应用数学基础第三章-赋范线性空间和有界线性算子详解

i1 1 i i
则 d 为 X 上的度量，但这种度量不满足
d(x,y) d(x, y)
1.2 收敛函数与连续映射
定义2：设 X 为赋范线性空间，{xn}n1 X
如果存在
x0 X ，使得
lim
n
xn
x0
0，
则称 {xn} 依范数收敛于 x0，记为
lim
n
xn
x0
这时也称 x0 为序列{xn}n1 的极限。
10 如果 ||•||1 和 ||•||2 等价，则{xn} 为 (X, ||•||1) 中的 Cauchy 序列 {xn} 为 (X, ||•||2) 中的 Cauchy 序列；
20 如果 ||•||1 与 ||•||2 等价，则 {xn} 依范数 ||•||1 收敛于x {xn} 依范数 ||•||2 收敛于 x；
由连续映射的定义易知：
(1) f 在点 x0 X 处连续 对 {xn} X ，如
果 xn x0 ，则 f (xn ) f (x0 ) ； (2) 范数 ||•||：X R 是连续映射；
(3) X 上线性运算（加法与数乘）也是连续映射；
(4) 内积空间中内积运算是连续映射。
1.3 Cauchy 序列与 Banach 空间
第三章
§1 赋范线性空间
1.1 定义及示例
定义1：设 X 是数域 K 上的线性空间，
如果存在映射 ||•||：X→R，并满足：
(1) 非负性：对 xX, ||x||0, 并且
||x||=0 x=0
(2) 齐次性：对 xX，K，||x||=||||x|| (3) 三角不等式：对 x,yX，||x+y|| ||x||+||y||
定义4
设 X 为赋范线性空间，{xn}n≥1∈X，如 果对 0，自然数，对一切 n,m>N，
均有 ||xm-xn||<，则称 {xn}n≥1 为 X 中
Cauchy 序列
形象而言, 一个序列为 Cauchy 序列, 是指当n
充分大时，序列中点落在一个很小的局部邻域内.
由 Cauchy 序列的定义可推导：
max
1i 2
i
的邻域
B(0,1) 的图形分别为
1
||•||1
0
||•||2 ||•||
定义1：设 X 为赋范线性空间，G, FX
(1) 如果对 xG，均存在 r>0，使得 B(x,r) G，
则称 G 为 X 中开集； (2) 如果 F 的余集 F c 为开集，则称 F 为 X 中闭集 利用开集与闭集的定义可推知：
x0 y0 2 x0 y0 2 2 x0 2 y0 2
30 赋范线性空间可构成度量空间； 度量空间：X，如果存在 d： X×X R ，满足
(1) 对x, y X ，d (x, y) 0 ，并且
d(x, y) 0 x y
(2) 对x, y X ，d (x, y) d ( y, x)
i 1
x (1, 2 ,, n ,) l p
1
x
i
P
P
i1
则 ||•|| 为 l p 中范数，但它不能由任意内积诱导。事实上由内积诱
导的范数满足平行四边形法则，但上述范数无此性质。
取
x0
(1,1,0,,0) 1
l
p,
y0 (1,1,0,,0) l p
x0 y0 2 p ,
x0 y0 x0 y0 2
注意：一般而言， Banach 空间的子空间
未必为 Banach 空间
2.3 稠密集与可分空间
定义3： 设 X 为赋范线性空间，AX， 如果
A =X，则称 A 在 X 中稠密。如果 X 存在一个可 数的稠密子集，则称空间 X 是可分的。
例1：对 nN，Rn和 Cn 是可分的； 例2：C[a,b] 是可分的； 例3：l p(1≤p<) 是可分的； 例4： l 是不可分的。
由于范数的定义不同，故 (X , ||•|| ) 与 (X, ||•||p )是 两个不同的赋范线性空间。
例2：X C[a,b]，K=R
对x(t) C[a,b]，
令
x max x(t)
at b
则 ||•|| 为 X 中范数（称它为C[a,b]中的最大值范数）
除了上述范数外，在 C[a,b] 还可定义其它范数。
30 如果 ||•||1 与 ||•||2 等价，则 (X, ||•||1) 为 Banach 空间 (X, ||•||2) 为 Banach 空间；
40* 有限维空间中任何两种范数都等价。
§2 赋范线性空间中点集
2.1 开集与闭集
设 X 为赋范线性空间， x0∈X, r>0 记 B(x0, r)={x | x∈X, ||x-x0||<r} 开球（邻域）
2.4 紧集合
定义4：设 X 为赋范线性空间，AX， 如
果 A 中任意序列 {xn} 均有收 敛子序列 {xnk} (即xnk x0X)， 则称 A 为 X 中列紧集，特
别若x0A，则称 A 为 X 有自列紧集(又称紧 集)。
例1：Rn(n≥1) 中任何有界集都是列紧集，任何有
界闭集都是紧集。
关于绝对收敛的结论：设X是赋范线性空间，X中每 一个绝对收敛的级数都收敛，当且仅当X是完备的。
1.4 等价范数
定义6：设 ||•||1 和 ||•||2 是线性空间 X 中的两个范数，
如果存在正实数 a 和 b，使得对一切 xX，均有： a ||x||2 ≤ ||x||1 ≤b ||x||2
则称 ||•||1 与 ||•||2 等价
(3) 对x, y, z X , d(x, y) d(x, z) d(z, y)
则称 d 为 X 上的度量，(X, d) 为度量空间。
如果(X , )为赋范线性空间，则对 x, y X 令 d(x, y) x y ，则 (X, d) 为度量空间。
40 由范数导出的度量满足：
d(x z, y z) d(x, y) d(x,y) d(x, y)
例1：
X
Cnn, Am
a (m) ij
,(m 1)
A0
a (0) ij
在 X 中定义如下范数：A
max
1i, jn
aij
则
lim
m
Am
A0
lim
m
Am
A0
0
lim max
m 1i, jn
a(m) ij
a(0) ij
0
lim
m
a(m) ij
a(0) ij
0
lim
m
a(m) ij
a(0) ij
n
A
max 1in
aij
j 1
（最大值范数） (1 p )
（F-范数） （列和范数） （行和范数）
Notes：
10 内积空间按内积诱导的范数构成赋范线性空间；
20 并不是所有的赋范线性空间都可由内积空间按内积诱导
成空间；
例如：l p {(1,2,,n,)i C, i p } ( p 2)
||x||=
max iN
i
则 ( X, ||•|| ) 为赋范线性空间。
取 {xn}n≥1 ∈X, xn=(1,1/2, ···,1/n,0,0， ···) ，n=1,2···， 则 {xn} 为 X 中 Cauchy 序列，但 {xn} 不为 X 中收敛 序列。
(2) Cauchy 序列为有界序列；
(3) 如果 Cauchy 序列的某个子序列收敛，则 Cauchy 序列也收敛，并且极限相同。
定义5：如果赋范线性空间 X 中每个 Cauchy序列
都收敛，则称 X 为完备的。完备的赋范线性空间 称为 Banach 空间。如果内积空间是完备的，则 称它为 Hilbert 空间
例1 空间 R 和 C 均为 Banach 空间。
A 的接触点(也称聚点)。A 的所有接点组成的集合 称为 A 的闭包，记为 A 。
性质： x A d (x, A) 0 存在 {xn} A xn→x,x A
例1：X=R 2={(1,2)|i∈R, i=1,2}
A={(1,2)|1<12+22<2}
0
则 A={(1,2)|1≤12+22 ≤ 2}
例如：
x 1
b a
x(t) dt
1
x 2
b a
x(t) 2 dt
2
例3： X C nn A (aij )nn X
A
m
max
1i, jn
aij
1
n
A ( p)
n aij p p
i1 j1
1
n
A F
n aij 2 2
i1 j1
n
A 1
max 1 jn
i 1
aij
50 度量空间中度量未必均可由范数诱导。
例如： X {(1,2,,n,) i C, i 1,2,}
对 x (1,2,,n ,)
y (1,2,,n ,)
C
令
x y (1 1, 2 2 ,, n n ,)
x (1, 2 ,, n ,)
则( X ,,)构成复数域 C 上的线性空间。
再令 d (x, y) 2i i i
10 和 X 即是开集又是闭集；
20 开球为开集，闭球为闭集； 30 任意多个开集的并为开集； 40 有限多个开集的交为开集； 50 任意多个闭集的交为闭集； 60 有限多个 闭集的并为闭集。
例1：设 f ： X→Y，则 f 为连续映射 开集的
原象为开集 闭集的原象为闭集。
2.2 集合的闭包
定义2： 设 X 为赋范线性空间，AX, xX， 如果对 r >0，均有 B(x, r) A ，则称 x 为
Sn xi
i 1
若 tn
n
|| xi ||
收敛，称
Sn
n
xi
绝对收敛
i 1
i 1
定义3 设 X 和 Y 是两个赋范线性空间， XY
x0X，如果对 0, 0, 当 x x0 时，
f (x) f (x0) ，则称 f 在点 x0 处连续。
如果 f 在 X 中每一点都连续，则称 f 在空间 X 上 连续。
由闭包的定义易知：
10 A A
20 A为闭集; A为闭集 A A
30 若 AB，则 A B 40 A B A B
50 A {F F 为闭集，AF}
60 A 为闭集 对于 {xn} A，若 xn→x，则 x A
例2：设 X 为 Banach 空间，A 为 X 的子空
间，则 A 为完备的 A 为闭集
B(x0, r)={x | x∈X, ||x-x0||≤r} 闭球
S (x0, r)={x | x∈X, ||x-x0||=r} 球面
例1：X=R2={(1,2)|i∈R, i=1,2} (平面)
分别对应于 ||x||1=|1|+|2|, ||x||2=(|1|2+|2|2)1/2 和
||x||∞=
例2：有限个紧集的并集为紧集，任意多个紧集的
交集为紧集。
由紧集的定义可推出： 10 列紧集是有界集； 20 紧集是有界闭集； 30 紧集中闭集为紧集； 40 紧集的连续象是紧集 50 紧集上的实值连续映射是有界的，并且可 以达到上确界与下确界。
§3 有界线性算子
3.1 有界线性算子及算子范数
定义1：设 X 和 Y 是两个赋范线性空间，T: X→Y
例2：
X C[a,b（] 其中范数取最大值范数），则
lim
n
xn (t)
x(t)
xn
(t)在
[a,b]上一致收敛于x(t)。
由收敛序列的定义易知：
(1) 收敛序列的极限唯一；
(2) 收敛序列必为有界序列；
（两集合的距离；集合的直径；有界的条件）
n
(3) xn s n 1
lim
n
Sn
S，其中
则称 ||•|| 为 X 上的范数，(X, ||•||) 为赋范线 性空间。
例1：X Cn {(1,2,,n )i C,i 1,2,,n} K C
对 x (1, 2 ,, n )，令
x
max
1in
i
1
x
p
n i1
i
P P
(1 p )
则 ||•|| 和 ||•||p 均为 C n 中的范数，称 ||•|| 为最大值范数， ||•||p 为 p 范数。
(1) 收敛序列为 Cauchy 序列，反之不真；
()
如果
lim
n
xn
x0从而
||xn-xm||=||xn-x0+ x0-xm||≤||xn-x0||+||xm-x0||<2
故 {xn} 为 Cauchy 序列
() 反例：X={(1,2,···)|i∈C，其中仅有有限个 i≠0} 对 x=(1,2, ···)，y=(1, 2,···) ∈X，∈ C 令 x+y=(1+ 1 ,2+ 2 ···) x=(1, 2,···)
例2 Rn 和 Cn 关于 p 范数构成 Banach 空间。特 别
p=2 时，构成Hilbert空间。
例3 l p 空间为 Banach 空间。
例4 C[0,1] 关于最大值范数构成 Banach 空间，但 关于积分1-范数不构成 Banach 空间。
例5 P[0,1] 关于 x max x(t) 不构成 Banach t[0,1] 空间。