相似三角形的性质1

←→ BACK
课堂练习(2)
7、如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，且 DE、FG把△ABC的面积三等分，若 BC=12cm，求FG的长。 解：
∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∵
DE∥FG∥BC，
△ADE∽△AFG∽△ABC， S△ADE:S△AFG:S△ABC=AD2:AF2:AB2， DE、FG把△ABC的面积三等分， S△ADE:S△AFG:S△ABC=1:2:3， AD:AF:AB= FG∥BC， ∴ FG=
A1
B
D
C
B1
D1
C1
相似三角形的性质(1) 定理：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线 A 的比等于相似比。
A1
数学符号语言: △ABC∽△A1B1C1
B
D
C
B1
D1
C1
AD、 A1D1分别平分∠BAC、 ∠B1A1C1

AD AB k A1D1 A1B1
周长比
（一）
C2
2 10
研 究 平 台
2 2
A2
10
4 C1
2
B2
A1
2
10
B1 C
2
A
2
B
• 相似三角形的对应高的比等于相似比; • 相似三角形的对应中线的比等于相似比; • 相似三角形的对应角平分线的比等于相似比.
已知： 如图，△ABC∽△A1B1C1， 相似比是k， AH⊥BC于H，A1H1⊥B1C1于H1。 AH k 求证： A1 H1
解： ∵ ∴
∴ ∴ ∴ 四边形DEFG是正方形 ∠DEB=∠GFC=90°, EF=DE=FG.
E
D
又∵ ∠B+∠C=90°，∠B+∠BDE=90° ∠BDE=∠C Rt△BED∽ Rt△GFC BE = GF ∴ ∴ BE = DE FC EF
F
G
EF
EF2=BE • 选做题：
A
A1
B
H
C
B1
H1
C1
已知： 如图，△ABC∽△A1B1C1， 相似比是k， AE、A1E1分别是△ABC、△A1B1C1的中线 。 求证： AE k A A1 E1
A1
B
E
C
B1
E1
C1
已知： 如图，△ABC∽△A1B1C1，相似比是k， AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的角平分线 AD 求证： k A A1D1
CA1B1C1
答:△A1B1C1的周长为0.04米。
际 图 形
C
课堂练习(1)
6、如图，已知DE∥BC， BD=3AD，S△ABC =48， 求：△ADE的面积。
解： DE∥BC ∵ ∴ ∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB ∴ △A DE ∽△ABC ∴ BD=3AD ∴ 相似比k=AD:AB=1:2 ∴ S△ADE =1/4 S△ABC =12
已知： 如图，△A1B1C1 ∽△ABC ， 相似比是1:10000,
△ABC的周长是400米。
求:△A1B1C1的周长。
CA1B1C1 CABC
解:△A1B1C1 ∽△ABC
CABC 400米
1 10000
B1
A1
地 图 图 形
A
C1
1 B CA1B1C1 0.04米 实 400 10000
A1
数学符号语言: △ABC∽△A1B1C1
B
D
C
B1
D1
C1
AD、 A1D1分别平分∠BAC、 ∠B1A1C1

AD AB k A1D1 A1B1
1、判断题 ⑴相似三角形的中线比等于相似比……( × ) ⑵两个相似三角形的边长之比等于高之比 …………………………………………( × )
，
，且BC=12cm， cm。 ←→
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⑴今天这节课我们通过探索，学习了什么？ ⑵在运用相似三角形性质时，关键是注意什么？
⑶今天，我们在探讨相似三角形的性质的过程中
应用了哪些数学方法？
⑷ 你还想进一步知道什么呢？
如图:在Rt△ABC中,有正方形DEFG, 且E、F在斜边BC上，D、G分别在AB、 2 AC上.试说明：EF =BE· FC B
2、填空题
⑴已知△ABC∽△A′B′C′的相似比为2︰3， 则它们对应中线的比为 2︰3 ； ⑵已知两个相似三角形对应高的比是4︰1， 则它们的对应角平分线的比是 4︰1 ； ⑶已知两个相似三角形对应角平分线的长分别为2 cm 和6cm ,其中一个三角形的周长18cm，则另一个三 角形的周长是 6或54 cm。
如图，在△ABC中，矩形DEFG的一边DE在BC上， 点G、F分别在AB、AC上，AH是边BC上的高， A AH与GF相交于K，GF=18，EF=10，BC=48． 求：AH的长；
G K F
B
D
H
E
C
已知：如图，△ABC中，D为AB上一点，
AD AC k 且 AC AB AE 求证： k AF
，AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，
A
D
E
B
F
C
A 如图,△ABC是一 块锐角三角形余料, 边BC=120毫米,高 E N M AD=80毫米,要把它 加工成正方形零件, 使正方形的一边在 B Q D P C BC上,其余两个顶 点分别在AB、AC上, 这个正方形零件的 AE = PN AD BC 边长是多少？
C2
2 10
研 究 平 台
2 2
A2
10
4 C1
2
B2
A1
2
10
B1 C
2
A
2
B
相似三角形的性质(2) 定理: 猜想: 相似三角形的周长之比等于相似比. 已知： 如图，△ABC∽△A1B1C1，相似比是k，
AB BC CA k 求证： A1B1 B1C1 C1 A1
AB BC CA k 证: ABC ∽ A1B1C1 A B1 B1C1 C1 A1 1 A1 A AB BC CA k A B1 B1C1 C1 A 1 1
课堂练习(2)
3、把 一个三角形变成和它相似的三角形，则如 果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为原 来的_____________倍； 10000 如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为 原来的_______________倍。 10
4、已知△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。 （1）若△ABC的周长为24cm，则△A′B′C′的周长为 cm； （2）若△ABC的面积为32 cm2 ，则△A′B′C′的面积 18 为 cm2。 ←→ BACK 18
B1 B C C1
相似三角形的性质： 1.相似三角形对应高的比等于相似比。
2.相似三角形对应中线的比等于相似比。
3.相似三角形对应角平分线的比等于相 似比。
4.相似三角形周长的比等于相似比。
5.相似三角形面积的比等于相似比的
平方。
相似三角形的性质(1) 定理：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线 A 的比等于相似比。
B E
D F
∟
C
问题：2003年，在我区的志丹苑工地上发现一处元代的 水闸遗址，该遗址是一三角形地块，现文物管理处要对 该遗址进行保护性开发，委托地图测绘局绘制遗址的地 图，通过实地测量后得到该处实际周长是400米 ，随后 测绘成图，已知该地图的比例尺为1:10000，我们能否 帮文物管理处求出它的图上周长呢？
解：设正方形PQMN是符合要求的 △ABC的高AD与PN相交于点E。 设正方形PQMN的边长为x毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC 所以
如图,△ABC中,BC=24㎝,高AD=12 ㎝,矩形EFGH的两个顶点E、F在 BC上,另两个顶点G、H在AC、AB 上,且EF:EH=4:3,求EF、EH的长 A K G H