精选最新版2020概率论与数理统计期末考试题库288题(含答案)

2020年概率论与数理统计期末测试复习题288题[含
答案]
一、选择题
1．设21,A A 两个随机事件相互独立，当21,A A 同时发生时，必有A 发生，则（ A ）。

A. )()(21A P A A P ≤
B. )()(21A P A A P ≥
C. )()(21A P A A P =
D.
)()()(21A P A P A P =
2．某厂加工一种零件，已知在正常的情况其长度服从正态分布
2
(,0.9)N μ，现从一批产品中抽测20个样本，测得样本标准差S=1.2。

问在显著水平0.1α=下，该批产品的标准差是否有显著差异？
22220.050.950.050.95((19)30.14, (19)10.12(20)31.41, (20)10.85)
χχχχ====已知：；
解：待检验的假设是
0:0.9
H σ= 选择统计量
2
2
(1)n S W σ-=
在
H 成立时
2~(19)W χ
220.050.95{(19)(19)}0.90
P W χχ>>=
取拒绝域w ={30.114,10.117W W ><}
由样本数据知 2
22
2(1)19 1.233.778
0.9n S W σ-⨯=
== 33.77830.114>
拒绝0
H ，即认为这批产品的标准差有显著差异。

3．设离散型随机变量的概率分布为101
)(+=
=k k X P ，3,2,1,0=k ，则)(X E ＝
（ B ）。

A. 1.8
B. 2
C. 2.2
D. 2.4
4．设)(x Φ为标准正态分布函数，
100,
,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，
发生事件且()0.4P A =，100
21X X X ，，， 相
互独立。

令
∑==100
1
i i
X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ
B.
Φ C.(40)y Φ- D.40()24y -Φ
5．一批螺丝钉中,随机抽取9个, 测得数据经计算如下：16.10, 2.10x cm s cm ==。

设螺丝钉的长度服从正态分布，试求该批螺丝钉长度方差2
σ的置信度为0.95的置信区间。

22220.0250.9750.0250.975((8)17.535, (8) 2.18(9)19.02, (9) 2.7)
χχχχ====已知：；
解：因为螺丝钉的长度服从正态分布，所以
2
22
(1)~(1)
n S W n χσ
-=
-
220.0250.975{(8)(8)}0.95
P W χχ≤≤=
2σ的置信区间为：()()22220.025
0.975(1)(1),11n S n S n n χχ⎛⎫
-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 2σ的置信度0.95的置信区间为
228 2.108 2.10,17.535 2.180⎛⎫
⨯⨯ ⎪⎝⎭ 即()2.012,16.183
6．随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=3(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的方差2
σ的置信度为0.95的置信区间。

22220.0250.9750.0250.975((8)17.535, (8) 2.18(9)19.02, (9) 2.7)
χχχχ====已知：；
因为炮口速度服从正态分布，所以
2
22
(1)~(1)
n S W n χσ
-=
-
220.0250.975{(8)(8)}0.95
P W χχ≤≤=
2σ的置信区间为：()()22220.025
0.975(1)(1),11n S n S n n χχ⎛⎫
-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 2σ的置信度0.95的置信区间为 8989,17.535 2.180⨯⨯⎛⎫
⎪⎝
⎭ 即()4.106,33.028
7．设随机变量
X ～N(μ
，81)，Y ～N(μ
，16)，记
}4{},9{21+≥=-≤=μμY p X P p ，则（ B ）。

A. p1<p2
B. p1＝p2
C. p1>p2
D. p1与p2的关系无法确定
8．设)(x Φ为标准正态分布函数，
100,
,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，发生事件且
()0.7P A =，10021X X X ，，， 相
互独立。

令
∑==100
1
i i
X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ
B.
Φ C.(70)y Φ- D.70()21y -Φ
9．设随机变量X 的密度函数为f (x)，则Y = 7 — 5X 的密度函数为（ B ）
1717
A. ()
B. ()55551717
C. ()
D. ()
5555y y f f y y f f ---
--++---
10．已知某味精厂袋装味精的重量X ～
2
(,)N μσ，其中μ=15，20.09σ=，技术革新后，改用新机器包装。

抽查9个样品，测定重量为（单位：克）
11．设)(x Φ为标准正态分布函数，
100,
,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，发生事件且
()0.7P A =，10021X X X ，，， 相
互独立。

令
∑==100
1
i i
X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ
B.
Φ C.(70)y Φ- D.70()
21y -Φ
12．若)()()(Y E X E XY E =，则（D ）。

A. X 和Y 相互独立
B. X 与Y 不相关
C. )()()(Y D X D XY D =
D.
)()()(Y D X D Y X D +=+
13．0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0
设零件长度X 服从正态分布N (μ,1)。

求μ的置信度为0.95的置信区间。

0.050.050.025((9)=2.262, (8)=2.306, 1.960 )
t t U =已知：
.解：由于零件的长度服从正态分布,
所以~(0,1)
x U N =
0.025{||}0.95P U u <=
所以μ
的置信区间为
0.025
0.025
(x u x u -+ 经计算
9
19
1
6
i
i x x
==
=∑
μ的置信度为0.95的置信区间为 11
33(6 1.96,6 1.96)-⨯+⨯ 即(5.347，6.653)
14．从某同类零件中抽取9件，测得其长度为（ 单位：mm ）：
15．已知随机变量X ～N （0，1），求随机变量Y ＝X 2的密度函数。

解：当y ≤0时，F Y (y)＝P (Y ≤y)＝P (X 2≤y)＝0； 当y>0时，F Y (y)＝P (Y ≤y)＝P (X 2≤y)＝
)(y X y P ≤≤-
＝
dx
e dx e x
y
x
y
y
2
/0
2
/2
2
21221---⎰
⎰
=π
π
因此，f Y (y)＝⎪⎩
⎪
⎨⎧≤>=-
0. 0,0, , 2)(2
/y y y e y F dy d y Y π
16．已知随机向量（X,Y ）的协差矩阵V 为
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=9664V 计算随机向量（X ＋Y , X －Y ）的协差矩阵（课本116页26题） 解：DX=4, DY=9, COV(X,Y)=6 D(X ＋Y)= DX + DY +2 COV(X,Y)=25 D(X-Y) = DX + DY -2 COV(X,Y)=1 COV （X ＋Y, X －Y ）=DX-DY=-5
故（X ＋Y, X －Y ）的协差矩阵
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--15525
17．已知连续型随机变量X 的密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它 ,0),0(
,2)(2
a x x
x f π
求（1）a ； （2）分布函数F (x)；（3）P (－0.5 < X < 0.5 )。

解
：
2
02(
1)
a
x
f x dx dx a ππ+∞
-∞===⎰⎰
222020 ()()0
2 0 ()()
()() 1 x
x
x
x
x F x f t dt t x x F x f t dt dt x F x f t dt πππ
π-∞
-∞-∞
<==≤<===≥==⎰⎰⎰⎰（）当时，当时，当时，22
0, 0
(), 0
1, x x
F x x x πππ<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩故
(3) P （-0.5<X<0.5）=F(0.5)—F(-0.5)=2
41
π
18．一个机床有1/3的时间加工零件A ，其余时间加工零件B 。

加工零件A 时停机的概率是0.3，加工零件A 时停机的概率是0.4。

求（1）该机床停机的概率；（2）若该机床已停机，求它是在加工零件A 时发 生停机的概率。

解：设
1
C ，
2
C ，表示机床在加工零件A 或B ，
D 表示机床停机。

（1）机床停机夫的概率为
1122()().(|)().(|)P B P C P D C P C P D A =+1211
0.30.43330=⨯+⨯=
（2）机床停机时正加工零件A 的概率为
1111
0.3
().(|)33(|) =
11()1130P C P D C P C D P D ⨯==
19．甲.乙.丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5：3：2，各机床所加工的零件合格率依次为94％，90％，95％。

现从加工好的整批零件中随机抽查一个，发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。

解 设
1
A ，
2
A ，
3
A 表示由甲乙丙三机床加工，
B 表示此产品为废品。

（2分）
则所求事件的概率为
111131
(|)()(|)
(|)
()
()(|)
i i i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ==
=∑＝1
0.06
320.50.060.30.100.20.057⨯=
⨯+⨯+⨯
答：此废品是甲机床加工概率为3/7。

20．已知连续型随即变量X 的概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤-=其它 ,01 ,1)(2
x x
c
x f
求（1）c ； （2）分布函数F (x)；（3） P (-0.5 < X < 0.5)。

解：1
111
(1) ()arcsin | 1
1/
f x dx c x c c ππ+∞
--∞
-=====⎰⎰
121 ()()0 1
11 ()()arcsin |
1
(arcsin 2
x
x
x
x
x F x f t dt x F x f t dt t x π
π
π
-∞--∞-<-==-≤<===
=
+
⎰
⎰⎰
（）当时，当时，)
1 ()() 1
0, 1
1 ()(arcsin ), 12x x F x f t dt x F x x x ππ
-∞
≥==<-=+≤<⎰
当时，故－ 1
1, 1
x ⎧⎪⎪
⎨⎪≥⎪⎩
(3) P （-0.5<X<0.5）=F(0.5)—F(-0.5)=1/3
21．对任意两个事件A 和B ， 若0)(=AB P ， 则（ D ）。

A. φ=AB
B. φ=B A
C. 0)()(=B P A P
D. )()(A P B A P =-
22．设)(x Φ为标准正态分布函数，
100,
,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则。

，发生；事件且()0.1P A =，10021X X X ，，， 相互独
立。

令
∑==100
1
i i
X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ
B.
10
(
)3y -Φ C.(310)y Φ+ D.(910)y Φ+
23．设随机变量X 在区间[1，2]上服从均匀分布，求Y=X
e
2的概率密度f(y)。

[答案：当42e y e ≤≤时，f(y)=y 21
，当y 在其他范围内取值时，f(y)=0.]
24．设对目标独立地发射400发炮弹，已知每一发炮弹地命中率等于0.2。

请用中心极限定
理计算命中60发到100发的概率。

（同步46页四.1）
解：设X 表示400发炮弹的命中颗数，则X 服从B(400,0.2),EX=80，DX=64, 由中心极限定理：X 服从正态分布N(80,64)
P{60<X<100}=P{-2.5<(X-80)/8<2.5}=2φ(2.5)－1＝0.9876
25
．
设
总
体
X
的
概
率
密
度
为
⎩⎨
⎧<<+=其他
,0
1
0,)1()(x x x f θθ
其中未知参数θ1->，n
X X X ,,21是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求
θ
的估
计量。

解：
设似然函数
)
,,2,1;10()1()(1
n i x x L i n
i i =<<+=∏=θθθ
对
此
式
取
对数，即：
∑=++=n
i i
x n L 1
ln )1ln()(ln θθθ且
∑=++=n
i i
x n
d L d 1
ln 1ln θθ
令,
0ln =θd L
d 可得
∑=-
-=n
i i
x
n
1
ln 1ˆθ，此即θ的极大似然估计量。

26．：σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间
3：求σ2置信度为1-α的置信区间
27．设随机事件A.B 互不相容，q B P p A P ==)( ,)(，则)(B A P ＝（ C ）。

A. q p )1(- B. pq
C. q
D.p
))1(,)
1((n
S n t X n S n t X -+--αα)
S )1n (,S )1n (()
1n (2
122
)
1n (2
22-----ααχ
χ
28．设xx x n 12,,, 是一组样本观测值，则其标准差是（
B ）。

A.
∑=--n
i i
x x n 1
2
)
(11 B.
∑=--n i i x x n 1
2
)(11 C. ∑=-n i i x x n 12)(1 D.
∑=-n
i i x x n 1
)(1
29．设)(x Φ为标准正态分布函数，100,
,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，发生事件且()0.3P A =，
100
21X X X ，，， 相互独立。

令
∑==100
1
i i
X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布
函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ
B.
Φ C.30()
21y -Φ D.(30)y Φ-
30．某切割机在正常工作时，切割得每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm ，标准差为0.15cm 。

今从一批产品中随机抽取16段进行测量，计算平均长度为
x =10.48cm 。

假设方差不变，问在0.05α=显著性水平下，该切割机工作是否正常? 0.050.050.025((16)=2.12, (15)=2.131, 1.960 )
t t U =已知：
解： 待检验的假设为
0:
H 10.5μ=
选择统计量
x U =
当0H 成立时， U ～
()
0,1N
0.025{||}0.05
P U u >= 取拒绝域w={|| 1.960U >}
由已知10.4810.58
0.533
0.1515
4
1.960
U U -=
=
==< 接受
H ，即认为切割机工作正
常。

31．设随机变量X 的概率密度为|
|)(x ce x f -=，则c ＝ 。

（A ）－21 （B ）0 （C ）21
（D ）1
32．设随机事件A 与B 互不相容，且0)()(>>B P A P ，则（ D ）。

Ａ. )(1)(B P A P -= B. )()()(B P A P AB P = Ｃ. 1)(=⋃B A P Ｄ.
1)(=AB P
33．某厂生产某种零件，在正常生产的条件下，这种零件的周长服从正态分布，均值为0.13厘米。

如果从某日生产的这种零件中任取9件测量后得x =0.146厘米，S =0.016厘米。

问该日生产的零件的平均轴长是否与往日一样？ （
0.050.050.0250.05, (9) 2.262, (8) 2.306, 1.96
t t u α====已知： ）
解： 待检验的假设为
0:
H 0.13μ=
选择统计量
x T =
当0H 成立时， T ～t(8)
0.05{||(8)}0.05
P T t >= 取拒绝域w={|| 2.306T >}
由已知
0.1460.13
30.016
32.306
T T -=
==> 拒绝
H ，即认为该生产的零件的平均轴长与往日有
显著差异。

34．某厂由甲.乙.丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9%, 12% 。

现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。

（同步45页三.1）
解：设A1，A2，A3分别表示产品由甲.乙.丙车间生产，B 表示产品不合格，则A1，A2，A3为一个完备事件组。

P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6, P(B| A1)＝0.08，P(B| A2)＝0.09，P(B| A3)＝0.12。

由全概率公式P(B) = P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 0.09 由贝叶斯公式：P(A1| B)＝P(A1B)/P(B) = 4/9
35．设随机向量（X ，Y ）联合密度为
f(x, y)=
⎩⎨
⎧≤≤≤.
,0; 10
,6其它y x x
（1） 求（X ，Y ）分别关于X 和Y 的边缘概率密度fX(x)，fY(y)； （2） 判断X ，Y 是否独立，并说明理由。

解：（1）当x<0或x>1时，fX (x)＝0； 当0≤x ≤1时，fX (x)＝
).
1(66),(1
x x xdy dy y x f x
-==⎰⎰
+∞
∞
-
因此，（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度fX (x)＝⎩⎨
⎧≤≤-.
,0,10 ,662其它x x x
当y<0或y>1时，fY (y)＝0； 当0≤y ≤1时，fY (y)＝
.
3|36),(2020
y x xdx dx y x f y
y
===⎰⎰
+∞
∞
-
因此，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度fY (y)＝⎩⎨
⎧≤≤.
,0,
10 ,32其它y y
（2）因为f (1/2, 1/2)＝3/2，而fX (1/2) fY (1/2)＝(3/2)*(3/4)＝9/8≠f (1/2, 1/2)， 所以，X 与Y 不独立。

36．已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨
⎧≤≤+=others x b ax x f 01
0)(
且E(X)=7/12。

求：（1）a , b ；（2）X 的分布函数F(x) （同步49页三.2）
37．设)(x Φ为标准正态分布函数，
,
,2, 1, 0A
,1n i X i =⎩⎨⎧=否则，发生事件且()P A p =，12n X X X ，，，相互独
立。

令
1n
i
i Y X ==∑，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ
B.
Φ C.()y np Φ- D.()(1)y np np p -Φ-
38．连续型随机变量X 的密度函数f (x)必满足条件（ C ）。

A. 0() 1
B.
C. () 1
D. lim ()1
x f x f x dx f x +∞-∞
→+∞
≤≤==⎰
在定义域内单调不减
39．设随机变量X, Y 相互独立，且均服从[0，1]上的均匀分布，则服从均匀分布的是（ B ）。

A. X Y
B. （X, Y ）
C. X — Y
D. X + Y
40．随机向量（X,Y ）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=21μμμ⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=22
2
12
12
1σσσρσ
σρσV
计算随机向量（9X ＋Y , X －Y ）的协差矩阵（课本116页33题） 解：E(9X+Y)= 9EX+ E Y ＝9μ1+μ2 E(X －Y)= EX －E Y ＝μ1－μ2
D(9X ＋Y)=81DX + DY +18 COV(X,Y)=81σ12＋18ρσ1σ2＋σ22 D(X －Y)= DX + DY －2 COV(X,Y)=σ12－2ρσ1σ2＋σ22
COV （9X ＋Y, X －Y ）=9DX-DY －8 COV(X,Y)= 9σ12－8ρσ1σ2－σ22 然后写出它们的矩阵形式（略）
41．某人外出可以乘坐飞机.火车.轮船.汽车四种交通工具，其概率分别为5％.15％.30％.50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％.70％.60％.90％。

求该人如期到达的概率。

解：设
1
A ，
2
A ，
3
A ，
4
A 分别表示乘坐飞机.火车.轮船.汽车四种交通工具，
B 表示如期到
达。

则
4
1
()()(|)
i i i P B P A P B A ==∑ 0.0510.150.70.30.60.50.90.785=⨯+⨯+⨯+⨯=
答：如期到达的概率为0.785。

四（1）设随机变量X 的概率密度函数为
, 01()0 Ax x f x ≤≤⎧=⎨
⎩，其它
求（1）A ； （2）X 的分布函数F (x)； （3） P (0.5 < X <2 )。

解： 1
21001 ()| 1
22
2 A A
f x dx Axdx x A +∞
-∞==
===⎰
⎰（）
2020 ()()0 01 ()()2
1 ()()x
x
x
x
x F x f t dt x F x f t dt tdt x x F x f t dt -∞-∞
-∞
<==≤<===≥==⎰
⎰⎰⎰
（）当时，当时，当时，1
22 1
0, 0
(), 0 1
1, 1tdt x F x x x x =<⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
⎰故
(3) P （1/2<X<2）=F(2)—F(1/2)=3/4
42．设)(x Φ为标准正态分布函数，100,
,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，发生事件且
()0.6P A =，10021X X X ，，， 相互独立。

令
∑==100
1
i i
X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布
函数)(y F 近似于（B ）。

A. )(y Φ
B.
Φ C.(60)y Φ- D.60()24y -Φ
43．6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.7
已知零件口径X 的标准差0.15σ=，求μ的置信度为0.95的置信区间。

0.050.050.025((9)=2.262, (8)=2.306, 1.960 )
t t U =已知：
解：由于零件的口径服从正态分布,
所以~(0,1)
x U N =
0.025{||}0.95P U u <=
所以μ
的置信区间为：
0.025
0.025
(x u x u -+ 经计算
9
1
9
1
14.9
i
i x x
==
=∑ μ
的置信度为0.95的置信区间为
0.150.15
33(14.9 1.96,14.9 1.96)
-⨯+⨯ 即
(14.802 ,14.998)
44．已知连续型随机变量X 的分布函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<≤=1 ,11
0 ,0
,0)(x x x A x x F
求（1）A ； （2）密度函数f (x)；（3）P (0< X< 0.25 )。

解
：
1
(1)
x F x A A →==
=
2
0, x f x F x <<'==⎩
（）
其他
(3) P （0<X<0.25）=1/2
45．6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 14.8 15.0 14.7
若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径μ的置信度为0.95的置信区间。

0.050.050.025((9)=2.262, (8)=2.306, 1.960 )
t t U =已知：
解：由于滚珠的直径
X 服从正态分布,所
以
~(0,1)x U N =
0.025{||}0.95
P U u <=
所以μ
的置信区间为：
0.025
0.025
(x u x u -+ 经计算
9
19
1
14.911
i
i x x
==
=∑
μ的置信度为0.95的置信区间为
(14.911 1.96 1.96-+ 即(14.765，15.057)
46．某车间生产滚珠，其直径X ～N (μ, 0.05)，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单位：毫米 ）：
47．若事件3
21,,A A A 两两独立，则下列结论成立的是（ B ）。

A. 3
21,,A A A 相互独立
B.
3
21,,A A A 两两独立
C.
)()()()(321321A P A P A P A A A P =
D.
3
21,,A A A 相互独立
48．已知连续型随机变量X 的分布函数为
⎪⎩⎪
⎨⎧≤>-=2 ,02 ,1)(2
x x x A x F
求（1）A ； （2）密度函数f (x)；（3）P (0 ≤ X ≤ 4 )。

.解：2
(1) lim ()1/40 4 x F x A A →=-==328
, 2 () () 0, 2x f x F x x x ⎧>⎪'==⎨⎪≤⎩（）
(3) P （0<X<4）=3/4
49．7 15.1 14.8 15.0 15.3 14.9 15.2 14.6 15.1
已知方差不变。

问在0.05α=显著性水平下，新机器包装的平均重量是否仍为15？
0.050.050.025((15)=2.131, (14)=2.145, 1.960 )
t t U =已知：
解：待检验的假设是
0:15
H μ= 选择统计量
X U =
在0H 成立时
~(0,1)U N
0.025{||}0.05
P U u >= 取拒绝域w={|| 1.960U >}
经计算 9
19
1
14.967
i i x x ==
=∑
14.96715
0.33
0.3/3U -=
== 1.960U <
接受0
H ，即可以认为袋装的平均重量仍为15克。

50．某人外出可以乘坐飞机.火车.轮船.汽车四种交通工具，其概率分别为5％.15％.30％.50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％.70％.60％.90％。

已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。

（10分） 解：设
1
A ，
2
A ，
3
A ，
4
A 分别表示乘坐飞机.火车.轮船.汽车四种交通工具，
B 表示误期到
达。

则
222241
(|)()(|)
(|)
()
()(|)
i i i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ==
=∑＝
0.150.3
0.209
0.0500.150.30.30.40.50.1⨯=⨯+⨯+⨯+⨯
答：此人乘坐火车的概率为0.209。

51．设随机向量（X ，Y ）联合密度为
f (x, y)= ⎩⎨
⎧>>+-.
,0;
0,0 ,)43(其它y x Ae y x
（1） 求系数A ；
（2） 判断X ，Y 是否独立，并说明理由；
（3） 求P{ 0≤X ≤1，0≤Y ≤1}。

解：（1）由1＝dy
e dx e
A dxdy e
A dxdy y x f y x
y x ⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰
+∞
-+∞
-+-+∞
+∞
+∞∞-+∞∞
-⋅==0
40
3)
43(0
),(
＝
,
12)4
1
)(31(0
40
3A e e A y
x
=
--+∞
-+∞
- 可得A ＝12。

（2）因（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘概率密度分别为
fX (x)＝⎩⎨⎧>-.
,0;
0 ,33其它x e x 和 fY (y)＝ ⎩⎨
⎧>-. ,0; 0 ,44其它y e y ，
则对于任意的
,),(2
R y x ∈ 均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y)，所以X 与Y 独立。

（3）P{ 0≤X ≤1，0≤Y ≤1}＝dy e dx e dxdy e y
x y x ⎰
⎰⎰
⎰+∞
-+∞-+-⋅=0
40
3)43(101
4312
＝).
1)(1())((431
41
3------=--e e e
e
y x
52．设随机变量X 的密度函数为f (x)，则Y = 5 — 2X 的密度函数为（ B ）
1515
A. ()
B. ()22221515
C. ()
D. ()
2222y y f f y y f f ---
--++---
53．设A ，B 是两个随机事件，则下列等式中（ C ）是不正确的。

A. )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 相互独立
B. )()()(B A P B P AB P =，其中
0)(≠B P
C. )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容
D. )()()(A B P A P AB P =，其中
0)(≠A P
54．设)(x Φ为标准正态分布函数，
100,
,2, 1, 0A ,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，发生事件且
()0.4P A =，10021X X X ，，， 相
互独立。

令
∑==100
1
i i
X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ
B.
Φ C.(40)y Φ- D.40()
24y -Φ
55．设随机事件A 与B 互不相容，且0)()(>>B P A P ，则（ D ）。

Ａ. )(1)(B P A P -= B. )()()(B P A P AB P = Ｃ. 1)(=⋃B A P Ｄ.
1)(=AB P
56．若随机向量（Y X ,）服从二维正态分布，则①Y X ,一定相互独立； ② 若
0=XY ρ，则Y X ,一定相互独立；③X 和Y 都服从一维正态分布；④若Y X ,相互独
立，则
Cov (X, Y ) =0。

几种说法中正确的是（ B ）。

A. ① ② ③
④
B. ② ③ ④
C. ① ③
④
D. ① ② ④
57．设21,X X 是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为)(1x f 和
)(2x f ，分布函数分别为)(1x F 和)(2x F ，则（ B ）。

A. )()(21x f x f +必为密度函数
B. )()(21x F x F ⋅必为分布函数
C. )()(21x F x F +必为分布函数
D. )()(21x f x f ⋅必为密度函数
58．已知随机向量（X ，Y ）的协方差矩阵V 为9 22 1⎛⎫ ⎪⎝
⎭ 求随机向量（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+1+2*2=14 D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+1-2*2=6
Cov(X+Y , X-Y)= DX-DY =9-1=8
21
46
*148)
()(),(,=
=
-+-+=
-+Y X D Y X D Y X Y X Cov Y X Y X ρ
所以，（X ＋Y ， X —Y ）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 14 88 6⎛⎫ ⎪⎝
⎭ 和
⎛
⎪
⎪⎭
59．若随机向量（Y X ,）服从二维正态分布，则①Y X ,一定相互独立； ② 若
0=XY ρ，则Y X ,一定相互独立；③X 和Y 都服从一维正态分布；④若Y X ,相互独
立，则
Cov (X, Y ) =0。

几种说法中正确的是（ B ）。

A. ① ② ③
④
B. ② ③ ④
C. ① ③
④
D. ① ② ④
60．设)(x Φ为标准正态分布函数，100,
,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，发生事件且()0.3P A =，10021X X X ，，， 相互独立。

令
∑==100
1
i i
X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布
函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ
B.
Φ C.30()21y -Φ D.(30)y Φ-
61．掷一颗骰子600次，求“一点” 出现次数的均值为 。

（A ）50 （B ）100 （C ）120 （D ）150
62．有γ个球，随机地放在n 个盒子中（γ≤n ），则某指定的γ个盒子中各有一球的概率为 。

（A ）γ
γn !
（B ）
γγn C
r n
!
（C ）n
n γ
!
(D)
n
n
n C γ
γ!
63．已知A.B.C 为三个随机事件，则A.B.C 不都发生的事件为（A ）。

A. C B A
B. ABC
C. A+B+C
D. ABC
64．某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为43，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（ C ）。

A. 343）（
B. 41432⨯）（
C. 43412⨯）（
D. 2
24
41C ）（
65．设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计
算如下：
43.18,67.1622
==s x 。

求该校女生平均身高的95％的置信区间。

解：
)
1(~--=
n t n
S
u X T ,由样本数据得
05.0,43.18,67.162,102
====αs x n 查表得：t0.05(?)=2.2622,故平均身高的95％的置信区间为
)
74.165,60.159())
9(,)
9((05.005.0=+-n
s t x n
s t x
66．袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，一箱内装100袋，求一箱食盐净重超过50250克的概率。

（课本117页41题）
67．设某厂生产的一种钢索, 其断裂强度X kg/cm2服从正态分布)40,(2μN . 从中选取一个
容量为9的样本, 得780=X kg/cm2. 能否据此认为这批钢索的断裂强度为800 kg/cm2 (05.0=α). 解： H0：u=800.
采用统计量U=
n u X σ
-
其中σ=40, u0=800, n=9,
05.0=α，查标准正态分布表得
2
α
U =1.96
|U |=5
.1|940
800
780|
=-,
| U |<
2
α
U , 应接受原假设,即可以认为这批钢索的断裂强度为800kg/cm2.
68．两个独立随机变量Y X ,，则下列不成立的是（ C ）。

A.
EXEY EXY = B. EY EX Y X E +=+)(
C.
DXDY DXY = D.
DY DX Y X D +=+)(
69．设)(x Φ为标准正态分布函数，
100,
,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则；，发生；事件且8.0)(=A P ，10021X X X ，，， 相
互独立。

令
∑==100
1
i i
X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ
B.
)480
(
-Φy C.)8016(+Φy D.)804(+Φy
70．其平均寿命为1070小时，样本标准差109S =小时。

问在0.05α=显著性水平下，检测灯泡的平均寿命有无显著变化？
0.050.050.025((9)=2.262, (8)=2.306, 1.960 )
t t U =已知：
解： 待检验的假设为
0:
H 1120μ=
选择统计量
x T =
当0H 成立时， T ～t(8) 0.05{||(8)}0.05P T t >=
取拒绝域w={|| 2.306T >} 由已知
10701120
1.376109
32.306
T T -=
==< 接受
H ，即认为检测灯泡的平均寿命无显著变
化。

71．某手表厂生产的男表表壳在正常情况下，其直径(单位:mm)服从正态分布N(20, 1)。

在某天的生产过程中，随机抽查4只表壳，测得直径分别为: 19.5 19.8 20.0 20.5. 问在0.05α=显著性水平下，这天生产的表壳的均值是否正常?
0.050.050.025((4)=2.776, (3)=3.182, 1.960 )
t t U =已知：
解： 待检验的假设为
0:
H 20μ=
选择统计量
x U =
当0H 成立时， U ～
()
0,1N
0.025{||}0.05
P U u >=
取拒绝域w={|| 1.960U >} 经计算 4
1119.95
4i i x x ==∑= 19.9520
0.1121.960U U -=
=<
接受0
H ，即认为表壳的均值正常。

72．已知某种材料的抗压强度
)
,(~2σμN X , 现随机地抽取10个试件进行抗压试验, 测得数
据如下: 482, 493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469.
(1)求平均抗压强度μ的点估计值;
(2)求平均抗压强度μ的95%的置信区间;
(3)若已知σ=30, 求平均抗压强度μ的95%的置信区间; (4)求2
σ的点估计值; (5)求2σ的95%的置信区间;
解: (1)5.457ˆ==X u
0 (2)
因为
~(1)X T t n =
-, 故参数μ的置信度为0.95的置信区间是:
)}
1(),1({2
2
-+
--
n t n
S X n t n
S X αα, 经计算457.50x =,s = 35.276, n =10,
查自由度为9的分位数表得,
0.05(9) 2.262
t =,故
{(1),(1)}X n X n αα-+-=
}262.21022.3550.457,262.21022.3550.457{⨯+⨯-={432.30, 482.70}
(3) 若已知σ=30, 则平均抗压强度μ的95%的置信区间为:
2
2
{,}X u X u αα+
=
}
96.110
3050.457,96.110
3050.457{⨯+
⨯-
={438.90,476.09}
(4) 2
ˆσ
=S2=1 240.28 (5) 因为
)
1(~)1(22
2
--n S n χσ,所以2
σ的95%的置信区间为:
}
)
1()1(,
)1()1({
2
12
2
2
2
2
-----n S n n S n ααχχ,
其中S2=1
240.28,
70
.2)9()1(,023.19)9()1(2975.0212025.022
2
==-==--χχχχααn n ,
所
以
}
)
1()1(,
)1()1({
2
12
2
2
2
2
-----n S n n S n ααχχ=}
70.228
.24019,023.1928.24019{
⨯⨯ ={586.79,4134.27}
=
73．已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X 服从正态分布，其方差为0.03。

在某段时间抽测了10炉铁水，测得铁水含碳量的样本方差为0.0375。

试问在显著水平
0.05α=下，这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异?
22220.0250.9750.0250.975((10)20.48, (10) 3.25, (9)19.02, (9) 2.7)
χχχχ====已知：
解：待检验的假设是 20:0.03
H σ= 选择统计量
2
2
(1)n S W σ-=
在
H 成立时
2~(9)W χ
220.0250.975{(9)(9)}0.95
P W χχ>>=
取拒绝域w ={19.023, 2.700W W ><}
由样本数据知
2
2
(1)90.0375
11.25
0.03n S W σ-⨯=
=
=
19.02311.25 2.700>>
接受0
H ，即可相信这批铁水的含碳量与正常情况下的方差无显著差异。

74．市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍，第二.三两厂家相等，而且第一.二.三厂家的次品率依次为2％，2％，4％ 。

若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？（同步49页三.1） 【 0.4 】
75．某厂生产铜丝，生产一向稳定。

现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力，测后经
计算：
5
.160)(,5.2872
10
1
=-=∑=i i X X X 。

假定铜丝折断力服从正态分布，问是否可相
信该厂生产的铜丝的折断力方差为16？（α＝0.1） （同步46页四.2）【是】
76．已知连续型随机变量X 的分布函数为
⎪⎩⎪⎨
⎧
>+=-其它 ,00 ,)(22
x Be A x F x
求（1）A ，B ； （2）密度函数f (x)；（3）P (1<X<2 )。

解：0
(1) lim () 1
lim ()0 1 x x F x A F x A B B +
→+∞
→===+==-
2
/22, 0
() ()
0, 0x xe x f x F x x -⎧>⎪'==⎨≤⎪⎩（）
(3) P （1<X<2）=F(2)—F(1)=22
/1---e e
77．从水平锻造机的一大批产品随机地抽取20件，测得其尺寸 的平均值32.58x =，样本
方差20.097S =。

假定该产品的尺寸X 服从正态分布
2(,)N μσ,其中2σ与μ均未知。

求2σ的置信度为0.95的置信区间。

22220.0250.9750.0250.975((20)34.17, (20)9.591(19)32.852, (19)8.907)
χχχχ====已知：；解：由于该产品的尺寸服从正态分布，所以
2
22
(1)~(1)
n S W n χσ-=
-
220.0250.975{(19)(19)}0.95
P W χχ≤≤=
2
σ的置信区间为：()()22220.025
0.975(1)(1),11n S n S n n χχ⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 2
σ的置信度0.95的置信区间为 190.097190.097,32.852
8.907⨯⨯⎛⎫
⎪⎝⎭ 即()0.056,0.207
78．设总体
X
的概率密度为
)
0,0(,0,00,)(1>>⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--a x x e ax x f a
x a λλλ
据来自总体X 的简单随机样本)
,,,(21n X X X ，求未知参数λ的最大似然估计量。

（同
步
39
页
三
.3
）
解：由
⎪⎩⎪⎨
⎧≤>=--0,00
,)(~1x x e ax x f X a
x a λλ
得
总
体
X
的
样
本
)
,,,(21n X X X 的
似然函数
∑∑∑=-=-=--==n
i a i n
i a
i n
x n
i a i
n x x a e
ax
x x x L a
i 1
1
1
1
121]ex p[)(),,,,(λλλλλ 再
取
对
数
得
：
∑∑==-+-=n
i i n
i a
i x a x a n L 1
1
)
ln()1()ln(ln λλ
再
求
L
ln 对
λ
的导
数
：
∑=-=n i a
i
x a an d L d 1
ln λλ
令
0ln 1
=-=∑=n i a
i x a an d L d λλ，
得
∑==
n
i a i
x
n
1
λ
所以未知参数λ的最大似然估计量为
∑=n
i a i
x
n
1。

79．设总体
)2,(~2μN X ，其中μ未知，n X X X ,,,21 为来自总体的样本，样本均值为X ，样本方差为2
s ， 则下列各式中不是统计量的是（ C ）。

A. X 2
B. 2
2
σ
s
C.
σμ
-X
D.
2
2
)1(σs n -
80．),(Y X 是二维随机向量，与0),(=Y X Cov 不等价的是（ D ）
A. )()()(Y E X E XY E =
B. )()()(Y D X D Y X D +=+
C. )()()(Y D X D Y X D +=-
D. X 和Y 相互独立
81．设)(x Φ为标准正态分布函数，100,
,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，发生事件且
()0.9P A =，10021X X X ，，， 相互独立。

令
∑==100
1
i i
X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布
函数)(y F 近似于（ B ）。

A. )(y Φ B.
90(
)3y -Φ C.(90)y Φ- D.90()
9y -Φ
82．两个独立随机变量Y X ,，则下列不成立的是（ C ）。

A.
EXEY EXY = B. EY EX Y X E +=+)(
C.
DXDY DXY = D.
DY DX Y X D +=+)(
83．设随机向量（X ，Y ）联合密度为
f(x, y)= ⎩⎨
⎧>>+-.
,0; 0,0 ,)32(其它y x Ae y x
（1） 求系数A ；
（2） 判断X ，Y 是否独立，并说明理由；
（3） 求P{ 0≤X ≤2，0≤Y ≤1}。

解：（1）由1＝
dy
e dx e A dxdy e A dxdy y x
f y x y x ⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰
+∞
-+∞
-+-+∞
+∞
+∞∞-+∞
∞
-⋅==0
30
2)32(0
),(＝
,6)3
1)(2
1(0
30
2A e e A y
x
=
--+∞
-+∞
-
可得A ＝6。

（2）因（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘概率密度分别为
fX (x)＝⎩⎨
⎧>-.
,0; 0 ,22其它x e x 和 fY (y)＝ ⎩⎨⎧>-. ,0;
0 ,33其它y e y ，
则对于任意的
,),(2
R y x ∈ 均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y)，所以X 与Y 独立。

（3）P{ 0≤X ≤2，0≤Y ≤1}＝dy
e dx e
dxdy e
y x
y x ⎰⎰⎰⎰
--+-⋅=1
32
2)
32(20
1
326
＝).
1)(1())((341
32
2------=--e e e e y x
84．设总体
)2,(~2
μN X ，其中μ未知，n X X X ,,,21 为来自总体的样本，样本均值为X ，样本方差为2
s ， 则下列各式中不是统计量的是（ C ）。

A. X 2
B. 2
2
σ
s
C.
σμ
-X
D.
2
2
)1(σs n -
85．已知某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112),现在测定了9炉铁水，含碳量平均数445.4=x ，样本方差
S 2＝0.0169。

若总体方差没有变化，即σ2＝0.121，
问总体均值μ有无显著变化？（α＝0.05）（同步50页四.1）
解：原假设H0：μ＝4.55
统计量
9/11.055
.4-=
x U ，当H0成立时，U 服从N （0，1）
对于α＝0.05，U0.025=1.96
96
.186.29/11.055.4445.4>=-=U
故拒绝原假设，即认为总体均值μ有显著变化
86．将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）。

A. 2242
B. 241
2C C C. 24!2P D. !4!
2
87．设总体X 在),(ρμρμ+-上服从均匀分布，则参数μ的矩估计量为 。

（A ）x 1
（B ）∑=-n i i X n 111 （C ）∑
=-n i i X n 1211 （D ）x
88．甲.乙.丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%.35%.40%，次品率分别为0.03.0.02.0.01。

现从所有的产品中抽取一个产品，试求（1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？ 解：设
1
A ，
2
A ，
3
A 表示甲乙丙三车间加工的产品，
B 表示此产品是次品。

（1）所求事件的概率为
112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.030.350.020.40.010.0185=⨯+⨯+⨯=
（2）221()(|)0.350.02
(|) = 0.38
()0.0185P A P B A P A B P B ⨯=
≈
答：这件产品是次品的 概率为0.0185，若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率
为0.38。

89．设总体X 的数学期望EX ＝μ，方差DX ＝σ2，X1，X2，X3，X4是来自总体X 的简
单随机样本，则下列μ的估计量中最有效的是（ D ）
123312312341234
1111111A.
B. 663333334111111
C.
D. 55554444X X X X X X X X X X X X X X X ++++++--+++
90．设21,A A 两个随机事件相互独立，当21,A A 同时发生时，必有A 发生，则（ A ）。

A. )()(21A P A A P ≤ B. )()(21A P A A P ≥
C. )()(21A P A A P =
D.
)()()(21A P A P A P =
91．设总体X 的数学期望EX ＝μ，方差DX ＝σ2，X1，X2，X3是来自总体X 的简单随机样本，则下列μ的估计量中最有效的是（ B ）
123123123123
111111A.
B. 424333342121
C.
D. 555662X X X X X X X X X X X X +++++-++
92．市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的两倍，第二.第三厂家相等，且第一.第二.第三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。

若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率为多少？ 解 设
i
A 表示产品由第i 家厂家提供，i=1, 2, 3；
B 表示此产品为次品。

则所求事件的概率为
1111112233(|)()(|)
(|)
()()(|)()(|)()(|)
P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A =
=++＝
1
0.0220.4
111
0.020.020.04244⨯=⨯+⨯+⨯
答：该件商品是第一产家生产的概率为0.4。

93．设A .B 为两个随机事件，且1)(0<<A P ，1)(0<<B P ， )|()|(A B P A B P =， 则必有（ B ）。

A. )|()|(B A P B A P =
B.
)
()()(B P A P AB P = C.
)()()(B P A P AB P ≠
D. A .B 互不相容
94．设)(x Φ为标准正态分布函数，100,
,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，发生事件且
()0.6P A =，10021X X X ，，， 相互独立。

令
∑==100
1
i i
X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布
函数)(y F 近似于（B ）。

A. )(y Φ
B.
Φ C.(60)y Φ- D.60()24y -Φ
二、填空题
95．若随机变量X ～N (0，4)，Y ～N (－1，5)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝X ＋Y －3，则Z ～ N (－4，9) 。

96．称统计量θθ为参数ˆ的 无偏 估计量，如果
)(θ E =θ。

97．设
)(~),1,0(~2
n x Y N X ，且X ，Y 相互独立，则~
n Y X
t (n)
98．某人投篮，每次命中率为0.7，现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是
1
4453.07.0⨯⨯C 。

99．袋中有大小相同的黑球7只，白球3只，每次从中任取一只，有放回抽取，记首次抽到黑球时抽取的次数为X ，则P {X ＝10}＝ 0.39*0.7 。

100．设随机变量X 的概率密度函数
1
22
1
)(-+-=
x x
e x
f π
，则
)(X D =21。

101．设X 是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则=)(X D 2.4 。

102．设随机变量T 服从自由度为n 的t 分布，若
{}α
λ=>T P ，则{}=
<λT P 21a
-。

103．称统计量θθ为参数ˆ的无偏估计量，如果
)(θ
E =θ 。

104．设随机变量X ～N (2，9)，且P{ X ≥ a }= P{ X ≤ a }，则a ＝ 2 。

105．已知随机向量(X, Y)的联合分布密度⎩⎨
⎧≤≤≤≤=其它01
0,104),(y x xy y x f ，则EY=
2/3 。

106．随机变量X 与Y 相互独立且同分布，
21
)1()1(=
-==-=Y P X P ，
21
)1()1(=
===Y P X P ，则()0.5P X Y ==。

107．已知总体
n
X X X N X ,,,),,(~212 σμ是来自总体X 的样本，要检验
2
2σσ=：o H ，则采用的统计量是20
2
)1(σS n -。

108．已知P (A)=0.8，P (A －B)=0.5，且A 与B 独立，则P (B) ＝ 3/8 。

109．设随机变量X 服从[1，5]上的均匀分布，则{}=≤≤42X P 1/2 。

110．在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为6437
，则每次射击击中目标
的概率为 1/4 。

111．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度)(y f Y 为
)2(21y f X -。

112．设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2
)]([)
(X E X D 1/3 。

113．设随机变量X 服从以n, p 为参数的二项分布，且EX=15，DX=10，则n= 45 。

114．已知总体X ~ N (0, 1)，设X1，X2，…，Xn 是来自总体X 的简单随机样本，则
∑=n
i i
X
1
2
~)(2n x 。

115．设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则{}=
<2X P
0.6247 。

116．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.7，P(A －B)=0.3，则=⋃)(B A P 0.6 。

117．设随机变量X ～N (1/2，2)，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中“2/1≤X ”出现的次数，则}2{=Y P = 3/8 。

118．若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。

119．已知P(A)=P(B)=P(C)=25.0，P(AC)=0，P(AB)=P(BC)=15.0，则 A.B.C 中至少有一个发生的概率为 0.45 。

120．若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。

121．设X 是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则=)(X D 2.4 。

122．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，且每次命中率为0.4，则
2EX =_18.4__。

123．设
)(~),1,0(~2
n x Y N X ，且X ，Y 相互独立，则~
n Y X
t (n)
124．设X1,X2,…,Xn 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n
x x x ,...,,21是一组观
察值，则θ的极大似然估计量为( X(n) ).
125．已知随机变量X ～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ).
126．设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ） ，D （2Y-X+1）=（ 17 ）.
127．称统计量θθ为参数ˆ
的无偏估计量，如果)(θ
E = θ
128．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且{}{}423===X P X P ，则λ= 6 。

129．利用正态分布的结论，有
⎰
∞
+∞
---=
+-dx e x x x 2
)2(22
)44(21
π
1 。

130．若随机变量X ～N (0，4)，Y ～N (－1，5)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝X ＋Y －3，则Z ～ N (－4，9) 。

131．已知随机变量X 服从[0, 2]上的均匀分布，则D (X)= 1/3 。

132．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.6, P(AB)= P(B A ), 则P(B)= 0.4 。

133．四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为61,
31,41,51，则密码能被
译出的概率是 11/24 。

134．设随机变量X 与Y 相互独立，且5.05
.011P X
-，5.05.01
1P Y -，则P(X =Y)=_
0.5_。

135．随机变量X 与Y 相互独立且同分布，
21)1()1(=
-==-=Y P X P ，
21
)1()1(=
===Y P X P ，则()0.5P X Y ==。

136．设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX>0都存在，令DX
EX X Y /
)(-=，则
DY= 1 。

137．设随机变量X ～N (1，4)，则{}
2>X P ＝ 0.3753 。

（已知Φ(0.5)=0.6915，
Φ(1.5)=0.9332）
138．设随机变量X 的概率密度是：
⎩⎨
⎧<<=其他
103)(2
x x x f ，且{}784
.0=≥αX
P ，则α=0.6 。

139．设T 服从自由度为n 的t 分布，若{}αλ=>T P ，则{}=-<λT P 2a。