应用和计算谐波分析
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
连贯性在某种意义上是一个自然属性，它存在于压缩感知型框架结构中，因为如果矩阵的两列是密切相关的，一般不可能辨别出信号的能量来自其中一个或者另一个。例如，假设我们对矩阵不欠采样，则A和它是一样的，所以我们观察到y = Dx的图形。假设前两列是相同的，即d1 = d2，测量值d1可以理解为输入向量(1、0…,0)和(0,1,0,…,0)或其他无任何的凸组合，因此我们不希望从表达式y = ADx中重建一个独立的稀疏信号x。然而，我们并不对向量x之前的系数感兴趣，而感兴趣的是实际信号Dx，如图1所示。大列在D之间的相关性并不强加一个结果，因为尽管它使它使向量的系数分离成为可能，但这不是我们的目标。这个简单的例子表明也许连贯性不是必需的。如果D是连贯的，那么在我们的示例中显然无法恢复信号x，但我们可以肯定能够通过1分析方法从测量值y=Af+z中恢复信号信号f = Dx。
1.3.高斯传感矩阵
为了介绍我们的结论,首先讨论一个具体的情况或许是最好的教学方法。在这里我们假设传感矩阵有iid高斯通道。实际上，不完全稀疏信号通常旨在使D∗f对于f的分类尽可能稀疏。因此，在本文中，我们通过1分析方法从y=Af+z提取出一个重建信号:
再次，ε是一个可能的上限||2|| 的噪音水平。实证研究表明从1分析结果中展现出非常有前途的结果。其几何研究[21]图像复原及其应用[8]。然而，在这个文献中并没有关于其性能的结果。
1.1、动机
上述技术是对信号稀疏的标准坐标基础或稀疏对其他标准正交基。然而，在许多实例中，感兴趣的不是稀疏的稀疏的一个信号在一个标准正交基里。稀疏往往表示的不是一个标准的正交基，但也不是完全的学科。这意味着我们现在的信号f ∈Rn表示为f=Dx, 在一些完整的学科中可能是许多行和许多列。现在在完整的学科中的广泛使用的是信号的处理和数据分析，下面给出两个原因解释为什么会是这样：首先，可能没有任何标准正交基，当信号使用曲线表示【11、10】或时频原子像伽柏表示【22】，在这种情况下，不存在好正长绿辉岩和工作人员一起工作的情况。第二个原因就是研究社区开始欣赏和依靠提供的灵活性和便利性的过完备表示，在线性逆问题上，如反褶积和连续断层甚至在信号去噪问题上用单位矩阵，人们发现用过完备表示非常有助于减少工作均方误差（MSE）【39、40】，只有自然期待过完备表示才能有助于压缩传感的问题，毕竟这是一个特别的线性逆问题。
应用和计算谐波分析
摘要：本文介绍的的是从普通的抽样不足的数据到信号的恢复等常见情况，在一个真正的冗余信号中，并不是一个标准正交基或稀疏不连贯的学科。这项工作在手段和方法上是一个空白，压缩传感的文学和显示在这种情况下不仅仅是可行的，但通过分析优化问题，信号也可能被准确的恢复出来。我们现在引入一个具有著名的限制等容属性概括的条件测量/传感矩阵，它能保证准确恢复稀疏信号并且具有连贯性。在对学科没有限制的矛盾的情况下，我们的结果可能是第一个这样的，在这些应用程序中，我们通过讨论实际的例子和分析结果的影响来补充我们的研究等问题。
由 知道，Xs是最好的近似向量X,一个最多稀疏而非零项的向量。换句话说，X-XS是信号的尾部信号，有最小的n-S年代X的条目，特别的，如果X-Xs=0，作者在改进的工作中要改进这一点，博格和道，证实（L1）信号的恢复服从一个公式
只要等距遵循 当已知 的时候，常量在这个结果上得到了进一步的改善，简而言之，（L1）的恢复误差和测量误差和尾巴的信号成正比例，这意味着对于可压缩信号，那些系数服从幂率衰减，近似误差很小的完全稀疏信号完全消失了。
定义限制首次出现在[15]在那里产生错误绑定（1.3）所示的无声的设置当ε=0 z=0.。
定义1.1 对于一个m x n的测量矩阵，等距常数 是这样的一个最小的常数，它满足下面的方程 ，由于这样，底层条件是相当的自然，因为它是解释为防止稀疏信号传感矩阵的零空间。进一步的说，一个矩阵有一个小的限制等容常数基本上意味着每个子集或者更少列是一个正交系统，现在众所周知，许多类型的随机测量矩阵有小限制等容常量（16，32，37，6）。例如，矩阵与高斯和贝努利条目有小限制等容常数具有很高概率测量米数时的跋涉（n/s）。快速变化矩阵组成的随机选择离散傅立叶矩阵的行也有小限制等容量与米高概率（logn）4。
如果D是在一个正交基础上，那么这些条目是独立标准正态变量，但如果不是单一的那项相关的广告，并可能不再满足要求，采用传统的压缩感知的假设来判断。在[ 35 ]文献中得到的传感矩阵的形式ΦD∗在Φ满足的限制等距恢复结财产。在这种情况下采样矩阵必须依靠字典D而且该信号是稀疏的。我们寻找一个结果使传感矩阵其表征是独立于信号。可以肯定的是，我们不知道任何这样的文献中的结果当柱高度可能甚至完全相关时能保证良好的恢复性能。
这些和其他应用程序需要的结果当字典冗长和具有相关性的时候是适用的。这件事情，在文献中暴露了一个大的差距由于现有的压缩感知理论的缘故，只有适用时，词典才是是一个正交基，或当字典是极为不相关的（例如，[ 26,38,5 ]）。
图1.压缩传感过程及其领域。这在测量方法,信号和系数驻的领域中存在区别。
1.2.我们真的需要不连贯吗？
为了使分析更容易，我们假定D是一个紧密框架，当然这不是必要的。说到这，我们的结果不仅证明了压缩传感与字典是高度一致的，而且1-分析方法在此设置过程中得到了证明。
但是也认为 的分析问题可能在此设置中起作用。我们不知道有任何其他的结果。当然，其他的方法在词典中用的过多，如在字典第3854页中的不连贯，这样的矩阵符合标准的压缩感知结果。在35页中的方法需要传感矩阵依靠字典中的方法。这些不同存在于设置中，我们的词典中没有这样的属性。我们指出，结果认为，即使在字典D的连贯性是最大的，这意味着两列完全相关。最后，我们也注意到，在噪音水平中的依赖是最优的，并且绑定在尾部的错误是类似于先于先边界在非冗余的情况下，如（1.3）。
现在假设在压缩传感和稀疏信号的恢复领域中使测量矩阵具有不相关的列。为了正式化，我们定义连贯性矩阵M为
其中M j和Mk用来表示矩阵M的行和列 。如果μ很小，我们就称它是不连贯的。标准结果要求测量矩阵满足严格的不连贯特性[41，12]，即使是RIP强加于它之上。如果矩阵D的高度和宽度一致，那么一般矩阵AD也将与它一致。
我们的主要结果是提供对于(P1)非常准确的解决方案，其中D＊f的系数迅速降低。我们对于高斯情况的结果很低，虽然一般定理出现在1.5节。
定理1.2.是D是任意n×D的严格的框架，并且A是一个具有slog(d/s)次序的m×n阶高斯矩阵。然后f到(P1)的函数关系遵循下式：
对于一些C0和C1的数值常量，(D∗f)是在定理(1.2)中由最大的向量组D∗f组成的。
2010爱思唯尔有限公司保留所有版权
关键词：最小化 基础上的追求 限制等容属性能 冗余学科 分析
1、介绍Байду номын сангаас
在发现可以利用稀疏和压缩一般的可能性获得信号的基础上，压缩感知是一种新的数据采集理论，可以设计在非适合采样的情况下，把一个可压缩的信息中的信息凝结为少量的数据。简而言之，可靠、非适应数据采集和远少于传统上的测量认为是可能的，现在，压缩传感的应用是丰富的，范围从雷达的检测到引用，遥感的成像到纠错。
Gabor框架的回忆，对于一个固定的函数g和正时频参数A和B，第k列其中k是双指数K =（K1，K2））的Gabor框架给出了以下公式
雷达、声纳以及其他成像系统出现在许多工程应用中，其目标是在恢复脉冲序列如下
由于这些应用程序的时频结构，Gabor框架的广泛应用参考文献[ 30 ]。如果你希望恢复脉冲压缩的样品通过使用Gabor字典，标准的结果却是不适用的。
在继续研究之前，最好解决的方法法是给一些在冗余字典的应用实例，这是是至关重要的。
过采样DFT的离散傅里叶变换（DFT）矩阵是一个N×N正交矩阵的k列，通过给定
取值范围为t≥0，k≦n-1。这是稀疏的DFT信号只有那些是在DFT晶格频率正弦波叠加才会出现。在实践中，我们的课程很少遇到这样的信号。考虑到这一点，可以考虑的过采样DFT的采样频率是可以在更小的相等的间隔进行，或在小的时间间隔中是可变的。这导致一个完备的框架柱是可以高度相关。
曲波曲波框架提供了一个多尺度分解的图像，并具有的几何特征，将它们分开
从小波和图像。从概念上讲，它是一个在每个尺度的位置，和针形元素在细尺度[ 11 ]多方向多尺度金字塔Curvelet变换。变换得到它的名字，它是从事实上近似的曲线奇异的图像。该变换虽然具有许多特性一个标准正交基，但完备。用矩阵的形式，它是一个服从Parseval紧框架关系的矩阵
1.4.影响
正如我们提到的，在由定理1.2给出的错误噪音的依赖是最优的，所以我们只需要讨论如何在第二个任期会影响估计误差。当这种形式的结尾时，即 这个词当然会被忽略。因此，结果说明，对于任何字典，信号F使得 迅速衰减， 的分析大约可以从随机测量中获得重构使用。这正是在实践中，许多情况下，许多类的信号，作为前面所讨论的字典。作为一个方面的话，当 性能良好时，我们也可以保证信号 快速衰减（我们假设信号展开式f= DX），并且向量系数x是近稀疏的。为了说明为什么这是真的，假设D是一个紧框架，使得 。常用的量化稀疏是一个常态的准p范数，其中当 时有 （与单元2 - 范数稀疏信号具有较小的准p范数）。现在一个简单的计算表明，
||.||2表示标准欧几里德范数， 可能是常态， 可能是噪声的上界，（还有其他基于贪婪算法的压缩传感方法如正交匹配追踪算法迭代阈值，压缩采样匹配追求等）
定量一个具体的例子，从数据y上比较一个典型的导致压缩传感器重建的质量和一个可用的模型，如果一个人给我们如何去了解未知信号X的最完美的知识，定义——在组成X向量的这里面的最大的系数为 级 。
因此，压缩传感通过收集线性的测量的形式提出收购一个x∈Rn的信号，用 来表示，或者用Y=Ax+z lai 表示。
A是一个有一个或者几个数量级小于n（表明一些重要的欠采样）和z组成的一个误差项测量误差建模的mxn的传感矩阵。遥感非适应并不依赖于X，然而根据理论知道，如果X是稀疏信号，在合适的矩阵的条件下，通过凸规划，未知信号或者稀疏信号X是可能呗恢复的。我们只是找的了解决方案： 和 ||.||2表示标准欧几里德范数， 可能是常态， 可能是噪声的上界，（还有其他基于贪婪算法的压缩传感方法如正交匹配追踪算法迭代阈值，压缩采样匹配追求等）
在许多应用中的信号连接可能不在一个单一的标准正交基上，而是稀疏的在几个正交基上。例如，波和正弦的线性组合，将时使用的是一个串联的稀疏的坐标和傅立叶基地。一个也可以利用几何和逐点的方法，利用紧框架小波系数如曲波、组合的图像奇异性、brushlets。然而，由于这些级联基地列之间的相关性，目前的压缩传感技术仍然不适用。
我们让 {DK }表示D柱。虽然远离彼此非常不相关的列，柱接近彼此有很高的相关性。这样的结果在压缩感知中是不适用在Curvelet域表示的信号。
小波框架的非抽样小波变换（UWT）是一个小波变换实现平移不变性，并且那是在离散小波变换（DWT）中缺少[ 20]。UWT缺乏downsamplers和过采样器，在DWT中upsamples的滤波器系数的一个因素在2m（m−1）ST段水平–因此这是超完备的。同时，罗恩和沈的文献[ 36 ]促进小波紧框架结构的整体的扩展原理L2（Rd）可能比在正交多小波的情况下得出的。这种冗余的发现在图像处理中是有用的（例如，[ 39 ]），所以希望恢复结果允许显着的冗余和/或相关。
尽管有无数的申请感兴趣的信号是一些过完备的学科，但在考虑简单的情况下传感矩阵高斯（标准正态）条目，然后与矩阵相关的假设的几乎所有的观测数据的稀疏系数X都有独立行，但每一行都是从 采样得到的。如果D是一个标准的正交基，那么这些条目只是独立标准正态变量；但如果D不是一个单一相关条目，那么传统的压缩传感的的假设可能不再满足要求。
一句话就是说，如果格拉姆矩阵的列是相当稀疏以及如果f刚好有一疏扩张，然后帧系数序列 也稀疏。上面讨论的所有变换，即，盖博，曲波，小波架，过采样傅里叶变换都近似对角矩阵，因此，它是稀疏列。
1.3.高斯传感矩阵
为了介绍我们的结论,首先讨论一个具体的情况或许是最好的教学方法。在这里我们假设传感矩阵有iid高斯通道。实际上，不完全稀疏信号通常旨在使D∗f对于f的分类尽可能稀疏。因此，在本文中，我们通过1分析方法从y=Af+z提取出一个重建信号:
再次，ε是一个可能的上限||2|| 的噪音水平。实证研究表明从1分析结果中展现出非常有前途的结果。其几何研究[21]图像复原及其应用[8]。然而，在这个文献中并没有关于其性能的结果。
1.1、动机
上述技术是对信号稀疏的标准坐标基础或稀疏对其他标准正交基。然而，在许多实例中，感兴趣的不是稀疏的稀疏的一个信号在一个标准正交基里。稀疏往往表示的不是一个标准的正交基，但也不是完全的学科。这意味着我们现在的信号f ∈Rn表示为f=Dx, 在一些完整的学科中可能是许多行和许多列。现在在完整的学科中的广泛使用的是信号的处理和数据分析，下面给出两个原因解释为什么会是这样：首先，可能没有任何标准正交基，当信号使用曲线表示【11、10】或时频原子像伽柏表示【22】，在这种情况下，不存在好正长绿辉岩和工作人员一起工作的情况。第二个原因就是研究社区开始欣赏和依靠提供的灵活性和便利性的过完备表示，在线性逆问题上，如反褶积和连续断层甚至在信号去噪问题上用单位矩阵，人们发现用过完备表示非常有助于减少工作均方误差（MSE）【39、40】，只有自然期待过完备表示才能有助于压缩传感的问题，毕竟这是一个特别的线性逆问题。
应用和计算谐波分析
摘要：本文介绍的的是从普通的抽样不足的数据到信号的恢复等常见情况，在一个真正的冗余信号中，并不是一个标准正交基或稀疏不连贯的学科。这项工作在手段和方法上是一个空白，压缩传感的文学和显示在这种情况下不仅仅是可行的，但通过分析优化问题，信号也可能被准确的恢复出来。我们现在引入一个具有著名的限制等容属性概括的条件测量/传感矩阵，它能保证准确恢复稀疏信号并且具有连贯性。在对学科没有限制的矛盾的情况下，我们的结果可能是第一个这样的，在这些应用程序中，我们通过讨论实际的例子和分析结果的影响来补充我们的研究等问题。
由 知道，Xs是最好的近似向量X,一个最多稀疏而非零项的向量。换句话说，X-XS是信号的尾部信号，有最小的n-S年代X的条目，特别的，如果X-Xs=0，作者在改进的工作中要改进这一点，博格和道，证实（L1）信号的恢复服从一个公式
只要等距遵循 当已知 的时候，常量在这个结果上得到了进一步的改善，简而言之，（L1）的恢复误差和测量误差和尾巴的信号成正比例，这意味着对于可压缩信号，那些系数服从幂率衰减，近似误差很小的完全稀疏信号完全消失了。
定义限制首次出现在[15]在那里产生错误绑定（1.3）所示的无声的设置当ε=0 z=0.。
定义1.1 对于一个m x n的测量矩阵，等距常数 是这样的一个最小的常数，它满足下面的方程 ，由于这样，底层条件是相当的自然，因为它是解释为防止稀疏信号传感矩阵的零空间。进一步的说，一个矩阵有一个小的限制等容常数基本上意味着每个子集或者更少列是一个正交系统，现在众所周知，许多类型的随机测量矩阵有小限制等容常量（16，32，37，6）。例如，矩阵与高斯和贝努利条目有小限制等容常数具有很高概率测量米数时的跋涉（n/s）。快速变化矩阵组成的随机选择离散傅立叶矩阵的行也有小限制等容量与米高概率（logn）4。
如果D是在一个正交基础上，那么这些条目是独立标准正态变量，但如果不是单一的那项相关的广告，并可能不再满足要求，采用传统的压缩感知的假设来判断。在[ 35 ]文献中得到的传感矩阵的形式ΦD∗在Φ满足的限制等距恢复结财产。在这种情况下采样矩阵必须依靠字典D而且该信号是稀疏的。我们寻找一个结果使传感矩阵其表征是独立于信号。可以肯定的是，我们不知道任何这样的文献中的结果当柱高度可能甚至完全相关时能保证良好的恢复性能。
这些和其他应用程序需要的结果当字典冗长和具有相关性的时候是适用的。这件事情，在文献中暴露了一个大的差距由于现有的压缩感知理论的缘故，只有适用时，词典才是是一个正交基，或当字典是极为不相关的（例如，[ 26,38,5 ]）。
图1.压缩传感过程及其领域。这在测量方法,信号和系数驻的领域中存在区别。
1.2.我们真的需要不连贯吗？
为了使分析更容易，我们假定D是一个紧密框架，当然这不是必要的。说到这，我们的结果不仅证明了压缩传感与字典是高度一致的，而且1-分析方法在此设置过程中得到了证明。
但是也认为 的分析问题可能在此设置中起作用。我们不知道有任何其他的结果。当然，其他的方法在词典中用的过多，如在字典第3854页中的不连贯，这样的矩阵符合标准的压缩感知结果。在35页中的方法需要传感矩阵依靠字典中的方法。这些不同存在于设置中，我们的词典中没有这样的属性。我们指出，结果认为，即使在字典D的连贯性是最大的，这意味着两列完全相关。最后，我们也注意到，在噪音水平中的依赖是最优的，并且绑定在尾部的错误是类似于先于先边界在非冗余的情况下，如（1.3）。
现在假设在压缩传感和稀疏信号的恢复领域中使测量矩阵具有不相关的列。为了正式化，我们定义连贯性矩阵M为
其中M j和Mk用来表示矩阵M的行和列 。如果μ很小，我们就称它是不连贯的。标准结果要求测量矩阵满足严格的不连贯特性[41，12]，即使是RIP强加于它之上。如果矩阵D的高度和宽度一致，那么一般矩阵AD也将与它一致。
我们的主要结果是提供对于(P1)非常准确的解决方案，其中D＊f的系数迅速降低。我们对于高斯情况的结果很低，虽然一般定理出现在1.5节。
定理1.2.是D是任意n×D的严格的框架，并且A是一个具有slog(d/s)次序的m×n阶高斯矩阵。然后f到(P1)的函数关系遵循下式：
对于一些C0和C1的数值常量，(D∗f)是在定理(1.2)中由最大的向量组D∗f组成的。
2010爱思唯尔有限公司保留所有版权
关键词：最小化 基础上的追求 限制等容属性能 冗余学科 分析
1、介绍Байду номын сангаас
在发现可以利用稀疏和压缩一般的可能性获得信号的基础上，压缩感知是一种新的数据采集理论，可以设计在非适合采样的情况下，把一个可压缩的信息中的信息凝结为少量的数据。简而言之，可靠、非适应数据采集和远少于传统上的测量认为是可能的，现在，压缩传感的应用是丰富的，范围从雷达的检测到引用，遥感的成像到纠错。
Gabor框架的回忆，对于一个固定的函数g和正时频参数A和B，第k列其中k是双指数K =（K1，K2））的Gabor框架给出了以下公式
雷达、声纳以及其他成像系统出现在许多工程应用中，其目标是在恢复脉冲序列如下
由于这些应用程序的时频结构，Gabor框架的广泛应用参考文献[ 30 ]。如果你希望恢复脉冲压缩的样品通过使用Gabor字典，标准的结果却是不适用的。
在继续研究之前，最好解决的方法法是给一些在冗余字典的应用实例，这是是至关重要的。
过采样DFT的离散傅里叶变换（DFT）矩阵是一个N×N正交矩阵的k列，通过给定
取值范围为t≥0，k≦n-1。这是稀疏的DFT信号只有那些是在DFT晶格频率正弦波叠加才会出现。在实践中，我们的课程很少遇到这样的信号。考虑到这一点，可以考虑的过采样DFT的采样频率是可以在更小的相等的间隔进行，或在小的时间间隔中是可变的。这导致一个完备的框架柱是可以高度相关。
曲波曲波框架提供了一个多尺度分解的图像，并具有的几何特征，将它们分开
从小波和图像。从概念上讲，它是一个在每个尺度的位置，和针形元素在细尺度[ 11 ]多方向多尺度金字塔Curvelet变换。变换得到它的名字，它是从事实上近似的曲线奇异的图像。该变换虽然具有许多特性一个标准正交基，但完备。用矩阵的形式，它是一个服从Parseval紧框架关系的矩阵
1.4.影响
正如我们提到的，在由定理1.2给出的错误噪音的依赖是最优的，所以我们只需要讨论如何在第二个任期会影响估计误差。当这种形式的结尾时，即 这个词当然会被忽略。因此，结果说明，对于任何字典，信号F使得 迅速衰减， 的分析大约可以从随机测量中获得重构使用。这正是在实践中，许多情况下，许多类的信号，作为前面所讨论的字典。作为一个方面的话，当 性能良好时，我们也可以保证信号 快速衰减（我们假设信号展开式f= DX），并且向量系数x是近稀疏的。为了说明为什么这是真的，假设D是一个紧框架，使得 。常用的量化稀疏是一个常态的准p范数，其中当 时有 （与单元2 - 范数稀疏信号具有较小的准p范数）。现在一个简单的计算表明，
||.||2表示标准欧几里德范数， 可能是常态， 可能是噪声的上界，（还有其他基于贪婪算法的压缩传感方法如正交匹配追踪算法迭代阈值，压缩采样匹配追求等）
定量一个具体的例子，从数据y上比较一个典型的导致压缩传感器重建的质量和一个可用的模型，如果一个人给我们如何去了解未知信号X的最完美的知识，定义——在组成X向量的这里面的最大的系数为 级 。
因此，压缩传感通过收集线性的测量的形式提出收购一个x∈Rn的信号，用 来表示，或者用Y=Ax+z lai 表示。
A是一个有一个或者几个数量级小于n（表明一些重要的欠采样）和z组成的一个误差项测量误差建模的mxn的传感矩阵。遥感非适应并不依赖于X，然而根据理论知道，如果X是稀疏信号，在合适的矩阵的条件下，通过凸规划，未知信号或者稀疏信号X是可能呗恢复的。我们只是找的了解决方案： 和 ||.||2表示标准欧几里德范数， 可能是常态， 可能是噪声的上界，（还有其他基于贪婪算法的压缩传感方法如正交匹配追踪算法迭代阈值，压缩采样匹配追求等）
在许多应用中的信号连接可能不在一个单一的标准正交基上，而是稀疏的在几个正交基上。例如，波和正弦的线性组合，将时使用的是一个串联的稀疏的坐标和傅立叶基地。一个也可以利用几何和逐点的方法，利用紧框架小波系数如曲波、组合的图像奇异性、brushlets。然而，由于这些级联基地列之间的相关性，目前的压缩传感技术仍然不适用。
我们让 {DK }表示D柱。虽然远离彼此非常不相关的列，柱接近彼此有很高的相关性。这样的结果在压缩感知中是不适用在Curvelet域表示的信号。
小波框架的非抽样小波变换（UWT）是一个小波变换实现平移不变性，并且那是在离散小波变换（DWT）中缺少[ 20]。UWT缺乏downsamplers和过采样器，在DWT中upsamples的滤波器系数的一个因素在2m（m−1）ST段水平–因此这是超完备的。同时，罗恩和沈的文献[ 36 ]促进小波紧框架结构的整体的扩展原理L2（Rd）可能比在正交多小波的情况下得出的。这种冗余的发现在图像处理中是有用的（例如，[ 39 ]），所以希望恢复结果允许显着的冗余和/或相关。
尽管有无数的申请感兴趣的信号是一些过完备的学科，但在考虑简单的情况下传感矩阵高斯（标准正态）条目，然后与矩阵相关的假设的几乎所有的观测数据的稀疏系数X都有独立行，但每一行都是从 采样得到的。如果D是一个标准的正交基，那么这些条目只是独立标准正态变量；但如果D不是一个单一相关条目，那么传统的压缩传感的的假设可能不再满足要求。
一句话就是说，如果格拉姆矩阵的列是相当稀疏以及如果f刚好有一疏扩张，然后帧系数序列 也稀疏。上面讨论的所有变换，即，盖博，曲波，小波架，过采样傅里叶变换都近似对角矩阵，因此，它是稀疏列。