高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练26

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练26
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．
1．(2013·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )
A ．[－3,4]
B ．[－5,2]
C ．[－4,3]
D ．[－2,5]
解析 由程序框图得s ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3t ，t <1，
4t －t 2
，t ≥1，所以－1≤t <1时s ＝3t ∈[－3,3)，1≤t ≤3
时，s ＝4t －t 2
＝－(t －2)2
＋4 ∈[3,4]，故s ∈[－3,4]，选A.
答案 A
2．(2013·广东卷)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(4，－2)
D ．(4,2)
解析 由i z ＝2＋4i 得：z ＝2＋4i i ＝2＋4i
i
－1
＝4－2i ，对应点为(4，－2)，故选C.
答案 C
3．(2013·全国卷Ⅰ)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－4
5
C ．4
D.45
解析 |4＋3i|＝42＋32
＝5，所以(3－4i)z ＝5，即z ＝53－4i
＝
53＋4i
3－4i 3＋4i
＝
35＋45i ，所以z 的虚部为4
5
，故选D. 答案 D
4．(2013·安徽卷)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )
A.1
6 B.2524 C.34
D.1112
解析 由程序框图的循环结构得s ＝12，n ＝4；s ＝34，n ＝6；s ＝11
12，n ＝8.停止循环，
输出s ＝11
12
，故选D.
答案 D
5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
A ．设数列{a n }的前n 项和为S n ，由a n ＝2n －1，求出S 1＝12
，S 2＝22
，S 3＝32
，…，推断：
S n ＝n 2
B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数
C ．由圆x 2
＋y 2
＝r 2
的面积S ＝πr 2
，推断：椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的面积S ＝πab
D ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n
解析 注意到，选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n 1＋2n －1
2
＝n 2
，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因
此选A.
答案 A
6．类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －x
，C (x )＝a x
＋a －x
，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )
①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )；③2S (x ＋y )＝
S (x )C (y )＋C (x )S (y )；④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．
A ．①②
B ．③④
C ．①④
D ．②③
解析 经验证易知①②错误．依题意，注意到2S (x ＋y )＝2(a x ＋y
－a
－x －y
)，又S (x )C (y )
＋C (x )S (y )＝2(a
x ＋y
－a
－x －y
)，因此有2S (x ＋y )＝S (x ) C (y )＋C (x )S (y )；同理有2S (x －y )
＝S (x )C (y )－C (x )S (y )，综上所述，选B.
答案 B
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.
解析 (a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，由复数的运算法则可得⎩⎪⎨
⎪⎧
a －1＝0，a ＋1＝
b ，解得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.
答案 1＋2i
8．(2013·陕西卷)观察下列等式 12
＝1 12－22
＝－3 12
－22
＋32
＝6 12
－22
＋32
－42
＝－10 ……
照此规律，第n 个等式可为________．
解析 由已知式子归纳规律可得第n 个式子为12
－22
＋32
－42
＋…＋(－1)
n ＋1n 2
＝(－1)n
＋1
n n ＋1
2
答案 12
－22
＋32
－42
＋…＋(－1)n ＋1n 2
＝(－1)n ＋1n n ＋1
2
9.
(2013·山东卷)执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________．
解析 由题中所给循环程序得：F 1＝3，F 0＝2，n ＝2，1F 1＝1
3
>0.25；继续执行；F 1＝5，
F 0＝3，n ＝3；此时1
F 1
＝0.2<0.25，故停止循环，输出n ＝3.
答案 3
三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)(2013·江苏卷)已知a ≥b >0，求证：2a 3
－b 3
≥2ab 2
－a 2
b . 解 2a 3
－b 3
－(2ab 2
－a 2
b )＝2a (a 2
－b 2
)＋b (a 2
－b 2
)＝(a 2
－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋
b )(2a ＋b )．
因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0， 从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3
－b 3
≥2ab 2
－a 2
b .
11．(本小题10分)已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n
－1(n ≥2且n ∈N *
)． (1)证明：数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
a n －12n 为等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解 (1)设
b n ＝
a n －1
2
n ，则b 1＝5－1
2＝2.
因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12
n ＋1
－
a n －1
2
n
＝
12
n ＋1
[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12
n ＋1[(2n ＋1
－1)＋1]＝1，
所以数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
a n －12n 为首项是2，公差是1的等差数列． (2)由(1)知，
a n －12
n
＝
a 1－1
2
＋(n －1)×1，
∴a n＝(n＋1)·2n＋1.
∵S n＝(2·21＋1)＋(3·22＋1)＋…＋(n·2n－1＋1)＋[(n＋1)·2n＋1]，
∴S n＝2·21＋3·22＋…＋n·2n－1＋(n＋1)·2n＋n.
设T n＝2·21＋3·22＋…＋n·2n－1＋(n＋1)·2n，①
2T n＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1.②
②－①，得
T n＝－2·21－(22＋23＋…＋2n)＋(n＋1)·2n＋1＝n·2n＋1，
所以S n＝n·2n＋1＋n＝n·(2n＋1＋1)．
12．(本小题10分)根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，x k，…；y1，y2，…，y k，….
(1)分别求数列{x k}和{y k}的通项公式；
(2)令z k＝x k y k，求数列{z k}的前k项和T k，其中k∈N*，k≤2 007.
解(1)由程序框图，知数列{x k}中，x1＝1，x k＋1＝x k＋2，
∴x k＝1＋2(k－1)＝2k－1(k∈N*，k≤2 007)．
由程序框图，知数列{y k}中，y k＋1＝3y k＋2，
∴y k＋1＋1＝3(y k＋1)．
∴y k＋1＋1
y k＋1
＝3，y1＋1＝3.
∴数列{y k＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列．
∴y k＋1＝3·3k－1＝3k.
∴y k＝3k－1(k∈N*，k≤2 007)．
(2)T k＝x1y1＋x2y2＋…＋x k y k＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2k－1)(3k－1)＝1×3＋3×32＋…＋(2k－1)·3k－[1＋3＋…＋(2k－1)]．
记S k ＝1×3＋3×32＋…＋(2k －1)·3k
，① 则3S k ＝1×32
＋3×33
＋…＋(2k －1)·3
k ＋1
，②
①－②，得－2S k ＝3＋2·32
＋2·33
＋…＋2·3k
－(2k －1)·3k ＋1
＝2(3＋32
＋…＋3k )－3－(2k －1)·3k ＋1
＝2×
3×1－3k
1－3－3－(2k －1)·3
k ＋1
＝3
k ＋1
－6－(2k －1)·3
k ＋1
＝2(1－k )·3k ＋1
－6，
∴S k ＝(k －1)·3k ＋1
＋3.
又∵1＋3＋…＋(2k －1)＝k 1＋2k －1
2
＝k 2
，
∴T k ＝(k －1)·3k ＋1
＋3－k 2
.。