江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学、临川一中、南昌三中五校联考数学(文科)试卷

江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学、临川一中、南昌三中五校联
考数学（文科）试卷
命题人：李小昌 黄鹤飞 审题人：蔡卫强
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的序号填入答题卡上的相应空格内。

）
1．已知全集U ={1,2,3,4,5,6}，集合P ={1,2,3,4}，Q ={3,4,5,6}，则()U P
C Q =（ ）
A ．{1,2}
B ．{3,4}
C
D ．1
2．已知1sin()43π
α-
=，则cos()4π
α+的值等于（ ） A
B
C .13
D .-13
3．设数列{}n a 是等差数列，且376,6,n a a S =-=是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）
A ．45S S =
B ．65S S =
C ．46S S >
D ．65S S <
4．若函数1
()23x f x x -=
-的反函数是1()f x -，则1(1)f -=（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()()
3,1,1,3a b =--=，则a b ⨯
=（ ） A
B ．2
C ．
D ．4
6．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于1(P x ，1)y 、2(Q x ，2)y 两点，若123x x p +=，则||PQ 等于（ ） A ．4p
B ．5p
C ．6p
D ．8
p
7．已知n 的各项系数之和大于8,小于
32,则展开式中系数最大的项是（ ）
A
B
.
C .
4
D
或48．将1、2、3、…、9这九个数字填在图中的9个空格中，要求每一 行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，当3、4固定在图中的位置 时，填写空
格的办法有（ ）
A ．6种
B ．12种
C ．18种
D ．24种
9．已知函数21,(0),
()(1),(0),x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩
若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取
值范围为（ ）
A ．(],0-∞
B ．[)0,1
C ．(,1)-∞
D ．[0,)+∞
10．已知()16
sin
*62sin 6
n n a n N n ππ
=+∈+，则数列{}n a 的最小值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．19
3
11．如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4,沿对角线BD 将△ABD 折起，
使A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边上，若二面角C —AB —D 的平面角大小为θ，则sin θ的值等于（ ）
A .
377 B .74 C .34 D .4
5
12．已知O 是平面上的一个定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动
点P 满足(),(0,)||sin ||sin AB AC
OP OA AB B AC C
λλ=++∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的
（ ） A ．垂心
B ．重心
C ．外心
D ．内心
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题卡上。

）
13．函数log (1)1a y x =-+(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，
其中0,0m n >>，则
12
m n
+的最小值为 ． 14．在约束条件00324
x y x y y x ≥⎧⎪≥⎪
⎨+≤⎪⎪+≤⎩下,目标函数32z x y =+的最大值是 .
15．已知(4,0),(3,3)A B -是椭圆22
1259
x y +=内的点，M 是椭圆上的动点，则MA MB +的最大值是
_ .
16．给出下列命题：
A ．函数(2)y f x =-和(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称。

B ．已知函数2sin()(0,0),2y x y ωθωθπ=+><<=为偶函数其图象与直线的交点的横坐标为
1212,.||,2,x x x x πωθ-若的最小值为则的值为的值为
2
π. C ．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。

D ．若P 为双曲线2
2
19
y x -=上的一点，1F 、2F 分别为双曲线的左右焦点，
且24PF =，则12PF = 或6.
其中正确的命题是 （把所有正确的命题的选项都填上） 三、解答题：（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且满足274cos cos2()22
A B C -+= （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若3b c +=，求a 的最小值．
A
18.（本小题满分12分）
2008年5月12日，四川汶川发生8.0级特大地震，通往灾区的道路全部中断. 5月12日晚，抗震救灾指挥部决定从水路（一支队伍）、陆路（东南和西北两个方向各一支队伍）和空中（一支队伍）同时向灾区挺进．在5月13日，仍时有较强余震发生，天气状况也不利于空中航行. 已知当天从水路抵达灾区的概率是
12，从陆路每个方向抵达灾区的概率都是12，从空中抵达灾区的概率是1
4
． （Ⅰ）求在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率；
（Ⅱ）求在5月13日抵达灾区的队伍数为多少时概率最大。

19.（本小题满分12分）
设数列{}n a 和{}n b 满足1122336,4,3a b a b a b ======且数列{}1n n a a +-()
n N +∈是等差数列，数列{}2n b -()
n N +∈是等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）是否存在k N +∈，使10,2k k a b ⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭
？若存在，求出k ；若不存在，说明理由.
20.（本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为1， M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝λNC 1.
M A1
C 1
B1
B C
A
N
（Ⅰ）求证：AM ⊥面BC 1C 1B ；
（Ⅱ）若二面角B 1－AM －N 5
，求 的值；
21.（本小题满分12分）
已知x R ∈，函数()32f x ax bx cx d =+++在0x =处取得极值，曲线()y f x =过原 点()0,0O 和点()1,2P -.若曲线()y f x =在点P 处的切线l 与直线2y x =的夹
角为045，且直线l 的倾斜角,.2πθπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
（Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）若函数()y f x =在区间[]21,1m m -+上是增函数，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）若1x 、[]21,1x ∈-，求证：()()12 4.f x f x -≤
22.（本小题满分14分）
过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，若点M 在x 轴上，
且使得MF 为AMB ∆的一条内角平分线，则称点M 为该椭圆的“左特征点”. （Ⅰ）求椭圆2
215
x y +=的“左特征点”M 的坐标；
（Ⅱ）试根据（Ⅰ）中的结论猜测：椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的“左特征点”M 是一个怎样的点？
并证明你的结论.
2009届师大附中、鹰潭一中高三联考 数学试题（文科）参考答案
一、选择题 1--5 ADACB 6--10 ABACD 11—12 CB 二、填空题 13．8 14．7 15．12 16．AB 三、解答题 17.解：（Ⅰ） A B C π++=，
227
4cos cos 2()2(1cos )cos 22cos 2cos 322
A B C A A A A ∴-+=+-=-++=，
21
2cos 2cos 02
A A ∴-+=．…………………………（4分）
1
cos 2
A ∴= 0A π<<， 60o A ∴=．…………………………………… （6分）
（Ⅱ）由余弦定理222
cos 2b c a A bc
+-=，得 222bc b c a =+-．………………（8分）
2229()39393()24b c a b c bc bc +∴=+-=-≥-=， 3
2
a ∴≥．
所以a 的最小值为32，当且仅当3
2
b c ==时取等号．……………………（12分）
18.（Ⅰ）解法一：依据题意，因为队伍从水路或陆路抵达灾区的概率相等，则将“队伍从水路或陆路抵达灾区”视为同一个事件. 记“队伍从水路或陆路抵达灾区”为事件C ，且B 、C 相互独立，而且11(),()4
2
P B P C ==．………………………………（2分）
在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率是
120
33311311105(1)(1)(1)224243216
P C C ξ==⨯⨯-⨯+⨯-⨯==.……………………（6分）
解法二：在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率是
12221111111111105(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)22242244223216
P C ξ==⨯⨯-⨯-⨯-+⨯-⨯-+⨯-⨯-==.…………（6分） （Ⅱ）依据题意，因为队伍从水路或陆路抵达灾区的概率相等，则将“队伍从水路或
陆路抵达灾区”视为同一个事件. 记“队伍从水路或陆路抵达灾区”为事件C ，且B 、C 相互独立，而且11(),()4
2
P B P C ==.
设5月13日抵达灾区的队伍数为ξ，则ξ=0、1、2、3、4. ……………………（7分）
由已知有：0331
33
(0)(1)2
432
P C ξ==⨯-⨯=
； 130
3331131110(1)(1)(1)2242432P C C ξ==⨯⨯-⨯+-⨯=
； 22123311311112(2)()(1)(1)22422432P C C ξ==⨯-⨯+⨯⨯-⨯=； 332
233131116(3)()()(1)2422432P C C ξ==⨯⨯+⨯⨯-⨯=
； 3
33111(4)()2432
P C ξ==⨯⨯=
. 答：在5月13日抵达灾区的队伍数为2时概率最大……………………（12分） 19. （I ）由已知a 2－a 1=－2, a 3－a 2=－1, －1－(－2)=1
∴a n +1－a n =(a 2－a 1)+(n －1)·1=n －3
n ≥2时，a n =( a n －a n －1)+( a n －1－a n －2)+…+( a 3－a 2)+( a 2－a 1)+ a 1
=(n －4)+(n －5) +…+(－1)+(－2)+6 =2
18
72+-n n
n =1也合适. ∴a n =218
72+-n n (n ∈N *) ……………………3分
又b 1－2=4、b 2－2=2 .而2142= ∴b n －2=（b 1－2）·(21)n －1即b n =2+8·(2
1
)n ……(6分)
∴数列{a n }、{b n }的通项公式为：a n =21872+-n n ，b n =2+(2
1
)n －3
（II ）设k k k k k k k b a k f )2
1
(887)27(21)21(872721)(22⋅-+-=⋅-+-=-=
当k ≥4时87)27(212+-k 为k 的增函数，－8·(21)k 也为k 的增函数，而f (4)= 2
1
∴当k ≥4时a k －b k ≥2
1
………………10分
又f (1)=f (2)=f (3)=0 ∴不存在k ， 使f (k )∈（0，2
1
）…………12分
20解法1：（Ⅰ）因为M 是底面BC 边上的中点，且AB =AC ，所以AM ⊥BC ，
在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，1⊥CC 底面ABC , ∴ AM ⊥1CC 又1=CC BC C .所以
AM ⊥平面1BCC 1B .
（或：连结C A 1，C A EM 1//∴ 又
C A EM 1平面⊄ ,C A EM 1//平面∴.）…………(5分)
（II ）因为AM ⊥平面1BCC 1B
且1B M ⊂平面1BCC 1B ，NM ⊂平面1BCC 1B ∴AM ⊥1B M , AM ⊥NM ，
∴∠1B MN 为二面角1B —AM —N 的平面角. …………（7分）
∴5
5
cos 1=MN B ，设C 1N =x ，则CN =1－x
又1B M 221B B BM +1514=+=,MN =2)1(4
1x -+, 连1B N ，得1B N ＝21x +，
在∆1B MN 中，由余弦定理得
55)1(41
252)
1()1(41
452
22=-+⨯+--++x x x , ………………（10分） 得x =3
1
.故λ=2. ……………………（12分）
M
A1
C 1
B1
B
C
A
N
解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则1B （0，0，1），M （0，1
2
，0）, C （0,1,0）, A （31
,02
），设N （0,1,a ） ,所以， 3(
2AM =，11(0,,1)2MB =-,⎪⎭
⎫ ⎝⎛=a MN ,21,0 因为131
00()01022
MB AM =
+⨯-+⨯=所以1MB AM ⊥,同法可得MN AM ⊥.又1MN
MB M =故AM ⊥面BC 1C 1B .
（II ）由（Ⅰ）知﹤1,MB MN ﹥为二面角1B —AM —N 的平面角,以下同法一. 21解（Ⅰ）由已知()/232f x ax bx c =++
∴()()/
00000
f c d f =⎧⎪⇒==⎨=⎪⎩ ∴0c d ==…………………………（2分）
又()()//
211121f f --=+且()/10f -< ∴()/
13f -=- （舍去()/11.3
f -=） ∴()()()32/
121
313233
f a b a f x x x f a b b -=-+=⎧=⎧⎪⇒⇒
=+⎨⎨
-=-=-=⎪⎩⎩
………………（4分）
（Ⅱ）令()()/320
02f x x x x x =+>⇒><-或 即()f x 的增区间为(],2-∞-、[)0,+∞
∵()y f x =在区间[]21,1m m -+上是增函数
∴2112m m -<+≤-或0211m m ≤-<+ 则3m ≤-或1
2.2
m ≤<…………（8分） （Ⅲ）令()()/3200f x x x x =+=⇒=或2x =- ∵()()()00,
12,
14f f f =-==
∴()y f x =在[]1,1-上的最大值为4，最小值为0……………………（10分） ∴1x 、[]21,1x ∈-时，()()1240 4.f x f x -≤-=……………………（12分）
22.解 （1）设)0,(m M 为椭圆1522
=+y x 的左特征点，椭圆的左焦点为)0,2(-F ，可设直
线AB 的方程为)0(2≠-=k ky x .并将它代入15
22
=+y x 得：55)2(22=+-y ky ，即
014)5(22=--+ky y k .设),(),,(2211y x B y x A ，则5
1
,54221221+-=+=+k y y k k y y ，……（3分）
∵AMB ∠被x 轴平分，∴0=+BM AM k k .即0)()(,012212211=-+-=-+-m x y m x y m
x y m
x y .
即0)()2()2(211221=+--+-m y y ky y ky y ，∴0)2)((22121=++-m y y y ky .……………（5分）
于是0)2(5
4)51(222=++-+-⋅m k k
k k .
∵0)2(21,0=++∴≠m k ，即)0,2
5
(,25-∴-=M m .………………（7分）
（2）对于椭圆c a c b a y x 22
225,2,1,5,15-=-∴====+.于是猜想：椭圆12222=+b
y a x 的
“左特征点”是椭圆的左准线与x 轴的交点. ……………………（9分）
证明：设椭圆的左准线l 与x 轴相交于M 点，过A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为C ，D .
据椭圆第二定义：,,BD
AC BF AF BD BF AC AF ==即∵∴,////BD FM AC .DM CM
BF AF =
于是
,DM CM BD AC =即DM
BD
CM AC =
.∴BMD AMC ∠=∠tan tan ，又BMD AMC ∠∠与均为锐角，∴BMD AMC ∠=∠，∴BMF AMF ∠=∠.
∴AMB MF ∠为M 为椭圆的“左特征点”. …………（14分）。