人教版B版高中数学选修4-6(B版)一次同余方程
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另外在模7的完全剩余系中, x 4 (mod 7)也是 解,故同余式解数是2.
定理1 一次同余式 ax b (mod m), a 0 (mod m) (2)
有解 (a, m) | b. 且当同余式(2)有解时,其解数为 d (a, m).
证 设同余式(2)有解,则存在x x0 (mod m)
一
首先求出同余式
次
a x 1 (mod m )
(a, m)
(a, m)
同 余
的一个
方
其次,写出同余式ax b (mod m)的一个特解
程 求
x x0b (mod m) (a, m)
解
最后,写出同余式ax b (mod m)的全部解
步 骤
x x0b t m (mod m), t 0,1, ,(a, m) 1 (a,m) (a,m)
使得ax0 b (mod m), 即存在整数 y0 , 使得 ax0 my0 b,
因(a, m) | a,(a, m) | m, 所以(a, m) | ax0 my0 , 即(a, m) | b.
反之,设(a, m) | b,则 b 为整数. (a, m)
考虑同余式
a x 1 (mod m )
一次同余方程
定义1
同余方程
设f(x) = anxn a1x a0是整系数多项式， 称
f(x) 0 (mod m) (1)
是关于未知数x的模m的同余方程，简称为 模m的 同余方程。
若an 0 (mod m)，则称为n次同余方程。
同余方程的解
定义2 设x0是整数，当x = x0时式(1)成立，则称
(a,m) 1 时，一次同余方程的解法
穷尽
利用辗转相除法
当(a, m) 1,则存在s, t使得：
a(sb) m(bt) b
欧拉定理
a(sb) b(mod m) x sb(mod m)是唯一的解。 x ba (m)1(mod m)是唯一的解。
例2 求解一次同余式 33x 22 (mod 77)
(3)
(a, m)
(a, m)
因( a , m ) (a, m) (a, m)
1,于是存在整数x0 (1
x0
m ), (a, m)
使得
a (a, m)
x0
1
(mod m ) (a, m)
从而有 ax0 (a, m) (mod m).
于是
ax0
b (a, m)
(a,m) b (a, m)
a
解 直接验算，有 ax b ym b (mod m)。
注：例3说明，求方程(2)的解可以转化为求方程
my b (mod a) (5) 的解，将一个对于大模m的同余方程转化为一个对 于小模a的同余方程，因此有可能通过对模a的完全 剩余系进行逐个验证，以求出方程(5)和(2)的解。
例4 求解一次同余式 57 x 531 (mod123)
解：首先（33，,77）=11|22，所以同余式有解。
其次，运用欧几里得除法，求出同余式 3x 1( mod 7)
的一个特解x0 5(mod 7). 第三，写出同余式 3x 2( mod 7)
的一个特解x0 2 x0 2 5 3(mod 7). 最后写出原同余式的全部解
或者
(mod m).
即 a x0b b (mod m) (a, m)
故 x x0b (mod m)是同余式(2)的解. (a, m)
设d (a, m), 若(2)有解 x x1 (mod m),则适合 (2)的一切整数都可以表成
m
x = m1t x1 ,
m1
, d
t 0, 1, 2,
x 3 t 77 3 7t(mod 77),t 0,1,...,10 (33, 77)
x 3,10,17, 24,31,38, 45,52,59,66,73(mod 77)
例3: 设(a, m) = 1，又设存在整数y，使得ab ym，
则 x b ym (mod m)是方程(2)的解。
x0是同余方程(1)的解。 凡对于模m同余的解，被视为同一个解。
同余方程(1)的解数是指它的关于模m互不 同余的所有解的个数，也即在模m的一个 完全剩余系中的解的个数，同余方程(1)的 解数不超过m。
同余方程的解
例1 x5 x 1 0 (mod 7) 是首项系数为1的 模7同余式.因
25 2 1 0 (mod 7), 所以 x 2 (mod 7) 是该同余式的解.
定理1 一次同余式 ax b (mod m), a 0 (mod m) (2)
有解 (a, m) | b. 且当同余式(2)有解时,其解数为 d (a, m).
证 设同余式(2)有解,则存在x x0 (mod m)
一
首先求出同余式
次
a x 1 (mod m )
(a, m)
(a, m)
同 余
的一个
方
其次,写出同余式ax b (mod m)的一个特解
程 求
x x0b (mod m) (a, m)
解
最后,写出同余式ax b (mod m)的全部解
步 骤
x x0b t m (mod m), t 0,1, ,(a, m) 1 (a,m) (a,m)
使得ax0 b (mod m), 即存在整数 y0 , 使得 ax0 my0 b,
因(a, m) | a,(a, m) | m, 所以(a, m) | ax0 my0 , 即(a, m) | b.
反之,设(a, m) | b,则 b 为整数. (a, m)
考虑同余式
a x 1 (mod m )
一次同余方程
定义1
同余方程
设f(x) = anxn a1x a0是整系数多项式， 称
f(x) 0 (mod m) (1)
是关于未知数x的模m的同余方程，简称为 模m的 同余方程。
若an 0 (mod m)，则称为n次同余方程。
同余方程的解
定义2 设x0是整数，当x = x0时式(1)成立，则称
(a,m) 1 时，一次同余方程的解法
穷尽
利用辗转相除法
当(a, m) 1,则存在s, t使得：
a(sb) m(bt) b
欧拉定理
a(sb) b(mod m) x sb(mod m)是唯一的解。 x ba (m)1(mod m)是唯一的解。
例2 求解一次同余式 33x 22 (mod 77)
(3)
(a, m)
(a, m)
因( a , m ) (a, m) (a, m)
1,于是存在整数x0 (1
x0
m ), (a, m)
使得
a (a, m)
x0
1
(mod m ) (a, m)
从而有 ax0 (a, m) (mod m).
于是
ax0
b (a, m)
(a,m) b (a, m)
a
解 直接验算，有 ax b ym b (mod m)。
注：例3说明，求方程(2)的解可以转化为求方程
my b (mod a) (5) 的解，将一个对于大模m的同余方程转化为一个对 于小模a的同余方程，因此有可能通过对模a的完全 剩余系进行逐个验证，以求出方程(5)和(2)的解。
例4 求解一次同余式 57 x 531 (mod123)
解：首先（33，,77）=11|22，所以同余式有解。
其次，运用欧几里得除法，求出同余式 3x 1( mod 7)
的一个特解x0 5(mod 7). 第三，写出同余式 3x 2( mod 7)
的一个特解x0 2 x0 2 5 3(mod 7). 最后写出原同余式的全部解
或者
(mod m).
即 a x0b b (mod m) (a, m)
故 x x0b (mod m)是同余式(2)的解. (a, m)
设d (a, m), 若(2)有解 x x1 (mod m),则适合 (2)的一切整数都可以表成
m
x = m1t x1 ,
m1
, d
t 0, 1, 2,
x 3 t 77 3 7t(mod 77),t 0,1,...,10 (33, 77)
x 3,10,17, 24,31,38, 45,52,59,66,73(mod 77)
例3: 设(a, m) = 1，又设存在整数y，使得ab ym，
则 x b ym (mod m)是方程(2)的解。
x0是同余方程(1)的解。 凡对于模m同余的解，被视为同一个解。
同余方程(1)的解数是指它的关于模m互不 同余的所有解的个数，也即在模m的一个 完全剩余系中的解的个数，同余方程(1)的 解数不超过m。
同余方程的解
例1 x5 x 1 0 (mod 7) 是首项系数为1的 模7同余式.因
25 2 1 0 (mod 7), 所以 x 2 (mod 7) 是该同余式的解.