2.1.3《合情推理与演绎推理》知能优化训练(苏教版选修1-2)

2.1.3《合情推理与演绎推理》
1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电．”此推理方法是________． ①完全归纳推理；②归纳推理；③类比推理；④演绎推理．
解析：由特殊到一般的推理是归纳推理．
答案：②
2．若f (n )＝n 2＋n ＋21，n ∈N *，则下列说法中正确的是
________.
①f (n )可以为偶数 ②f (n )一定为奇数
③f (n )一定为质数 ④f (n )一定为合数
解析：f (1)＝12＋1＋21＝23，f (2)＝22＋2＋21＝27，
f (n )＝n (n ＋1)＋21，所以f (n )有质数，也有合数，一定不是偶数，所以f (n )一定是奇数． 答案：②
3．数列1,1,2,3，x, 8,13,21…中的x 的值是________．
解析：1＋1＝2,1＋2＝3，…，8＋13＝21，∴2＋3＝x ，
∴x ＝5.
答案：5
4．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表所示：
解析：在十进制中，A ×B ＝10×11＝110，因为110＝16×6＋14，所以在十六进制中A ×B ＝6E .
答案：6E
一、填空题
1．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如表．观察表解析：第三行数据中73－70＝3,75－73＝2，
78－75＝3,80－78＝2，
83－80＝3，∴__－83＝2，∴应填85.
答案：140 85
2.对大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，按照这种“分裂”规律，62的“分裂”中的最大的数是________，若m 3的“分裂”中有一个数是35，则m 的值为________．
解析：由m 2的“分裂”规律可知62对应的是从1开始的连续6个奇数，所以最大的数为11，
由m 3的“分裂”规律可知m 3对应m 个奇数，35是从1开始的第18个奇数，应该含在63的分裂中．
答案：11 6
3．数列 2＋13， 3＋18， 4＋115， 5＋124
，…由此，猜想出第n 个数为________． 解析：根号，分子1，“＋”都是相同的，2,3,4，…都是第n 个数的序号n 再加1，分母的规律则要仔细观察归纳．
答案： n ＋1＋1n (n ＋2)
4．补充下列推论的三段论
(1)因为互为相反数的两个数的和为0.
又因为a 与b 互为相反数且________，所以b ＝8.
(2)因为________，又因为e ＝2.71828…是无限不循环小数．所以e 是无理数．
答案：(1)a ＝－8 (2)无限不循环小数是无理数
5．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条．这些直线中共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________；f (n )＝________.(答案用数字或n 的解析式表示)
解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，
即n ＋n ＋n (n －3)2＝n 2＋n 2，f (4)＝4×2＋4×12
×2＝12， f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2×(n －2)＝n (n －1)(n －2)2
. 答案：n 2＋n 2 12 n (n －1)(n －2)2
6．在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4…堆最底层(第一层)分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数，则f (3)＝________；f (n )＝________(答案用n 表示)．
解析：f (1)＝1，观察图形知f (2)＝4，f (3)＝10，f (4)＝20，下一堆的个数是上一堆的个数加上
其第一层个数，而第一层的个数满足1,3,6,10，…，通项公式是n (n ＋1)2
，则第n 堆的乒乓球总数f (n )＝1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋n )
＝12
[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋…＋n )] ＝12[n (n ＋1)(2n ＋1)6＋n (n ＋1)2]＝n (n ＋1)(n ＋2)6
. 答案：10 16
n (n ＋1)(n ＋2) 7．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72
，推测当n ≥2时，有________．
解析：f (4)＝f (22)>2＋22；f (8)>f (23)＝3＋22，f (16)＝f (24)>4＋22，f (32)＝f (25)>5＋22
，从而归纳
出
f (2n )>n ＋22
. 答案：f (2n )>n ＋22
8．图(1)(2)(3)分别包含1个、5个、13个第十一届全运会吉祥物“泰山童子”，按同样的方式构造图形，设第n 个图包含f (n )个“泰山童子”，则f (5)＝________；f (n )－f (n －1)＝________.(答案用数字或n 的解析式表示)
解析：f (1)＝1，
f (2)＝5＝1＋4＝f (1)＋4×(2－1)，
f (3)＝13＝5＋8＝f (2)＋4×(3－1)，
∴f (4)＝f (3)＋4×(4－1)＝13＋4×3＝13＋12＝25，
f (5)＝f (4)＋4×(5－1)＝25＋4×4＝25＋16＝41，
∴f (n )－f (n －1)＝4(n －1)．
答案：41 4(n －1)
9.如图所示，把椭圆x 2
25＋y 216
＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，P 3，…，P 7七个点，F 是椭
圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.
解析：把椭圆类比成圆，则F 就变成了圆心，设圆的半径为R ，则|P 1F |
＝|P 2F |＝…＝|P 7F |＝R .因为F 在x 轴上，所以R ＝a ＝5，故|P 1F |＋|P 2F |
＋…＋|P 7F |＝7×5＝35.
答案：35
二、解答题
10．试将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；
(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；
(3)一次函数是单调函数，函数y ＝2x －1是一次函数，所以y ＝2x －1是单调函数；
(4)等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q (p ，q 是常数)，数列1,2,3，…，n 是等差数列，所以数列1,2,3，…，n 的通项具有a n ＝pn ＋q 的形式．
解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，(大前提)
海王星是太阳系中的大行星，(小前提)
海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(结论)
(2)所有导体通电时发热，(大前提)
铁是导体，(小前提)
铁通电时发热．(结论)
(3)一次函数都是单调函数，(大前提)
函数y ＝2x －1是一次函数，(小前提)
y ＝2x －1是单调函数．(结论)
(4)等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q (p ，q 是常数)，(大前提)
数列1,2,3，…，n 是等差数列，(小前提)
数列1,2,3，…，n 的通项具有a n ＝pn ＋q 的形式．(结论)
11．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．
2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2， 2cos π16＝2＋2＋2，…. 解：2cos π4＝2·22
＝2， 2cos π8
＝2 1＋cos π42＝2 1＋222＝2＋2， 2cos π16
＝2 1＋cos π82＝2 1＋12 2＋22 ＝
2＋2＋2，
… 归纳可得：2cos π2
n ＋1＝. 12．在锐角三角形ABC 中，求证sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .
证明：∵在锐角三角形中，A ＋B >π2
， ∴A >π2－B ，∴0<π2－B <A <π2
. 又∵在(0，π2
)内正弦函数是单调增函数， ∴sin A >sin(π2
－B )＝cos B ， 即sin A >cos B ①，
同理sin B >cos C ②，
sin C >cos A ③，
由①＋②＋③得
sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .。