专题20 磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型(解析版)

2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练
专题20 磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型
【特训典例】
一、旋转圆模型
1．如图所示，空间存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），一放射源P 位于足够大的绝缘板AB 上方，放射性物质为
238
92
U ，发生α衰变后，放出α射线，
23490
Th 留在放射源中，P 到AB 的距离为d ，在纸面内向各
个方向发射速率均为v 的α粒子，不考虑粒子间的相互作用和α粒子的重力。

已知α粒子做圆周运动的半径也为d ，则（ ）
A ．核反应方程为23892U→234
90
Th ＋4
2He
B ．板上能被α粒子打到的区域长度是2d
C ．α粒子到达板上的最长时间为
32d
v π D ．α粒子到达板上的最短时间为2d
v
π
【答案】AC
【详解】A ．根据质量数守恒和电荷数守恒可知，核反应方程为238
234492
902U Th He →
+，A 正确；
B ．打在极板上粒子轨迹的临界状态如上图所示
根据几何关系知，带电粒子能到达板上的长度1)l d d ==，B 错误； CD ．由题意如画出所示
由几何关系知最长时间为1轨迹经过的时间，即竖直向上射出的α粒子到达板上的时间最长，其轨迹对应的圆心角为270°，故最长时间为3323442d d
t T v v ==⨯=长ππ而最短时间为轨迹2，其轨迹对应的弦长为d ，故
对应的圆心角为60°，最短时间为112663d d
t T v v
==⨯=短ππ，D 错误C 正确。

故选AC 。

2．如图所示，在边长为L 的等边三角形区域ABC 内存在着垂直纸面的匀强磁场（未画出），磁感应强度大
小为B =
，大量质量为m 、带电荷量为q 的粒子从BC 边中点O 沿不同的方向垂直于磁场以速率v 0
射入该磁场区域，不计粒子重力，则下列说法正确的是（ ）
A
B
C ．对于从AB 和AC
D ．对于从AB 和AC
【答案】BC
【详解】A
．所有粒子的初速度大小相等，它们在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为0mv r qB ==故A 错误；
B
．粒子做圆周运动的周期为00
2r T v π=
=B 正确； C ．当粒子运动轨迹对应的弦最长时，圆心角最大，粒子运动时间最长，当粒子运动轨迹对应的弦长最短时，对应的圆心角最小，粒子运动时间最短。

对于从AB 和AC
边射出的粒子在磁场中的运动，可知最长的弦为OA =
60°
，因此最长运动时间016t T ==故C 正确；
D ．过O 点作AC 边的垂线，垂足为D
，可知OD =
为最短的弦之一，由几何知识可知，对应的圆心角小于30°
，因此粒子最短运动时间小于
12T D 错误。

故选BC 。

3．如图所示，半径为R 的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量质量为m ，电荷量为q 的带正电的粒子，在纸面内沿各个方向以速率v 从P 点射入磁场，这些粒子射出磁场时的位置均位于PQ 圆弧上且Q 点为最远点。

已知PQ 圆弧长等于磁场边界周长的四分之一，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则（ ）
A ．这些粒子做圆周运动的半径r
B
C ．该匀强磁场的磁感应强度大小为
2qR
D ．该圆形磁场中有粒子经过的区域面积为22
342R R π-
【答案】ABD
【详解】A ．设圆的半径为r ，磁感应强度为B 时，从P 点射入的粒子与磁场边界的最远交点为M ，最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点，圆弧PQ 的弧长是圆周长的
1
4
，如图所示
由几何关系90POQ ︒∠=则粒子做圆周运动的半径为r =
故A 正确；
BC ．粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，根据洛伦兹力提供向心力可得2v qvB m r =联立r R =得该
匀强磁场的磁感应强度大小B B 正确，C 错误； D ．该圆形磁场中有粒子经过的区域如图所示
该区域面积222222
ππ(2)3π()422842π=-++=-
R R r r R R S 故D 正确。

故选ABD 。

4．如图所示，长为a 宽为b 的矩形区域内（包括边界）有磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，O 点有一粒子源，某时刻粒子源向磁场所在区域与磁场垂直的平面内所有方向发射大量质量为m 电量为q 的带正电的粒子，粒子的速度大小相同，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T ，最先从磁场上边界射出的粒子经历的时间为12
T
，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为4T ，不计重力和粒子之间的相互作
用，则（ ）
A ．粒子速度大小为
Bqb
m
B ．粒子做圆周运动的半径为3b
C ．a 的长度为1)b
D ．最后从磁场中飞出的粒子一定从上边界的中点飞出 【答案】C
【详解】AB ．最早从上边界飞出的粒子进入磁场的方向是竖直向上的，粒子运动的轨迹如图1
最先从磁场上边界射出的粒子经历的时间为
12
T
，则360t T θ=可知粒子偏转的角136********t T θ=⨯=⨯=
由几何关系可知轨道半径2sin 30b r b =
=粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，有2
mv qvB r
= 解得2qrB qBb
v m m
=
=故AB 错误； CD ．粒子在磁场中运动的弧长越大，则运动时间越长，最后射出磁场的粒子运动轨迹如图2所示
由几何关系可知21
sin 22
r b b b r b α--=
==可解得图中的角度大小为30α=；
9060βα=︒=︒-由于最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为
4
T
，则偏转角等于90°，因此9030γβ=︒=︒-由几何关系可得a 的长度为 cos sin 2cos302sin 30(31)a r r b b b αγ=+=+=+故C 正确，D 错误。

故选C 。

二、放缩圆模型
5．如图所示，一个边长为l 的正六边形abedef 的区域内有匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面向外。

在a 点处的粒子源发出大量质量为m 电荷量为()0q q +>的同种粒子，粒子的速度大小不同，方向始终沿ad 方向。

不计粒子间的相互作用力及重力，下列说法正确的是（ ）
A B ．速度大于qBl
m
的粒子一定打在cd 边上
C ．经过c 点的粒子在磁场中运动的时间为
3m
qB
π D ．垂直打在cd 边上的粒子在磁场中运动的时间为6m
qB
π 【答案】ACD
【详解】A ．根据几何关系，粒子恰好经过b 点时运动半径1r =由2v qvB m r =可知速度11qBr v m =
=
ab 边离开磁场，根据几何关系可知转过的圆心角均为120︒，运动时间均为 112013603
t T T ︒︒=⋅=，T 为粒子在磁场中的运动周期，A 正确；
BC ．粒子恰好经过c 点时运动半径2r 根据几何关系可知运动时间2616123m m
t T qB qB ππ==⋅=速度
22qBr v m =
=
的粒子一定打在cd 边上，B 错误，C 正确； D ．粒子垂直打在cd 边上时，如图：
根据几何关系可知圆心角为30︒，运动时间21126m T qB
t π=
=，D 正确。

故选ACD 。

6．如图所示，磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc 段是半径为R 的四分之一圆弧，ab 、dc 的延长线通过圆弧的圆心，Ob 长为R 。

一束质量为m 、电荷量为q （q >0）的粒子，在纸面内以不同的速率从O 点垂直ab 射入磁场，不计粒子间的相互作用和重力。

则从圆弧边界bc 射出的粒子在磁场中飞行的最短时间为（ ）
A ．
56m
qB
π B ．
127180m
qB
π
C ．
23m
qB
π D ．
m
qB
π 【答案】C
【详解】由题可知，带电粒子在磁场中匀速圆周运动2
2mv Bqv r
r
T v
π=
=
解得2m T Bq π=
如图所示，设当粒子从d 点射出，dOb θ∠=，故当O d Od '⊥时，θ最大，此时粒子轨迹所对应的圆心角最小1
sin 22
O d R O O R θ'=
=='；30θ=︒故粒子轨迹所对应的圆心角为120︒，粒子在磁场中飞行的最短时间为
12023603m
t T Bq
π︒=
=︒故选C 。

7．如图所示，水平虚线边界的上方存在磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，O 为水平
虚线边界上一点。

abcd 为边长为L 的正方形虚线边界，ad 与水平虚线边界重合，Oa ，正方形虚线边界内存在与水平虚线边界上方同样的磁场。

一束质量为m 、电荷量为q -（0q >）的粒子从O 点垂直于Oa 射入磁场，这些粒子具有不同的速率。

不计粒子重力和粒子之间的相互作用。

在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A ．
43m
qB
π B ．
23m
qB
π C ．
3m
qB
π D ．
4m
qB
π 【答案】A
【详解】根据题意可知，当粒子由b 点飞出时，运动的时间最长，运动轨迹如图所示
设粒子做圆周运动的半径为R ，由几何关系有)
2
22R R
L -
-=，1cos aO b ∠=
R =，160aO b ∠=︒由牛顿第二定律有2v qvB m R =解得BqR v m =由几何关系可知，粒子运动轨迹的长度为601804
23603
s R R ππ︒+︒=⋅=︒则粒子的运动时间为43s m t v Bq π==故选A 。

8．如图所示，ab 边界以上，圆形边界以外的Ⅰ区域中存在匀强磁场，磁感应强度为0B ，圆形边界以内Ⅰ区域中匀强磁场的磁感应强度为02B ，圆形边界半径为R ，ab 边界上c 点距圆形边界圆心O 的距离为2R ；一束质量为m 、电荷量为q 的负电粒子，在纸面内从c 点沿垂直边界ab 方向以不同速率射入磁场。

不计粒子之间的相互作用。

已知一定速率范围内的粒子可以经过圆形磁场边界，这其中速率为v 的粒子到达圆周边界前在Ⅰ区域中运动的时间最短。

只考虑一次进出Ⅰ、Ⅰ区域，则（ ）
A ．可以经过圆形边界的粒子的速率最大值为034q
B R
m B ．可以经过圆形边界的粒子的速率最小值为02qB R
m
C ．速率为v 的粒子在Ⅰ区域的运动时间为π3R v
D ．速率为v 的粒子在Ⅰ区域的运动时间为0π2m
B q
【答案】BD
【详解】AB ．粒子在磁场中做圆周运动由洛伦兹力提供向心力有2
v qvB m R =可得mv R qB =则粒子速度越大，
轨迹半径越大，如图甲所示，当粒子从Ⅰ区域右侧经过圆形磁场边界时，半径最大，此情况下粒子的速度最大，由几何关系得3
2r R =
代入数据可得最大速度为0max 32qB R v m
=
当从Ⅰ区域左侧经过圆形磁场边界时，粒子轨迹对应的半径最小，此情况下粒子速度最小，由几何关系得2
R r =代入数据得最小速度为0min 2qB R
v m =
故A 错误，B 正确；
C ．粒子在磁场Ⅰ中运动周期2π2πr m
T v qB
==设粒子经过圆形磁场边界时，在磁场Ⅰ中偏转的圆心角为θ，则粒子在磁场中运动的时间0
2π
m
t T qB θ
θ=
=
则粒子偏转的圆心角越小，到达圆周边界前在Ⅰ区域中运动的时间越短，
由几何关系可得，速率为v 的粒子到达圆周边界前在Ⅰ区域中运动时间最短的运动轨迹如图乙所示
由几何知识可知，时间最短时r R =对应的圆心角120θ可得在Ⅰ区域的时间11202π2π3603R R
t v v
︒=
⋅=︒ 故C 错误；
D ．如图乙所示，当进入Ⅰ区域磁场后，做圆周运动的半径2022
mv R
r B q =
=由2r R <与对称性可知，粒子能在
Ⅰ
区域做半个圆周运动，运动时间为2002π1π2222T m m t B q B q
'==⨯=故D 正确。

故选BD 。

三、平移圆模型
9．如图所示，一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种离子，不考虑离子间的相互作用，则离子经过磁场的区域（阴影部分）可能的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【详解】离子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示
粒子源最左端发射的粒子落在A 点，最右端发射的粒子落在B 点，故选C 。

10．如图所示，正方形PNMQ 的边长为L ，圆心在M ，半径也为L 的
1
4
圆形区域MQN 内有垂直于圆面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，G 是QM 边的中点。

一群质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力），以相同的速度qBL
v m
=沿既垂直于QM 也垂直于磁场的方向从QM 边射入磁场，下列说法正确的是（ ）
A ．没有粒子到达P 点
B ．粒子在磁场中运动的最长时间为3m qB
π C ．从G 、M 之间射入的粒子皆可到达PN 边
D ．所有粒子将从磁场边界上同一点射出磁场
【答案】B
【详解】A ．根据洛伦兹力提供向心力有2
v qvB m R =解得=qB m L v R q m L B m qB
== 若粒子在磁场中恰好经过弧QN 的中点K ，如图：
则根据几何关系可知粒子的出射速度与水平方向成45°角，之后匀速直线运动正好到达P 点，选项A 错误；
B ．经分析知从M 点入射的粒子在磁场中运动的时间最长，如图：
由几何关系可知粒子的偏转角为60°，则偏转时间602=3360m qB q m t B
ππ︒=
⨯︒选项B 正确； C ．画出粒子从G 点射入的轨迹如图：
可见粒子从磁场中射出的点在K 的下方，粒子不会打在PN 边上，所以从G 、M 之间射入的粒子不能全部到达PN 边，选项C 错误；
D ．由以上分析可知粒子将从磁场边界上不同的点射出磁场，选项D 错误。

故选B 。

11．如图所示，在直角三角形abc 区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。

大量质量为m 、电荷量为＋q 的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab 边射入场区，结果在bc 边仅有一半的区域内有粒子射出。

已知bc 边的长度为L ，bc 和ac 的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。

下列说法正确的是（ ）
A ．粒子的入射速度为
4BqL m
B C ．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为4L
π
D ．从bc 边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为
2m Bq π
【答案】AC 【详解】AB ．粒子进入场向上做匀速圆周运动，洛伦力提供向心力mv r Bq =
因bc 边只有一半区域有粒子射出，在bc 边中点射出的粒子轨迹如图中实线所示，由几何关系可得4L r =则粒子的入射速度4BqL v m =所以A 项正确；B 项错误；
C ．粒子在场中运动的最长轨述为4L
s r ππ==，C 项正确；
D ．与bc 边相切恰从bc 边射出的粒子的对应的圆心角最大为
23π，从bc 边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为23m t Bq
π=所以D 项错；故选AC 。

12．如图所示，xOy 坐标轴上有(),0A L 和()C 两点.在∆OCA 区域内有垂直于xOy 平面向里的匀强磁场B .一群质量为m 、电荷量为()>0q q 的同种粒子(粒子间相互作用不计)，同一时刻从OC 边以平行于x 轴方向射入磁场.粒子射入磁场前间距均匀(极小)、速度相同.从OC 边射出的粒子占粒子总数的75%.不计重力.下列说法正确的是（ ）
A ．粒子在磁场中沿顺时针方向运动
B ．粒子在磁场中运动时间最长为
m qB
π
C D ．粒子在磁场中运动时间最短为
6m qB
π 【答案】BC 【详解】A ．用左手定则可以判断粒子在磁场中按逆时针方向运动，A 错误；
B ．粒子在磁场中运动的周期为2m T qB
π=轨迹对应的圆心角最大值为θπ=所以运动时间最长2m t T qB θππ==
故B 正确；
C ．设从OC 边P 点入射的粒子恰能从OC 边射出，半径为r ，其轨迹恰好与AC 相切，因为C 点坐标为（0，
），所以OC =，因为粒子从OC 边均匀射入，75%粒子能从OC 边射出，故OC 边75%长度射入的粒子能从OC 射出，即：从OP 段入射的粒子均能从OC 边射出，CP 段入射粒子不能从OC 边射出，可知
14CP OC ==根据几何关系可得sin 30r CP r =+︒解得粒子轨迹半径r =根据洛伦兹力提供
向心力可得2
v qvB m r
=联立可得粒子速度大小v =，C 正确； D ．从C 点入射的粒子在磁场中运动时间最短为0，故D 错误；故选BC 。

四、磁聚焦模型
12．如图所示，在半径为R 的圆形区域内有垂直纸面向里的磁感应强度为B 的匀强磁场，在磁场区域的上方有一水平放置的与磁场方向平行的感光板MN 。

从磁场区域最左端Q 点垂直磁场方向射入大量的带电荷量为q 、质量为m 、速度为v 的粒子，且速度满足qBR v m
=，最后都打在了感光板上。

不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力，关于这些粒子，以下说法正确的是（ ）
A ．这些粒子都带负电
B ．沿着圆心方向入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心
C ．只有沿着圆心方向入射的粒子，出射后才垂直打在感光板MN 上
D ．沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在感光板MN 上
【答案】D
【详解】A ．因为粒子最后都打在了感光板上，说明粒子向上偏，根据左手定则知粒子带正电，A 错误；
BCD ．粒子所受洛伦兹力充当向心力，根据2
v qvB m r
=则粒子做mv r qB =匀速圆周运动，因为速度满足 qBR v m
=所以mv r R qB ==根据几何关系知，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上，且沿着圆心方向入射的粒子，其出射方向的反向延长线一定过圆心，BC 错误D 正确。

故选 D 。

14．如图所示，在半径为R 的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁场，MN 是一竖直放置的感光板。

从圆形磁场最高点P 以速度v 垂直磁场正对着圆心O 射入带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q 、质量为m ，不考虑粒子重力，关于粒子的运动，以下说法正确的是（ ）
A ．粒子在磁场中通过的弧长越长时间也越长
B ．出磁场的粒子其出射方向的反向延长线也一定过圆心O
C ．出磁场的粒子一定能垂直打在MN 上
D ．只要速度满足qBR v m
=
，入射的粒子出射后一定垂直打在MN 上 【答案】BD
【详解】A ．粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有2mv qBv r =，22r m T v qB ππ==则速度不同的同种带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等，对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中轨迹半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角越小，由2t T θπ
=知，运动时间t 越小，故A 错误； B ．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹圆心为'O ，粒子出射点为P'，根据几何知识可知 'OPO Ⅰ''OP O 则0''='=90OP O OPO ∠∠即对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线也一定过圆心，
故B 正确；
C ．速度不同，半径不同，轨迹对应的圆心角不同，对着圆心入射的粒子，出射后不一定垂直打在MN 上，与粒子的速度有关，故C 错误；
D ．速度满足v =BqR m
时，粒子的轨迹半径为r =mv Bq =R ，入射点、出射点、O 点与轨迹的圆心构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与最高点的轨迹半径平行，粒子的速度一定垂直打在MN 板上，故D 正确。

故选BD 。

15．如图所示，在xOy 平面内有一个半径为R 、圆心位于坐标原点O 的圆形磁场区域，磁感应强度大小为B ，在圆形磁场区域的左边有一个宽度也为R 且关于x 轴对称的粒子源，它能连续不断地沿x 轴正方向发射速度相同的带正电粒子，已知粒子的质量均为m 、电荷量均为q ，不计粒子重力和粒子间的相互作用。

若粒子均能够从y 轴上的P 点离开磁场区域，则下列说法正确的是（ ）
A ．磁场方向垂直xOy 平面向外
B ．粒子的速度大小为qBR m
C ．粒子在磁场中运动的最大时间差为3m qB
π D ．粒子从P 点离开磁场时与x 轴正方向的夹角的范围为03π
θ≤≤
【答案】BC 【详解】A ．由于粒子均向上偏转，根据左手定则可知，磁场方向垂直于xOy 平面向里，A 错误；
B ．由于粒子均能从P 点离开磁场，由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径也为R ，根据
200v qv B m R
=解得0qBR v m =，B 正确； C ．在场中运动时间最长的粒子与运动时间最短的粒子的运动轨迹如图所示
则粒子在磁场中运动的最长时间为1233T m t qB π=
=粒子在磁场中运动的最短时间为263T m t qB π==所以最大时间差为123m
t t t qB π∆=-=，C 正确；
D ．由几何关系可知，粒子离开磁场时与x 轴正方向的夹角的范围应为233
π
πθ≤≤，D 错误。

故选BC 。

16．在真空中，半径为R 的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B ，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电量为e ，质量为m ，速度为eBR v m
=，则以下说法正确的是（ ）
A ．对着圆心入射的质子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心
B ．沿a 点比沿b 点进入磁场的质子在磁场中运动时间长
C ．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场
D ．若质子以相等的速率
eBR m
从同一点沿各个方向射人磁场，则他们离开磁场的出射方向可能垂直 【答案】BC
【详解】A ．根据对称性，对着圆心入射的质子，其出射方向的反向延长线一定过圆心，A 错误； BC ．由题可知，粒子在磁场的运动的轨道半径r R =设从a 点入射的粒子，在磁场中运动的圆心为O 1，如图所示，由几何关系可知四边形1aOMO 为菱形，由于入射方向沿水平方向，则半径1aO 一定沿竖直，可推知OM 一定沿竖直方向，即出射点一定在O 点的正下方的M 点，同理可知所有粒子都从M 点射出，其中从a
点入射的粒子，运动的弧长最长，运动的时间最长，B、C正确；
D．将以上运动倒过来，若质子以相等的速率eBR
m
从同一点沿各个方向射人磁场，则他们离开磁场的出射方
向一定相互平行，D错误。

故选BC。