第3章正弦交流电(1)

= 2U1 sin (ω t + ϕ1 ) + 2U 2 sin (ω t + ϕ 2 ) = 2U sin (ω t + ϕ )
幅度、 幅度、相位变化 频率不变
结论: 结论:
因角频率（ω）不变，所以以下讨论同频率正弦波 因角频率（ 不变，所以以下讨论同频率正弦波 可不考虑，主要研究幅度 初相位的变化 幅度与 的变化。 时，ω 可不考虑，主要研究幅度与初相位的变化。
三相交流电路：三种电压初相位各差120 三相交流电路：三种电压初相位各差t
可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。 可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。 同频率正弦波运算后
如：
u1 = u2 =
2U 2U
1 2
sin sin
(ω (ω
t + ϕ1) t + ϕ
2
)
u = u1 + u2
A
ɺ = 311.1 ∠ − 60 = 220∠ − 60 = 110 − j 190.5 V U 2
ɺ = 141.4 ∠30 = 100∠30 = 86.6 + j 50 A I 2
ɺ = 311.1 ∠ − 60 = 220∠ − 60 = 110 − j 190.5 V U 2 Iɺ
相量图
ϕ
ϕ2
ϕ1
ɺ U1
ɺ ɺ ɺ U = U1 +U2
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 只有正弦量才能用相量表示 非正弦量不可以。 才能用相量表示， 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上， 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上， 同频率的正弦量才能画在一张相量图上 不同频率不行。 不同频率不行。 新问题提出： 新问题提出： 提出 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。 相量的复数运算法。 故引入相量的复数运算法 故引入相量的复数运算法。 相量 复数表示法 复数运算
A = r1e
或：
jθ1
B = r2e
jθ1 jθ2
jθ 2
A • B = r1e • r2e = r1r2e
j( θ1 +θ2 )
A • B = r1∠θ1 • r2∠θ2 = r1r2∠(θ1 + θ2 )
（除）
r1e r1 j( θ −θ ) A / B = jθ = e r2e r2
1 2 2
相量的复数表示
将复数
ɺ 放到复平面上，可如下表示： U 放到复平面上，可如下表示： ɺ U
U ϕ
+1
j
b
U =
a +b −1 b ϕ = tg a
2
2
a
ɺ U = a + jb = U cos ϕ + jU sin ϕ
ɺ U
欧拉公式
b
U
ϕ
a
e
jθ
= cos θ + j sin θ
ϕ
代数式
ɺ U = a + jb = U (cosϕ + j sinϕ ) =U e ⇒ U∠ϕ
100
π /6
−π / 3
220
Uɺ
例2：已知相量，求瞬时值。 ：已知相量，求瞬时值。
已知： 已知：两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量 形式为： 形式为： ɺ
I 1 = 100 ∠ − 60
A
ɺ = 10 e j 30 A I2
求：
i1、 i
i1 = 100 i 2 = 10
2
解： ω = 2 π f = 2 π × 1000
正弦交流电的方向 正弦交流电也有正方向,一般按正半周的方向假设。 正弦交流电也有正方向,一般按正半周的方向假设。
实际方向和假设方向一致
i
u
R
i
(正半周) 正半周)
t
实际方向和假设方向相反
三要素：频率f 幅值I 三要素：频率f、幅值Im、Um、和初相角 ψ
3-2 正弦交流电的基本参数
一、频率与周期 周期T 正弦量变化一次所需的时间（单位： 周期T—正弦量变化一次所需的时间（单位：秒） 频率f 每秒正弦量变化的次数（单位： Hz） 频率f—每秒正弦量变化的次数（单位： Hz） 关系： 关系：f=1/T 中国电力标准频率：50 Hz 中国电力标准频率： 美国： 美国：60 Hz 角频率 ω：每秒正弦量转过的弧度 （一个周期的弧度为2 π） 一个周期的弧度为2
瞬时值 --- 小写 有效值 --- 大写 大写+ 最大值 --- 大写+下标 复数、 复数、相量 --- 大写 + “.”
u、i
U、I
Um
ɺ U
正误判断
ɺ u = 100 sin ω t = U ？
瞬时值
复数
正误判断
ɺ = 50 e j15 ° = 50 2 sin( t +15 )？ U ω
ω
u = U m sin(ω t + ϕ )
ϕ
Um
ωt
ϕ
矢量长度 =
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
ϕ
ω 矢量以角速度 按逆时针方向旋转
相量的书写方式
ϕ
最大值 有效值
ɺ Um
ɺ U
ɺ 、I m m
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 。若其 则用符号： ɺ 幅度用最大值表示 ，则用符号： U
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号： 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
④极坐标形式
A = r∠θ
2.复数的基本运算 2.复数的基本运算 （1 ）加、减 设：
A = a1 + jb1
A+B B Re
；
B = a 2 + jb 2
Im A
则： A ± B = (a1 ± a 2 ) + j( b1 ± b 2 ) Im A
A-B -B
B Re （减）
（加）
（2 ）乘、除 （乘）设：
Um 310 U = = = 220 V 2 2
u = U m sin 2πft = 310 sin( 100π × 0.1 )
=0
三、初相角和相位差 正弦波的相位角 相位角或相位 （ωt + ϕ）：正弦波的相位角或相位
ψ ： t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。 时的相位，称为初相位 初相位或
i
ωt
ψ
两个同频率正弦量间的相位差φ 初相角差) 两个同频率正弦量间的相位差φ( 初相角差) 同频率正弦量间的相位差
i1
ψ2
ψ1
i2
ωt
) i2 = I m 2 sin (ω t + ψ 2 ) ϕ = (ω t +ψ 2 ) − (ω t +ψ 1 ) =ψ 2−ψ1
1
i1 = I m 1 sin (ω t + ψ
= 6280
rad
s
2 sin( 6280 t − 60 ) A 2 sin( 6280 t + 30 ) A
小结： 小结：正弦波的四种表示法
u
波形图
U
T
m
ϕ
ωt
瞬时值
u = U m sin (ω t + ϕ )
ɺ U
相量图
ϕu
复数 符号法
ɺ = a + jb =U e jϕ ⇒ U ∠ϕ U
符号说明
ɺ U = 3 + j4
u = 5 2 sin(ω t + 53 ⋅1 )
ɺ U = 3 − j4
ɺ U = −3 + j 4
ɺ U = −3 − j 4
u = 5 2 sin(ω t − 53⋅1 )
u = 5 2 sin(ω t + 126 ⋅ 9 )
u = 5 2 sin(ω t − 126 ⋅ 9 )
第三章 正弦交流电路
3-1 正弦交流电路的基本概念 交流电的概念 如果电流或电压每经过一定时间 （T ）就重复变 化一次， 化一次，则此种电流 、电压称为周期性交流电流或 电压。如正弦波、方波、三角波、 电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。 记做： u(t) = u(t + T ) 记做：
u t
3-3 正弦交流电的相量表示法
正弦波的表示方法： 正弦波的表示方法：
i
♣
波形图
ωt
i = sin (1000 t + 30 ° )
必须 小写
♣
瞬时值表达式 相量
♣
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。 前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
一、复习复数及其基本运算 1.复数的表示形式 1.复数的表示形式 ①代数形式 A=a(实)+jb(虚) )+jb 其中： j = 其中： 由上图可知 Im b r A
o o
− j90o
= cos(−90 ) + jsin(−90 ) = 0 − j = − j
o o
e
j180o
= cos180 + jsin180 = −1+ j0 = −1
o o
注意： 注意：j、-j、-1都是旋转因子
二、正弦波的相量表示法 概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有 向线段在纵轴上的投影值来表示。 向线段在纵轴上的投影值来表示。
jθ1
r1∠θ1 r1 A/B = = ∠(θ1 − θ2 ) r2∠θ2 r2
3.讨论 3.讨论 （1 ）
e = 1∠α
jα
设： A
j( θ + α )
= re
jθ
A • e = re
Im r
jα
Ae
α
jα
r
A
e
Re
jα
为旋转因子
θ
（2）由欧拉公式可知
e
e
j90 o
= cos 90 + j sin 90 = 0 + j = j
已知瞬时值，求相量。 例1: 已知瞬时值，求相量。
已知: 已知:
π i = 141.4 sin 314t + A 6 π u = 311.1sin 314t − V 3
求：
i
、u 的相量
解：
ɺ = 141 .4 ∠30 = 100 ∠30 = 86 .6 + j 50 I 2
jϕ
指数式 极坐标形式
设a、b为正实数 、 为正实数
ɺ = a + jb = U e jϕ U
ϕ 在第一象限
ɺ = −a + jb = U e jϕ U
ɺ = −a − jb = U e jϕ U ɺ = a − jb = U e jϕ U
ϕ
在第二象限
ϕ 在第三象限 ϕ 在第四象限
提示
计算相量的相位角时， 计算相量的相位角时，要注意所在 象限。如： 象限。
−1
θ
0
a
Re
a = r cos θ b = r sin θ
r= a +b θ = arctg b a
2 2
②三角形式
A = r cos θ + jr sin θ
欧拉公式） e = cos θ + jsin θ（欧拉公式） = rej θ = r cos θ + jr sin θ A
jθ
③指数形式
ɺ U2
U2 > U1
ɺ 领先 U ɺ U2 1
ϕ1
ɺ U1
ɺ U1
落后于
落后
？
例2：同频率正弦波相加 -- 平行四边形法则 ：同频率正弦波相加
u2 = 2U2 sin (ω t +ϕ2 )
ɺ U2
ɺ U
同频率正弦波的 相量画在一起， 相量画在一起， 构成相量图。 构成相量图。
u1 = 2U1 sin (ω t +ϕ1)
i = I msin(ω t )
有效值—交流电“ 的大小等效于直流电 的大小等效于直流电“ 的 有效值 交流电“i ”的大小等效于直流电“I ”的 热效应。 热效应。
热效应相当
∫ i Rdt = I RT
T 2 0 2
有效值则为： 有效值则为： 则为
I =
1 T
∫
T
0
i dt =
2
1 T
T
∫
T
0
I sin ω tdt
2π ω = 2πf = T
(单位：rad/s) 单位：
例
已知： 已知：f=50 Hz, 求 T和 ω
解：T=1/f=1/50=0.02s=20ms
ω = 2πf = 2 × 3.14 × 50 = 314rad / s
二、幅值和有效值 瞬时值—正弦量任意瞬间的值（ 、 、 表示 表示） 瞬时值 正弦量任意瞬间的值（用i、u、e表示） 幅 瞬时值之中的最大值 表示） 值—瞬时值之中的最大值（用Im、Um、Em表示） 瞬时值之中的最大值（ Im、Um、Em表示 关系： 关系：
T
u t
T
正弦交流电路 如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按 如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按 正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向 正弦规律变化，由此产生的电流、 也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。 也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。 正弦交流电的优越性： 正弦交流电的优越性： 便于传输； 便于传输； 便于运算； 便于运算； 有利于电器设备的运行； 有利于电器设备的运行； . . . . .
ɺ ɺ U、I
3. 相量符号
ɺ ɺ包含幅度 相位的信息。 幅度与 U、I 包含幅度与相位的信息。
例1：将 u1、u2 用相量表示
u1 = 2U 1 sin (ω t + ϕ 1 ) u 2 = 2U 2 sin (ω t + ϕ 2 )
幅度： 设： 幅度：相量大小 相位： 相位：
ɺ U2
ϕ2
ϕ2 > ϕ 1
2 m 2
其中： 其中：
∫
T
0
1 − cos 2ωt T sin ωtdt = ∫ dt = 0 2 2
2
因此： 因此：
I=
1 2T Im Im = T 2 2
同理有： 同理有： 例
Um U= 2
已知： 已知： u 其中
Em E= 2
= U m sin ωt
f = 50 Hz
U m = 310V
求：U和t=0.1秒时的瞬时值 t=0.1秒时的瞬时值 解：