2020学年高考数学理一轮复习精选新题和好题归纳总结讲义：第12章 选修4系列 第2讲 Word版含解析

第2讲参数方程
[考纲解读]了解参数方程及参数的意义，掌握直线、圆及椭圆的参数方程，并能利用参数方程解决问题．(重点、难点)
[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考点. 预测2020年将会考查：参数方程与普通方程的互化及直线与椭圆参数方程的应用.
1．曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个
，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确变数t的函数□01⎩⎨⎧x＝f(t)，
y＝g(t)
定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．
2．常见曲线的参数方程和普通方程
提醒：直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．
1．概念辨析
(1)直线⎩
⎨⎧
x ＝－2＋t cos30°
，y ＝1＋t sin150°(t 为参数)的倾斜角α为30°.( )
(2)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t
为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →
的数量．( )
(3)方程⎩⎨⎧
x ＝2cos θ，
y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )
(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧
x ＝2cos t ，
y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数
t ＝π
3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．小题热身
(1)若直线的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝1＋2t ，
y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．
答案 －3
2
解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋2t ，y ＝2－3t ，所以3x ＋2y ＝7，此直线的斜率为－32. (2)椭圆⎩⎨⎧
x ＝5cos θ，
y ＝3sin θ(θ为参数)的离心率为________．
答案 4
5
解析 将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5cos θ，y ＝3sin θ
消去参数θ，得椭圆x 225＋y 2
9＝1.
所以a 2＝25，b 2＝9，c 2＝a 2－b 2＝16，所以a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以离心率e ＝c a ＝4
5.
(3)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝sin θ，
y ＝cos2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为
________．
答案 y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝sin θ，
y ＝cos2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)．
题型 一 参数方程与普通方程的互化
1．求直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧
x ＝3cos α，
y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．
解 将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋t ，
y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；
将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos α，
y ＝3sin α消去参数α，得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．
2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．
解 如图，圆的半径为1
2， 记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，0，连接CP ，
则∠PCx ＝2θ，
故x P ＝12＋1
2cos2θ＝cos 2θ， y P ＝1
2sin2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．
所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos 2θ，
y ＝sin θcos θ
(θ为参数)．
条件探究 把举例说明1中“曲线⎩⎨⎧
x ＝3cos α，
y ＝3sin α(α为参数)”改为
“⎩
⎨⎧
x ＝1－sin2θ，y ＝sin θ＋cos θ.”其他条件不变，求两条曲线交点的坐标． 解 由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)，得 y 2＝2－x .
又因为x ＝1－sin2θ∈[0,2]，
所以所求普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1＝0，y 2＝2－x ，
得
⎩⎨⎧
x ＝1＋52，
y ＝1－5
2
或⎩⎨⎧
x ＝1－52，
y ＝1＋52
，
又因为x ∈[0,2]，所以交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
1＋52
，
1－52.
1．参数方程化为普通方程
基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程组的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1等．
2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则
曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x ，y 的值．
(2)解题的一般步骤
第一步，引入参数，但要选定合适的参数t ；
第二步，确定参数t 与变量x 或y 的一个关系式x ＝f (t )(或y ＝φ(t ))； 第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝g (t )(或x ＝φ(t ))，问题得解．
在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋3
5t ，
y ＝4
5t
(t 为参数)，与曲线C ：
⎩
⎨⎧
x ＝4k 2
，y ＝4k (k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解 将直线l 的参数方程化为普通方程，得4x －3y ＝4，将曲线C 的参数方程化为普通方程，得y 2
＝4x ，联立方程⎩⎪⎨
⎪⎧
4x －3y ＝4，y 2＝4x ，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，
y ＝4
或
⎩⎨
⎧
x ＝1
4，y ＝－1.
所以A (4,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1或A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
14，－1，B (4,4)．
所以AB ＝
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4－142＋(4＋1)2
＝25
4.
题型 二 参数方程的应用
角度1 利用参数方程解最值问题
1．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝cos θ，
y ＝3sin θ(θ∈[0,2π])，
曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋t cos 2π
3，
y ＝t sin 2π
3
(t 为参数)．
(1)求曲线C 1，C 2的普通方程；
(2)求曲线C 1上一点P 到曲线C 2的距离的最大值． 解 (1)由题意知，曲线C 1的普通方程为x 2
＋y 2
9＝1，
曲线C 2的普通方程为3x ＋y ＋23＝0.
(2)设点P 的坐标为(cos α，3sin α)，则点P 到直线C 2的距离 d ＝|3cos α＋3sin α＋23|2
＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋232
，
所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1，即α＝π
3时，d max ＝23， 即点P 到曲线C 2的距离的最大值为2 3. 角度2 参数几何意义的应用
2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝2cos θ，
y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝1＋t cos α，
y ＝2＋t sin α
(t 为参数)．
(1)求C 和l 的直角坐标方程；
(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 2
16＝1.
当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.
(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.
又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2
α
， 故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.
1．设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，直线的参数方程在交
点问题中的应用
(1)若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→||M 0M 2→
|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝
(t 2＋t 1)2－4t 1t 2.
(2)若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22.
(3)若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0. 2．圆和圆锥曲线参数方程的应用
有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．
提醒：对于形如⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准
形式后才能利用t 的几何意义解题．
1．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2，在以极点为直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝22t ，y ＝35＋22t
(t 为参数)．
(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
(2)已知曲线W ：⎩⎨⎧
x ＝cos α，
y ＝2sin α(α为参数)，若M 为曲线W 上任意一点，求点
M 到直线l 的最小距离．
解
(1)由⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝22t ，y ＝35＋2
2t
(t 为参数)消去参数t ，得y ＝x ＋3 5.
即直线l 的普通方程为x －y ＋35＝0. 因为ρ2＝x 2＋y 2，
所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. (2)由已知可设M (cos α，2sin α)(α为参数)， 则点M 到直线l 的距离 d ＝
|cos α－2sin α＋35|
2
＝
|5cos (α＋β)＋35|
2
(其中tan β＝2)， 所以点M 到直线l 的距离的最小值为
35－5
2
＝10.
2．(2018·河北“五个一名校联盟”二模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a,1)，其参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝a ＋2
2t ，
y ＝1＋2
2t
(t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ
＝0.
(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|AB |＝8，求实数a 的值．
解
(1)∵曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝a ＋2
2
t ，y ＝1＋2
2t
(t 为参数，a ∈R )，
∴曲线C 1的普通方程为x －y －a ＋1＝0.
∵曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， ∴ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，∴x 2＋4x －x 2－y 2＝0， 即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x . (2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x ，
x ＝a ＋22
t ，
y ＝1＋22t
得t 2－22t ＋2－8a ＝0.
Δ＝(－22)2－4(2－8a )>0，即a >0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
t 1＋t 2＝22，
t 1t 2＝2－8a ，根据参数方程中参数的几何意义可知 |AB |＝|t 1－t 2|＝
(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝
8－8(1－4a )＝32a ＝8，∴a ＝2.
题型
三 极坐标方程和参数方程的综合应用
(2019·贵州联考)已知在一个极坐标系中，点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.
(1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)； (2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．
解 (1)如图，设圆C 上任意一点 A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π
3－θ. 由余弦定理得， 4＋ρ2－4ρcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π3＝4，
所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π3.
(2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，得点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝6＋2cos α2，
y ＝2sin α2
(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋cos α，
y ＝sin α
(α为参数)，
∴点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝
1.
极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略
(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求解． (2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断． (3)求参数方程与极坐标方程综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．
(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩
⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，
当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .
(1)写出C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．
解 (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；
消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)． 设P (x ，y )，由题设得⎩⎨⎧ y ＝k (x －2)，
y ＝1k (x ＋2)，
消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)， 所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．
(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立⎩⎪⎨⎪⎧
ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得 cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．
故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.
代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，
所以交点M 的极径为 5.。