泛函分析——精选推荐

泛函分析
《泛函分析》题库建设填空题（120个空）
⼀、填空题（120个空）
1、在度量空间],[d X 的定义中，X 不等于集，距离d 应满⾜；；三个条件，度量空间X 的完备的充要条件是。

2、设Y X ,是两个线性空间，若存在X 到Y 的双射T 满⾜条件：；；则称T 为X 到Y 同构映射，这时Y X ,两个空间同构。

3、在赋范线性空间X 中，对于X 中的任意两个元素y x ,，由范数导出的距离=),(y x d ；完备的赋范线性空间称为空间。

4、设Y X ,是两个赋范线性空间，T 是X 的线性⼦空间)(T D 到Y 中的线性算⼦，集合
}),(|),{()(Tx y T D x y x T G =∈=称为线性算⼦T 的。

如果)(T G 是Y X ?中的闭集，则
称T 是算⼦。

5、设X 施⼀个内积空间，若X y x ∈,，则y x 与直交的充要条件是；若X N X x ?∈,，则x 与N 直交的充要条件是；若X N M ,，则N M 与直交的充要条件是。

6、在离散空间X 中，y x ,两点的距离=),(y x d ；],[b a C 空间中两点y x ,的距离
=),(y x d ；在有界函数空间)(A B 中，两点y x ,的距离=),(y x d ；
7、巴拿赫空间中的基本定理有定理；定理；定理；定理。

8、在复内积空间X 中，内积具有如下三个基本属性①；②；③；
9、设Y X ,是两个线性空间，T 是X 的线性⼦空间)(T D 到Y 中的映射，若)(,T D y x ∈?以及数α满⾜①；②；则称T 为)(T D 到Y 中的线性算⼦，)(T D 称为T 的；Y 称为T 的域。

10、设),(d X 为度量空间，X x ∈0，集合}),(,|{0ε<∈x x d X x x 称为；⼜若X M ?，则),()(sup ,y x d M M
y x ∈=
δ称为；若+∞<)(M δ，称M 为集。

X 的⼀个集。

若X 有⼀个⼦集，称X 可分。

12、设X 是线性空间，α是⼀给定的数。

若对任何X x ∈，令x Tx α=，则线性算⼦T 称为算⼦；当T 时1=α称为算⼦；当T 时0=α称为算⼦。

],[b a C x ∈?，令
)())((t tx t Tx =，T 称为算⼦。

13、X 是实（或复）的线性空间。

如果对每个向量X x ∈，有⼀个确定的实数x 与之对应，且满⾜①；②；③；则称x 为向量x 的；),(?X 称为空间。

14、设Y X ,是两个⾮空集合。

T 是X 到Y 中的映射。

如果n R X ?，Y 为数集，称T 为；若X 为⼀般⾮空集合，Y 为数集，称T 为；若X ，Y 都为⼀般⾮空集合，称T 为。

15、设),(),,(d Y d X 是两个度量空间。

T 是X 到Y 中的映射，
X x ∈0，若0,0>?>?δε，当X x ∈，且δ<),(0x x d 时均有ε<),(0Tx Tx d ，称T 在0x 处。

若X y x ∈?,，
),(),(y x d Ty Tx d =成⽴，称T 为映射。

⼜若T 是X 到X 中的映射，如果存在⼀个数
)1,0(∈α，X y x ∈?,，),(),(y x d Ty Tx d α≤，则称T 为映射。

16、设Y X ,是两个赋范线性空间，T 是X 的线性⼦空间()D T 到Y 中的线性算⼦，如果存在常数c ，使对，有，则称T 是()D T 到Y 中的有界线性算⼦，T 为X 上有界线性算⼦的充要条件是。

17、设T 为赋范线性空间X 的⼦空间
()
D T 到赋范线性空间Y 中的线性算⼦，则
T
18、设T 为希尔伯特空间X 到X 的有界线性算⼦，如果；称T 为X 上的⾃伴算⼦，若，则称T 为X 上的正常算⼦。

若T 是X 上的，且*
1T T -=，
则称T 为X 上的⾣算⼦。

19、设(,)X d 是度量空间，{}n x 是X 中的点列，若0,()0N ε
ε?>?>，当,n m N >时，有
(,)n m d x x ε<，称{}n x 为点列；X 为完备度量空间的充要条件
集。

20、设Y X ,是两个度量空间，T 是X 到Y 上的映射，如果T 在X 的每⼀点都连续，称T 是X 上的映射。

集合{|,}x x X Tx M
Y ∈∈?称为集合M 在映射T 下
的；简记为。

21、设
X
是复线性空间，
12,,,m x x x L 是X 中的向量，12,,,m
αααL 是
m 个数，称
1
()m
k
k k x k N α
=∈∑为向量12,,,m x x x L 的⼀个。

如果存在m 个不全为
零的数使得
1
0m
k
k k x α
==∑，称12,,,m x x x L ，否则称它们。

22、设Y X ,是两个赋范线性空间，T 是X 到Y 中的线性算⼦，若x X ?∈有Tx x
=，则称T
是X 到Y 中的算⼦。

⼜若T 是满射，则称T 映射，这时
X Y 与。

23、设T 是希尔伯特空间X 上的有界算⼦。

令**
,22T T T T A B i
是算⼦，T
= ；称为算⼦T 的分解。

24、在n
R 中点列{}n x 收敛的实质是收敛。

在[,]C a b 空间中点列{()}n x t 收敛于
()x t 的实质是，在可测函数空间()m X 中，点列{}n f 收敛于f
的实质
是。

25、设X 是⼀个线性空间，M 是X 的⼀个⾮空集合。

M 中任意有限多个向量的线性组合全体记为。

称为由M 张成的，它是X 的空间。

26、设
X 是度量空间，M 是X 的⼀个⾮空集合，x X ∈，称inf
(,)y M
d x y ∈为，记
为，在赋范线性空间中，inf
(,)y M
d x y ∈= 。

27、设X 是⼀个内积空间，若X 的⼦集M 满⾜①；②；③；则称M 为X 的赋范正交系。

28、设M 是度量空间X 中的⼦集，如果存在M 不在X 的任何半径不为零的开球中稠密，称M 是
X 中的集，凡第⼀纲集都可以表⽰成并集，不是第⼀纲集的集
29、设X 是线性空间，M 是X 中的极⼤线性⽆关组，则称M 的基数为X 的数，M 称
为X 的⼀组，若M 的基数为有限数，则称X 为空间；否则称X 为空间；如果X 只含零元素，则称X 为空间。

30、设Y X ,是两个赋范线性空间，我们以
()
B X Y →表⽰全体。

,()A B B X Y ?∈→以及对数域中的任⼀α，若令()A B x += ；()A x α= ()x X ∈，则()B X Y →按此定义的加法和乘法构成空间，在()B X Y →空间中，
当Y 为空间时，()B X
Y →是巴拿赫空间。

31、设Y X ,都是希尔伯特空间，,A B 都是由X Y 到中的有界线性算⼦，*
**,,()A B A B +分别
是
,,()
A B A B +的共轭算⼦，数
α
是复数，则有
*()A B +=
*()A α= ；**()A = ；*A A = ；当X Y =时，*()AB = ；
32、设X 是⼀个度量空间，M 是X 的⾮空⼦集，如果存在0ε
>，使0(,)U x M ε?，称0x 为
M 的点。

如果存在0δ>，使00(,){}U x M x δ=I ，称0x 为M 的点；若在M 中有⼀个点列{}n x 收敛于0x ，则0x 称为M 的点。

如果M 是开集，则M 中所有点都是它的点，如果M 是闭集，那么M = 。

33、设
X
是内积空间，
M
是
X 的⼦集，称集合{|,}x x X x M ∈⊥为M
在
X
中
的；简记为，它与M 有且仅有⼀个公共元素是；当
M X ≠时，这个集合中存在元素。

34、设,u v 是希尔伯特空间X 的两个⾣算⼦，那么,
x X ux ?∈= ；当{0}X ≠时，
u = ；1u -是算⼦；uv 是算⼦。

35、设X 是赋范线性空间，()p x 是定义在X
上的泛函，若满⾜
①
()p x α= ,x X α∈为数；②()p x y += ,x y X ∈，则称
()
p x 为定义在X 的次线性泛函。

《泛函分析》判断题（40个）
⼆、判断题
1、若集合A 在集合B 中稠密，则A B ?≠?。

（）
2、若X 是⼀个紧集，那么度量空间X ⼀定是完备的度量空间。

（）
3、线性空间中的有界线性泛函⼀定连续。

（）
4、所有的内积空间都是希尔伯特空间。

（）
5、所有有界线性算⼦都是有界算⼦。

（）
6、在每⼀个赋范线性空间上，都可以定义向量与向量的内积，使其成为内积空间。

（）
7、完全规范正交系都是完备规范正交系。

（）
9、离散度量空间的个数是有限的。

（） 10、设M 是度量空间(,)X d 中的点集，M 为有界集的充要条件是
,sup (,)x y M
d x y ∈<+∞。

（） 11、在度量空间中，距离是⼀个⼆元连续泛函。

（） 12、在度量空间中所有的极限都是点列极限。

（） 13、微分算⼦和积分算⼦都是有界线性算⼦。

（） 14、所有度量空间中的内点⼀定是聚点。

（） 15、若X 是⼀个线性空间，
()f x 是定义在X 上的⼀个连续线性泛函，那么()N f ⼀定是X
的
闭线性⼦空间。

（） 16、凡存在稠密⼦集的度量空间都是可分的。

（） 17、定义在基本空间D 上的连续线性泛函有任意阶导数。

（） 18、赋范线性空间中的范数都是次线性泛函。

（） 19、有界线性算⼦空间中的算⼦A 与它的共轭算⼦*
A 有相同的范数。

（） 20、赋范线性空间X 中，线性算⼦T 有界的充要条件是
T <+∞。

（）
21、若,X Y 是两个赋范线性空间，那么有界线性算⼦空间()B X
Y →⼀定是巴拿赫空间。

（）
22、完备的赋范线性空间称为希尔伯特空间。

（） 23、连续映射总是将定义域中的开集映照成值域中的开集。

（） 24、若T 是赋范线性空间X 上的有界线性算⼦，则T 在X 上的每⼀点都连续。

（） 25、设X 是⼀个度量空间，{}n x 是X 中的⼀个柯西点列，则{}n x 的收敛点⼀定在X 中。

（）
26、设X 是⼀个度量空间，T 是X 到X 中的连续映射，则必存在*
**,x
X Tx x ∈=使。

（） 27、线性空间X 的零⼦空间都是X 的平凡⼦空间。

（） 28、线性空间X 的任何⼀个线性⽆关组都可以作为X 的⼀组基。

（） 29、[,]C a b 空间，作为⼀个线性空间，它的维数是有限的。

（） 30、在⼀个有限维线性空间上只能定义⼀个范数。

（） 31、任何赋范线性空间的共轭空间都是巴拿赫空间。

（） 32、凡实（或复）的内积空间中，任意两个向量的内积都具有对称性。

（） 33、设X 是⼀个内积空间，,x y X ?∈，有,x y x y
=。

（）
34、设
X
是⼀个内积空间，{}n e 是
X 中有限或可列规范正交系，那么x X ?∈有，
2
2
1
,n
n x e x
∞
==∑。

（）
35、设X 是希尔伯特空间，M 为X 的完全规范正交系，则{0}M
⊥
=。

（）
36、设T 为复希尔伯特空间X 上的有界线性算⼦，则T 为正常算⼦的充要条件是,,x X x
∈是实数。

（） 37、设{}n T 是希尔伯特空间X 上的⼀列⾃伴算⼦，并且lim n
n T T →∞
=，则T 是T 上的⾃伴算⼦。

（）
38、若X 是⾮空的完备度量空间，则X ⼀定是第⼀纲集。

（） 39、设{}n f 是希尔伯特空间X 上的⼀列泛函，如果{}n f 在X 的每⼀点x 处有界，那么{}n f ⼀致有界。

（）
40、设X 是⼀个内积空间，M 是X 的⼦集，则M ⊥
是X 的闭线性⼦空间。

（）
泛函分析计算题
1、设X 是由可列多个不同点组成的集合，(,)X d 是⼀个离散空间，()X δ表⽰度量空间X 中集合X 的直径，求()X δ。

2、设X 是⼀个H 空间，,x y X ∈，若3x =，4y =，求：2
2
x y x y ++-。

3、求[1,1]C -上线性泛函0
1
1
()()()f x x t dt x t dt -=-?
的范数f 。

4、设2
X R =，(3,4)x =-，求：x 。

5、在[2,3]C 中，令32()24x t t t t =+++，3
()1y t t =-。

求：(,)d x y 。

6、设A 是H 空间X 到H 空间Y 中的有界线性算⼦，*
A 是A 的共轭算⼦，若2A =，求：*
AA 。

7、设X 是⼀个内积空间，12{,,,,}n M x x x =L L 是X 的⼀个正交系，且2
12
n
n x =
1,2,n =L
，求：
1
n
n x
∞
=∑
8、设X 是H 空间，f 是X 上的连续线性泛函，若存在唯⼀的z X ∈，使每个x X ∈有
(),f x x z =<>
，求：f
泛函分析证明题（40个）
1、设X 是⼀个度量空间，X x n ?}{，证明：若当∞→n 时，x x n →且y x n →，则y x =。

2、设Y X ,是两个赋范线性空间，T 是X 的线性⼦空间)(T D 到Y 中的线性算⼦。

证明：若T 在)(T D 中某⼀点0x 处连续，则T 在)(T D 上连续。

3、设}{n e M =是H 空间X 上的可列规范正交系，X x ∈?，令k k e x C ,=，（+∈N k ），证明：∑∞
=1
k k k e C 收敛的充要条件是∑∞
=1
2k k C 收敛。

4、设21,T T 是H 空间X 上的两个⾃伴算⼦。

证明：21T T 为⾃伴算⼦的充要条件为：
1221T T T T =。

5、设X 是线性空间，α是⼀个给定的数，X x ∈?，令x Tx α=，证明：T 是线性算⼦。

6、设],[b a C X =，X t y t x ∈?)(),(，令)()(max ),(t y t x y x d b
t a -=≤≤，证明：),(d X 是⼀个度
量空间。

7、设X 是⼀个内积空间，且X x ∈?，令x x x ,=
，证明：X y x ∈?,，成⽴
)(22
2
2
2y x y
x y x +=-++
8、设],[b a C X =，),(t s k 是定义在],[],[b a b a ?上的⼆元连续函数，X t x ∈?)(，令
=b
a dt t x t s k t Tx )(),())((，证明：T 是有界线性算⼦。

x 展开成级数∑∞
=1n n n e α（其中n α是数）时，只有当n n C =α时，∑∞
=-1
n n n C x α取最⼩值。

10、
设T 为复H 空间X 上的有界线性算⼦。

证明：若T 为⾃伴算⼦，那么X x ∈?，
R x Tx ∈),(，其中R 为实数集。

11、设],[b a X =，)0(b a <<，X y x ∈?,，令y x y x d -=),(，证明：),(d X 是可分度量空间。

12、设],[b a C X =，X t x ∈?)(，令dt t x t Tx b
a ?=)())((，证明：T 是连续线性算⼦。

13、设X 是任⼀n 维线性空间，证明：X 与n R 线性同构。

14、设X 是⼀个内积空间，证明：X y x ∈?,，有y y y x y
x ,,,2
≤。

15、设T 为复H 空间X 上的有界线性算⼦，且X x ∈?，x Tx ,是实数，证明：T 是⾃伴算⼦。

16、
设),(d X 是⼀个度量空间，X y x ∈?,，令)
,(1)
,(),(y x d y x d y x +=
ρ，证明：),(ρX 也
是X 上的⼀个度量空间。

17、设R X =，X y x ∈?,，y x y x d -=),(，且有x Tx 2
1
=
，证明：存在唯⼀的X x ∈*，使**x Tx =。

18、
设M 是内积空间X 的闭线性⼦空间，且X M ≠，证明：⊥M 中必有⾮零元素。

19、
在线性空间n R 中，),,,(21n x x x x L =?，令k n
k x x ≤≤=1max ，证明：),(?n
R 是⼀个赋范线
性空间。

20、
设T 为复内积空间X 上的有界线性算⼦，证明：0=T 的充要条件是X x ∈?成⽴
21、
设X 是⼀个度量空间，}{},{n n y x 是X 中的两个点列，且x x n →，y
x n →（∞→n ），证明：)(),,(),(∞→=n y x d y x d n n 。

22、设],[b a C X =，X t x ∈?)(，令)())((t tx t Tx =，证明：T 是X 上的线性算⼦。

23、
设X 是⼀个赋范线性空间，令}0)(,|{)(=∈=x f X x x f N ，证明：若f 在X 上连续，则)(f N 是⼀个闭集。

24、设X 是⼀个内积空间，证明：X y x ∈?,，若y x ⊥，则2
22
y x y
x +=+。

25、设T 为复H 空间X 上的有界线性算⼦，证明：T 为正常算⼦的充要条件为
X x ∈?，成⽴Tx x T =*。

26、设X 是⼀个度量空间，}{n x 是X 中的任⼀收敛点列，证明：}{n x 为X 中的有界
点列。

27、
设X 是度量空间，X B A ∈,，且B 在A 中稠密，证明： ,A x ∈?以及0>? ε，B y ∈?，使ε<),(y x d 。

28、设],[b a C X =，X t x ∈?)(，令dt t x t Tx b
a ?=)())((，证明：T 是X 到1R 中的⼀个
连续映射。

29、设X 是⼀个赋范线性空间，X y x ∈?,，令y x y x d -=),(，证明：),(d X 是⼀
个度量空间。

30、
设T 是复H 空间X 上的有界线性算⼦，令2*T T A +=，i
T T B 2*
-=，证明：B
A ,均为X 上的⾃伴算⼦。

31、设X 是⼀个度量空间，}{n x 是X 中的⼀个收敛点列，证明：}{n x 是⼀个柯西点
列。

32、在线性空间],[b a C 中，],[)(b a C t x ∈?，令)(max )(t x t x b
t a ≤≤=，证明：)],,[(?b a C 是
⼀个赋范线性空间。

33、设Y X ,是两个赋范线性空间，)(,Y X B B A →∈，证明：B A +是有界算⼦。

34、设X 是⼀个n 维内积空间，},,,{21n e e e M L =是X 的⼀个正交系，证明：M 是X
的⼀个线性⽆关⼦集。

35、
设T 是复H 空间X 上的有界线性算⼦，iB A T +=是T 的笛卡尔分解，证明：T 为正常算⼦的充要条件是BA AB =。

设B 是度量空间X 中的闭集，证明：有⼀列开集}{n A 满⾜B A n ?，),2,1(L =n ，且有B A n n =∞
=I 1。

37、
设],[b a C X =，],[)(b a C t x ∈?，令))(())((t x dt
d
t Dx =
，证明：D 是线性算⼦。

38、
设T 为赋范线性空间X 的⼦空间)(T D 到赋范线性空间Y 中的线性算⼦，证明：)(T D x ∈?，x T Tx ≤。

39、
设X 是实线性空间，X x ∈?，令x x x ,=，
证明：X y x ∈?,，y x y x +≤+。

40、设v u ,是H 空间X 上的两个⾣算⼦，证明：uv 也是⾣算⼦。