二项式展开定理
二项式定理中的二项式展开问题如何展开xyn中的二项式
二项式定理中的二项式展开问题如何展开xyn中的二项式二项式定理是高中数学中的重要内容之一，它描述了任何一个二项式的展开形式。
在这篇文章中，我将介绍如何展开形如xyn的二项式，并提供具体的计算步骤和示例。
二项式定理是由数学家牛顿提出的，它的一般形式可以表示为：(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2) b^2 + ...+ C(n,r)a^(n-r) b^r + ... + C(n,n)a^0 b^n其中，a和b是实数，n是非负整数，C(n,r)表示组合数，计算公式为C(n,r) = n! / (r!(n-r)!).现在，我们的目标是展开形如xyn的二项式。
首先，我们可以把xyn表达为(x+y)^n的形式，其中a=x，b=y。
根据二项式定理，我们可以得到展开公式：(x+y)^n = C(n,0)x^n y^0 + C(n,1)x^(n-1) y^1 + C(n,2)x^(n-2) y^2 + ... + C(n,r)x^(n-r) y^r + ... + C(n,n)x^0 y^n然而，这仍然不是我们想要的形式。
我们希望展开结果中只包含x和y的幂次，而不带组合数C(n,r)。
为了达到这个目的，我们需要引入组合恒等式：C(n,r) = C(n,r-1) * (n-r+1) / r利用这个恒等式，我们可以对展开公式中的组合数进行简化，得到：(x+y)^n = x^n + C(n,1)x^(n-1) y + C(n,2)x^(n-2) y^2 + ... + C(n,r)x^(n-r) y^r + ... + C(n,n)y^n现在，我们已经成功地将xyn展开为了一系列含有x和y的幂次的项。
下面，我将以具体的示例来说明展开过程。
假设我们要展开的二项式是(x+y)^4，根据上面的公式，展开式为：(x+y)^4 = x^4 + 4x^3 y + 6x^2 y^2 + 4xy^3 + y^4展开过程中，我们通过计算并应用组合恒等式，逐项得到展开式中各项的系数。
二项式定理通项公式
例3：计算0.99710 的近似值。精确到0.001
解：0.99710 1 0.00310
c100 110 c110 19 0.003 c120 18 0.003 2
根据精确度的要求，从第三项起的各项都可以省去，所以
0.997 10 110 0.003 45 1 0.000009
a b0 1
a b1 1 1
a b2 1 2 1 a b3 1 3 3 1 a b4 1 4 6 4 1 a b5 1 5 10 10 5 1 a b6 1 6 15 20 15 6 1
表中每行两端都是1，而且除1以外的每 一个数都等于它肩上两数的和.
通项公式的应用:Tk+1=Cnkan-kbk
3
(2) 求展开式中含x2 的项。
(3) 求展开式中系数最大的项和系数
最小的项。
例 的系5. 数已与知第( 三x －项x的22 )系n (数n∈的N比)的为展10开:1。式(中1)第求五展项开
3
式各项系数的和；(2) 求展开式中含 x 2的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。
分析：要灵活、正确的应用二项展开 式的 通项公式。 (1) 先根据通项公式得到第五项与第 三项 的系数，再由已知条件求出n的 值。由“赋值法”求各项系数的和。
通项公式:TK+1=Cnkan-kbk
2.二项展开式的特点 (1) 项数： 展开式有共n+1项 (2) 系数 ： 都是组合数，
依次为Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，…Cnn (3) 指数的特点 ：
1) a的指数 由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 n (升幂) 3) a和b的指数和为n
3.二项式定理的几个变式：
二项式定理公式
二项式定理公式1. 什么是二项式定理公式二项式定理公式是数学中一项非常重要的公式，它描述了如何展开二项式表达式的幂。
二项式定理公式可以用于求解组合问题，展开式等。
在代数和组合数学中广泛应用。
二项式定理公式表达如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) *a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... +C(n, n) * a^0 * b^n其中，a和b是任意实数，n是非负整数，C()表示组合数。
2. 二项式定理公式的证明二项式定理公式可以通过数学归纳法进行证明。
当 n = 0 时：C(0, 0) * a^0 * b^0 = 1左边等式为1，右边等式也为1，所以当 n = 0 时，公式成立。
假设当 n = k 时，公式成立：(a + b)^k = C(k, 0) * a^k * b^0 + C(k, 1) *a^(k-1) * b^1 + ... + C(k, k) * a^0 * b^k当 n = k + 1 时，首先，我们可以展开(a + b)^(k+1)，然后利用二项式定理公式中的假设，展开(a + b)^k。
(a + b)^(k+1) = (a + b) * (a + b)^k展开右边式子：(a + b) * (a + b)^k = a * (a^k + C(k, 1) *a^(k-1) * b^1 + ... + C(k, k) * b^k) + b * (a^k + C(k, 1) * a^(k-1) * b^1 + ... + C(k, k) * b^k)利用分配律进行展开：a * (a^k + C(k, 1) * a^(k-1) * b^1 + ... + C(k, k) * b^k) +b * (a^k + C(k, 1) * a^(k-1) * b^1+ ... + C(k, k) * b^k) = a * a^k + a * C(k, 1) *a^(k-1) * b^1 + ... + a * C(k, k) * b^k + b * a^k + b * C(k, 1) * a^(k-1) * b^1 + ... + b * C(k, k) * b^k根据组合数的性质：a * a^k = a^(k+1)C(k, r) * a^r * b^(k-r) =C(k+1, r) * a^r * b^(k+1-r)可以得到：a * a^k + a * C(k, 1) * a^(k-1) * b^1 + ... +a * C(k, k) * b^k +b * a^k + b * C(k, 1) * a^(k-1) * b^1 + ... + b * C(k, k) * b^k = a^(k+1) +C(k+1, 1) * a^k * b^1 + ... + C(k+1, k) * a^0 * b^(k+1)因此，(a + b)^(k+1) = a^(k+1) + C(k+1, 1) * a^k * b^1 + ... + C(k+1, k) * a^0 * b^(k+1)。
二项式定理
在展开式C中 15x(x只 3)有 24才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
方法3 (x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5
在展开式C 中50(3只 x有 2)5才存x的 在项 , 其系数 C15为 324 240
( x1)6(2x1)5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
5、 的系数.
求 ( x1)6(2x1)5的展开式中 x 6 项
解：( x 1)6 的通项是 C 6 r( x)6rC 6 rx6 2r
(2 x 1)5 的通项是
C 5 s ( 2 x ) 5 s ( 1 ) s C 5 s ( 1 ) s 2 5 s x 5 s
( x1 )6(2x1 )5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
课堂小结：
1、二项式定理、通项公式及二项式系数的性 质。
2、要区分二项式系数与展开式项的系数的异 同。
3、熟练求算二项展开式的Tr+1项、常数项、x 的r次方项等题型。
二项式定理的复习
1.二项展开式：
a bn
c n 0 a n c 1 n a n 1 b c n ra n rb r c n n b n
这个公式叫做二项式定理,等号后面的 式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnk(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。
二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk
用(1-x)3 展开式中的一次项乘以(1+x)10 展开式中 的x4项可得到(-3x)(C104x4)=-3C104x5；
二项式定理--展开式
两理两数四原则 十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C C 3.组合数：
m n
nm Anm
n
m!
注1.一般的，乘积式用于计算，阶乘式用于证明
注2. 常用的排列数： An0 1 An1 n Ann n！
则不同的染色方法有多少种？
法1：通项公式：
hn (k 1)n (1)n (k 1)
法2：化环型域为条型域：
h1 k
A1 An
A2
An1
A3
A4
h2 k(k 1) , h3 k(k 1)(k 2)
tn hn hn1 (n 4)
注：思路显然，但操作量过大
2.环型域： ①无心环型域: 如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域
注⑤：设n元某计数问题共有an种方法 若求an的通项公式有难度，可考虑求其递推公式
1.分类加法计数原理：
完成一件事有n类方式, 在第一类方式中有m1种不同 的方法,在第二类方式中有m2种不同的方法……,在第n类 方式中有mn种不同的方法.
那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法
2.分步乘法计数原理： 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同
(a+b)4= a4 + 4a4b+6a2b2 +4ab3 + b4
14641
(a+b)5= a5 +5a4b + 10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 + b5 1 5 10 10 5 1
十三世纪的阿拉伯人就已经发现了： 从第二行起，每行除两端的1以外的 每一个数都等于它肩上的两个数的和
数列的极限 由2项式定理
数列的极限由2项式定理数列的极限是数学中一个重要的概念。
在数列中，我们通常会遇到一系列的数按照一定规律排列而成，而数列的极限就是指当这个数列中的项无限增加或减少时，数列逼近的值。
在讨论数列的极限之前，我们先来了解一下2项式定理以及它与数列之间的关系。
2项式定理，也称为二次定理或二项式展开定理，是代数中常用的一个公式，用于展开一个二次方的含有二项系数的表达式。
它的计算公式如下所示：(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + C(n, 2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n, n-1)ab^(n-1) + C(n, n)b^n其中，n为自然数，a和b为实数或复数，C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
2项式定理可以帮助我们快速计算各种二次方的表达式，并在代数运算中起到重要的作用。
与数列相关的是2项式定理中的展开式中的每一项。
我们可以将展开式中的每一项看作一个数列中的一项。
当我们计算展开式时，每一项的指数逐渐减小，而系数则随着组合数的变化而变化。
这样的数列的极限便是我们可以通过2项式定理得出的结果。
举个简单的例子来说明：假设我们需要计算(2 + 3)^4的值。
根据2项式定理，展开式为：(2 + 3)^4 = C(4, 0)2^4 + C(4, 1)2^3*3 + C(4, 2)2^2*3^2 + C(4, 3)2*3^3 + C(4, 4)3^4展开式中共有5项，每一项都可以看作是一个数列中的一项。
当4的指数逐渐减小时，系数则依次为1、6、12、12和1。
我们可以计算出每一项的值，然后将它们相加，最终得到(2 + 3)^4的结果。
这个例子告诉我们，通过2项式定理可以将一个复杂的表达式展开为一系列数列的项，进而计算出其结果。
在计算过程中，我们可以通过观察数列的递减规律来推测数列的极限。
当指数趋于无穷大时，数列中的每一项逐渐趋近于0，因此数列的极限便是展开式的结果。
二项式定理的定义和基本性质是什么
二项式定理的定义和基本性质是什么二项式定理是代数中一个重要的定理，描述了一个二项式的幂展开式。
它的定义和基本性质如下。
定义：
二项式定理是指对于任意实数a和b以及任意非负整数n，二项式展开式的公式为：
(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-
2) * b^2 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n
其中C(n,k)表示n个元素中取k个元素的组合数。
基本性质：
1. 幂次关系：对于二项式展开式中的任意一项，其对应的幂次关系为a^n-k * b^k。
其中n为二项式展开的幂次，k为该项中b的幂次。
2. 系数关系：二项式展开式中每一项的系数可以用组合数表示。
具体地，第k项的系数为C(n,k)。
3. 对称性：二项式展开式中的对称性表现为，对应的k项和n-k项的系数相等。
4. 性质1：二项式展开式中的一切项数为n+1。
5. 性质2：二项式展开式中的一切系数之和等于2^n。
二项式定理的应用广泛，特别是在代数和组合数学中。
它在代数运算和多项式求解中起到了重要的作用。
同时，通过二项式定理可以得到一些重要的数学恒等式，例如二项式系数恒等式和牛顿二项式系数恒等式。
总结：
二项式定理的定义描述了一个二项式的幂展开式，利用组合数的概念表示了每一项的系数。
二项式定理具有幂次关系、系数关系、对称性等基本性质。
它在数学中应用广泛，为代数运算和多项式求解提供了重要的工具和方法。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结1．二项式定理公式：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈,2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式;②二项式系数:展开式中各项的系数rnC (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C ab -叫做二项式展开式的通项;用1r n r rr nT C a b -+=表示; 3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项;②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改;()na b +与()nb a +是不同的;③指数：a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列;b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列;各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数包括二项式系数;4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r rn n nnn n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0,n n n C C =·1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn nn n n n C C C C C ++++++=,变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-;③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中,令1,1a b ==-,则0123(1)(11)0n nn n n n n n C C C C C -+-++-=-=,从而得到：0242132111222r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----024135(1)(1),()2(1)(1),()2n nn n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时,则中间一项的二项式系数212n nn C T +=取得最大值;如果二项式的幂指数n 是奇数时,则中间两项的二项式系数1212n nnT C--=,1212n nn CT ++=同时取得最大值,且2121+-=n nn n C C; ⑥系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项,一般采用待定系数法;设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅,设第1r +项系数最大,应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩,从而解出r 来;。
超详细的二项式展开式性质
Cnranrbr
Cnnbn(n N )
与首末两端“等距离”旳两个二项式系数相 等（．2）增减性与最大值
二项式系数前半部分是逐渐增大旳，
由对称性可知它旳后半部分是逐渐减小旳， 且中间项取得最大值。
所以，当n为偶数时，中间一项旳二项式系数
n
当n为奇数时，中间C两n2项旳取二得项最式大系值数；
二项式定理
对于（a+b）n = (a b)(a b) (a b)
旳展开式有哪些项？
n 个 二项式定理
(a+b)n
=Cn0an+Cn1an-1b+C
n2an-2b2+…＋C
nran-rbr+…+C
n n
bn
右边旳多项式叫做 (a+b)n 旳二项展开式, 它一共有 n+1 项.
其中各项系数 Cnr (r=0, 1, 2, …, n)叫做二项式系数 式中旳项 Cnr an-rbr 叫做二项展开式旳通项,是第r+1 项,记作 Tr+1
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
T5
T41
C94
(
x 3
)94
(
3 )4 x
42x3
2.已知（T6xTx5221)n旳C展95 (开3x )式95中( ，3x第)5５项42旳x 32二项式
系数与第３项旳二项式系数之比是：１４：３，
求展开式中旳第４项
二项式系数旳性质
(a b)n Cn0an Cn1a b n1 1
、
n1
n1
Cn2 Cn2 相等，且同步取得最大值。
（3）各二项式系数旳和 C0n C1n Cn2 Cnn 2n
二项式定理
二项式定理
二项式定理（Binomial Theorem）是代数学中一个重要的定理，用于展开任意次幂的二项式。
它提供了如何计算二项式的展开式的方法。
二项式定理的一般形式如下：
(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n
其中，a和b是任意实数或复数，n是一个非负整数，C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数（也称为二项系数）。
组合数C(n, k)的计算公式为：
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 3 * 2 * 1。
二项式定理的意义在于可以通过展开二项式来计算任意次幂的结果，这在代数、组合数学和概率等领域有广泛的应用。
展开后的每一项都代表了二项式中各个项的系数和指数的组合关系。
二项式展开定理公式
二项式展开定理公式二项式展开定理是数学中常用的展开方法之一，广泛应用于多个分支领域，包括概率论、数论、计算机科学等。
本文将详细介绍二项式展开定理的定义、证明以及应用。
1. 定理定义二项式展开定理（Binomial Expansion Theorem）是一个关于二项式系数的展开公式。
对于任意实数a和b以及任意正整数n，根据二项式展开定理，可得到以下公式：(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b + C(n,2)a^(n-2)b^2+ … + C(n,r)a^(n-r)b^r + … + C(n,n)a^0 b^n其中，C(n,r)表示组合数，即从n个元素中选取r个元素的不同方式的数量。
2. 定理证明二项式展开定理可以通过数学归纳法进行证明。
首先，证明当n=1时定理成立：(a+b)^1 = C(1,0)a^1 b^0 + C(1,1)a^0 b^1 = a + b然后，假设当n=k时定理成立，即(a+b)^k = C(k,0)a^k b^0 + C(k,1)a^(k-1) b + C(k,2)a^(k-2)b^2+ … + C(k,r)a^(k-r)b^r + … + C(k,k)a^0 b^k接下来，证明当n=k+1时定理也成立：(a+b)^(k+1) = (a+b)(a+b)^k展开右边的式子，得到：(a+b)(a+b)^k = (a+b)[C(k,0)a^k b^0 + C(k,1)a^(k-1) b +C(k,2)a^(k-2)b^2 + … + C(k,r)a^(k-r)b^r + … + C(k,k)a^0 b^k]= C(k,0)a^(k+1) b^0 + C(k,1)a^k b + C(k,2)a^(k-1)b^2 + … +C(k,r)a^(k-r+1)b^r + … + C(k,k)a b^k再进一步展开，得到：= C(k,0)a^(k+1) b^0 + C(k,1)a^k b + C(k,2)a^(k-1)b^2 + … +C(k,r)a^(k-r+1)b^r + … + C(k,k)a b^k + C(k,k)a^(k+1) b此时，可以发现这个展开式与二项式系数的性质十分相似。
二项式的展开式公式
二项式的展开式公式二项式的展开式公式是数学中的重要概念之一，它在代数运算、概率论、统计学等领域都有广泛的应用。
二项式展开式公式可以用来求解多项式的幂次展开，通过展开可以将复杂的多项式化简为简单的多项式，便于计算和分析。
我们来了解一下什么是二项式。
二项式由两个项组成，每个项都是由一个系数和一个变量的幂次组成。
例如，(a+b)就是一个二项式，其中a和b是变量，可以是任意实数，而且a和b之间可以通过加法或减法运算进行组合。
二项式的展开式公式是指将一个二项式的幂次展开为多个单项式的和的公式。
根据二项式定理，一个二项式的幂次展开可以通过以下公式计算：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,r)*a^(n-r)*b^r + ... + C(n,n)*a^0*b^n其中，a和b是变量，n是幂次，C(n,r)表示从n个元素中取r个元素的组合数，也称为二项系数。
二项系数可以通过组合数公式计算得到：C(n,r) = n! / (r!*(n-r)!)在展开式中，每一项的系数都是二项系数，而变量的幂次则是根据幂次n递减的。
展开式中的每一项可以看作是从n个元素中取r个元素的组合，其中a的幂次是n-r，b的幂次是r。
展开式中的项数与幂次n有关，共有n+1项。
以展开(a+b)^3为例，根据展开式公式，我们可以得到：(a+b)^3 = C(3,0)*a^3*b^0 + C(3,1)*a^2*b^1 + C(3,2)*a^1*b^2 + C(3,3)*a^0*b^3展开后，可以简化为：(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3通过展开，我们可以将复杂的幂次多项式化简为简单的多项式，便于计算和分析。
展开式公式在代数运算中有广泛的应用，可以用来求解幂次多项式的值、多项式的乘法和除法运算等，并且可以推广到更高次数的多项式展开。
级数二项式展开定理
级数二项式展开定理级数二项式展开定理是高等数学中的重要定理之一，它能够将一个幂函数的幂指数为任意实数的表达式展开为二项式的形式。
本文将从介绍定理的概念、展开定理的公式和应用以及一些例题讲解等方面进行阐述。
一、定理概念级数二项式展开定理是指对于任意实数x和正整数n，都存在唯一的一组实数a0、a1、a2...an，使得下面的等式成立：(1+x)^n = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n其中，(1+x)^n表示幂函数，a0、a1、a2...an为展开系数。
该定理的重要性在于它将高次幂函数转化为了低次幂的和，简化了函数的计算和应用。
二、展开定理的公式级数二项式展开定理有一个重要的公式，即二项式定理。
当n为自然数时，二项式定理的公式为：(1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)x + C(n,2)x^2 + ... + C(n,n)x^n其中，C(n,k)表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数，计算公式为C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)。
当n为自然数时，二项式定理的公式可以直接应用，计算较为简便。
三、展开定理的应用级数二项式展开定理在数学的各个领域都有广泛的应用。
在代数学中，该定理可用于求解多项式的展开式，简化计算过程。
在概率论和统计学中，二项式定理可用于计算二项分布等概率分布的概率。
在微积分中，展开定理可用于计算复杂函数的极限、导数和积分等。
此外，在物理学、工程学等应用科学中，级数二项式展开定理也有着重要的作用。
四、例题讲解现以一个具体的例题来说明级数二项式展开定理的应用。
例题：将函数f(x) = (1+x)^3展开为二项式的形式。
解答：根据二项式定理，可将(1+x)^3展开为：(1+x)^3 = C(3,0) + C(3,1)x + C(3,2)x^2 + C(3,3)x^3= 1 + 3x + 3x^2 + x^3通过展开定理，我们得到了函数f(x) = (1+x)^3的二项式展开式为1 + 3x + 3x^2 + x^3。
二项定理展开式
二项定理展开式1. 介绍二项定理是高等数学中的一个重要定理，它描述了如何展开一个二项式的幂。
二项定理最早由法国数学家Blaise Pascal 在17世纪提出，并由数学家Isaac Newton 进一步完善。
它在代数、概率论、组合数学等领域都有广泛的应用。
二项定理的展开式可以用于计算高次幂的值，简化复杂的计算过程。
它可以将一个二项式的幂展开为一系列项的和，其中每一项的系数和指数都可以通过组合数来计算得出。
2. 二项定理的表述二项定理可以用如下的公式来表述：(a +b )n =∑(n k )nk=0a n−k b k 其中，a 和b 是实数或复数，n 是非负整数，(n k)表示组合数，定义为： (n k )=n!k!(n −k )!在展开式中，每一项的系数是(n k)，指数分别是n −k 和k ，k 的取值范围是从0到n 。
3. 二项定理的证明二项定理的证明可以通过数学归纳法来完成。
我们可以通过以下步骤来证明该定理： 步骤1：验证n =0的情况当n =0时，等式左边为(a +b )0，等式右边为(00)a 0b 0。
根据组合数的定义，(00)=1。
因此，等式左右两边相等，成立。
步骤2：假设n =k 时等式成立假设当n =k 时，等式(a +b )k =∑(k i )ki=0a k−i b i 成立。
步骤3：证明n =k +1时等式成立当n =k +1时，等式左边为(a +b )k+1，等式右边为∑(k+1i )k+1i=0ak+1−i b i 。
我们可以将等式右边的求和式分为两部分：∑(k +1i )ki=0a k+1−i b i +(k +1k +1)a k+1−(k+1)b k+1 根据组合数的性质，(k+1k+1)=1。
因此，上式可以简化为： ∑(k +1i )ki=0a k+1−i b i +a 0b k+1 进一步简化得：a k+1+∑(k +1i )ki=1a k+1−i b i +b k+1 我们可以将第一项和最后一项合并为(a +b )k+1，得到：(a +b )k+1=a k+1+∑(k +1i )ki=1a k+1−i b i +b k+1 根据假设，我们可以将等式右边的求和式改写为：(a +b )k+1=a k+1+∑(k +1i)ki=1a k+1−i b i +b k+1=a k+1+b k+1+∑(k i −1)k i=1a k+1−i b i +∑(k i )ki=1a k+1−i b i 将两个求和式合并，得到：(a +b )k+1=a k+1+b k+1+∑((k i −1)+(k i))ki=1a k+1−i b i 根据组合数的性质(k i−1)+(k i )=(k+1i)，上式可以进一步简化为： (a +b )k+1=a k+1+b k+1+∑(k +1i )ki=1a k+1−i b i 因此，当n =k +1时，等式也成立。
二项式定理展开式通式
二项式定理展开式通式二项式定理是求解连乘式和二项式和的一种定理，在数学中有着广泛的应用。
其定理的一般式如下：$(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{n-k}y^{k}$式中，$x,y$代表数字或变量，$n$代表正整数，其中$\binom{n}{k}$称作“$n$取$k$的组合数”，即从$n$个不同元素中任取$k$个元素能组成几组，$\binom{n}{k}(=\frac{n!}{k!(n-k)!})$就是一组中排列组合数，也可以理解为“有$n$个元素，从中取出$k$个元素，组成一组排列组合数”。
上式中，$(x+y)^{n}$表示$x$与$y$重复乘积$n$次，称为$x$与$y$的连乘式，左式是$x$与$y$的连乘式展开式，右式中的$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^{k}$CC表示$x$与$y$的所有$n$次混合幂的和。
由于右式中的$\binom{n}{k}$是关于$x$与$y$的常数，所以$x$与$y$的表达式是相和的，又成为“二项式”，而$y^{k}$就是$k$次幂，又称为“二项式决定的幂”。
可见，有了二项式定理，求解$x$与$y$的连乘式和二项式和就变得十分容易，只需要将左式用右式式子代替即可。
如求$(x+y)^{5}$：$(x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}$其中每一项的系数，即$x$与$y$的混合幂式的系数，就是右式中括号里的组合数，即$\{5,4,3,2,1,0\}$各自对应的$\binom{5}{5},\binom{5}{4},\binom{5}{3},\binom{5}{2},\binom{5}{1},\binom{5}{0} $ ,也就是说：可以发现，当$n$是偶数时，中间一项$x^{n-k}y^{k}$的系数是$n$，两边一项$x^{n-k}y^{k}$的系数分别是$\binom{n}{1}$和$\binom{n}{n-1}$，它们的和就是$2\binom{n}{1}$；当$n$是奇数，此时没有中间一项，两边的一项的系数则等于$\binom{n}{\frac{n}{2}}$，又因为$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$，所以它们的和也是$2\binom{n}{1}$。
二项式展开的公式
二项式展开的公式二项式展开是代数学中的重要概念，指的是将一个二项式按照一定规律展开成多项式的过程。
二项式展开公式可以用于计算复杂的代数表达式，其应用广泛且具有重要意义。
二项式展开公式的形式为：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,r) * a^(n-r) * b^r + ... + C(n,n) * a^0 * b^n其中，a和b为任意实数，n为非负整数，C(n,r)表示从n个元素中选取r个元素的组合数。
二项式展开公式的应用非常广泛，比如在概率论和组合数学中，它被用于计算事件发生的可能性；在统计学中，它被用于计算样本空间的大小；在计算机科学中，它被用于设计和分析算法的复杂度。
举个例子来说明二项式展开的具体计算过程。
假设我们要计算(2x + 3y)^3的展开式，根据二项式展开公式，展开式为：(2x + 3y)^3 = C(3,0) * (2x)^3 * (3y)^0 + C(3,1) * (2x)^2 * (3y)^1 + C(3,2) * (2x)^1 * (3y)^2 + C(3,3) * (2x)^0 * (3y)^3展开后化简得：8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3可以看到，通过二项式展开公式，我们将一个三次二项式展开成了一个四项式。
除了计算展开式，二项式展开公式还可以用于证明数学定理。
例如，利用二项式展开公式可以证明二项式定理：(a+b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n。
在实际应用中，二项式展开公式可以用于计算复杂的代数表达式。
例如，我们可以利用二项式展开公式将一个多项式乘以另一个多项式，从而得到它们的乘积。
二项式定理的概念
二项式定理的概念
二项式定理是数学中的基本定理之一，它描述了在二项式展开式中各项的系数规律。
这个定理在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。
定义：二项式定理表示为：(a+b)^n的展开式为：C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n)b^n，其中C(n,k)表示组合数，即从n个不同元素中选取k个元素的组合方式数。
意义：二项式定理的展开式中各项系数是组合数，它们遵循一定的规律。
通过二项式定理，我们可以方便地计算出展开式中的每一项，从而解决一系列问题，如代数问题、概率问题等。
应用：二项式定理的应用非常广泛。
例如，在解决概率论中的二项分布问题时，我们需要用到二项式定理。
在解决组合数学中的排列和组合问题时，二项式定理也起到了非常重要的作用。
此外，在解决一些代数问题、三角函数问题、数列问题等时，我们也可以利用二项式定理来简化计算。
举例说明：当我们需要计算(a+b)^2的展开式时，利用二项式定理可以得出：
(a+b)^2 = C(2,0)a^2 + C(2,1)ab + C(2,2)b^2 = a^2 + 2ab + b^2
这就是二项式定理在计算中的具体应用。
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二项式展开定理一、 定理及基本概念1. *)()(110N n n C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+++++=+--ΛΛ;2. 项数:一共项;3. 通项:;一定注意两点:1) 涉及“第几项”得时候,一定严格按照通项公式;2) 注意项数与系数得关系。
4. 二项式系数与各项系数之间得联系与区别。
二、 性质1. 二项式系数得对称性:;2. 二项式系数与:;3. 奇数项二项式系数与=偶数项二项式系数之与=;4. 二项式系数最大项:1) 当就是偶数时,此时项数就是奇数,中间项得二项式系数最大;2) 当就是奇数时,此时项数就是偶数,中间两项得二项式系数=最大。
5. 系数最大项:注意系数最大与二项式系数最大得区别。
基本题型解题思路及步骤一、 利用通项公式求某项系数1. 写出通项公式得时候注意:1) 所有得系数写在最前面,包括符号;2) 所有根式都写出分数次数形式;3)明白什么就是有理项;4)注意得取值范围。
2.只有一个式子:写出通项公式,根据系数关系,确定满足条件得项。
3.有两个式子相乘:1)分别用通项公式打开,组合后瞧满足条件得项;2)只打开一个,观察另一个得形式,判断满足条件得项;一定注意系数;3)有多个得,注意各自得取值范围与相互之间得关系。
二、赋值求系数与1.常用得赋值就是令,具体要通过所求得式子来判断赋值;2.所有系数之与:令;二项式系数之与:;3.所有系数绝对值之与:令;变换原来式子里得符号,边为相加;再令;4.求导与积分得形式。
三、对二项式定理得理解:组合项、整除1.二项式定理得理解:都表示一个整体;2.根据所求得问题,对前面得进行重新组合。
例题讲解一、求某项得系数1.求展开式中第几项为常数项,并求常数项得值。
解:直接用通项公式打开:;(注意系数都放一起)常数项即得次数为0,也即:;所以常数项为第4项;且常数项为:2.在二项式得展开式中,第四项得系数为56,求得系数。
解:第四项得系数为56:注意:项数与展开式中得取值得关系。
此时:。
=56,解得:;再利用通项公式:;要求得系数,所以:;故前得系数为:3.求二项式展开式中常数项得值。
解: ,所以;常数项得值为:。
(一定严格按步骤来,注意系数得符号)4.求二项式展开式中有理项得系数与。
解:什么就是有理项？,当时为有理项;用通项公式打开:;要满足有理项,即:且,所以:或当时,;当时,;故:有理项得系数与为。
5.求多项式展开后常数项。
解:因为这里有两个式子,可以用两个展开式,所取得得取值范围;展开:;展开:所以:展开后:()所以:,所以:或或;当时,;当时,;当时,;所以常数项为:。
6.求展开式中,得系数。
解:展开:;展开:;所以:展开:,其中:;所以:或或;故系数为:7.已知()得展开式中没有常数项,则得值为。
解: 展开:;由题意可知,展开式中没有常数项。
则,所以:,所以:。
8.求中,得系数。
9.求得展开式中,前得系数为？10.求得展开中得系数。
二、系数最值1.在得展开式中,二项式系数最大得项就是第几项。
解:展开式式中一共有:项。
所以中间项为:第项。
一定要时刻注意项数与次数得关系。
2.在得展开式中,只有第4项得二项式系数最大,则展开式中得常数项为？解:只有第4项二项式系数最大,所以一共有7项,所以:。
通项公式:,常数项,所以:。
3.已知,若展开式中第5,第6与第7项二项式系数为等差数列,求展开式中二项式系数最大项得系数就是多少？解:通项公式为:;二项式系数为等差数列,所以:,解得或;当时,二项式系数最大就是第4项与第5项,故:,;当,二项式系数最大就是第8项,故:。
注意题目得问题:就是二项式系数最大项得系数！4.求得展开式中系数最大得项？解:通项公式为:,各项系数得通项为:则:解得:;所以系数最大项为第6项;。
5.求得展开式中系数最小得项就是第几项？三、赋值1.若得展开式中偶数项系数与为,求得值。
解:令,得所有项得系数与;故。
注意“各项系数与”与“二项系数与”得联系与区别;注意“减号”与“加号”得联系与区别。
2.若得展开式中所有奇数项得系数与为,求它得中间项。
解:由题可知所有奇数项得系数与即为所有奇数项得二项式系数与为;所以:,所以中间项第6,7项;所以:,。
3.在得二项式展开中,记含得奇次幂得项之与为,当时,求？解:令,则;令得偶次幂得项之与为;令,则;则:。
题目如果改为:时,得值呢？还就是要注意:奇次幂与偶次幂,对于取相反数得时候得影响。
4. 若二项式中所有项得系数与为,所有项得系数得绝对值之与为,则得最小值为(B ) 解:所有项得系数与即令,所以;所有项绝对值得与就就是要把系数就是负得变成正得,令,所以:;所以:。
注意。
5. 若展开式中各项系数绝对值之与为,则展开式中得一次项系数为？解:由上一题可知,尝试令,发现不可行,原式没有意义;发现与展开式中各项系数得绝对值相等;故得绝对值之与等价于得各项系数与;所以:令,;展开得通项公式:;故得一次项系数为:。
上述两个例题就就是求各项系数绝对值之与得两个思想。
6. 得展开式中不含得项得系数与为？解:不含得项,可令;则题目等价于得各项系数与;令,则。
要消除,可以令。
7. 设多项式展开:141313114095)1()1()1()23()1(a x a x a x a x x +++++++=+-Λ,则( D)A. B 、 C 、 D 、解:观察右边得形式:可令,则;此时,离目标多了一个;再令,则;所以:。
8. 若,则得值为？解:观察所求得形式:令,则;再令,则;所以:。
9. 已知就是函数图象得一条对称轴,,则得为？解:由题意可知:;令,则;令,则;所以:。
10. 若,则得值。
解:发现要求得就是得奇数次幂得系数与;令,则;令,则;所以:。
11. 设,求得值。
解:))(()()(43210432102312420a a a a a a a a a a a a a a a +-+-++++=+-++;即:12. 若,则得值。
解:发现所求得式子分母中都有,所以:令,则:;令,则;所以:;又;所以:。
13. 已知,则( D)A. B 、 C 、 D 、解:发现求得形式,用常规得思想不好解,令不行;令也不行;再观察发现前面得系数,正好就是对应得得次数;所以两边都时求导,即:78217882210882)21(16)'(]')21[(x a x a a x x a x a x a a x +++=--⇒++++=-ΛΛ 此时,令,则:。
14. 若,则求得值。
解:由上一题得解法,发现每个要求得前得系数正好就是对应得次数加1; 联想到可求积分,即: ;220142014210201420141020152)(C x a x a x a x a x a a ++++=+++⎰ΛΛ; 则:;令,则;令,则;所以:。
四、组合、整除1.已知,则( )A.B、C、D、解:二项式展开中得仅仅就是字母得表示,可以代表一个整体; 观察右边得形式,可以发现应该就是中得一个;;所以。
也可根据次数,直接定位出得值。
2.已知,则得值。
解:由题意发现,得值与无关;且应该就是中得一个;所以:;所以。
3.将表示为,则=？解:由题意可知:应该就是中得一个;所以:;所以:。
4.展开式中得常数项为(C )A.B、C、D、解法一:由展开式得原理可知:要出现常数项,要么都就是常数,要么得次数与为0; 所以:。
解法二:把三项中得两项瞧成一个整体,再利用二项式展开定理进行展开; ,所以通项为:;又展开得通项为:所以:得展开式为:()所以常数项可能得情况为:或;故常数项为:;解法三:;故展开式得通项为:;所以常数项为;。
5. 得展开式中,项得系数为？解:由上题解法一思想:在9个括号中,分别去取项;则得系数为:。
6. 求得值。
(用含有得式子来表示)解:观察形势,发现与二项式展开得形式比较接近,但就是得次数不匹配; 所以)1666(61662210121-++++=+++-n n n n n n n n n n n C C C C C C C ΛΛ; 则可发现肯定就是中得一个;所以:;也即:。
7.证明:能被整除。
解:要证明能被64整数,希望原来得式子化简完后每个因式都能被64整除; 结合二项式展开定理得形式,希望中得一个为或得某个因子;;则;所以:;所以:;所以能被64整除。
课后练习1.求展开式中得系数。
2.求二项式得展开式中第几项为常数项,并求出常数项得值。
第四项,3.若得展开式中,第5项为常数项,求得值。
64.展开式中各项系数绝对值之与。
5.求展开式中得系数。
6.在展开式中,只有第6项得二项式系数最大,则展开式中常数项为？7.已知函数,,则展开式中常数项就是( C)A.第7项B、第8项C、第9项D、第10项8.若,则？109.已知,求？10.求。
11.求得展开式中得一次项系数。
12.求得常数项。
13.设二项式得展开式中各项系数与为,二项式系数与,若,则得值为？14.求证:。
15.求被除得余数。
16.求得展开式中得常数项为？17.求证:18.求证:。