求解平面向量最值问题的几个措施

探索
探索与与研研究究图1
B (-1,0)，
C (1,0)，设x ,3-y )，
PB =(-1-+
PC )=2x 2-23y +2
直线BC 为x 轴、
.求得若∠AOB =150°，
OA +n OB ，则3m -n 33θ)，其中0°≤θ≤150°.设A （1,0），则
θ=2sin æè
öøθ+π3，
2.故选C ．以圆心为原点，两.设将问题我们无法快速求将目将问题转化为函数求得平面向量的最θ，向量c =æè
öøcos 2θ2⋅，
cos θ=2x -1，图2
探索
探索与与研研究
究可得|c |2=[xa +(1-x )b
]2=x 2+2x (1-x )(2x -1)+(1-x )2=-4x 3+8x 2-4x +1．
令f (x )=-4x 3+8x 2
-4x +1,x ∈[0,1]，则f ′(x )=-4(3x -1)(x -1)，
由f ′(x )=0，得x =1
3
或1．
当0≤x ＜1
3时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减；
当1
3
＜x ＜1时，f ′(x )＞0，此时函数单调递增.所以f (x )min =f æèöø13=1127，故|c |min
=．通过换元，将|c |2的表达式转化为关于x 的一元三次函数式.再对函数求导，根据导函数与单调性之间的关系判断出函数的单调性，求得函数的最小值，即可
求得|c |min .三、利用向量的几何意义向量兼有数与形的“双重身份”，是联系代数与几何的纽带.在求解平面向量最值问题时，可根据平面向量的几何意义，如加法的三角形法则、平行四边形法则，向量的模即为向量所在线段的长，两个向量的数量积即为一个向量的模与其在另一个向量所在方向上的投影的乘积，来构造几何图形，进而根据图形的几何特征与性质求最值．
例4.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内
的一点，则 AP ∙
AB 的取值范围是（）.
A.(-2,6)
B.(-6,2)
C.(-2,4)
D.(-4,6)
图3
解:过C 作CC ′⊥AB ，设垂足为C ′，过F 作FF ′⊥AB ，设垂足为F ′，如图3所示．
因为|
| AB =2，则 AP 在 AB 方向上的投影为|
|
AP cos ∠PAB ，
当P 与C 重合时，
|
| AP cos ∠PAB 的最大值为|||| AC ′=3，
当P 与F 重合时，
|
| AP cos ∠PAB 的最小值为-||||
F ′A =-1，
故
-1＜|
| AP cos ∠PAB ＜3，由向量数量积的几何意义可知， AP ⋅ AB 即为
AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积，即 AP ⋅
AB =
|| AB ⋅|
|
AP cos ∠PAB ，
所以 AP ∙
AB 的取值范围是(-2,6).故选A.
解答本题，需灵活运用向量数量积的几何意义：
AP ∙ AB 即为 AB 的模与 AP 在
AB 方向上的投影的乘
积，即 AP ∙ AB =|| AB ⋅|
| AP cos ∠PAB .再添加辅助线，根
据正六边形的结构特征，求得|
|
AP cos ∠PAB 的取值范
围，即可解题.
四、利用等和线的性质等和线有如下性质：
①当P 0在直线AB 上，且
OP 垂直于等和线时，若 OP =k OP 0=x OA +y
OB (k ,x ,y ∈R)，则x +y =k .根据相似三角形的性质可知等和线之间的
距离之比为|k |=|| OP
|
| OP 0
（如图4）
．②当等和线恰为直线AB 时，
k =1；③当等和线在点O 与直线AB 之间时，
k ∈(0,1)；④当直线AB 在点O 与等和线之间时，
k ∈(1,+∞)；⑤当等和线经过点O 时，
k =0；⑥当两等和线关于点O 对称时，对应的两个定值k 互为相反数.
利用等和线的性质求解最值问题的一般步骤为：（1）找到等和线为1的情形；（2）平移等和线到可行域内；（3）利用平面几何知识求出最值．
例5.在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在
以C 为圆心且与BD 相切的圆上.若 AP =λ AB +μ
AD ，则λ+μ的最大值为（）.
A.3
B.2
C.2
D.25
图5
解：如图5，设BD 与圆的相切点为P 1，则点A 到BD 的距离等于|P 1C |．
当P 在P 1处时，λ+μ=1；当P 在P 1关于点C 对
称的点P 2处时，λ+μ最大，此时(λ+μ)max =|P 1P 2|+|P 1C |
|P 1C |
=3．故选A ．
平面向量
OP 满足： OP =λ OA +μ OB (λ,μ∈R)，则点P 在直线AB
上或在平行于AB 的直线上，可知
图4
49
一一一一一一一一一一一一一一一一一一
λ+μ=k （定值），此时直线AB 及平行于AB 的直线为
等和线，即可根据等和线的性质求得最值.
五、利用极化恒等式
极化恒等式：
a ⋅
b =14
[(a +b )2-(a -b )2]是解答向量问题的重要工具.当遇到共起点的两向量的数量积最值问题时，可以考虑根据三角形法则和平行四边形法则，将两个向量的数量积的最值问题转化为两个向量的和、差的最值问题，利用极化恒等式求解.
例6.如图6，在四边形ABCD 中，
∠B =60°，AB =3，BC =6，且 AD =λ BC ，
AD ∙ AB =-3
2
，则实数λ的值为
，若M ，N 是线段BC 上的动点，且
MN =1，则
DM ∙
DN 的最小值为
．图6
解：由 AD ∙ AB =-32
，得(λ BC )∙ AB =λ| BC || AB |cos ∠B
=λ×6×3æèöø-12=-32，
解得λ=1
6
．
分别过D ，A 作BC 的垂线，垂足分别为E ，
F ，由极化恒等式得，
DM ∙ DN =||
DQ 2-||
QM 2=|
| DQ 2-æèöø
122≥|
| DE 2-æèöø122=|
| AF 2-æèöø122=132
．
一般地，若在三角形ABC 中，M 为BD 的中点，由
极化恒等式可得： AB ∙ AD =| AM |2-| BM |2
；在平行四边
形ABCD 中， AB ∙ AD =14
(| AC |2-| BD |2
)，这样就将向量
的数量积问题转化为两条线段长度的平方差问题.解
答本题，需先找到定点，再根据动点的变化情况求最值
可见，求解平面向量最值问题的措施很多.解题的关键是要根据解题的需求，建立合适的平面直角坐标
系和关系式，灵活运用函数的性质、等和线的性质、向量的几何意义、极化恒等式进行求解.
（作者单位：云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学）
探索
探索与与研研究究比较函数式的大小问题通常会综合考查一次函
数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质和图象.解答这类问题的常用方法有：特殊值法、放缩法、
中间值法、基本不等式法等.在解题时，若能选用恰当的方法，就能达到事半功倍的效果
.本文主要谈一谈下列三种比较函数式大小的思路.
一、利用重要不等式
在比较函数式的大小时，可根据已有的经验和不等式结论来进行比较，这样能有效地提升解题的效率.常用的重要不等式有：（1）基本不等式及其变形式：若
ab >0,a 、b >0，
则a +b ≥2ab 、21a +1b
≤ab ≤a +b 2≤，当且仅当a =b 时等号成立；（2）切线不等式：e x +1、
ln x ≤x -1；（3）柯西不等式：a ,b ,x ,y ∈R ，()a
2
+b 2()x 2+y 2≥(ax +by )2，(ax -by )2≥()a 2-b 2()x 2-y 2；
等等.
例1.设a =0.1e 0.1,b =1
9
,c =-ln 0.9，请比较a ，b ，c
的大小.
解：由于b =19=
109-1,c =-ln 0.9=ln 109
,
令x =-0.1,由切线不等式：e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立，
可得e -0.1>-0.1+1=0.9,
则e 0.1<109,所以0.1e 0.1<0.1×109=19,即a <b ，
令x =109
,由切线不等式：e x
≥x +1，得：ln 109<109-1=19,即c <b ，而e 0.1
>0.1+1=1.1,则0.1e 0.1>0.1×1.1=0.11,
由重要不等式：当x >1时，恒有ln x <12
(x -1
x )成立，
可知-ln 0.9=ln 109<12(109-9
10)=19180
<0.11，
50。