3.4.2换底公式

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换底公式 logbN=
log������ ������ (a,b>0,a,b≠1,N>0). log������ ������ 1 ; log������ ������
∴3x+9x=3lo g 3 2 + 32lo g 3 2 =2+22=2+4=6.
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题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 计算:(1)(log43+log83) (2)
1 3 . log5 3· log7 4
∴log3645=log1836 = log 18(18×2)
log 9+log185 = 18 1+log18 2
18
log 45
log (9×5)
18
=
������+������
方法二:∵log189=a,18b=5, ∴lg 9=alg 18,lg 5=blg 18.
1+log18 9
18 =
5
1
3
7
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题型一
题型二
题型三
题型二 用已知对数表示其他对数
【例题 2】 已知 log189=a,18b=5,求 log3645(用 a,b 表示). 分析:先利用换底公式,把题目中不同底的对数化成同底的对数,再进一 步应用对数的运算性质求值. 解:方法一:∵18b=5,∴log185=b,
2 ������ 1 ������ 1 , log36 4 1 , log36 3
2 ������
1 ������
则 + =2· log363+log364=log369+log364=log3636=1. 反思在解题过程中,根据问题的需要,将指数式转化为对数式,这是转化 思想的具体体现,而换底公式的作用是统一底数,进而才能运用运算法则.
lg2 ; lg3
log5 2· log7 9
������������3 ������������3 ������������2 + ������������4 ������������8 ������������3 ������������3 ������������2 ������������3 ������������2 = · + · 2������������2 ������������3 3������������2 ������������3 1 1 5 = + = . 2 3 6 1 ������������������5 2· ������������������79 2
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换底公式的意义是什么? 剖析:换底公式的意义如下: 化简:把对数的底数改变,化为同底数问题,利用运算性质进行化简与求 值. 求值:在实际问题中,把底数换成 10 或 e,可利用计算器或对数表得到结 果. 在使用换底公式时,底数的取值不唯一,可根据实际情况选择.
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题型一
题型二
题型三
反思换底公式中的底可由条件决定,也可换为常用对数的底,一般来讲, 对数的底越小越便于化简,如以 an 为底的对数可换成以 a 为底的对数.
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题型二
题型三
【变式训练 2】 已知 log1227=a,求 log616 的值(用 a 表示). 解:∵log1227=a,∴
2������ A. 3������ ������ B. 3 ������ lg49 2lg7 解析:log849= = lg8 3lg2
2
)
C. =
2������ . 3������
������ ������
D.
7������ 4������
答案:A
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3 若 mlog35=1,n=5m,则 n 的值为 解析:∵m= 答案:3
∴n=5m=5log 5 3 =3.
1 =log53, log3 5
.
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5 一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的质量约是原 来的 75%,大约经过多少年,该物质的剩余量是原来的 (结果保留 1 个有效 数字)?(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
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1.理解换底公式的证明过程,会用换底公式将一般对数转化成自然对数或 常用对数,能正确运用换底公式计算一般对数. 2.能灵活地将换底公式和对数的运算法则结合起来,进行对数运算.
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【做一做 2】 log47· log74=( A.0 B.1 答案:B
) C.4
D.7
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名师点拨可用换底公式证明以下结论: (1)logab= (2)logab· logbc· logca=1; (3)log ������ ������ bn=logab(a,b>0,a,b≠1); ������ (4)log ������ ������ bm= logab(a,b>0,a,b≠1); ������ (5)log 1 b=-logab.
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1 下列等式不成立的是(
lg4 lg3 1 C.log34= log4 3
)
A.log34=
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题型一 换底公式的应用
【例题 1】 计算:(1)log1627log8132; (2)(log32+log92)(log43+log83). 分析:在两个式子中,对数的底数都不相同,因而要用换底公式进行换底 便于计算求值. 解:(1)log1627log8132= =
3
4
5
2(log29)· (log34)=( 1 1 A. B.
4 2
) C.2 D.4
lg3 lg2 lg2 lg3
解析:原式=(log232)· (log322)=4(log23)· (log32)=4· · =4. 答案:D
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������+������ . 2-������
∴log3645=lg 36 =
lg 45
lg(9×5) lg 9
182
=
lg9+lg5 2lg18-lg9
=
������lg18+������lg18 2lg18-������lg18
=
������+������ . 2-������
反思用已知对数表示其他对数时,若它们的底数不相同,常用换底公式来 解决.
lg27 lg12
=
3lg3 =a. 2lg2+lg3
∴lg 2= 2������ lg 3.
则 =
lg16 log616= lg6
3-������
=
4lg2 lg2+lg3
= 3-������
2������
4× 2������
3-������
+1
12-4������ . 3+������
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题型三 对数的综合应用
【例题 3】 设 3a=4b=36,求 + 的值. 分析:两边取对数后,表示出 a,b,再代入求解,运算时注意换同底的对数. 解:由 3a=4b=36,得 log336=a,log436=b, 由换底公式可得 a=log336= b=log436=
ln4 ln3 log 4 D.log34= 1 log1 3
B.log34=
答案:D
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������
换底公式真神奇,换成新底可任意, 原底加底变分母,真数加底变分子.
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【做一做 1】 已知 lg 2=a,lg 7=b,则 log849 用 a,b 表示为(
lg 33 lg 24 lg 25 lg 34 lg27 lg32 × lg16 lg81 3lg3 5lg2 15 × = . 4lg2 4lg3 16
×
=
(2)(log32+log92)(log43+log83) = log 3 2 +
log3 2 log2 3 log2 3 + log3 9 log2 4 log2 8 1 1 1 = log 3 2 + log 3 2 log 2 3 + log 2 3 2 2 3 3 5 = log32× log23 2 6 5 lg2 lg3 5 = × × = . 4 lg3 lg2 4
解:(1)原式=
(2)原式=
-������������������5 3· ������������������7 4 3 ������������������ 2· ������������������ 3 3 = 5 2 7 =- log32· log23 -������������������ 3· ������������������ 2 2 3 ������������2 ������������3 3 =· =- . 2 ������������3 ������������2 2
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4 若 x· log23=1,则 3x+9x= 解析:∵x· log23=1,∴x= 答案:6
1 log2 3
.
lg2 =log32, lg3
=
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