超实用高考数学重难点专题复习：空间向量与空间角(习题课件)
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养成良好的答题习惯，是决定高考数学成败的决定性因素之一。做题前，要 认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着 感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发 现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏 补缺，纠正错误。总之，在最后的复习阶段，学生们不要加大练习量。在这个时 候，学生要尽快找到适合自己的答题方式，最重要的是以平常心去面对考试。数 学最后的复习要树立信心，考试的时候遇到难题要想“别人也难”，遇到容易的 则要想“细心审题”。越到最后，考生越要回归基础，单词最好再梳理一遍，这 样有利于提高阅读理解的效率。另附高考复习方法和考前30天冲刺复习方法。
空间向量与空间角
[学习目标]
利用空间向量（建立空间直角坐标系） 求解异面直线所成角、直线与平面所成角、 二面角
距离高考还有一段时间，不少有经验的老师都会提醒考生，愈是临近高考， 能否咬紧牙关、学会自我调节，态度是否主动积极，安排是否科学合理，能不能 保持良好的心态、以饱满的情绪迎接挑战，其效果往往大不一样。以下是本人从 事10多年教学经验总结出的超实用新高考数学专题复习讲义希望可以帮助大家提 高答题的正确率，希望对你有所帮助，有志者事竟成！
θ 为锐角或直角时，cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n|n11|··n|n22||； θ 为钝角时，cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－||nn11|·|nn22||.
题型一：求两异面直线所成的角
[例1] 正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1D1， A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值．
[活学活用]
如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是 CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC.求直线AB与平面 EBC所成角的大小．
题型三：求二面角
[例3] 正方形ABCD所在平面外有一点P， PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，求平面PAB与平面 PCD所成的二面角的大小
做题时要善于总结。不仅总结方法，也要总结错误。这样， 作完之后才会有所收获，才能举一反三。
（1）函数思想方法： 根据问题的特点构建函数将所要研究的问题，转化为对构建
（2）方程思想方法： 通过列方程（组）建立问题中的已知数和未知数的关系，通过
解方程（组）实现化未知为已知，从而实现解决问题的目的； （3）数形结合的思想：
它可以把抽象的数学语言与直观图形相对应，使复杂问题简单 化，抽象问题具体化； （4）分类讨论的思想：
在高考复习的整个过程中，我们最好能建立一个积错本。就 是要求我们在每一次练习中对于错误的地方一定要进行错误分析 。
对于第一种这是我们大多数同学经常出现的问题，在高考备考中我们一定要 注意，每次考试和做题中一定要有始有终，千万不能眼高手低，我们很多同 学在平时训练时一看题觉得自己会做就放弃演算过程，这是不好的学习习惯 ，只有每次在做题时能善始善终，才能提高我们运算的准确度，避免计算失 误！对于第二种审题失误，比如在有一年的高考中让你求的是极值，而我们 很多同学求的是最值，画蛇添足，浪费了时间还要扣分，对于这种情况，我 想在考试时一定要先把题仔细阅读一遍，甚至可以把试卷上关键字做上记号 来提示你充分而准确地利用已知条件，这是一个不错的办法，同学们不妨可 以试试！对于第三种这是一个很关键的问题，在高考中解答题占了很大的比 例，要克服这个问题，我们在平时学习中一定要注意积累一些典型例题的典 型解法，比如在解析几何里的动点问题我们可以考虑消参法，数列中的构造 法，函数中的转移法，等等，
[知识提炼·梳理]
利用空间向量 1．两异面直线所成角的求法 设直线 l1，l2 的方向向量分别为 a，b，a 与 b 的夹角 为 φ，则 l1 与 l2 所成角 θ 满足 cos θ＝|cos φ|＝||aa|·|bb||.
2．直线与平面所成角的求法
设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的一个法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成角为 θ，a 与 n 的夹角为 φ，则 有 sin θ＝|cos φ|＝||aa|·|nn||.
此思想方法在解答题中越来越体现出其重要地位，在解题中应 明确分类原则：标准要统一，不重不漏。
同时考生在此阶段的复习过程中一定要重视教材的作用，我们
有很大一部分考生不重视课本，甚至在高考这一年中从来没翻过课 本，这是非常危险的。因为高考试题有一部分都是从书上的例题和 练习里引申变形而来的，对于我们基础比较薄弱的同学来讲，就更 应该仔细阅读教材，认真琢磨书上的例题，体会其中包含的数学思 想和数学方法。这对于我们提高数学能力是非常有帮助的！
这都是很好的方法，在备考中通过掌握这一种方法就可以很顺利做一类题目 ，触类旁通，举一反三！只有我们在平时不断积累，我们就会不断进步，高 考中就会得心应手，出奇制胜！
最后，要注意锻炼培养良好的心理素质。高三期间有许多模拟考试，一 是为了检查同学们的复习情况，二是为了模拟高考情景，锻炼考生的心理素 质。同学们平时就要有意识培养自己认真仔细、顽强坚韧的品格。有的同学 题目难
[活学活用] 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，若AA1⊥底面ABC， AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1 的中点，求直线EF和BC1的夹角
题型二：求直线与平面所成的角
[例2]如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC ，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N 分别为PC，PB的中点．求BD与平面 ADMN所成的角．
对于课外参考书的选择我认为选择一到两本适合自己的参考书，把 里面的精髓学懂学会就足够了，不必弄的太多，弄的太多，反而对
第二轮复习，即专题强化复习阶段 一般从三月份到四月底，由于第一轮复习是以各知识板块为主
，横向联系不多，因此在第二轮复习中应重点突出在知识网络交汇 点处的复习。
高考中一般有下面几个专题，即：函数与导函数专题；平面向 量与三角函数专题；平面向量与解析几何专题；空间向量与立体几 何专题；概率与统计专题；数列与不等式专题等；通过这几个版块 的复习目标在于提高学生解答高考解答题的能力。此阶段学生不应 沉迷于套卷演练，而应以典型例题为载体，以数学思想方法的灵活 运用为线索，讲求解题策略，使自己在第一轮复习的基础上，数学 素质得以明显提升。值得注意的是在这个阶段当年的《考试大纲》 已经下发了，考生应该仔细阅读《考试大纲》，针对前期的复习来
考前保持必胜的信心是非常必要的，走进考场要信心百倍 ，即使遇到困难也不要慌张，因为大家是平等的。另外，进入 考场适度紧张是正常的也是必要的，因为它有利于肾上腺素的 产生，千万不能因此而引起不必要的慌张。只要大家精心准备 ，充满自信，沉着应战，就一定能笑到最后。
Thank you！
3．二面角的平面角的求法 设二面角 α-l-β 的大小为 θ，两个半平面的法向量分 别为 n1，n2. 当平面 α，β 的法向量与 α，β 的关系如下图所示时， 二面角 α-l-β 的平面角即为两法向量 n1，n2 的夹角〈n1， n2〉．
当平面 α，β 的法向量与 α，β 的关系如下图所示时，二 面角 α-l-β 的平面角与两法向量 n1，n2 的夹角〈n1，n2〉互补．
考不好，题目容易还是考不好，这就是心理素质不好的表现。面对难题，苦 思冥想，不得其解，心慌烦躁，知难而退；面对易题，得意忘形，粗心大意 ，白白丢分，这是同学们最易犯的毛病。
其实，若能想到我难人难，我易人易，沉着应战，就能取得理想的成绩 。
高考临近，有些考生精神过度紧张，甚至病倒。我们提醒大家，防止两个极 端的做法：一是彻底放松，破坏了长期形成的生物钟，会适得其反。另一个 就是挑灯夜战，加班加点，导致考前过度疲劳，临考时打不起精神。建议考 生，休息调整是必要的，但必须的是微调，特别要把兴奋状态逐步调整到上 午9：00——11：30，下午3：00——5：00。高考前还要注意饮食的科学和 规律，不能大吃大喝，宜清淡又要保持全面营养，每天摄入适量的淀粉食物 ，保证用脑的需要。总之，生活有节奏，亦张亦弛，保持心态平稳。
这个阶段的复习是整个高考复习中最关键的环节，一般从8 月份到第二年的三月份，历时8个月，这一阶段的复习效果直接 影响整个高考的成败，因此同学们应该高度重视，在第一轮复习 中我们必须严格按照《复习大纲》的要求，把《大纲》中所有的 考点逐个进行突破，全面落实，形成完整的知识体系。这就需要 考生要对课本中的基本概念，基本公式，基本方法重点掌握，在 复习中应淡化特殊技巧的训练段 在这个阶段我们应该大量做一些练习，要做题先要选题，高考
真题一定是最好的练习题！因此建议一定要好好做一下最十年以 来的高考试卷，包括全国卷和地方卷，其次最好能找到近5年以来 各区的统考试题，在做题的过程中来巩固前面复习过的考点。同 时最后的复习别忘了课本，特别是在考前应该再次翻开课本把里 面公式和定理再看看，把典型的例题再做做，因为书上的例题毕 竟比较简单，在考前做例题一是防止手生，便于高考正常发挥， 一是有助于提高我们的自信心。
空间向量与空间角
[学习目标]
利用空间向量（建立空间直角坐标系） 求解异面直线所成角、直线与平面所成角、 二面角
距离高考还有一段时间，不少有经验的老师都会提醒考生，愈是临近高考， 能否咬紧牙关、学会自我调节，态度是否主动积极，安排是否科学合理，能不能 保持良好的心态、以饱满的情绪迎接挑战，其效果往往大不一样。以下是本人从 事10多年教学经验总结出的超实用新高考数学专题复习讲义希望可以帮助大家提 高答题的正确率，希望对你有所帮助，有志者事竟成！
θ 为锐角或直角时，cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n|n11|··n|n22||； θ 为钝角时，cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－||nn11|·|nn22||.
题型一：求两异面直线所成的角
[例1] 正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1D1， A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值．
[活学活用]
如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是 CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC.求直线AB与平面 EBC所成角的大小．
题型三：求二面角
[例3] 正方形ABCD所在平面外有一点P， PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，求平面PAB与平面 PCD所成的二面角的大小
做题时要善于总结。不仅总结方法，也要总结错误。这样， 作完之后才会有所收获，才能举一反三。
（1）函数思想方法： 根据问题的特点构建函数将所要研究的问题，转化为对构建
（2）方程思想方法： 通过列方程（组）建立问题中的已知数和未知数的关系，通过
解方程（组）实现化未知为已知，从而实现解决问题的目的； （3）数形结合的思想：
它可以把抽象的数学语言与直观图形相对应，使复杂问题简单 化，抽象问题具体化； （4）分类讨论的思想：
在高考复习的整个过程中，我们最好能建立一个积错本。就 是要求我们在每一次练习中对于错误的地方一定要进行错误分析 。
对于第一种这是我们大多数同学经常出现的问题，在高考备考中我们一定要 注意，每次考试和做题中一定要有始有终，千万不能眼高手低，我们很多同 学在平时训练时一看题觉得自己会做就放弃演算过程，这是不好的学习习惯 ，只有每次在做题时能善始善终，才能提高我们运算的准确度，避免计算失 误！对于第二种审题失误，比如在有一年的高考中让你求的是极值，而我们 很多同学求的是最值，画蛇添足，浪费了时间还要扣分，对于这种情况，我 想在考试时一定要先把题仔细阅读一遍，甚至可以把试卷上关键字做上记号 来提示你充分而准确地利用已知条件，这是一个不错的办法，同学们不妨可 以试试！对于第三种这是一个很关键的问题，在高考中解答题占了很大的比 例，要克服这个问题，我们在平时学习中一定要注意积累一些典型例题的典 型解法，比如在解析几何里的动点问题我们可以考虑消参法，数列中的构造 法，函数中的转移法，等等，
[知识提炼·梳理]
利用空间向量 1．两异面直线所成角的求法 设直线 l1，l2 的方向向量分别为 a，b，a 与 b 的夹角 为 φ，则 l1 与 l2 所成角 θ 满足 cos θ＝|cos φ|＝||aa|·|bb||.
2．直线与平面所成角的求法
设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的一个法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成角为 θ，a 与 n 的夹角为 φ，则 有 sin θ＝|cos φ|＝||aa|·|nn||.
此思想方法在解答题中越来越体现出其重要地位，在解题中应 明确分类原则：标准要统一，不重不漏。
同时考生在此阶段的复习过程中一定要重视教材的作用，我们
有很大一部分考生不重视课本，甚至在高考这一年中从来没翻过课 本，这是非常危险的。因为高考试题有一部分都是从书上的例题和 练习里引申变形而来的，对于我们基础比较薄弱的同学来讲，就更 应该仔细阅读教材，认真琢磨书上的例题，体会其中包含的数学思 想和数学方法。这对于我们提高数学能力是非常有帮助的！
这都是很好的方法，在备考中通过掌握这一种方法就可以很顺利做一类题目 ，触类旁通，举一反三！只有我们在平时不断积累，我们就会不断进步，高 考中就会得心应手，出奇制胜！
最后，要注意锻炼培养良好的心理素质。高三期间有许多模拟考试，一 是为了检查同学们的复习情况，二是为了模拟高考情景，锻炼考生的心理素 质。同学们平时就要有意识培养自己认真仔细、顽强坚韧的品格。有的同学 题目难
[活学活用] 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，若AA1⊥底面ABC， AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1 的中点，求直线EF和BC1的夹角
题型二：求直线与平面所成的角
[例2]如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC ，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N 分别为PC，PB的中点．求BD与平面 ADMN所成的角．
对于课外参考书的选择我认为选择一到两本适合自己的参考书，把 里面的精髓学懂学会就足够了，不必弄的太多，弄的太多，反而对
第二轮复习，即专题强化复习阶段 一般从三月份到四月底，由于第一轮复习是以各知识板块为主
，横向联系不多，因此在第二轮复习中应重点突出在知识网络交汇 点处的复习。
高考中一般有下面几个专题，即：函数与导函数专题；平面向 量与三角函数专题；平面向量与解析几何专题；空间向量与立体几 何专题；概率与统计专题；数列与不等式专题等；通过这几个版块 的复习目标在于提高学生解答高考解答题的能力。此阶段学生不应 沉迷于套卷演练，而应以典型例题为载体，以数学思想方法的灵活 运用为线索，讲求解题策略，使自己在第一轮复习的基础上，数学 素质得以明显提升。值得注意的是在这个阶段当年的《考试大纲》 已经下发了，考生应该仔细阅读《考试大纲》，针对前期的复习来
考前保持必胜的信心是非常必要的，走进考场要信心百倍 ，即使遇到困难也不要慌张，因为大家是平等的。另外，进入 考场适度紧张是正常的也是必要的，因为它有利于肾上腺素的 产生，千万不能因此而引起不必要的慌张。只要大家精心准备 ，充满自信，沉着应战，就一定能笑到最后。
Thank you！
3．二面角的平面角的求法 设二面角 α-l-β 的大小为 θ，两个半平面的法向量分 别为 n1，n2. 当平面 α，β 的法向量与 α，β 的关系如下图所示时， 二面角 α-l-β 的平面角即为两法向量 n1，n2 的夹角〈n1， n2〉．
当平面 α，β 的法向量与 α，β 的关系如下图所示时，二 面角 α-l-β 的平面角与两法向量 n1，n2 的夹角〈n1，n2〉互补．
考不好，题目容易还是考不好，这就是心理素质不好的表现。面对难题，苦 思冥想，不得其解，心慌烦躁，知难而退；面对易题，得意忘形，粗心大意 ，白白丢分，这是同学们最易犯的毛病。
其实，若能想到我难人难，我易人易，沉着应战，就能取得理想的成绩 。
高考临近，有些考生精神过度紧张，甚至病倒。我们提醒大家，防止两个极 端的做法：一是彻底放松，破坏了长期形成的生物钟，会适得其反。另一个 就是挑灯夜战，加班加点，导致考前过度疲劳，临考时打不起精神。建议考 生，休息调整是必要的，但必须的是微调，特别要把兴奋状态逐步调整到上 午9：00——11：30，下午3：00——5：00。高考前还要注意饮食的科学和 规律，不能大吃大喝，宜清淡又要保持全面营养，每天摄入适量的淀粉食物 ，保证用脑的需要。总之，生活有节奏，亦张亦弛，保持心态平稳。
这个阶段的复习是整个高考复习中最关键的环节，一般从8 月份到第二年的三月份，历时8个月，这一阶段的复习效果直接 影响整个高考的成败，因此同学们应该高度重视，在第一轮复习 中我们必须严格按照《复习大纲》的要求，把《大纲》中所有的 考点逐个进行突破，全面落实，形成完整的知识体系。这就需要 考生要对课本中的基本概念，基本公式，基本方法重点掌握，在 复习中应淡化特殊技巧的训练段 在这个阶段我们应该大量做一些练习，要做题先要选题，高考
真题一定是最好的练习题！因此建议一定要好好做一下最十年以 来的高考试卷，包括全国卷和地方卷，其次最好能找到近5年以来 各区的统考试题，在做题的过程中来巩固前面复习过的考点。同 时最后的复习别忘了课本，特别是在考前应该再次翻开课本把里 面公式和定理再看看，把典型的例题再做做，因为书上的例题毕 竟比较简单，在考前做例题一是防止手生，便于高考正常发挥， 一是有助于提高我们的自信心。