第四章证券投资组合理论

xA 0......xB 1
E(rP ) xA E(rA ) (1 xA ) E(rB )
组合曲线为 E (rP )与x A是线性关系， P与x A是线性关系 一条直线 图4-1 所以E (rP )与 P也是线性关系
P =x A A +(1-x A ) B
E(rP )
第四章
证券投资组合理论
第一节 证券投资组合收益和风险 第二节 证券投资组合理论 第三节 风险资产与无风险资产的配置
引言
投资组合理论的发展
• 1、现代证券组合理论的产生 • l952年哈理·马柯威茨发表了一篇题为《证 券组合选择》的论文。这篇著名的论文标志 着现代证券组合理论的开端。
1、现代证券组合理论的产生 主要讲了几个问题 1、组合投资时可以降低风险 可以降低部份风险而不是全部表述 2、风险投资者关注的投资目标如何用数学表 达 • 均值—方差模型来计量投资收益和风险 • 3、投资者投资行为如何选择证券组合——实 现最优选择 • • • •
2、证券组合的收益 • 证券组合的期望收益率就是组成投资组合的 各种证券的期望报酬率的加权平均数，其权 数是各种证券在整个投资组合总额中所占的 比例。其公式为：
E（RP ） x i E( Ri )
i 1
n
Wi代表投资比例
x
i 1
n
i
1
二、证券组合的风险
• 1、证券间的协方差与相关系数 • （1）协方差：测度两个证券收益相互影响的 程度与方向。
COV(R1 ,R 2 ) Pi[R i1 E(R1 )][Ri2 E(R 2 )]
i 1
n
P 1
i
n
i
1

协方差大于0，正相关 协方差小于0，负相关

协方差等于0，不相关
协方差的大小是无限的， 从理论上来说，其变化范 围可以从负无穷大到正无 穷大。
（二）资产组合的风险
=x +(1-xA )
2 P 2 A 2 A 2
2 B
组合曲线为图4-3
E(rP )
.
.C
点C处的风险最小
A
. B
0
P
求
=x +(1-xA )
2 P
2 P
2 A
2 A
2
2 B
的极小值
解出Biblioteka Baidu
2 B xA = 2 2 A + B
令 d =2x 2 -2(1-x ) 2 =0 A A A B dxA 得到 x B = 2 2 A + B
一、证券组合的收益
• 例如有A、B两种股票，每种股票的涨或跌的 概率都为50%，若只买其中一种，则就只有 两种可能，但是若买两种就形成一个组合， 这个组合中收益的情况就至少有六种。
B
涨，涨
A
涨，跌 涨 跌，跌 跌
跌，涨
涨
跌
组合至少还包含非 组合（即只选择一 种股票），这表明 投资者通过组合选 择余地在扩大，从 而使决策更加科学。
2、现代证券组合理论的发展（2）
• 1973年，布莱克和斯科尔斯(Black,Scholes,1973)推导 出的期权定价公式,以及莫顿(Merton,1973)对该定价公 式的发展和深化。 • 期权定价公式,即Black-Scholes模型,其适用条件较弱, 背后的基本经济机理仅是无套利原理。由于它适用 广泛,除了应用于期权定价外,还应用于各种形式的金 融衍生品以及公司债务的估价等。 • 70年代后期,哈里森(Harrison)和克雷普斯(Kreps,1979) 发展了证券定价的鞅理论(theory 0f martingale pricing), 这个理论目前仍是金融研究的前沿课题。
2 A
2 2 A B 2 2 最小方差为 2 < min ( , A B) 2 A + B
E(rP )
.A
.C
点C处的风险最小 . B
P
0
E(rP )
卖空B买入A的组合
.
.C
A
. B
卖空A买入B的组合
0
P
(4) -1<ρAB<1 :证券A与证券B的收益率不完全相关 组合方程为: E(rP ) xA E(rA ) (1 xA ) E(rB )
组合曲线为图432x21x卖空b买入a的组合卖空a买入b的组合1ab2x1x1ab1时随着ab的增大组合曲线的弯曲程度减小05ab05abab1时最小ab1时最大不卖空前题下相关系数越小证券组合的风险越卖空b买入a的组合卖空a买入b的组合?对于只有证券a和证券b?在允许卖空的情况下投资者可以在组合线上找到自己满意的任何位置?不允许卖空只能在介于ab之间获得一个组合假设某投资组合有x和yy中的任一种证券其相关资料见下表所示
第二节 投资组合理论 • 一、可行集与可行域 • 二、有效组合与有效边界 • 三、最优投资组合
一、可行集与可行域
• (一）概念 • 1、可行集 • 把所有可供选择的投资组合所构成的集合， 称为投资的“可行集”（feasible set）或“机
会集”（opportunity set）。
• 2、可行域 • 由所有可行证券组合的期望收益率与标准差 在坐标平面中形成的区域称为可行域（feasible region），
1、现代证券组合理论的产生 • 马柯威茨的贡献是开创了在不确定性条件 下理性投资者进行资产组合投资的理论和 方法，第一次采用定量的方法证明了分散 投资的优点。他用数学中的均值方差，使 人们按照自己的偏好，精确地选择一个确 定风险下能提供最大收益的资产组合。获 1990年诺贝尔经济学奖。
2、现代证券组合理论的发展（1） • 马柯威茨提供的方法面临的最大问题是其 计算量太大，特别是对大规模的市场，存 在上千种证券的情况下，在当时即使是借 助计算机也难以实现，更无法满足实际市 场在时间上有近乎苛刻的要求。
• 此时如果两种资产的比例恰当，标准差可以降低到0
3、多种证券组合风险的衡量
(R P ) xi (R i ) xi x j Cov(R i , R j )
2 2 2 i 1 i 1 j 1 j i
n
n
n
(P) 2 (R P )
• 影响证券投资组合风险的因素： 1、每种证券所占的比例。 2、证券收益率的相关性。 3、每种证券的风险（标准差）。一般来说，证 券组合后的风险不会大于单个证券的风险，起 码是持平。
B A xA = , xB = A + B A + B
B E(rA )+ A E(rB ) 收益率为E(rP )= 0 A + B
(3) ρAB=0：证券A与证券B的收益率完全不相关
组合方程为： E(rP ) xA E(rA ) (1 xA ) E(rB )
注意：
协方差和相关系数都是 反映两个随机变量相关 程度的指标，但反映的 角度不同： 协方差是度量两个变量 相互关系的绝对值 相关系数是度量两个变 量相互关系的相对数
（2）相关系数
COV(R 1 ,R 2 ) ρ (R1 ,R 2 ) σ (R1 ) σ (R 2)
通过相关系数的正负与大小可以衡量两个资 产收益变动的趋势。 -1≤ ρ≤1 0＜ρ≤ 1 ：两种资产为正相关 -1≤ρ＜ 0：两种资产为负相关 ρ = +1：完全正相关 ρ = -1： 完全负相关 ρ = 0： 两种资产不相关
在期望收益率和标准差的坐标系中描述证券 A和证券B所有可能的组合。
（1）ρAB=1
证券A与证券B的收益率完全正相关。于是组合方程为
=x +(1-xA ) +2xA (1-xA ) A B
2 P 2 A 2 A 2 2 B
P = xA A +(1-xA ) B
如果不允许卖空，
（二）可行域的形状 • 1、两种证券组合的可行域 • A、B证券组合P的组合线的方程
E (rP ) xA E (rA ) xB E (rB ) xA E (rA ) (1 xA ) E (rB )
=x +(1-xA ) +2xA (1-xA ) A B AB
2 P 2 A 2 A 2 2 B
• （2）相关系数：协方差的标准化
COV(R1 ,R 2 ) ρ (R1 ,R 2 ) σ (R1 ) σ (R2 )
• -1≤ ρ ≤1 • 0＜ρ≤ 1 ：两种证券为正相关 • -1≤ρ＜ 0：两种证券为负相关 • ρ = +1：完全正相关 • ρ = -1： 完全负相关 • ρ = 0： 两种证券不相关
– 资本资产的均衡价格是如何形成的 – 发现资产的收益率与风险之间是成线性 关系 – 指出了天下没有免费的午餐 现代金融学的基石 1990年共同分享诺贝尔经济学奖
2、现代证券组合理论的发展（2） 1976，史蒂夫.罗斯，套利定价模型(APT) • 提供了另外一种资产定价模型。 • 该模型是以收益率形成的多因素模型为基础 ，用套利的概念来定义均衡。如果把市场的 收益率作为唯一因子，APT导出的风险—— 收益率关系与CAPM完全相同．因此，CAPM 可以看作是APT的一个特例。
相关系数对投资组合风险的影响
B收益
Ρ=1
Ρ=-1
B收益
A收益
B收益
Ρ=0
A收益
A收益
2、两证券组合风险的衡量
(R p ) x x 2x A x B cov(RA RB )
2 2 A 2 A 2 B 2 B
x x 2x A x B AB A B
2、现代证券组合理论的发展（1）
• 1963年，马柯威茨的学生威廉·夏普提出了 一种简化的计算方法。这一方法通过建立“ 单因素模型”来实现，在此基础上后来发展 出“多因素模型”，使得组合理论能为机构 使用。
2、现代证券组合理论的发展（1）
• 夏普、特雷诺和詹森三人分别于1964年、 1965年和1966年提出了著名的资本资产定价 模型(CAPM)。这一模型在金融领域盛行十 多年。阐明了：
2 A 2 A 2 B 2 B
(P) 2 (R P )
1、组合的预期收益率与相关系数无关。 2、相关系数等于1，达不到风险分散效果。 3、相关系数由1向-1变动，风险分散效果逐 渐增强。 4、相关系数等于-1，风险分散效果最好。
2、两证券组合风险的衡量
• 当ρＡＢ=1时，
(R p ) w w 2w A w B A
2、现代证券组合理论的发展（3） • Fama（1970）提出了有效市场假说。 • 资本市场的混沌（Chaos）(分形）假说。
现代投资组合理论的框架体系
E—σ模型 单因素模型 多因素模型 套利定价模型 资本市场的混沌（分形）假说
（选择问题） 资本资产定价模型 （定价问题） 有效市场假说 （理论背景问题）
. A . B
F 0
图4-1 ρAB=1时的组合线
P
（2）ρAB=-1：证券A与证券B的收益率完全负相关。
组合方程为：
E(rP ) xA E(rA ) (1 xA ) E(rB )
P = xA A -(1-xA ) B
E(rP )
组合曲线为图4-2 . A . B
P
在点 处形成一个 无风险组合
第一节 证券投资组合收益和风险 • 一、证券组合的收益 • 二、证券组合的风险
第一节 证券投资组合收益和风险 • 一个岛国是旅游胜地，其有两家上市公司， 一家为防晒品公司，一家为雨具公司。岛国 每年天气或为雨季或为旱季，概率各为0.5， 两家公司在不同天气下的收益分别如下，请 问你的投资策略。
雨季 防晒品公司 0%
小
结
• 组合的收益是各种证券收益的加权平均值， 因此，它使组合的收益可能低于组合中收益 最大的证券，而高于收益最小的证券。 • 只要组合中的资产两两不完全正相关，则组 合的风险就可以得到降低。 • 只有当组合中的各个资产是相互独立的且其 收益和风险相同，则随着组合的风险降低的 同时，组合的收益等于各个资产的收益。
2 2 A 2 A 2 B 2 B
B
( x A A xB B) 2

(P) 2 (R P ) x A A xB B
组合的标准差恰好等于组合中每一部分证券标准 差的加权平均值。
• 当ρＡＢ=-1时
(R p ) ( xA A xB B )
2
2
(P) 2 (R P ) x A A xB B
雨具公司 20%
旱季 20%
0%
一、证券组合的收益 • 1、证券组合含义 • 投资者在投资活动中根据自己的风险-收益 偏好所选择的可投资的金融工具的集合。 • 其中，所选的每种证券占全部组合的比例 称作权重，它反映了投资者将投资资金的 多大部分投资于该证券。因此，所有权重 之和为1。
选择证券组合优点： – 对冲（hedging），也称为套期保值。投资 于补偿形式（收益负相关），使之相互抵 消风险的作用。 – 分散化（Diversification）：必要条件收益 是不完全正相关，就能降低风险。 – 组合使投资者选择余地扩大。