大数定律及中心极限定理应用题

大数定律与中心极限定理 应用题
1． 设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为
0.5kg ，标准差
为 0.1kg, 问（ 1）5000 只零件的总质量超过 2510kg 的概率是多少？ (2)如果用一辆载重汽车运输这 5000 只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于 0.975？
解 设第 i 只零件重为 X i ， i
1,2,...,500 ，则 EX i 0.5 ， DX i 0.12
5 0 0
设
X
X i ，则 X 是这些零件的总重量
i
1
EX
0.5 5000
2500 ， DX
0.12
5000 50
a
由中心极限定理
X 2500
~ N (0, 1)
50
（1） P(X
2510) = P( X 2500 2510 2500 )
50
50
1 0 (
1 0.9213
=0.0787 2 ) =
(2) 设 汽车载重量为 a 吨
P( X
a) = P(
X
2500 a 2500 )
0 (
a 2500
) 0.95
50
50
50
查表得
a
2500 1.64
50
计算得 a 2511.59
因此汽车载重量不能低于 2512 公斤 2． 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m ，先从这批木柱中随
机的取 100 根，求其中至少有 30 根短于 3m 的概率？ 解
设 X 是长度小于 3m 的木柱根数，则 X ~ b(100, 0.2)
a
由中心极限定理
X ~ N (20, 16)
P( X
30) =P(
X
20 30 20)
16
16
1
0 (2.5) =1 0.9938 =0.0062
3． 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种
蛋糕的价格是随机变量，它取 1 元， 1.2 元， 1.5 元的概率分别为 0.3， 0.2，0.5.若售出 300 只蛋糕，（1）求收入至少 400 元的概率 （2）售价为 1.2 元蛋糕售出多于 60 只的概率。

解 设第 i 只蛋糕的价格为 X i ， i 1,2,...,300 ，则 X i 有分布律：
X i
1 1.
2 1.5
P
0.3
0.2
0．5
由此得
E( X i ) 1.29
E( X i 2 ) 1.713
故 D( X i )
EX i 2
( EX i )2
0.0489
300
（ 1） 设 X 是这一天的总收入，则 X
X i
i 1
300
EX
EX i
300 1.29
i 1
300
DX
DX i
300 0.0489
i 1
a
由中心极限定理
X ~ N(300 1.29, 300 0.0489)
P( X
400) = P(
X
300 1.29 400 300 1.29)
300 0.0489
300 0.0489
1 0 (3.39) =1 0.9997 =0.0003
（ 2） 以 Y 记 300 只蛋糕中售价为 1.2 元的蛋糕只数，于是 Y ~ b(300,0.2)
Y 300 0.2 a
~ N ( 0,1)
300 0.2 0.8
P(Y 60) = P
Y 300 0.2 60 60
10 (0) 0.5
300
0.2 0.8
48
4.设某种商品第 n 天的价格为 Yn ，令 Xn=Yn+1-Yn ，Xn 独立同分布， 且 Xn 期望是 0，方差
是 2，若该商品第一天价格是 100，则第 19 天价格在 96 到 104 之间的概率是多少？解：
X 1 Y 2 Y 1， X 2 Y 3 Y 2，
X 3 Y 4 Y 3，
X n Y n 1 Y
n
18
所以X n Y
19Y1
Y
19100
n1
181818
E X n0 ， D X n DX n36
n 1n 1n 1
由中心极限定理，
P 96
Y
19104P Y191004
1818
1818
X n E X n
4
= P X n E X n4P n1n 1
66
n 1n 1
2
21=0.4972
3
5.（ 10）一枚均匀硬币至少要抛多少次，才能使正面出现的频率与概率之间的差
的绝对值不小于 0.05 的概率不超过 0.01？请分别用（1）切比雪夫不等式，与（2）中心极限定理给出估计。

解
设至少要抛 n 次； X“ n 次抛硬币中出现正面的次数” ，
则 X ~ B(n,0.5) ， EX0.5n ， DX 0.25n ，正面出现的概率是 p0.5 ；
X
“ n 次抛硬币中出现正面的频率” ，
n
于是 E X
0.5， D
X
0.25
n n n
（ 1）由切比雪夫不等式
X
D
X
100 0.50.05n
P
2n n0.05
由 1000.01 ，得 n 10000 n
即至少要抛 10000 次。

（ 2）由中心极限定理 ,
a
X ~ N (0.5n, 0.25n) ,
a a
0.25) X~ N ( 0.5, 0.25) ,X0.5 ~ N (0,
n n n n
所以X0.50.05 2 1（ 0.05
P0
n n0.5/
=2 1（0.1
n )0.01
得
（00.1
n
)0.995，查表（2.58)0.995，
由于（0x) 单调增，
故 0.1n 2.58，解得n665.64
因此至少要抛 666 次
6.根据经验，某宾馆电话预约的客户的实际入住率为 80%，服务台共接受了 2500 个电话预约，请分别用（ 1）切比雪夫不等式，与（ 2）中心极限定理估计实际入住的人数在 1950～2050 之间的概率。

解设随机变量 X “2500 个电话预约的客户实际入住的人数” ，
则 X ~ B(2500, 0.8)， EX2000， DX400
（ 1）由切比雪夫不等式，得
P 1950 X2050P( X200050)
DX400
1
2
10.84
502500
（ 2）由中心极限定理，得
a
X ~ N (2000, 400) ，
P 1950 X2050P( 1950 2000 X200020502000 )
202020
0 (2.5)0 ( 2.5) 2 0 (2.5) 1=0.98758。