2023年广西防城港市中考数学二模试卷(含解析)

2023年广西防城港市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在2、−2、−1
2
、0这四个数中，最小的数是( )
A. 0
B. −2
C. 2
D. −1
2
2. 如所示几何体的主视图和俯视图完全相同的是( )
A. B. C. D.
3. 2022年12月26日是伟大领袖毛主席诞辰129周年纪念日，伟人在他的诗词中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，那么数据“八万里”用科学记数法可表示为( )
A. 8×104里
B. 8×105里
C. 0.8×105里
D. 8×103里
4. 下列计算正确的是( )
A. 2x+3y=5xy
B. (m+3)2=m2+9
C. (−2xy2)3=−8xy6
D. a10÷a4=a6
5. 在平面直角坐标系中，将函数y=3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是
A. y=3x+5
B. y=3x−5
C. y=3x+1
D. y=3x−1
6. 若点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，则点P的坐标是( )
A. (3,1)
B. (−1,3)
C. (−1,−3)
D. (−3,1)
7. 一个不透明的盒子中有红黄两种颜色的小球12个，且它们除颜色外，其它都相同.小婷从中随机抽取一个小球后又放回，经过反复多次试验，发现从中抽取的小球中，红色小球和黄色小球的次数的比稳定在0.7左右，那么估计红色小球的个数为
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
8. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100元钱，每人分得若干，若再加上5人，平分150元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数.设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为( )
A. 100x=150(x+5)
B. 100(x−5)=150x
C. 100
x =150
x+5
D. 100
x−5
=150
x
9. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数是
A. 45°
B. 50°
C. 60°
D. 65°
10. 小明早8点从家骑自行车出发，沿一条直路去公园锻炼，小明出发的同时，他的爸爸锻炼结束从公园沿同一条道路匀速步行回家：小明在公园锻炼了一会后沿原路以原速返回，小明比爸爸早3分钟到家．设两人离家的距离s(m)与小明离开家的时间t(min)之间的函数关系如图所示．下列说法：①公园与家的距离为1200米；②爸爸的速度为48m/min；③小明到家的时间为8：22；④小明在返回途中离家240米处与爸爸相遇．其中，正确的说法有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
11.
如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠后，ED与BF交
于G点，若∠EFC=130°，则∠BGE的度数为( )
A. 105°
B. 100°
C. 110°
D. 130°
12.
边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线y=
k1x平分这8个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的
的一支交其中两个正方形的边
过B点的双曲线y=k2
边于A、B两点，
x
于C、D两点，连接OC、OD、CD，则S△O C D=( )
A. 119
48B. 119
24
C. 25
16
D. 25
32
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）
13. 若二次根式x−4在实数范围内有意义，则x的取值范围是．
14. 分解因式：36x2−4=．
15. 如果正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是______．
16. 小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，
那么小球最终停留在黑色区域的概率是______．
17. 新定义：函数图象上任意一点P(x,y)，y−x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”.一次函数y=2x+3(−2≤x≤1)的“特征值”是______ ．
18.
如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为(−3,4)，⊙A的半径
为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是
______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：−14×[(−8)+2÷1
2
]−|−3|．
20. (本小题6.0分)
先化简，再求值：x2+2x+1
x3−x ÷(1+1
x
)，其中x=3+1．
21. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)以AC为直径，利用尺规作⊙O，⊙O交AB于点D.(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写
作法，标明字母)
(2)在(1)中所作的图中，若tan∠BCD=3
，BC=3，求⊙O的半径．
4
22. (本小题10.0分)
某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青山就是金山银山”理念，在外打工的王大叔返回家乡创业，承包了甲、乙两座荒山，各栽100棵小枣树，发现
成活率均为97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两座山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示，
(1)直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数______ ；
(2)分别计算甲、乙两座山小枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高；
(3)用样本平均数估计甲、乙两座山小枣的产量总和．
23. (本小题10.0分)
综合与实践：
【问题情境】南宁青秀山龙象塔始建于明代万历年间，塔呈八角形，九级重檐结构，是青秀山的地标建筑.在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：请根据所学知识设计一种方案，测量龙象塔的高．
(1)【实践探究】某小组通过思考，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点C处
测得塔顶端A的仰角为α，点C到点B的距离BC=a米，即可得出塔高AB=______ 米(请你用
所给数据α和a表示)．
(2)【问题解决】但在实践中发现：由于无法直接到达塔底端的B点，因此BC无法直接测量.该
小组对测量方案进行了如下修改：如图3，从水平地面的C点向前走a米到达点D处后，在D处
测得塔顶端A的仰角为β，即可通过计算求得塔高AB.若测得的α=45°，β=60°，CD=22米，请你利用所测数据计算塔高AB.(计算结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732) 24. (本小题10.0分)
广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航
道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运
输车运输土方.已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型
渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨．
(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与把156吨土方全部运走，若一辆大型渣土运输车耗费600元，一辆小型渣土运输车耗费400元，请你设计出最省钱的运
输方案．
25. (本小题10.0分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为AB上一点，且AE=2，M为AD上一动点(不与A、D重合)，连接EM并延长交CD的延长线于点F，过M作MG⊥EF交直线BC于点G，连接EG、F G．
(1)如图①，若M是AD的中点，求证：EG=FG；
(2)如图②，当点G与点C重合，且AM>DM时，求AM
的值；
DM
(3)如图③，当AM=3时，求△EFG的面积．
26. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交与点C(0,3)，与x轴交于
A、B两点，点B坐标为(4,0)，抛物线的对称轴方程为x=1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵|−2|=2，|−12|=12，2>12
，
∴2>0>−12>−2，
则最小的数为：−2，
故选：B ．
正数>0>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可得出答案．
本题考查有理数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．2.【答案】D
【解析】解：A 、圆柱的的主视图是矩形，俯视图是圆，故A 不符合题意；
B 、圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是一个圆和圆心，故B 不符合题意；
C 、该三棱柱的主视图一个矩形，俯视图是三角形，故C 不符合题意；
D 、球体的主视图与俯视图都是圆形，故D 符合题意；
故选：D ．
根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题主要考查了简单几何图的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：八万里=80000里=8×104里，
故选：A ．
科学记数法的表现形式为±a ×10n 的形式，其中1≤|a |<10，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正整数，当原数绝对值小于1时，n 是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为±a ×10n 的形式，其中1≤|a |<10，n 为整数，表示时关键是要正确确定a 的值以及n 的值．
4.【答案】D
【解析】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式=m2+6m+9，不符合题意；
C、原式=−8x3y6，不符合题意；
D、原式=a6，符合题意．
故选：D．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：将函数y=3x+2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象的函数关系式为y=3x+ 2−3=3x−1，
故选：D．
根据解析式“上加下减”的平移规律解答即可．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．
6.【答案】B
【解析】解：∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，
∴点P的横坐标的绝对值为1，纵坐标的绝对值为3，
又∵点P在第二象限，
∴点P的坐标为(−1,3)．
故选：B．
根据到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可．
本题考查了平面直角坐标系各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离，掌握各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离是关键．
7.【答案】A
【解析】解：设红色小球的个数为x，
根据题意，得：x
12−x
≈0.7，
解得：x≈5，
即估计红色小球的个数为5．
故选：A．
根据利用频率估计红色小球和黄色小球的个数的比为0.7，列方程求解可得．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
8.【答案】D
【解析】解：设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为(x−5)人，
依题意得：100
x−5=150
x
．
故选：D．
设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为(x−5)人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∠D=1
2
∠AOC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠B=∠AOC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠B+∠D=180°，
∴3∠D=180°，
∴∠D=60°，
故选：C．
根据圆周角定理得到∠D=1
2
∠AOC，根据平行四边形的性质，得到∠B=∠AOC，根据圆内接四边形的性质，得到∠B+∠D=180°，得到答案．
本题考查的是圆周角定理的应用，掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由图象可得，
公园与家的距离为1200米，故①正确；
爸爸的速度为：1200÷(12+10+3)=48(m/min)，故②正确；
∵10+12+10=22(min)，
∴小明到家的时间为8：22，故③正确；
小明的速度为：1200÷10=120(m/min)，
设小明在返回途中离家a米处与爸爸相遇，
1200−a
48=12+1200−a
120
，
解得，a=240，
即小明在返回途中离家240米处与爸爸相遇，故④正确；
故选：D．
根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
11.【答案】B
【解析】解：∵AE//BF，
∴∠D′EF=180°−∠EFC=180°−130°=50°，∠BGE=∠D′EG，
由折叠的性质得到∠GEF=∠D′EF=50°，
∴∠D′EG=∠D′EF+∠GEF=100°，
则∠BGE=100°．
故选：B．
由长方形的对边平行得到AE与BF平行，利用平行线的性质得到∠D′EF=180°−∠EFC=50°，∠BG E=∠D′EG，根据折叠的性质得到∠GEF=∠D′EF=50°，那么∠D′EG=100°，即可确定出∠BGE的
度数．
此题考查了平行线的性质，以及折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：设A (4,t )，
∵直线y =k 1x 平分这8个正方形所组成的图形的面积，∴12
×4×t =4+1，解得t =52
，∴A (4,52)，
把A (4,52
)代入直线y =k 1x 得4k 1=52
，解得k 1=58
，∴直线解析式为y =58
x ，
当x =2时，y =58
x =54
，则B (2,52
)，∵双曲线y =
k 2
x 经过点B ，∴k 2=2×54
=52，∴双曲线的解析式为y =52x
，当y =2时，
52x =2，解得x =54，则C (5
4
,2)；当x =3时，y =
52x =56，则D (3,5
6
)，∴S △O C D =3×2−1
2
×3×56−12
×2×54−12
×(2−56
)×(3−53
)=119
48
．故选：A ．
设A (4,t )，利用面积法得到12×4×t =4+1，解方程得到A (4,52
)，利用待定系数法求出直线解析式为y =58
x ，再确定B (2,52
)，接着利用待定系数法确定双曲线的解析式为y =
5
2x
，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出C (54
,2)，D (3,56
)，然后用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积计算S △O C D ．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查
了待定系数法求函数解析式．
13.【答案】x≥4
【解析】解：依题意有x−4≥0，
解得x≥4．
故答案为：x≥4．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
本题主要考查了二次根式的意义和性质，注意掌握概念：式子a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
14.【答案】4(3x+1)(3x−1)
【解析】解：36x2−4
=4(9x2−1)
=4(3x+1)(3x−1)．
故答案为：4(3x+1)(3x−1)．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
15.【答案】10
【解析】解：由题意可得：
边数为360°÷36°=10，
则它的边数是10．
故答案为10．
一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．
本题考查了正多边形的计算，根据多边形中心角的个数与边数之间的关系解题，本题是一个基本的问题．
16.【答案】2
9
【解析】解：∵由图可知，黑色方砖2块，共有9块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值=2
，
9
∴它停在黑色区域的概率是2
．
9
故答案为：2
．
9
先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．17.【答案】4
【解析】解：∵一次函数y=2x+3(−2≤x≤1)，
∴当x=−2时，y=−1，y−x=1，
当x=1时，y=5，y−x=4，
∵4>1，
∴该函数的“特征值”为4．
故答案为：4．
按照一次函数的取值求出当x最小及最大时的两个点，再分别求出y−x即可．
本题考查了一次函数的性质，准确的计算是解题关键．
18.【答案】23
【解析】解：如图，连接AB，AP．
根据切线的性质定理，得AB⊥PB．
要使PB最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则AP⊥x轴于P，
此时P点的坐标是(−3,0)，AP=4，
在Rt△ABP中，AP=4，AB=2，
∴PB=AP2−AB2=23．
则PB最小值是23．
故答案为：23．
此题根据切线的性质以及勾股定理，根据垂线段最短的性质进行分析，把要求PB的最小值转化为求AP的最小值，进而可以解决问题．
本题考查了切线的性质和坐标与图形的性质．此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．
19.【答案】解：原式=−1×(−8+2×2)−3
=−1×(−8+4)−3
=−1×(−4)−3
=4−3
=1．
【解析】根据有理数的混合运算法则进行计算即可．
本题考查有理数的混合运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
20.【答案】解：原式=(x+1)2
x(x+1)(x−1)·x
x+1
=
1
x−1
当x=3+1时，
原式=
1
3+1−1
=3
3
【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
21.【答案】解：(1)如图，⊙O为所作；
(2)∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴tanA=tan∠BCD=3
4
，
在Rt△ABC中，∵tanA=BC
AC =3
4
，
而BC=3，
∴AC=4，
∴⊙O的半径为2．
【解析】(1)先作AC的垂直平分线得到AC的中点O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆交AB于点D；
(2)先利用圆周角定理得到∠ADC=90°，则利用等角的余角相等得到∠A=∠BCD，所以tanA=tan
∠BCD=3
4
，然后在Rt△ABC中利用正切的定义可求出AC的长，从而得到⊙O的半径．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的
基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
22.【答案】38
【解析】解：(1)∵甲山4棵枣树产量为34、36、40、50，
∴甲山4棵小枣树产量的中位数为36+40
2
=38(千克)，
故答案为：38；
(2)−x
甲=50+36+40+34
4
=40(千克)，
−
x乙=32+40+48+36
4
=39(千克)，
∵40>39，且两山抽取的样本容量一样，
∴可以判断甲山样本产量高；
(3)(40×100+39×100)×0.97=7663(千克)，
答：用样本平均数估计甲乙两座山小枣产量总和为7663千克．
(1)根据中位数的定义求解可得；
(2)根据平均数的定义分别计算出甲、乙两山样本的产量，据此可得；
(3)用平均数乘以枣树的棵树，求得两山的产量和，再乘以成活率即可得．
本题主要考查折线统计图及中位数、平均数，了解中位数和平均数的定义，根据折线统计图得出解题所需的数据是解题的关键．
23.【答案】a⋅tanα
【解析】解：(1)∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=α，
∴AB=a⋅tanα，
故答案为：a⋅tanα；
(2)设塔高AB的长为x米，
∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，
=1，
∴tanα=tan45°=AB
BC
∴AB=BC=x米，
∴BD=BC−CD=(x−22)米，
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，
∴tanβ=tan60°=AB
=3，
BD
=3，
∴x
x−22
∴x≈52，即AB≈52(米)，
答：塔高约52米．
(1)在Rt△ABC中，根据三角形函数直接求解即可；
(2)设塔高AB的长为x米，利用直角三角形的性质和锐角三角函数可求解．
本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，锐角三角函数，关键是利用锐角三角函数表示
线段的数量关系．
24.【答案】解：(1)设一辆大型渣土运输车一次运输土方x吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方y吨，
根据题意得：{5x+2y=60
6x+4y=80，
解得：{x=10
y=5．
答：一辆大型渣土运输车一次运输土方10吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方5吨；
(2)设需要安排m辆大型渣土运输车，则安排(20−m)辆小型渣土运输车，
根据题意得：10m+5(20−m)≥156，
．
解得：m≥56
5
设总运输费用为w元，则w=600m+400(20−m)=200m+8000，
∵200>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m≥56
，且m为正整数，
5
∴当m=12时，w取得最小值，此时20−m=20−12=8，
∴最省钱的运输方案为：派车12辆大型渣土运输车，8辆小型渣土运输车．
【解析】(1)设一辆大型渣土运输车一次运输土方x吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方y吨，根据“5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设需要安排m辆大型渣土运输车，则安排(20−m)辆小型渣土运输车，根据20辆渣土运输车至
少一次运输土方156吨，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设总运输费用为w元，利用总运输费用=600×派出大型渣土运输车的数量+400×派出小型渣土运输车
的数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=∠ADF=90°，
∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
在△AEM和△DFM中，
{∠A=∠A D F
A M=DM
∠A M E=∠D M F
，
∴△AEM≌△DFM(ASA)，
∴EM=FM，
又∵MG⊥EF，
∴EG=FG；
(2)解：当点G与点C重合时，
∵∠A=∠EMC=∠ADC=90°，
∴∠AME+∠CMD=∠CMD+∠DCM=90°，∴∠AME=∠DCM，
∴△AEM∽△DMC，
∴AE AM =DM
DC
，
∴2 AM =8−AM
6
，
∴AM=6或AM=−2(舍去)，
∴DM=2，
∴AM
DM
=3；
(3)解：如图，过点G作GN⊥AD于点N，
∴∠A=∠GNM=90°，GN=CD=6，
∴∠AME+∠NMG=∠NMG+∠NGM=90°，∴∠AME=∠NGM，
∴△AEM∽△NMG，
∴AE MN =EM
MG
=AM
NG
=3
6
=1
2
，
∴GM=2EM，
∵EM=AM2+AE2=9+4=13，∴GM=213，
∵AB//CD，
∴△DMF∽△AME，
∴ DM
AM =MF
ME
，
∴8−3
3=MF
13
，
∴MF=513
3
，
∴EF=EM+MF=813
3
，
∴S△E F G=1
2×EF⋅GM=1
2
×813
3
×213=104
3
．
【解析】(1)由“ASA”可证△AEM≌△DFM，可得EM=FM，由线段垂直平分线的性质可得EG =FG；
(2)通过证明△AEM∽△DMC，可得AE
AM =DM
DC
，可求AM的长，即可求解；
(3)通过证明△AEM∽△NMG，可得GM=213，通过证明△DMF∽△AME，由相似三角形的性质可求MF=513
3
，即可求解．
本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵点B坐标为(4,0)，抛物线的对称轴方程为x=1．
∴A(−2,0)，
把点A(−2,0)、B(4,0)、点C(0,3)，分别代入y=ax2+bx+c(a≠0)，得
{4a−2b+3=0
16a+4b+3=0，
解得{
a =−3
8
b =34
c =3
，
所以该抛物线的解析式为：y =−38
x 2+34
x +3；
(2)设运动时间为t 秒，则AM =3t ，BN =t ．∴MB =6−3t ．
由题意得，点C 的坐标为(0,3)．在Rt △BOC 中，BC = 32+42=5．如图1，过点N 作NH ⊥AB 于点H ．∴NH //CO ，∴△BHN∽△BOC ，∴
HN OC =BN BC
，即HN
3=t 5，∴HN =
35
t .∴S △M B N =1
2
MB ⋅HN =12
(6−3t )⋅35
t =−910
t 2+95
t =−910
(t−1)2+910
，当△MBN 存在时，0<t <2，∴当t =1时，S △M B N 最大=
910
．答：运动1秒使△MBN 的面积最大，最大面积是910
；
(3)如图2，
在Rt △OBC 中，cos ∠B =
OB BC =4
5
．设运动时间为t 秒，则AM =3t ，BN =t ．∴MB =6−3t ．
当∠MNB =90°时，cos ∠B =BN
MB =45，即t 6−3t =45，
化简，得17t =24，解得t =24
17
，当∠BMN =90°时，cos ∠B =
BM BN =6−3t t
=
4
5
第21页，共21页(在图2中，当∠BM′N′=90°时，cos ∠B =
BM′BN′=6−3t t =45)化简，得19t =30，解得t =
3019，综上所述：t =2417
或t =3019时，△MBN 为直角三角形． 【解析】(1)把点A 、B 、C 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 、c 的解析式，通过解方程组求得它们的值；
(2)设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △M B N 与t 的函数关系式S △M B N =−910
(t−1)2+910.利用二次函数的图象性质进行解答；(3)根据余弦函数，可得关于t 的方程，解方程，可得答案．
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．。