⅰ)请补齐频率分布表,并求出相应频率分布直方图中的a,b;分组频数频率[59.0,63.0)20.05[63.0,67.0)60.15[67.0,71.0)110.275[71.0,75.0)90.225[75.0,7.0)70.175[79.0,83.0]50.125合计40 1.00(Ⅱ)请根据统计思想,利用(Ⅰ)中的频率分布直方图估计亚洲人民的平均寿命.【解答】解:(Ⅰ)根据题意,计算[63.0,67.0)的频数是6,频率是=0.15;[67.0,71.0)的频数是11,频率是=0.275,补齐频率分布表如下;分组频数频率[59.0,63.0)20.05[63.0,67.0)60.15[67.0,71.0)11 0.275[71.0,75.0)90.225[75.0,7.0)70.175[79.0,83.0]50.125合计40 1.00计算a==0.05625,b==0.04375;(Ⅱ)由频率分布直方图可知,以上所有国家的国民平均寿命的平均数约为=61×0.05+65×0.15+69×0.275+73×0.225+77×0.175+81×0.125=71.8;根据统计思想,估计亚洲人民的平均寿命大约为71.8岁.21.(12分)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2,三月底测得覆盖面积为36m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=ka x(k>0,a>1)与y=px+q (p>0)可供选择.(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(Ⅱ)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)【解答】本小题满分(12分).解:(Ⅰ)两个函数y=ka x(k>0,a>1),在(0,+∞)上都是增函数,随着x的增加,函数y=ka x(k>0,a>1)的值增加的越来越快,而函数的值增加的越来越慢.由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,所以函数模型y=ka x(k>0,a>1)适合要求.由题意可知,x=2时,y=24;x=3时,y=36,所以解得所以该函数模型的解析式是(x∈N*).(Ⅱ)x=0时,,所以元旦放入凤眼莲面积是,由得,所以,因为,所以x≥6,所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.22.(12分)已知函数f(x)=x2+ax(a>0)在[﹣1,2]上的最大值为8,函数g(x)是h(x)=e x的反函数.(1)求函数g(f(x))的单调区间;(2)求证:函数y=f(x)h(x)﹣(x>0)恰有一个零点x0,且g(x0)<x02h(x0)﹣1(参考数据:e=2.71828…,ln2≈0.693).【解答】解:(1)函数g(x)是h(x)=e x的反函数,可得g(x)=lnx;函数f(x)=x2+ax(a>0)在[﹣1,2]上的最大值为8,只能是f(﹣1)=8或f(2)=8,即有1﹣a=8或4+2a=8,解得a=2(﹣7舍去),函数g(f(x))=ln(x2+2x),由x2+2x>0,可得x>0或x<﹣2.由复合函数的单调性,可得函数g(f(x))的单调增区间为(0,+∞);单调减区间为(﹣∞,﹣2);(2)证明:由(1)得:f(x)=x2+2x,即φ(x)=f(x)h(x)﹣,(x>0),设0<x1<x2,则x1﹣x2<0,x1x2>0,∴<0,∵f(x)在(0,+∞)递增且f(x)>0,∴f(x2)>f(x1)>0,∵>>0,∴f(x1)<f(x2),∴φ(x1)﹣φ(x2)=f(x1)﹣f(x2)+<0,即φ(x1)<φ(x2),∴φ(x)在(0,+∞)递增;∵φ()=﹣2>﹣2=0,φ()=﹣e<﹣e<0,即φ()φ()<0,∴函数y=f(x)h(x)﹣(x>0)恰有1个零点x0,且x0∈(,),∴(+2x0)﹣=0,即=,∴h(x0)﹣g(x0)=﹣lnx0=﹣lnx0,∵y=﹣lnx在(0,)上是减函数,∴﹣lnx0>﹣ln=+ln2>+0.6=1,即g(x0)<h(x0)﹣1,综上,函数y=f(x)h(x)﹣(x>0)恰有一个零点x0,且g(x0)<x02h(x0)﹣1.。
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2015-2016学年福建省厦门市高一(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出四个选项,只有一个选项符合题目要求.1.(5.00分)设集合A={﹣2,﹣1,1},B={x∈Z|﹣1≤x≤1},则A∪B=()A.{﹣1,1}B.{0,1}C.{﹣2,﹣1,1}D.{﹣2,﹣1,0,1} 2.(5.00分)已知f(x﹣1)=2x,则f(3)=()A.2 B.4 C.6 D.83.(5.00分)在区间[﹣1,3]内任选一个实数,则x恰好在区间[1,3]内的概率是()A .B .C .D .4.(5.00分)某产品的广告费x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表:由最小二乘法可得回归方程=7x+a,据此预测,当广告费用为7万元时,销售额约为()A.56万元B.58万元C.68万元D.70万元5.(5.00分)运行如图的程序,若输入的数为1,则输出的数是()A.﹣2 B.0 C.1 D.36.(5.00分)已知a=log0.50.9,b=log0.50.8,c=0.5﹣0.9,则()A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.c<a<b7.(5.00分)已知函数f(x)=3x,对于定义域内任意的x1,x2(x1≠x2),给出如下结论:①f(x1+x2)=f(x1)•f(x2)②f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)③>0④f(﹣x1)+f(﹣x2)=f(x1)+f(x2)其中正确结论的序号是()A.①③B.①④C.②③D.②④8.(5.00分)甲、乙两位运动员6场比赛的茎叶图如图所示,记甲、乙的平均成绩分别为,,下列判断正确的是()A.>,甲比乙成绩稳定 B.>,乙比甲成绩稳定C.<,甲比乙成绩稳定D.<,乙比甲成绩稳定9.(5.00分)在标准化的考试中既有单选题又有多选题,多选题是从A,B,C,D四个选项中选出所有正确的答案(正确答案可能是一个或多个选项),有一道多选题考生不会做,若他随机作答,则他答对的概率是()A.B.C.D.10.(5.00分)函数f(x)=2的图象大致是()A.B.C.D.11.(5.00分)阅读如图所示的程序框图,若输出d=0.1,a=0,b=0.5,则输出的结果是()参考数据:A.0.375 B.0.4375 C.0.46875 D.0.512.(5.00分)已知[t]表示不超过t的最大整数,例如[1.25]=1,[2]=2,若关于x的方程=a在(1,+∞)恰有2个不同的实数解,则实数a的取值范围是()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(,2]D.[,2]二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5.00分)一个田径队中有男运动员56人,女运动员42人,用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本,其中男运动员应抽取人.14.(5.00分)已知函数f(x)=x2﹣2x+3的定义域为[0,3],则函数f(x)的值域为.15.(5.00分)在不同的进位制之间的转化中,若132(k)=42(10),则k=.16.(5.00分)已知函数f(x)=|log2x|,g(x)=,若对任意x∈[a,+∞),总存在两个x0∈[,4],使得g(x)•f(x0)=1,则实数a的取值范围是.三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10.00分)已知R为实数集,集合A={x|log2x≥1},B={x|x﹣a>4}.(Ⅰ)若a=2,求A∩(∁R B);(Ⅱ)若A∪B=B,求实数a的取值范围.18.(12.00分)某校举行一次安全知识教育检查活动,从全校1500名学生中随机抽取50名参加笔试,测试成绩的频率分布表如下:(Ⅰ)请根据频率分布表写出a,b,c的值,并完成频率分布直方图;(Ⅱ)根据(Ⅰ)得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数,选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是什么?19.(12.00分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x a(a∈R),函数f(x)的图象经过点(4,2).(1)求函数f(x)的解析式;(2)解不等式f(x2)﹣f(﹣x2+x﹣1)>0.20.(12.00分)联合国教科文组织规定:一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的10%以上(含10%),该国家或地区就进入了老龄化社会,结合统计数据发现,某地区人口数在一段时间内可近似表示为P(x)=(万),60岁以上的人口数可近似表示为L(x)=10×[1+k%•(x﹣2010)](万)(x为年份,W,k为常数),根据第六次全国人口普查公报,2010年该地区人口共计105万.(Ⅰ)求W的值,判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万,并说明理由;(Ⅱ)已知该地区2013年恰好进入老龄化社会,请预测2040年该地区60岁以上人口数(精确到1万).参考数据“0.942=0.88,0.943=0.83,139420=0.29,0.9430=0.16.21.(12.00分)某港口船舶停靠的方案是先到先停.(Ⅰ)若甲乙两艘船同时到达港口,双方约定各派一名代表猜拳:从1,2,3,4,5中各随机选一个数,若两数之和为奇数,则甲先停靠;若两数之和为偶数,则乙先停靠,这种对着是否公平?请说明理由.(2)根据已往经验,甲船将于早上7:00~8:00到达,乙船将于早上7:30~8:30到达,请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率,随机数模拟实验数据参考如下:记X,Y都是0~1之间的均与随机数,用计算机做了100次试验,得到的结果有12次,满足X﹣Y≥0.5,有6次满足X﹣2Y≥0.5.22.(12.00分)设函数f(x)=(Ⅰ)若a=1,在直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象;(Ⅱ)若f(x)≥2﹣x对任意x∈[1,2]恒成立,求实数a的取值范围;(Ⅲ)若函数f(x)恰有2个零点,求实数a的取值范围.2015-2016学年福建省厦门市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出四个选项,只有一个选项符合题目要求.1.(5.00分)设集合A={﹣2,﹣1,1},B={x∈Z|﹣1≤x≤1},则A∪B=()A.{﹣1,1}B.{0,1}C.{﹣2,﹣1,1}D.{﹣2,﹣1,0,1}【解答】解:∵A={﹣2,﹣1,1},B={x∈Z|﹣1≤x≤1}={﹣1,0,1},∴A∪B={﹣2,﹣1,0,1},故选:D.2.(5.00分)已知f(x﹣1)=2x,则f(3)=()A.2 B.4 C.6 D.8【解答】解:∵f(x﹣1)=2x,令x﹣1=3,则x=4,∴f(3)=2×4=8,故选:D.3.(5.00分)在区间[﹣1,3]内任选一个实数,则x恰好在区间[1,3]内的概率是()A.B.C.D.【解答】解:利用几何概型,其测度为线段的长度,区间[﹣1,3]的长度为4,区间[1,3]长度为2,由几何概型公式得x恰好在区间[1,3]内的概率是为=.故选:C.4.(5.00分)某产品的广告费x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表:由最小二乘法可得回归方程=7x+a,据此预测,当广告费用为7万元时,销售额约为()A.56万元B.58万元C.68万元D.70万元【解答】解:==4,==35.∴35=4×7+,解得=7.∴回归方程为=7x+7.∴当x=7时,y=7×7+7=56.故选:A.5.(5.00分)运行如图的程序,若输入的数为1,则输出的数是()A.﹣2 B.0 C.1 D.3【解答】解:模拟执行程序代码,可得程序的功能是计算并输出y=,x=1,满足条件a≥0,执行y=2x+1=3,输出y的值为3.故选:D.6.(5.00分)已知a=log0.50.9,b=log0.50.8,c=0.5﹣0.9,则()A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.c<a<b【解答】解:∵log0.50.9<log0.50.8<log0.50.5=1,0.5﹣0.9>0.50=1,∴a<b<c.故选:B.7.(5.00分)已知函数f(x)=3x,对于定义域内任意的x1,x2(x1≠x2),给出如下结论:①f(x1+x2)=f(x1)•f(x2)②f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)③>0④f(﹣x1)+f(﹣x2)=f(x1)+f(x2)其中正确结论的序号是()A.①③B.①④C.②③D.②④【解答】解:关于函数f(x)=3x,对于定义域内任意的x1,x2(x1≠x2):①f(x1+x2)==•=f(x1)•f(x2),∴①正确;②f(x1•x2)=≠+=f(x1)+f(x2),∴②错误;③f(x)=3x是定义域上的增函数,f′(x)=k=>0,∴③正确;④f(﹣x1)+f(﹣x2)=+≠+=f(x1)+f(x2),∴④错误;综上,正确结论的序号是①③.故选:A.8.(5.00分)甲、乙两位运动员6场比赛的茎叶图如图所示,记甲、乙的平均成绩分别为,,下列判断正确的是()A.>,甲比乙成绩稳定 B.>,乙比甲成绩稳定C.<,甲比乙成绩稳定D.<,乙比甲成绩稳定【解答】解:6场比赛甲的得分为16、17、18、22、32和33,乙的得分为14、17、24、28、28和33;∴=(16+17+18+22+32+33)=23,=(14+17+24+28+28+33)=24,∴<;又=(49+36+25+1+81+100)=,=(100+49+0+16+16+81)=∴>,乙比甲成绩稳定些.故选:D.9.(5.00分)在标准化的考试中既有单选题又有多选题,多选题是从A,B,C,D四个选项中选出所有正确的答案(正确答案可能是一个或多个选项),有一道多选题考生不会做,若他随机作答,则他答对的概率是()A.B.C.D.【解答】解:由已知基本事件总数n==15,∴他随机作答,则他答对的概率p=.故选:C.10.(5.00分)函数f(x)=2的图象大致是()A.B.C.D.【解答】解:因为t=log3x的函数为增函数,且函数值的变化越来越慢,即图象的变化越来越趋向于平缓,又因为y=2t为增函数,其图象的变化是函数值的变化越来越慢,故选:B.11.(5.00分)阅读如图所示的程序框图,若输出d=0.1,a=0,b=0.5,则输出的结果是()参考数据:A.0.375 B.0.4375 C.0.46875 D.0.5【解答】解:模拟执行程序,可得:f(x)=2x﹣3x,d=0.1,a=0,b=0.5,m=0.25,不满足条件f(0)f(0.25)<0,a=0.25,|a﹣b|=0.25,不满足条件|a﹣b|<d 或f(m)=0,m=0.375,不满足条件f(0.25)f(0.375)<0,a=0.375,|a﹣b|=0.125,不满足条件|a﹣b|<d或f(m)=0,m=0.4375,不满足条件f(0.375)f(0.4375)<0,a=0.4375,|a﹣b|=0.0625,满足条件|a ﹣b|<d,退出循环,输出m的值为0.4375.故选:B.12.(5.00分)已知[t]表示不超过t的最大整数,例如[1.25]=1,[2]=2,若关于x的方程=a在(1,+∞)恰有2个不同的实数解,则实数a的取值范围是()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(,2]D.[,2]【解答】解:∵关于x的方程=a在(1,+∞)恰有2个不同的实数解,∴y=[x]与y=a(x﹣1)在(1,+∞)上恰有2个不同的交点,作函数y=[x]与y=a(x﹣1)在(1,+∞)上的图象如下,,结合图象可知,k l=2,k m=,实数a的取值范围是(,2],故选:C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5.00分)一个田径队中有男运动员56人,女运动员42人,用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本,其中男运动员应抽取16人.【解答】解:∵运动员总数有98人,样本容量为28,样本容量占总人数的∴男运动员应抽取56×=16;故答案为16.14.(5.00分)已知函数f (x )=x 2﹣2x +3的定义域为[0,3],则函数f (x )的值域为 [2,6] .【解答】解:f (x )=(x ﹣1)2+2; ∵x ∈[0,3];∴x=1时,f (x )取最小值2;x=3时,f (x )取最大值6; ∴f (x )的值域为[2,6]. 故答案为:[2,6].15.(5.00分)在不同的进位制之间的转化中,若132(k )=42(10),则k= 5 . 【解答】解:∵132(k )=42(10), ∴k 2+3k +2=42,解得:k=5,或k=﹣8(舍去), 故答案为:516.(5.00分)已知函数f (x )=|log 2x |,g (x )=,若对任意x ∈[a ,+∞),总存在两个x 0∈[,4],使得g (x )•f (x 0)=1,则实数a 的取值范围是 [2,+∞) .【解答】解:f (x 0)==,∵x ∈[a ,+∞),∴f (x 0)≤,作出f (x )在[,4]上的函数图象如图:∵对任意x ∈[a ,+∞),总存在两个x 0∈[,4],使得g (x )•f (x 0)=1, ∴0<≤1,解得a ≥2.故答案为[2,+∞).三、解答题:本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10.00分)已知R为实数集,集合A={x|log2x≥1},B={x|x﹣a>4}.(Ⅰ)若a=2,求A∩(∁R B);(Ⅱ)若A∪B=B,求实数a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)∵log2x≥1,∴x≥2,即A=[2,+∞),∵a=2,∴B={x|x>6},∴∁R B=(﹣∞,6],∴A∩(∁R B)=[2,6];(Ⅱ)∵A∪B=B,∴A⊆B,∵A=[2,+∞),B={x|x>a+4},∴a+4<2,∴a<﹣2.18.(12.00分)某校举行一次安全知识教育检查活动,从全校1500名学生中随机抽取50名参加笔试,测试成绩的频率分布表如下:(Ⅰ)请根据频率分布表写出a,b,c的值,并完成频率分布直方图;(Ⅱ)根据(Ⅰ)得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数,选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是什么?【解答】解:(Ⅰ)a=50×0.08=4,b=50﹣10﹣16﹣13﹣4=7,c=0.14,如图示:;(Ⅱ)根据(Ⅰ)得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数约是80分,选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是:不准确,很笼统.19.(12.00分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x a(a ∈R),函数f(x)的图象经过点(4,2).(1)求函数f(x)的解析式;(2)解不等式f(x2)﹣f(﹣x2+x﹣1)>0.【解答】解:(1)∵函数f(x)的图象经过点(4,2).∴4a=2,解得:a=,故当x≥0时,f(x)=,当x<0时,﹣x>0,由f(x)是定义在R上的偶函数,可得此时f(x)=f(﹣x)=,综上可得:f(x)=(2)若f(x2)﹣f(﹣x2+x﹣1)>0,则f(x2)>f(﹣x2+x﹣1),则|x2|>|﹣x2+x﹣1|,即x2>x2﹣x+1,解得:x>120.(12.00分)联合国教科文组织规定:一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的10%以上(含10%),该国家或地区就进入了老龄化社会,结合统计数据发现,某地区人口数在一段时间内可近似表示为P(x)=(万),60岁以上的人口数可近似表示为L(x)=10×[1+k%•(x﹣2010)](万)(x为年份,W,k为常数),根据第六次全国人口普查公报,2010年该地区人口共计105万.(Ⅰ)求W的值,判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万,并说明理由;(Ⅱ)已知该地区2013年恰好进入老龄化社会,请预测2040年该地区60岁以上人口数(精确到1万).参考数据“0.942=0.88,0.943=0.83,139420=0.29,0.9430=0.16.【解答】解:(Ⅰ)∵2010年该地区人口共计105万,∴x=2010,P==105,∴W≈142.令≥142,∴0.35×(0.94)x﹣2010≤0无解,∴未来该地区的人口总数不可能突破142万;(Ⅰ)∵该地区2013年恰好进入老龄化社会,∴10×[1+k%•(2013﹣2010)]=10%×,∴k%≈,∴x=2040,L(2040)≈10×[1+•(2040﹣2010)]=20万21.(12.00分)某港口船舶停靠的方案是先到先停.(Ⅰ)若甲乙两艘船同时到达港口,双方约定各派一名代表猜拳:从1,2,3,4,5中各随机选一个数,若两数之和为奇数,则甲先停靠;若两数之和为偶数,则乙先停靠,这种对着是否公平?请说明理由.(2)根据已往经验,甲船将于早上7:00~8:00到达,乙船将于早上7:30~8:30到达,请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率,随机数模拟实验数据参考如下:记X,Y都是0~1之间的均与随机数,用计算机做了100次试验,得到的结果有12次,满足X﹣Y≥0.5,有6次满足X﹣2Y≥0.5.【解答】解:(Ⅰ)这种规则是不公平的;设甲胜为事件A,乙胜为事件B,基本事件总数为5×5=25种,则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)∴甲胜的概率P(A)=,乙胜的概率P(B)=1﹣P(A)=;∴这种游戏规则是不公平;(2)根据题意,应用随机模拟的方法求出甲船先停靠的概率是P(C)=1﹣=0.88.22.(12.00分)设函数f(x)=(Ⅰ)若a=1,在直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象;(Ⅱ)若f(x)≥2﹣x对任意x∈[1,2]恒成立,求实数a的取值范围;(Ⅲ)若函数f(x)恰有2个零点,求实数a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)若a=1,则f(x)=,函数f(x)的图象如下图所示:;(Ⅱ)若f(x)≥2﹣x对任意x∈[1,2]恒成立,即x2﹣4ax+3a2≥2﹣x对任意x∈[1,2]恒成立,即x2+(1﹣4a)x+(3a2﹣2)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,由y=x2+(1﹣4a)x+(3a2﹣2)的图象是开口朝上,且以直线x=为对称轴的抛物线,故,或,或解得:a≤0,或a≥2,(Ⅲ)解3x﹣a=0得:x=log3a,解x2﹣4ax+3a2=0得:x=a,或x=3a若函数f(x)恰有2个零点,则,或解得:a≥3,或≤a<1.。