人教A版高中数学选修3第六章计数原理6

第6章 6.2.4

A 级——基础过关练

1．计算：C 28＋C 38＋C 29＝( )

A ．120

B ．240

C ．60

D ．480 【答案】A 【解析】C 28＋C 38＋C 29＝C 39＋C 29＝C 310＝120.

2．有10个一模一样的小球，现分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情形有( )

A ．15

B ．12

C ．9

D ．6

【答案】A 【解析】首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩4个球．

①4个球分给1个人，有C 1

3＝3种分法；

②4个球分给2个人，有3C 23＝9种分法；

③4个球分给3个人，有3种分法．

共有3＋9＋3＝15(种)分法．

3．方程C x 14＝C 2x －414的解集为( )

A ．{4}

B ．{14}

C ．{4,6}

D ．{14,2} 【答案】C 【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x －4，2x －4≤14，

x ≤14

或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝14－2x －4，2x －4≤14，x ≤14，解得x

＝4或6. 4．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )

A ．60种

B ．70种

C ．75种

D ．150种

【答案】C 【解析】由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C 26C 15＝75(种)．

5．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加学校组织的活动，若按性别比例采用分层随机抽样，则不同的抽取方法数为( )

A ．224

B ．112

C ．56

D ．28

【答案】B 【解析】由分层随机抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为C 28C 1

4＝112.

6．若C m －18＞3C m 8，则m 的值为________．

【答案】7或8 【解析】由8！m －1！9－m ！＞3×8！m ！8－m ！

，得m >27－3m ，所以m >274

.又0≤m －1≤8,0≤m ≤8，m ∈N ，即7≤m ≤8，所以m ＝7或8. 7．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．

【答案】60 【解析】利用排列组合知识列式求解．根据题意，所有可能的决赛结果有

C 16C 25C 33＝6×5×42

×1＝60(种)． 8．在某互联网大会上，为了提升安保级别，将甲、乙等5名保安分配到3个不同的路口值勤，每个人只能分配到1个路口，每个路口最少分配1人，最多分配3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排有________种．

【答案】114 【解析】不考虑条件“甲和乙不能安排在同一个路口”，则有两种情况： ①3个路口人数分别为3,1,1时，安排方法共有C 35·A 3

3＝60(种)；

②3个路口人数分别为2,2,1时，安排方法有C 25·C 23A 22

·A 33＝90(种)． 若将甲、乙安排在同一个路口，安排法有C 24·A 33＝36(种)，

故甲和乙不安排在同一路口的方法共有60＋90－36＝114(种)．

9．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备多少不同的素菜品种？

解：设餐厅至少还需准备x 种不同的素菜．由题意，得C 25·C 2x ≥200，从而有C 2x ≥20，即x (x －1)≥40.又x ≥2且x ∈N *，所以x 的最小值为7.

10．把12个一模一样的球放入编号为1,2,3,4的盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，则不同放法有几种？

解：给每个盒子放入与其编号数相同的小球，则还剩2个小球．这2个小球可以放在1个或2个盒子中，故不同的放法有C 14＋C 24＝10(种)．

B 级——能力提升练

11．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( )

A ．12

B ．13

C ．14

D ．15 【答案】C 【解析】 因为C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，所以n ＋1＝7＋8，即n

＝14.

12．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有( )

A ．C 310种

B ．A 3

10种 C ．A 27A 13种 D ．C 27C 13种

【答案】D 【解析】每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C13种选法；第二步，选男工，有C27种．故有C13C27种不同选法．

13．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数为( ) A．135 B．172

C．189 D．162

【答案】C 【解析】不考虑特殊情况，共有C312种取法，取3张相同颜色的卡片，有4种取法，只取2张红色卡片(另一张非红色)，共有C23C19种取法．所求取法种数为C312－4－C23C19＝189.

14．口袋里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15只，白色手套10只．现从中随机抽取出两只手套，若两只是同色手套，则甲获胜，若两只手套颜色不同，则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是( )

A．甲多B．乙多

C．一样多D．不确定

【答案】C 【解析】两只是同色手套的取法有C215＋C210＝150(种)；两只不是同色手套的取法有C115·C110＝150(种)．

15．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.

【答案】1∶2 【解析】∵m＝C24，n＝A24，∴m∶n＝1∶2.

16．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法(用数字作答)．【答案】660 【解析】总的选法为C48C14C13种，其中不满足条件的选法为C46C14C13种，则满足条件的选法为C48C14C13－C46C14C13＝660(种)．

17．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止．

(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24·A22＝A24(种)测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680(种)．

(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C14·(C16·C33)A44＝576(种)．

C级——探究创新练

18．已知C4n，C5n，C6n成等差数列，求C12n的值．

解：由已知得2C5n＝C4n＋C6n，