【2022年上海市初中一模数学卷】2022年上海市青浦区初中毕业生学业模拟考试试卷九年级数学及答案

2021学年第一学期九年级数学学科练习卷
（完成时间：100分钟 满分：150分） 2022.1
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在
草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算
的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）
[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂] 1．下列图形，一定相似的是（ ）
（A ）两个直角三角形；（B ）两个等腰三角形；（C ）两个等边三角形；（D ）两个菱形． 2．如图，已知AB // CD //EF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、C 、E
和点B 、D 、F ．如果AC ∶CE =2∶3，BD =4，那么BF 等于（ ） （A ）6； （B ）8； （C ）10； （D ）12． 3．在Rt △ABC 中，∠C =90º，那么cot A 等于（ ） （A ）
AC BC
； （B ）
AC AB
； （C ）
BC
AC
； （D ）
BC AB
．
4．如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、BC 上，下列条件中
一定能判定DE ∥AC 的是（ ） （A ）
AD BE
DB
CE
=
； （B ）
BD BE AD
EC
=
； （C ）
AD CE AB
BE
=
； （D ）
BD DE BA
AC
=
．
5．如果2=−
a b （ a 、
b 均为非零向量），那么下列结论错误．．
的是（ ） （A ）||2||=
a b ； （B ） a ∥ b ； （C ）20+=
a b ； （D ） a 与b
方向相同． 6．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BA 的延长线上，联结EC ，交边AD 于
点F ，则下列结论一定正确的是（ ） （A ）
EA AF AB BC =； （B ）EA FD AB AF =； （C ）AF EA BC CD =； （D ）EA AF
EB AD =． C
F
B A
E D
l 2l 1A B C D E
F
（第6题图）
（第2题图）
C
B
A E
D
（第4题图）
B
A
O
（第16题图）
G D E A
B F
C （第17题图）
（第14题图）
（第15题图）
二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7． 已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且a = 1，b = 3，那么c = ．
8． 计算：32(2)−−
a a
b = ．
9． 如果两个相似三角形的周长比为2∶3，那么它们的对应高的比为 ．
10．二次函数2
1y x x =
−−−的图像有最 点．（填“高”或“低”）
11．将抛物线2y
x =向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ．
12．如果抛物线c bx ax y ++=2
（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）在
对称轴左侧的部分是下降的，那么a 0．（填“＜”或“＞”） 13．在△ABC 中，∠C =90º，如果tan ∠A=2，AC =3，那么BC = ． 14．如图，点G 为等边三角形ABC 的重心，联结GA ，如果AG =2，
那么BC = ．
15．
如图，如果小华沿坡度为的坡面由A 到B 行走了8米，
那么他实际上升的高度为 米． 16．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、O 都
在这些小正方形的顶点上，那么sin ∠AOB 的值为 ． 17．如图，在矩形ABCD 中，∠BCD 的角平分线CE 与边AD 交于
点E ，∠AEC 的角平分线与边CB 的延长线交于点G ，与边AB 交于点F ，如果
AB =，AF =2BF ，那么GB = ． 18．如图，一次函数(00)，=+<>y ax b a b 的图像与x 轴，y 轴分别
相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交 于点C ，我们将图像过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函
数关联的二次函数．如果一次函数(0)y kx k k =
−+>的关联二次 函数是22y
mx mx c =++（0m ≠），那么这个一次函数的解析
式为 ．
（第18题图）
三、解答题（本大题共7题，满分78分） [请将解题过程填入答题纸的相应位置] 19．（本题满分10分）
计算：(
)()
1
sin 451+2cos30tan 60
cot 60−°
°
°°−−−．
20．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上， CE 、BD 相交于点F ，BF=3DF ． （1）求AE ∶ED 的值；
（2）如果DC a =
，EA b =
，试用 a 、 b 表示向量CF ．
21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，联结AD ，AB =AD ，BD=4，
41
tan =C ．
（1）求AB 的长；
（2）求点C 到直线AB 的距离．
22．
（本题满分10分） 如图，某校的实验楼对面是一幢教学楼，小张在实验楼的窗口C （AC ∥BD ）处测得教学楼 顶部D 的仰角为27°，教学楼底部B 的俯角为13°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB =20米．求教学楼BD （BD ⊥AB ）的高度．（精确到0.1米） （参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，
sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点E ，∠ABD=∠CBD ，2
DC DE DB =⋅．
（1）求证：△AEB ∽△DEC ； （2）求证：BC AD CE BD ⋅=⋅．
24．（本题满分12分， 其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
C
F
B
A
E D
A
B
C
D
E
C
B
A D
（第21题图）
（第23题图）
（第22题图）
（第20题图）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A （-1，0）和
点B （3，0），与y 轴交于点C ，顶点为点D ．
（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标； （2）联结BC 、BD ，求∠CBD 的正切值；
（3）若点P 为x 轴上一点，当△BDP 与△ABC 相似时，求点P 的坐标．
25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3
）小题6分）
在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB AD =2，DC =tan ∠ABC=2（如图）．点E 是 射线AD 上一点，点F 是边BC 上一点，联结BE 、EF ，且∠BEF =∠DCB ．
（1）求线段BC 的长；
（2）当FB =FE 时，求线段BF 的长；
（3）当点E 在线段AD 的延长线上时，设DE=x ，BF=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围．
（第25题图）
（备用图）
（第24题图）
（备用图）
F
E D
C B A A B
C
D
参考答案
一、选择题：
1．C ； 2．C ； 3．A ； 4．B ； 5．D ； 6．D ． 二、填空题：
7．9； 8．4+
a b ； 9．2:3； 10．高； 11．22=
−y x ； 12．>； 13．6； 14
．； 15．4； 16
17
．2− 18．3+3=−y x ．
三、解答题： 19
1
1+2−−−−． ························································ （4
分）
=11− ················································································· （4
分） =． ··········································································································· （2分） 20．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD//BC ，AD =BC ． ························································································· （2分）
∴
=
BC BF
ED DF
． ······························································································· （1分） ∵BF=3DF ，∴3=BF
DF
．
∴3=BC ED ． ···································································································· （1分） ∴3=AD ED
． ∴AE ∶ED =2． ··································································································· （1分）
（2）∵AE ∶ED =2∶1，∴12
=
DE EA ．
∵= EA b ，
∴12
=
DE b ． ·································································································· （1分）
∵=− CE
DE DC ， ∴12
=− CE b a ． ···························································································· （1分）
∵AD//BC ，∴=
CF BF
CE BD ． ·········································································· （1分） ∵BF=3DF ，∴34
=BF BD ．∴
3
4=CF CE ． ∴34
=
CF CE ． ······························································································ （1分）
∴3133428
4 =−=−
CF b a b a ． ································································ （1分）
21．解：（1）∵过点A 作AH ⊥BD ，垂足为点H ．
∵AB =AD ， ∴BH =HD ． ··················································································· （1分） ∵点D 是BC 的中点， ∴BD =CD ． ∵BD =4，∴CD =4．
∴HC =6． ··········································································································· （1分） ∵1tan 4=
C ，∴1
4
=AH HC ，∴32=AH ． ················································· （1分）
∵
=AB ，
∴52
=AB ． ············································································ （2分）
（2）过点C 作CG ⊥BA ，交BA 的延长线于点G ． ·········································· （1分）
∵sin ==
AH CG
B
AB BC
， ················································································ （2分） ∴3
2582
=CG ． ······························································································· （1分） ∴245
=
CG ．
∴点C 到直线AB 的距离为
24
5
． ·································································· （1分） 22．解： 过点C 作CH ⊥BD ，垂足为点H ． ········································································ （1分）
由题意，得∠DCH =27°，∠HCB =13°，AB =CH =20（米）．
在Rt △DHC 中，∵tan ∠=DH
DCH CH ，∴tan 272010.2=°×≈DH ． ········· （4分）
在Rt △HCB 中，∵tan ∠=HB
HCB CH
，∴tan1320 4.6=°×≈BH ． ············· （4分）
∴BD =HD +HB ≈10.2 +4.6=14.8（米）． ··································································· （1分）
答：教学楼BD 的高度约为14.8米．
23．证明：（1）∵2
=⋅DC DE DB ，
∴
=DC DB
DE DC
． ··························································································· （1分） 又∵∠CDE =∠BDC ，∴△DCE ∽△DBC ． ····················································· （1分） ∴∠DCE =∠DBC ． ·························································································· （1分） ∵∠ABD =∠DBC ，
∴∠DCE =∠ABD ． ·························································································· （1分） 又∵∠AEB =∠DEC ，∴△AEB ∽△DEC ． ···················································· （2分） （2）∵△AEB ∽△DEC ，∴
=AE DE EB EC
． ······························································ （1分） 又∵∠AED =∠BEC ，∴△AED ∽△BEC ． ···················································· （1分） ∴∠ADE =∠BCE ． ··························································································· （1分） 又∵∠ABD =∠DBC ，∴△BDA ∽△BCE ． ··················································· （1分） ∴
=BD DA
BC CE
． ······························································································ （1分） ∴⋅=⋅BC AD CE BD ． ············································································ （1分）
24．解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入2++=
y x bx c ，得
10930.，−+= ++= b c b c 解得：23.
，=− =− b c ························································· （2分） 所以，2
23=−−y x
x ． ·············································································· （1分）
当x =0时，3=−y ．∴点C 的坐标为（0，-3）． ······································· （1分） （2）∵()2
2
23=14=−−−−y x x x ，∴点D 的坐标为（1，-4）． ················ （1分）
∵B （3，0）、C （0，-3）、D （1，-4），∴
BC=，
，
BD=
∴222+18220=+==BC DC DB ． ·························································· （1分）
∴∠BCD =90°． ······························································································· （1分） ∴tan ∠
CBD=1
3
=DC BC ． ········································································· （1分） （3）∵tan ∠ACO=
1
3
=AO OC ，∴∠ACO =∠CBD ． ··················································· （1分） ∵OC =OB ，∴∠OCB =∠OBC =45°．∴∠ACO+∠OCB =∠CBD+∠OBC ．
即：∠ACB =∠DBO ． ····················································································· （1分） ∴当△BDP 与△ABC 相似时，点P 在点B 左侧．
（i ）当
=AC DB
CB BP
时，
=．∴BP =6．∴P （-3，0）． ········································· （1分） （ii ）当
=AC BP
CB DB
时，
=．∴BP =103．∴P （-13，0）． ···································· （1分）
综上，点P 的坐标为（-3，0）或（-1
3
，0）
． 25．解：（1）过点A 、D 分别作AH ⊥BC 、DG ⊥BC ，垂足分别为点H 、点G ．
可得：AD =HG =2，AH =DG ．∵tan ∠ABC=2，AB
，
∴AH =2，BH =1． ······························································································ （2分）
∴DG =2．
∵DC =，∴CG 4=
． ························································· （1分） ∴BC =BH +HG +GC =1+2+4=7． ··········································································· （1分）
（2）过点E 作EM ⊥BC ，垂足为点M ．可得EM =2．
由（1）得，tan ∠C=
12
DG
GC
=． ∵FB =FE ，∴∠FEB =∠FBE ．
∵∠FEB =∠C ，∴∠FBE =∠C ． ········································································ （1分） ∴tan ∠FBE=
12
．∴
1
2
EM BM =
，∴BM =4． ···················································· （1分） ∵2
2
2
FM EM FE +=
，∴()2
2
2
42FB FB −+=． ····························· （1分） ∴BF=
5
2
． ········································································································ （1分） （3）过点E 作EN //DC ，交BC 的延长线于点N ． ∵DE //CN ，∴四边形DCNE 是平行四边形． ∴DE =CN ，∠DCB =∠ENB ．
∵∠FEB =∠DCB ，∴∠FEB =∠ENB ．······························································· （1分） 又∵∠EBF =∠NBE ，
∴△BEF ∽△BNE ． ························································································· （1分）
∴
BF BE BE BN
=
．∴2
BE BF BN =⋅． ···························································· （1分） 过点E 作EQ ⊥BC ，垂足为点Q ．可得EQ =2，BQ =x +3．
∴()2
2
2
2
2
2
32=613BE QE BQ x x x =+=++++． ······························ （1分） ∴()2
7613y x x x +=++．
∴26137x x y x
++=
+0x <≤ ． ···················································· （2分）。