求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式

求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式
(1)(2019·西安八校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，
－π2≤φ≤π
2)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2x ＋π6 . 解析：依题意得
22
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π
2，
所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2x ＋φ， 由于该函数图象过点⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，－12，
因此sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝1
2， 而－π2≤φ≤π2，故φ＝π6， 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2x ＋π6. (2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π
2)的部分图象如图所示，
则y ＝f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
x ＝k π－π3，k ∈Z .
解析：根据所给图象，周期T ＝4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
7π12－π3＝π，
故π＝2π
ω，∴ω＝2，
因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫7π12，0，代入有2×7π
12＋
φ＝π＋2k π(k ∈Z )，
再由|φ|＜π2，得φ＝－π
6， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6， 当2x ＋π6＝－π
2＋2k π(k ∈Z )， 即x ＝－π
3＋k π(k ∈Z )时， y ＝f ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x ＋π6取得最小值．
确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m 2.
(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2π
T . (3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π
2；“第五点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.
(1)(2019·长沙模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛
⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，其部分图象如图所示，将f (x )的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移1个单位长度得到g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( B )
A ．g (x )＝sin π2(x ＋1)
B ．g (x )＝sin π
8(x ＋1)
C ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋1
D ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π8x ＋1
解析：由题图可得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4x ＋π4，横坐标变为原来的2倍得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4，再向右平移1个单位长度，得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π
8(x －1)＋π4＝
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8x ＋π8＝sin π8(x ＋1)． (2)已知函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分
图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z ) .
解析：由图可知T 4＝π3－π12＝π
4，A ＝2， 即T ＝π，A ＝2，故ω＝2π
T ＝2，
又f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12＝2，所以2×π12＋φ＝π2，故φ＝π3，
所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得－5π12＋k π≤x ≤π
12＋k π(k ∈Z )，
故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．。