高中数学总体分布的估计例题解析

总体分布的估计例题解析
【例1】为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内100名年龄为17.5岁～18岁的男生的体重情况，结果如下：（单位：kg）
试根据上述数据画出样本的频率分布直方图，并对相应的总体分布作出估计.
解析：按照下列步骤获得样本的频率分布：
（1）求最大值与最小值的差.
在上述数据中，最大值是76，最小值是55，它们的差（又称为极差）是76－55=21所得的差告诉我们，这组数是据的变动范围有多大.
（2）确定组距与组数.
如果将组距定为2，那么由21÷2=10.5，组数为11，这个组数是适合的.于是组距为2，组数为11.
（3）决定分点.
根据本例中数据的特点，第1小组的起点可取为54.5，第1小组的终点可取为56.5，为了避免一个数据既是起点，又是终点从而造成重复计算，我们规定分组的区间是“左闭右开”的.这样，所得到的分组是［54.5，56.5），［56.5，58.5），…，［74.5，76.5）.
（4）列频率分布表.
频率分布表
（5）绘制频率分布直方图.
频率分布直方图如下图所示.
由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，这个图形的面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.在反映样本的频率分布方面，频率分步表比较确切，频率分布直方图比较直观，它们起着相互补充的作用.在得到了样本的频率后，就可以对相应的总体情况作出估计.例如可以估计，体重在［64.5，66.5）kg的学生最多，约占学生总数的16%；体重小于58.5 kg的学生较少，约占8%；等等.
点评：1.一般地，列频率分布表的步骤如下：
（1）求全距，决定组数和组距，组距=全距/组数；
（2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表.
2.一般地，画频率分布直方图方法如下：
把横轴分为若干段，每一段对应一组的组距，然后以线段为底，作一矩形，它的高等于该组的频率/组距，作出一系列的矩形；每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.
【例2】为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：
①测量少体校中180名男子篮球、排球队员的身高；
②查阅有关外地180名男生身高的统计资料；
③在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关的年级（1）班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高.
（1）为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？
（2）下表中的数据是使用某种调查方法获得的：
（注：每组可含最低值、不含最高值）
根据表中的数据填写表中的空格.
根据填写的数据绘制频数分布直方图.
解析：（1）在统计中收集数据必须用随机抽样的方法所抽取的数据才具有代表性.
①中，少体校的男子篮球、排球的运动员的身高一定高于一般的情况，因此无法用测量的结果去估计总体的结果.
②中，用外地学生的身高也不能准确地反映本地学生身高的实际情况.
③中的抽样方法符合随机的抽样，因此用方案③比较合理.
（2）①上表中的频数从上到下依次为15，33，96，33，3.
②直方图如下.
)
点评：统计中数据的获得要合理、公平、具有代表性，这是解决问题的第一关，它直接影响着统计的结果，影响正确结论的得出，也就影响着正确决策的制定.
【例3】从某校参加初中毕业考试的学生中，抽取了30名学生的数学成绩，分数如下：90，85，84，86，87，98，79，85，90，93，68，95，85，71，78，61，94，88，77，100，70，97，85，68，99，88，85，92，93，97.
这个样本数据的频率分布表如下：
填空：（1）这个样本数据的众数是 分.
答案：85
（2）列频率分布表时，所取的组距为 分. 答案：5
（3）在这个频率分布表中，数据落在94.5～99.5分范围内的频数为 . 答案：5
（4）在这个频率分布表中，数据落在74.5～79.5分范围内的频率为 . 答案：0.100
（5）在这个频率分布表中，频率最大的一组数据的范围是 分. 答案：84.5～89.5
（6）估计这个学校初中毕业考试的数学成绩在80分以上（含80分）的约占 %. 答案：73.3
（7）画出频率分布直方图和折线图. 答案：频率分布直方图和折线图如下：
点评：题目重点考查对统计初步各个概念的理解以及对频率分布表的认识，是基础但也是非常重要的内容.一般地，将频率分布直方图中各个矩形上底的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称之为本组数据的频率分布折线图.如果将样本的容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则这条折线将趋近于一条曲线，
我们称之为总体分布的密度曲线.
【例4】甲、乙两篮球运动员上一个赛季的得分如下：
甲：21，25，31，31，14，34，32，41，50，23，8.
乙：13，34，35，34，23，24，41，50，32，37，32.
试比较两人的得分水平.
解析：画茎叶图，
由图可知，乙运动员的得分大致对称，其平均数、众数、中位数都是30多分，比甲稳定.
甲乙
8 40
13
153234
1142345472
141
点评：用茎叶图刻画数据有两个优点，一是所有信息从图中可以得到，二是茎叶图便于记录和表示，但茎叶图对于表示三位数以上的数据是不够方便的.。