新教材2023版高中数学第六章导数及其应用6.1导数6.1.1函数的平均变化率课件

ҧ
1
2
1
2
＝ －1＝－ .
D．2
平均变化率的几何意义
例3 已知曲线y＝x2－1上两点A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝
4.1
5
1时，割线AB的斜率是___；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是______．

2+ 2 −1−22 +1
2+1 2 −22
【解析】 当Δx＝1时，割线AB的斜率k1＝ ＝
2
2
＝
＝5.


1

2+0.1 2 −1−22 +1
当Δx＝0.1时，割线AB的斜率k2＝ ＝
＝4.1.

0.1
方法归纳
已知y＝f(x)图象上两点A(x1 ，f(x1))，B(x1 ＋Δx，f(x1 ＋Δx))，过A，B
Δ 1 + − 1
两点割线的斜率是 ＝
Δ

平均变化率．
＝


两点割线的斜率是________________，即曲线割线的斜率就是函数的
平均变化率．
知识点三
函数的平均变化率的物理意义即平均速度
物体在某段时间内的平均速度即函数的平均变化率．
基 础 自 测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Δx表示x2 －x1 ，是相对于x1 的一个增量，Δx的值可正可负，但不
2 − 1

则当Δx≠0时，商________＝
2 − 1

称作函数y＝f(x)在区间[x1，x2](或[x2，x1])的平均变化率．
知识点二
函数的平均变化率的几何意义即割线的斜率
已知y＝f(x)图象上两点A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))，过A，B
1 + − 1
【答案】C
【解析】∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[2(1＋Δx)2 －1]－1＝ 2 Δx
2Δx＋4.
2
＋4Δx，∴

＝

1
(2)已知函数f(x)＝x＋ ，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5

时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
【解析】自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为
6．1.1 函数的平均变化率
通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点一 函数的平均变化率
函数的平均变化率的定义
一般地，已知函数y＝f(x)，x1，x2是其定义域内不同的两点，记Δx＝
x2－x1，Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)，
(2) 求Δ = 2 − 1 → 求Δ = 2 − 1 →
Δ
计算
Δ
方法归纳
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；
Δ 2 − 1
第三步，求平均变化率 ＝
Δ
2 −1
2．求平均变化率的一个关注点


)
求物体在某段时间内的平均速度
1 2
例2 质点运动规律s＝ gt ，则在时间区间(3，3＋Δt)内的平均速度
2
30＋5Δt
等于________．(g＝10
m/s2)
【解析】
Δs
＝30＋5Δt.
Δt
1
2
1
2
1
2
Δs＝ g×(3＋Δt)2－ g×32＝ ×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，തv＝
量．( √ )
2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1，2)及邻近点Q(1＋Δx，2＋
Δy)，则割线PQ的斜率为(
)
A．4
B．4x
C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx
答案：D
2 1+ 2 −2×12
解析： ＝
＝4＋2Δx.


3．如图，函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为(
2 − 1
2−1
1
2+2− 1+1
1
＝ ；
2
＝
1
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为
1
1
5+5− 3+3
5 − 3
14
＝
＝ .
5−3
2
15
1 14
1
因为 < ，所以函数f(x)＝x＋ 在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
2 15
x
状元随笔
(1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(1＋Δx)－f(1)可得．
4
2
方法归纳
以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼
近”“量变到质变”“近似与精确”的思想．
跟踪训练4 已知函数f(x)的部分图象如图所示．若把曲线AB近似地
看成线段，则图中阴影部分的面积近似为________．
3
答案：
2
解析：若把曲线AB近似看成线段，则阴影部分的面积近似为
1
3
直角三角形的面积S＝ ×1×3＝ .
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案：B
3 − 1
解析： ＝

3−1
＝－1.
)
4．如果质点M按规律s＝3＋t2(s的单位是m，t的单位是s)运动，则在
时间段[2，2.1]内质点M的平均速度等于(
)
A．3 m/s
B．4 m/s
C．4.1 m/s D．0.41 m/s
答案：C
3+2.12 − 3+22
＝6＋Δx，
故选B.
Δx
Δx
以直代曲
例4.刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限
趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1尺的圆内接
正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积
的近似值为________．
3 3
【答案】
2
3 3 3
【解析】 S正六边形＝6× ＝ .
方法归纳
求运动物体平均速度的两个步骤
1．求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
Δs
2．求平均速度തv＝ .
Δt
1
一质点按运动方程s(t)＝ 作直线运动，则其从t1＝1到t2

跟踪训练2
＝2的平均速度为(
1
A．－1 B．－
)
C．－2
2
答案：B
2 − 1
2−1
解析：＝

解析：平均速度＝
ҧ
＝

0.1
0.41
＝ ＝4.1(m/s)，故选C.
0.1
课堂探究·素养提升
课堂探究·素养提升——强化创新性
求函数的平均变化率
例1 (1)已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，
Δ
1＋Δy)，则 ＝(
)
Δ
A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
求点x1附近的平均变化率，可用
1 + − 1

的形式．
.
跟踪训练1 函数y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均变化率是(
A．2
B．2x
C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
答案：C
解析：∵Δy＝[(1＋Δx)2＋1]－(12＋1)＝2Δx＋ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱΔx)2，
2+ 2
∴ ＝
＝2＋Δx，故选C.
可为零．( √ )
(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负，也可以为零．( √ )
Δ
(3) 表 示 曲 线 y ＝ f(x) 上 两 点 (x1 ， f(x1)) ， (x2 ， f(x2)) 连 线 的 斜
Δ
率．( √ )
(4) 平 均 速 度 是 刻 画 某 函 数 在 区 间 [x1 ， x2] 上 的 变 化 快 慢 的 物 理
，即曲线割线的斜率就是函数的
跟踪训练3 已知函数y＝x2－1的图象上一点A(3，8)及邻近一点B(3
＋Δx，8＋Δy)，则割线AB的斜率等于(
)
A．6
B．6＋Δx
C．6＋(Δx)2 D．6x
答案：B
Δy 6Δx+ Δx 2
2
2
2
解析：因为Δy＝(3＋Δx) －1－3 ＋1＝6Δx＋(Δx) ，所以 ＝