等比数列前n项和的教案

等比数列前n项和教学设计
一、教学内容与任务分析
《等比数列的前n项和》的内容选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版数学必修五第二章第五节2.5等比数列前n项和，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系。

一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”，以及生活中如储蓄、分期付款的应用作准备。

二、学生者分析
学生是高中刚入学的学生，有一定的分析问题、解决问题的能力，已经学习了等比数列的概念及通项公式，学习了等差数列前n项和，对于公式推导归纳的过程有了一定的了解。

但等比数列前n项和的公式与等差数列有所差别，而学生的思维虽然活跃，但看问题可能不够严谨全面，公式中的一些注意点往往会被忽视。

三、教学重难点
重点：等比数列前n项和的推导及其简单应用。

难点：等比数列前n项和的推导，推导过程中错位相减的思想的掌握
四、教学目标
1. 知识与技能目标
（1）理解等比数列的前n项和公式的推导方法
（2）能说出等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题
2. 过程与方法目标
（1）通过公式的推导过程，提高建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力（2）体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想
3. 情感态度价值观目标
（1）经历对公式的探索，激发求知欲，大胆尝试、勇于探索、从中获得成功的体验
（2）体会数学的应用价值，理论联系实际的辩证思维
五、教学过程
一、创设情境
情境：话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了CEO ．可好景不长，便因资金周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入，于是就找孙悟空帮忙．悟空一口答应：“行！我每天投资100万元，连续一个月（30天），但是有一个条件是：作为回报，从投资的第一天起你必须返还给我1元，第二天返还2元，第三天返还4元……即后一天返还数为前一天的2倍．”八戒听了，心里打起了小算盘：“第一天：支出1元，收入100万；第二天：支出2元，收入100万，第三天：支出4元，收入100万元；……哇，发财了……” 心里越想越美……再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“这猴子老是欺负我，会不会又在耍我？”
师：假如你是高老庄集团企划部的高参，请你帮八戒分析一下，按照悟空的投资方式，30天后，八戒能吸纳多少投资？又该返还给悟空多少钱？
【学情预设】
学生对于情境有较强的兴趣，在讨论后会给出一些答案。

【设计意图】从市场经济入手，运用学生熟悉的人物编写故事，激发学生的学习热情，领悟数学应用价值。

二、探究问题
【师生活动】学生自主探究情境问题后，老师给出问题的正确解答。

并提问29323022221+++++= S 是什么数列，有怎样的特征，我们应该将它归结为什么问题。

【设计意图】通过对情境中所得的结果进行探究，为后面等比数列前n 项和公式的推出作铺垫。

三、类比联想
1. 【师生活动】共同探讨一般等比数列前n 项和：
?1321=+++++=-n n n a a a a a S 即?11212111=++++=--n n n q a q a q a q a a S
引导学生将式子两边都乘以公比q ，n n n q a q a q a q a q a S 11131211q ++++=- 提问：可得到的式子与之前的式子有怎样的共同点？为了得到n S 为多少，我们又该怎么做呢？
【设计意图】通过层层递进的问题链，引导学生体会错位相减方法的思想，归纳出等比数列前n 项和的公式。

方法1：错位相减法
⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n n n n n q a q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111
n n q a a S q 11)1(-=-∴
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=111)1(11q na q q
q a S n n
2.【师生活动】提问：同学们还有没有其他的解决方法，例如将公比q 提出来，从而引出对方法2：提取公比q 的探究
11212111--++++=n n n q a q a q a q a a S
）
（21111-+++=n q a q a a q a ）
（111--+=n n q a S q a n n q a a S q 11)1(-=-∴
3.【师生活动】老师提问：什么是等比定理？通过回顾等比定理，引出方法3：利用等比定理
=12a a =23a a =34a a q a a n n =-1 n
n n n n
a S a S q a a a a a a --==+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++-112132 q a a S q n n -=-1)1(
【设计意图】从特殊到一般，从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高。

通过学生个别学习，互相讨论，揭示知识的内在联系。

通过生生、师生间的探讨、合作，培养学生的洞察力。

增强学生思维的严谨性。

4.【师生活动】对于三种方法进行比较，并对公式中q ≠0进行强调，对原因进行探讨。

【设计意图】通过对注意点的原因自主探究，加深对公式的认知。

三、巩固提高
例1．求等比数列 ，8
1,41,21前8项的和是。

变式1：求等比数列 ，81,41,21前多少项的和是64
63。

变式2：求等比数列 ，8
1,41,21第5项到第10项的和。

变式3：等比数列 ，8
1,41,21，求前2n 项中所有偶数项的和。

【设计意图】通过变式教学题组，熟练公式运用，能对问题选择正确的解题公式，有利于提高思维的灵活性和梯度。

四、小结作业
对本节的内容进行自我小结。

【设计意图】帮助学生构建自己的知识体系形成知识网络。

必做题：课本P 70 习题2.5 B 组 2
选做题：画一个边长为2cm 的正方形, 再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形,依此类推,这样一共画了10个正方形, 求这10个正方形的面积的和。

【设计意图】布置分层作业，注重学生的个体差异，以使各个层次的学生都有所发展。