2018北京丰台区高三综合练习(一)数 学(文)

2018北京丰台区高三综合练习（一）数学（文）
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 复数
A. B. C. D.
2. 已知命题p：x <1，，则为
A. x ≥1,
B. x <1,
C. x <1,
D. x ≥1,
3. 已知，则下列不等式中恒成立的是
A. B. C. D.
4. 已知抛物线的开口向下，其焦点是双曲线的一个焦点，则的标准方程为
A. B. C. D.
5. 设不等式组确定的平面区域为，在中任取一点满足的概率是
A. B.
C. D.
6. 执行如图所示的程序框图，那么输出的值是
A. B.
C. D.
7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A. B.
C. D.
8. 设函数，若函数恰有三个零点，，，则
的值是
A. B. C. D.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知集合，，则____．
10. 圆心为，且与直线相切的圆的方程是____．
11. 在△中，，，且，则____．
12. 已知点，，若点在线段上，则的最大值为____．
13. 已知定义域为的奇函数，当时，．
①当时，的取值范围是____；
②当函数的图象在直线的下方时，的取值范围是____．
14. 已知是平面上一点，，．
①若，则____；
②若，则的最大值为____．
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15. 已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的单调递增区间．
16. 在数列和中，，，，，等比数列满足.
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）若，求的值．
17. 如图所示，在四棱锥中，平面⊥平面，，，．（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）求证：⊥；
（Ⅲ）若点在棱上，且平面，求的值．
18. 某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分（不足5千步不积分），每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中随机抽取了1000名会员，统计了当天他们的步数，并将样本数据分为，，，，，，，，
九组，整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求当天这1000名会员中步数少于11千步的人数；
（Ⅱ）从当天步数在，，的会员中按分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人积分之和不少于200分的概率；
（Ⅲ）写出该组数据的中位数（只写结果）．
19. 已知椭圆：的一个焦点为，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程与离心率；
（Ⅱ）设椭圆上不与点重合的两点，关于原点对称，直线，分别交轴于，两点．求证：以为直径的圆被轴截得的弦长是定值．
20. 已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在定义域内不单调，求的取值范围．
数学试题答案
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.【答案】D
【解析】复数
故答案为：D.
2.【答案】C
【解析】根据全称命题与存在性命题之间的关系，
可知命题的否定为，故选C．
3.【答案】A
【解析】构造函数是减函数，已知,则，故A正确;,故B不正确；
C构造函数是增函数，故，故选项不正确；
D. ，构造函数是增函数，故，所以选项不正确.
故答案为：A.
4.【答案】B
【解析】双曲线的一个焦点为，故抛物线的焦点坐标也是，从而得到方程为.
故答案为：B.
5. 【答案】D
【解析】不等式组确定的平面区域为是正方形，满足，即在直线上方的部分，根据几何概型的计算公式得到.
故答案为：D.
6.【答案】D
【解析】根据题意得到当a=2,n=2
A=
由此可看出周期为3，当n=2018时输出结果，此时a=.
故答案为：D.
7. 【答案】A
【解析】根据三视图可知原图是个三棱锥，右侧面垂直于上底面，体积为：
故答案为：A.
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的
高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
8.
【答案】B
【解析】函数，故
根据题意得到
化简得到=.
故答案为：B.
点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：
(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；
(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．
研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。

同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.【答案】
【解析】集合，，则.
故答案为：.
10.【答案】
【解析】圆心为，设圆的方程为，与直线相切，故
故答案为：.
11.【答案】
【解析】在△中，，，且,故
故答案为：.
点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
12.【答案】
【解析】已知点，，线段方程为：，
故最大值为：.
13.【答案】 (1). (2).
故答案为：(1). (2). .
14.【答案】 (1). (2).
【解析】由题意，（1）中，因为，所以为线段的三等分点，
因为，所以，如图所示，
则，
（2）中，因为，
所以，
如图所示，当点是线段的中点时，此时取得最大值，
此时最大值为，所以的最大值为．
点睛：本题考查了平面向量的线性运算法则和向量的数量积的运算，对于平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.【答案】(1) ;(2) 和．
【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式将原式子化简得到，根据周期的公式得到；（2）由题意得到，从而得到单调增区间.
解析：
（Ⅰ）
．
所以的最小正周期为．
（Ⅱ）由，
得．
当时，单调递增区间为和．
16.【答案】(1) ,;(2) .
解析：
（Ⅰ）因为，且，
所以数列是首项为，公差为的等差数列．
所以，即．
因为，，且，，
所以，．
因为数列是等比数列，
所以数列的公比，
所以，即．
（Ⅱ）因为，，
所以．
所以．
令，得．
17.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) .
【解析】试题分析：（1）证明线线平行：⊥，再由面面平行的性质得到⊥平面；（2）先证得⊥，
⊥，故得到⊥平面，所以⊥；（3）根据题意做出辅助线并证明四边形为平行四边形，由平行线分线段成比例得到.
解析：
（Ⅰ）证明：因为，所以⊥．
因为平面⊥平面，
且平面平面，
所以⊥平面．
（Ⅱ）证明：由已知得⊥
因为，
所以⊥．
又因为，
所以⊥．
因为
所以⊥平面
所以⊥．
（Ⅲ）解：过作交于，连接．
因为，
所以．
所以，，，四点共面．
又因为平面，
且平面，
且平面平面，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以．
在△中，因为，
所以，
即．
18.【答案】(1) 300人;(2) ;(3) .
【解析】试题分析：（1）根据条形分布直方图中的数据得到健步走的步数在内的人数为，
在内的人数为，在内的人数为，共得到300人；（2）根据分层抽样的概念得到在内应抽取3人，每人的积分是90分，在内应抽取2人，每人的积分是110分，在内应抽取1人，每人的积分是130分，再根据古典概型的公式得到概率值；（3）由中位数的概念，根据直方图可求出结果.
解析：
（Ⅰ）这1000名会员中健步走的步数在内的人数为；
健步走的步数在内的人数为；
健步走的步数在内的人数为；
健步走的步数在内的人数为；
．
所以这1000名会员中健步走的步数少于11千步的人数为300人．
（Ⅱ）按分层抽样的方法，在内应抽取3人，记为，，，每人的积分是90分；
在内应抽取2人，记为，，每人的积分是110分；
在内应抽取1人，记为，每人的积分是130分；
从6人中随机抽取2人，有，，，，，，，，，，
，，，，共15种方法．
所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的有，，，
，，，，，，，，共12种方法．
设从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分为事件，则
．
所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的概率为．
（Ⅲ）中位数为．
19. 【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）根据点在椭圆上和焦点坐标可得到方程；（2）先设，根据题意得到，
，设以为直径的圆与轴交于点和,
所以，即，再由，即，故.
解析：
（Ⅰ）依题意，.
点在椭圆上．所以．
所以．
所以椭圆的方程为．
离心率．
（Ⅱ）因为，两点关于原点对称，
所以可设，，
所以．
直线：．
当时，，所以．
直线：．
当时，，所以．
设以为直径的圆与轴交于点和,（），
所以，，，
所以．
因为点在以为直径的圆上，
所以，即．
因为，即，
所以，所以．
所以，．所以．
所以以为直径的圆被轴截得的弦长是定值．
方法点睛：圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向. 20. 【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到，，进而得到在处的切线方程为；（2）先求当函数单调时参数的范围，再求补集即可，函数在定义域内单调，等价于恒成立，或恒成立，即恒成立，或恒成立，等价于恒成立或恒成立，构造函数研究函数的单调性求函数最值即可.
解析：
函数的定义域为，
导函数．
（Ⅰ）当时，因为，，
所以曲线在处的切线方程为．
（Ⅱ），
设函数在定义域内不单调时
．．．．，的取值范围是集合；
函数在定义域内单调时
．．．，的取值范围是集合，则．
所以函数在定义域内单调
．．，等价于恒成立，或恒成立，
即恒成立，或恒成立，
等价于恒成立或恒成立．
令，则，
由得，所以在上单调递增；
由得，所以在上单调递减．
因为，，且时，，
所以．
所以，
所以．
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若
就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.。