上海开放大学2017至2018学年第一学期《高等数学基础》期末复习题及答案

试卷代号：7032
上海开放大学2017至2018学年第一学期《高等数学基础》期末
复习题
一．选择题
1．函数在连续，则常数的值为（ ）。

A ． ；
B ． ；
C ． ；
D ．
2． 下列函数中（ ）的图像关于y 轴对称。

A ．cos x e x
B ． cos(1)x +
C ．3
sin x x D ． x
x
+-11ln
3．下列函数中（ ）不是奇函数。

A ．sin(1)x -；
B ．x x
e e --； C ．x x cos 2sin ； D ．
(
ln x
4．当0x →时，（ ）是无穷小量。

A ．
sin 2x x B ．1(1)x x + C . 1cos x D ．1
sin x x
5．函数()sin 4f x x =，则 0()
lim x f x x
→=（ ）。

A ． 0 ；
B ．4 ；
C ． 1
4
； D ． 不存在
6．函数，则 2()(2)
lim 2
x f x f x →-=-（ ）。

A ． ln 2 ；
B ．
； C ． 1
2
； D ． 2 7. 设)(x f 在点0x x =可微，且0()0f x '=，则下列结论成立的是（ ）。

A ． 0x x =是)(x f 的极小值点 B ． 0x x =是)(x f 的极大值点 ； C ．0x x =是)(x f 的驻点； D ． 0x x =是)(x f 的最大值点； 8．下列等式中，成立的是（ ）。

A
B ．
C ．
D ．
9．当函数()f x 不恒为0，,a b 为常数时，下列等式不成立的是 （ ）
2sin(4)2()2
2
x x f x x k x ⎧-<⎪
=-⎨⎪≥⎩
2x =k 124-4()ln f x x =1x =222x x e dx de --=-3313x
x e
dx de --=-1
ln 33dx d x x
=
A.)())((x f dx x f ='⎰
B.
)()(x f dx x f dx d b
a
=⎰ C. c x f dx x f +='⎰)()( D. )()()(a f b f x f d b a
-=⎰ 10．曲线x y e x =-在(0,)+∞内是（ ）。

A ．下降且凹；
B ．上升且凹；
C ．下降且凸；
D ．上升且凸 11．曲线3
21233
y x x x =
-+在区间()2,3内是（ ）。

A ．下降且凹 B ．上升且凹 C ．下降且凸 D ． 上升且凸 12．下列无穷积分为收敛的是（ ）。

A .
sin xdx +∞⎰ B . 0
2x
e dx -∞⎰ C .0
12x e dx --∞
⎰ D
.1+∞⎰ 13．下列无穷积分为收敛的是（ ）。

A .
2
1
x dx +∞⎰
B
.1
+∞⎰
C . 2
1
x dx +∞-⎰
D .
2
1
x e dx +∞⎰
14．下列广义积分中（ ）发散。

A ．
； B ．； C ．； D ．
15．设函数的原函数为，则
（ ）。

A ． ； B ．； C ．； D ．
二．填空题
1．函数()f x =
的定义域是 。

2．函数y =
的定义域是 。

3．函数y =
的定义域是 。

4．曲线2x y e -=在点M 处的切线斜率为22e --，则点M 处的坐标为 。

12
1
x dx +∞-
⎰
3
1
1
dx x +∞
⎰
211dx x +∞⎰3
2
1
x dx +∞-
⎰
)(x f ()F x 211()f dx x x =⎰()F x C +1()F C x
-+1
()F C x
+1()f C x
+
7. 设2()1f x x =-，则='))((x f f 。

8. 设()f x 的一个原函数是sin 2x ，则=')(x f 。

9．已知()()F x f x '=，则2
(1)xf x dx -=⎰。

10． 11(x x dx -=⎰ 。

11．
131
(cos 1)x x dx -+=⎰。

12．0
2cos x
d t t dt dx ⎰= 。

13．设sin 0
()x
t
F x e dt -=
⎰，则()2
F π'= 。

14．设为的原函数，那么 。

15．设，那么 。

三．计算题
1、求极限1241lim 41x
x x x -→∞-⎛⎫
⎪+⎝⎭
2、求极限41
21lim 23x x x
x -+→∞-⎛⎫
⎪+⎝⎭
3、求极限 4
、求极限0x → 5、求极限2
x → 6、求极限
x →
7、设函数(
cos x
y x e =-
，求dy 。

8、设函数1)y x +，求dy
9、设函数(2
ln 2y x
x =，求dy 。

10、设函数31
cos 2x y x
+=，求dy 。

11、设函数321x x y e =+，求dy 。

12、设函数22
1x
e y x
-=+，求dy 。

13、设函数sin 21cos x y x =
+，求dy 。

14、计算不定积分 2
sin 2
x x dx ⎰
15、计算不定积分 2cos 3
x x dx ⎰ 16、计算不定积分 23x
x e dx -⎰
()F x ()f x (cos )sin f x xdx =⎰2
(1)0
()x t F x e
dt --=
⎰
(1)F '=43lim 32x
x x x →∞⎛⎫
⎪+⎝⎭
四、应用题
1、求由抛物线22y x =-与直线y x =-所围的面积。

2、求由抛物线与直线所围的面积。

2
2
y x =2y x =-x
-
1 2
3
5、求由抛物线与直线所围的面积。

6、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使所用材料最省。

7、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米，侧面单位面积的造价为20元/平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。

8、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。

9、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。

2
y x =6y x =--
试卷代号：7032
上海开放大学2017至2018学年第一学期
《高等数学基础》期末复习题答案
一．选择题
1．D 2．C 3．A 4．D 5．B 6. C 7. C 8．C 9．B 10． B 11．A 12．B 13．C 14．A 15．B 16．A
二．填空题
1．34x << 2．13x x ≥-≠且 3．150x x -<≤≠且
4．()21,e - 5．()1
ln 222
y x -=
- 6． 2sin 2(cos 2)xf x dx '- 7. 2
41x - 8. 4sin 2x - 9． 21(1)2
F x C -+
10．23
11．0 12．2
cos x x -
13．1
e - 14． (cos )F x C -+ 15．1 三．计算题
1、求极限1241lim 41x
x x x -→∞-⎛⎫
⎪+⎝⎭
解：121212414122lim lim lim 1414141x
x
x
x x x x x x x x ---→∞→∞
→∞
-+-⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫==- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
＝e
2、求极限41
21lim 23x x x x -+→∞-⎛⎫
⎪+⎝⎭
解：41
41
41
212344lim lim lim 1232323x x x x x x x x x x x -+-+-+→∞→∞
→∞
-+-⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫==- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
＝8
e
3、求极限43lim 32x
x x x →∞⎛⎫
⎪+⎝⎭
解：
4432lim lim 13232x
x
x x x x x →∞→∞
⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
8
3
e
-
=
4
、求极限0
x →
解：0
033
lim 22x x x x
→→==--
5
、求极限20
x →
解：22
3003lim 232
x x x x x →→⋅-==- 6
、求极限0
x →
解：02lim 12x x x
x
→→-==-
7
、设函数(
cos x
y x e =-，求dy 。

解：3cos 2
2x
y xe
x =-
()31
cos cos cos cos 22
1
cos cos 22sin 3sin 3x
x
x x
x x y x e x e x e x xe x dy e x xe x dx
'⎛⎫'''=+-=-- ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
8
、设函数1)y x =+，求dy 。

)cos(31)cos(31)1)1)y x x x x '
''=
++=+-+解：
1)1)dy x x dx ⎫=+-+⎪⎭
9
、设函数(2
ln 2y x
x =，求dy 。

解：
5
2
2ln 2y x x x =-52
2
2
()ln 2(ln 2)()y x x x x x ''''=+-
10、设函数31
cos 2x y x
+=，求dy 。

解：()()()()2
31cos 231cos 2cos 2x x x x y x ''
+-+'=
()()
2
3cos 2231sin 2cos 2x x x
x ++=
()()
2
3cos 2231sin 2cos 2x x x
dy dx x ++=
11、设函数321x
x
y e
=
+，求dy 。

()()()()
()()
()()
33332
2
33332
32121216112161x x x x
x x x
x
x x e x e e xe y e
e e
xe dy dx
e '
'⋅+-⋅++-'=
=
+++-=
+解：
12、设函数22
1x
e y x
-=+，求dy 。

()()()()()()
()()
22
22
2
22
2
222
22
2112111211x
x
x
x
e x e x x x e y x x x x e dy dx
x ----''⋅+-⋅+-++'==
++-++=+解：
13、设函数sin 21cos x
y x
=+，求dy 。

解：
3
252ln 22x x x x =+-3
2
52ln 22dy x x x x dx ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭()()()()
2
sin 21cos sin 21cos 1cos x x x x y x ''
+-⋅+'=
+()()
()
2
2cos 21cos sin 2sin 1cos x x x x x +-⋅-=
+
14、计算不定积分
2
sin 2
x x dx ⎰ 2:x 解 2x 2 0
+ — + sin
2x 2cos 2x - 4-s i n 2
x 8cos 2x
2sin 2x x dx ⎰＝-+++2
2cos 8sin 16cos 222
x x x x x C 15、计算不定积分
2
cos 3
x x dx ⎰ 2:x 解 2x 2 0
+ — +
cos 3x 3sin 3x 9c o s 3x - 27sin 3x - 2cos 3x x dx ⎰2
3sin 18cos 54sin 333
x x x x x c =+-+
16、计算不定积分
23x
x e
dx -⎰
解： 2
x 2x 2 0
+ — + 3x
e
- 313
x
e
--
319x e - 31
27
x e -- 223333
223927
x
x x x x x x e
dx e e e c ----=---+⎰
四、 应用题
1、求由抛物线2
2y x =-与直线y x =-所围的面积。

解：2
1221,2y x x x y x ⎧=-⇒=-=⎨=-⎩由 2
2
2
21
1
(2())(2)x x dx x x dx -----=-+⎰⎰S= ()()
2
2cos 21cos sin 2sin 1cos x x x x
dy dx x ++⋅=
+
9
2=
2、解：抛物线与直线的交点为
面积
3、求由抛物线2y x x =-与直线y x =所围的面积。

解：2120,2y x x x x y x ⎧=-⇒==⎨=⎩由
所围的面积
2
2
220
(())(2)S x x x dx x x dx
=
--=-⎰
⎰ 4
3=
4、解：抛物线与直线的交点为 面积
5、解：解：抛物线与直线的交点为
面积 2
y x =2y x =-(2,4),(1,1)-()1
2
2
2A x x dx -=--⎰92
=
2
2y x =-y x =(1,1),(2,2)--()
2
2
1
(2)A x x dx -=
--⎰
9
2
=
2
y x =6y x =-(3,9),(2,4)-()2
2
3
6A x x dx -=--⎰
1256
=x
6、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底半径和高的
尺寸,才能使所用材料最省。

解：设圆柱体底半径为r ，高为h ，
则体积24V r h π==24h r π⇒=
材料最省即表面积最小
表面积S ＝22r rh ππ+＝2242r r r πππ+⋅＝28r r
π+ 'S ＝282r r π-，令'S ＝0
，得唯一驻点r =
7、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10
元/平方米，侧面单位面积的造价为20元/平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使
建造费用最省。

解：设圆柱体底半径为r ，高为h ，
则体积216V r h π==216
h r π⇒= 且造价函数226401020210f r rh r r πππ=+⨯=+
令2640200f r r π'=-=
，得唯一驻点r =
所以当底半径为
8、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，
该长方形的底长和高各为多少。

解：设长方形的底边长为2x ，高为y ，
x
则2228x y =
+y ⇒=
面积22S xy ==
令2
20S ⎛⎫'== ⎝
，得唯一驻点x =
所以当底边长为
米时面积最大。

9、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器，试问如何选取底
半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。

解：设底半径为，高为，则体积
造价函数 令，得唯一驻点 所以当底半径为米，此时高为米时造价最低。

r h 2108V r h π==2108
h r π⇒=222162f r rh r r
πππ=+=+2
21620f r r π'=-
=r =
=。