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比较《周髀算经》与阿利斯塔克《论日月的大小和距离》的公理化方法-精品资料

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【摘要】文章以公理化方法作为切入点，把《周髀算经》和《论日月的大小和距离》一东一西两大经典放在一起做个比较，讨论东西文明不同的偏好，进而得出历史上的公理体系其命运主要由预设的前提决定，只有前提被接受，公理体系演绎过程和结果才有资格进入人们的视野。

【关键词】周髀算经；阿利斯塔克；公理化方法

所谓公理化方法其自身发展迄今为止经历了四个时期：

时期1 公理化方法的创立前期（公元前600年以前）：以古巴比伦、埃及的一些原始运算法则和公式为代表。

时期2 实质性公理化方法时期（公元前600年—十七世纪）：以欧几里得的《几何原本》为标志。

时期3 形式公理化方法的创立时期（十八、十九世纪）：以非欧几何的创立为标志。

时期4 现代形式公理化方法（亦称理论系统）的开创时期（二十世纪以来）：以元数学理论的建立为标志。

本文所论及的对象《周髀算经》约成书于公元前100年左右①，《论日月的大小和距离》写于公元前三世纪，基本属于时期2，下文中提及“公理化方法”仅指实质性公理化方法，其具体内容结合研究对象详述。

一、公理化方法

按照科学哲学家J·洛西（Losee）的概括，构造一个公理化方法演绎体系有如下三要点：A.公理与定理有演绎关系；B.公理本身为不证自明之真理；C.定理与观察结果一致。

阿利斯塔克：由文章开头六个假设②，在欧几里得几何学基础上推出18倍地月距离<日地距离<20倍地月距离，之后由比例关系，将距离关系换成直径关系，求得 18<太阳直径/月球直径<20，19/3<太阳直径/月球直径<43/6，之后再由日地月都为球体，求出三者体积比。

周髀算经：则是以“天象盖笠，地法覆”，“极下者，其地高人所居……天之中央亦高四旁”为公理前提，以勾股定理为基础，在确定了影差原理的同时，陈子运用日高术求得太阳的高度为8万里。根据影差原理，知道了晷影的长度，即可直接获得观测点至南戴日下的水平距离。以日高8万里为股，以至南戴天日下距离为勾，依勾股定理，即可得到太阳至观测点的距离（距周地距离为10万里）。陈子给出推算“邪至日”算法的第一个应用，就是求太阳的直径。方法如下，先取一支长8尺，内径为一寸的空心竹竿，待晷影变化为6尺的时候，举竹仰望太阳，日面正好覆盖竹竿上端的圆孔。人目与竹径所构成的勾股形同人目与日径所构成的勾股形相似，因此，竿长/竹径=日去人/日径，得：

日径=日去人10万里*竹径1寸/竹长80寸=1250里

由于陈子推算的日地距离太小，因此与实际情况相差甚远。但是实际上可以依此推算太阳视角直径。设太阳视直径为ds，江晓原得出ds=42′59″，曲安京得出ds=42′58″，由于盖天模型日去人的距离总是在变化的，相应得太阳视角直径在夏至达到最大ds=52′40″，冬至最小ds=27′23″，这个结果与太阳平均角直径的实际值31′59″（用现代天文学方法测定）比较接近，与阿利斯塔克采用的dm=2°（由假设6得出月球视角直径为2°）相比，还是比较精确的。

以上是以测太阳大小为例，简单比较了二者的论证过程。因为……所以……因为……所以……，阿利斯塔克以严格的几何方法推得了日月离地球距离之比以及日、月、地大小之比，让人不得不承认其是公理化体系演绎的典范。相比而言《周髀算经》公理化方法的论证稍显牵强，不过按照上文中

J·洛西的三个要点也算符合。首先，按照江晓原的说法，“天地为平行平面”和“勾之损益寸千里”两者，正是公理和定理的关系（没有平行的基础也就不存在相似直角三角形了）。其次，尽管我们现在知道事实上天地并非平行平面，然而在当时的历史条件下却很可以把它当作是不证自明的公理。再者，即要满足“定理与观察结果一致”的要求。“勾之损益寸千里”是不是与事实相符呢？由于天地平行的前提并不符合实际，因此演绎出来的定理“千里一寸”也是和实际情况有很大出入的，然而在当时历史条件下，人们活动范围的狭窄和测量精度的问题，出入的差距是不大显现的，“千里一寸”这个比较粗陋的似乎是工匠干活守则的东西被广为接受，并且在实际生活中起到重大作用，在历史上沿用了很长时间。总体来说《周髀算经》构造的演绎体系在描述事实方面是不成功的，但这并不妨碍它在结构上确实是一个演绎体系。江晓原曾经专门就这个问题撰文表述，认为《周髀算经》是公理化方法在中国的唯一实践。

笔者在这一点上赞同江的观点，这也是把《周髀算经》与《论日月的大小和距离》放在一起进行公理化比较的基础。

二、东西偏好

从上文测日径的方法可以窥得《周髀算经》一些有意思的地方，陈子测日径，不以冬至，夏至晷影为准入算，而是特别要求“候勾六尺”，主要原因乃是由于此时南戴日下与日高及日去人三者恰构成一组理想的整勾股数（6，8，10），较之以冬至夏至晷影长度进行推算，省去麻烦的开方运算，更为简便。由于太阳作为一个实体，其日面直径是个常数，因此何时测量应该都是一样的，所以，当然是择简而舍繁。③尽管，陈子将望日时刻与窥管长度设定在具体数值上的做法，还是大有商榷的必要，刘徽和李淳风也其后分别对此提出了改进的意见，但是这种“凑”的做法，对“好数”、“巧数”的偏好，还是在《周髀算经》中明显地表现出来。比如天高8万里，宇

宙极限81万里，听起来就觉得好舒服，九九八十一，至阳至大啊！

反观《论日月的大小和距离》中的数字，以命题13为例：

月球运动时，月球明暗分界圆直径两端在地球阴影里走过了一段圆弧，该圆弧所对的弦小于月球直径的2倍，但同月球直径之比大于88比45；并且，它小于太阳直径的1/9，但同太阳直径之比大于22比225。它和通过太阳中心、垂直于锥面的轴且与锥面相交的线段之比大于979比10，125。

引文中数字使用了加粗，是想引起读者的注意，设想如果这是你中学考试最后一道题你的计算结果，请问你敢不敢往卷子上写，即使你验算了两遍没发现错误，是不是仍然忐忑不安，不敢相信？笔者有过亲身的感受（一次得到44/3的结果不敢相信，听到别人都得15，就怀疑自己，结果正确答案是44/3），也亲眼看到身边的同学分析调查数据时，为了得到美好的数字，不惜祛除“坏数”，结果当然是得到了经典的结论（所谓经典因为永不可能重复）。然而阿里斯塔克却把这些数字理直气壮地写下，被2000年后的我们验证。信心从哪里来？答案只能是依靠欧几里得的《几何原本》所确立的抽象演绎公理体系。欧几里得几何的创立，对人类的贡献不仅仅在于产生了一些有用的、美妙的定理，更主要的是它孕育出了一种理性精神。使得希腊人和以后的文明了解到理性的力量，从而增强了他们利用这种才能获得成功的信心。受这一成就的鼓舞，西方人把理性运用于其他领域。神学家、逻辑学家、哲学家、政治家和所有真理的追求者，都纷纷仿效欧几里得几何的形式和推演过程。当然为了进行这一演绎过程，首先需要有前提，如同亚里士多德指出的那样：

并不是所有的东西都能被证明，否则证明的过程就会永无止境。证明必须从某个地方起步，用以起步的这些东西是能得到认可的，但却不是不可证明的。这些就是所有科学的第一普遍的原理，被人们称之为公理，或常识。