走进重高培优讲义专题集训 初中综合教练 第10讲 二次函数

第10讲 二次函数
例1 已知抛物线与x 轴交于,3().0,1(B A )0两点，与y 轴交于点C(0，3)，求抛物线的表达式.
例2 如图，已知抛物线=y c bx x a ++2.与x 轴交于A ，B 两点，顶点C 的纵坐标为-9．现将抛物线向右平移
2个单位，得到抛物线+=21x a y ,11c x b +则下列结论中正确的是__________（写出所有正确结论的序号）．
;0>b ① ;0<+-c b a ② ③阴影部分的面积为4； ④若,1-=c 则.42a b =
例3 如图，抛物线23
(0)与2
y ax x c a x
=++=/轴交于点A，B两点，其中点A的坐标为(-1，O)，与y
轴交于点C(O，2)．
(1)求抛物线的表达式及点B坐标．
(2)点E是线段BC上的任意一点（点E与B，C不重合），过点E作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G．
①设点E的横坐标为m，用含有m的代数式表示线段EF的长，
②线段EF长的最大值是________．
例4 【乐山】已知关于x 的一元二次方程2mx ).0(5)51(=/--+m x m
(1)求证：无论m 为任何非零实数，此方程总有两个2mx 实数根．
(2)若抛物线05)51(2=--+=x m mx y 与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点，且,6||21=-x x 求m 的值．
(3)若m>0，点P(a ，b)与点Q(a+n ，b)在(2)中的抛物线上（点P ，Q 不重合），求代数式n n a 8422+-的值．
例5 某市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x 天的售价为y 元／千克，y 关于x 的函数表达式为=y 76(120,为正整数),(2030,为正整数),
mx m x x n x x ⎧-≤<⎨≤≤⎩且第12天的售价为32元／千克，第26天的售价为25元／千克，已知种植、销售蓝莓的成本是18元／千克，每天的利润是W 元（利润一销售收入一成本）．
(1)m=___________，n=___________．
(2)销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？
(3)在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？
例 【杭州】已知函数b ax y bx ax y +=+=221,).0(=/ab 在同一平面直角坐标系中：
(1)若函数1y 的图象过点(-1，0)，函数2y 的图象过点(1，2)，求a ，b 的值．
(2)若函数2y 的图象经过1y 的顶点．
①求证：.02=+b a
②当2
31<<x 时，比较21,y y 的大小．
1．对于二次函数3)1(2
+-=x y 的图象，下列说法中正确的是( )．
A.开口向下 B ．对称轴是直线1-=x C ．顶点坐标是(1，3) D ．与x 轴有两个交点
2．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内的说法中正确的是( )．
A ．有最小值O ，有最大值3
B ．有最小值-1，有最大值O
C ．有最小值-1，有最大值3
D ．有最小值-1，无最大值
3．设),2(),,1(),,2(321y C y B y A -是抛物线+-=x y (m +2)1上的三点，则321,,y y y 的大小关系为( )．
321y y y A >>⋅ 231.y y y B >> 123y y y C >>⋅ 312y y y D >>⋅
4．【连云港】已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式+-=2t h .124+t
下列说法中正确的是( )．
A.点火后9s 和点火后13 s 的升空高度相同
B.点火后24s 火箭落于地面
C.点火后10 s 的升空高度为139m D ．火箭升空的最大高度为145 m
5．【泸州】已知二次函数33222+++=a ax ax y （其中x 是自变量），当2≥x 时，y 随x 的增大而增大，且2- 1≤≤x 时，y 的最大值为9，则a 的值为( )．
.1或2A - .B -2.C 1.D
6．【义乌】如图，已知抛物线212x y -=,2+直线,222+=x y 当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为⋅21,y y 若,21y y =/取21,y y 中的较小值记为M;若,21y y =记⋅==21y y M 例如：当x .1=时，,,4,02121y y y y <== 此时.0=M 下列判断：①当x>0时，;21y y >②当0<x 时，x 的值越大，M 的值越小；③使得M>2的x 值不存在；④使得M=1的x 值是2
1-或⋅22其中正确的是( )． ①②.A ①④.B ②③.C ③④.D
7．已知函数,122++=x x y 当0=y 时，=x ______当21<<x 时，y 随x 的增大而_____（填“增大”或“减小”）．
8．如图，已知OP 的半径为2，圆心P 在抛物线22
1x y =1-上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为_____.
（第8题） （第9题）
9．若二次函数k x x y ++-=22的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-k x x 的一个解,31=x
另一个解=2x __________.
10.【金华】在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD 的小屋，,10m BC AB =+拴住小狗的10m 长的绳子一端固定在点B 处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为).(2
m s
(1)如图1，若,4m BC =则=s __________.2m (2)如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD 小屋的右侧以CD 为边拓展一正三角形CDE 区域，使之变成落地为五边形ABCED 的小屋，其他条件不变，则在BC 的变化过程中，当S 取得最小值时，边BC 的长为______m ．
11．如图，A （-1，O ），B(2，-3)两点在一次函数x y -=1m +与二次函数322-+=bx ax y 的图象上．
(1)求m 的值和二次函数的表达式．
(2)请直接写出当21y y >时，自变量x 的取值范围．
12.X 市与W 市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中，在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m 与该列火车每次拖挂车厢节数n 的部分数据如下表：
(1)请你根据上表数据，在三个函数模型：
+=kx y ①b k b ,(为常数，x
k y k =>=/②;0（k 为常数，0）;k =/c b a c bx ax y ,,(2++=③为常数，0=/a )中，选取一个合适的函数模型，求出的m 关于n 的函数表达式为m=________（不用写出 n 的范围）．
(2)结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时，一天的设计运营人数Q 最多（每节车厢载客量设定为常数p)．
13.【南京】已知函数2
（1)(y x m x m m =-+-+为常数）
． (1)该函数的图象与x 轴公共点的个数是． 0.A 1.B 2.C .1或2D
(2)求证：不论m 为何值，该函数图象的顶点都在函数2
)1(+=x y 的图象上．
(3)当32≤≤-m 时，求该函数图象的顶点纵坐标的取值范围.
14．如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为（4,-0)和(2,0）,BC =设直线AC 与直线4=x 交于点E
(1)求以直线4=x 为对称轴，且过C 与原点O 的抛物线的函数表达式，并说明此抛物线一定过点E
(2)设(1)中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ，M 是该抛物线上位于C ，N 之间的一动点，求△CMN 面积的最大值．
1．【上海】下列对二次函数x x y -=2的图象的描述，正确的是( )．
A ．开口向下
B ．对称轴是y 轴
C ．经过原点
D ．在对称轴右侧部分是下降的
2．【广西】将抛物线2162
12+-=x x y 向左平移2个单位后，得到新抛物线的表达式为( )． 5)8(21.2+-=x y A 5)4(212+-=⋅x y B 3)8(212+-=⋅x y C 3)4(2
12+-=⋅x y D
3．【潍坊】已知二次函数2)(h x y --=（h 为常数），当自变量x 的值满足52≤≤x 时，与其对应的函数值y 的 最大值为-1，则h 的值为( )．
A ．3或6
B ．1或6
C ．1或3
D ．4或6
4．【杭州】四位同学在研究函数2（,y x bx c b c =++是常数）时，甲发现当x-l 时，函数有最小值；乙发现-1是方程02=++c bx x 的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2=x 时，.4=y 已知这四位同学中只 有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )．
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
5．【枣庄】如图是二次函数c bx ax y ++=2图象的一部分，且过点A(3，O)，二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论中正确的是( )．
ac b A 4.2< 0.>ac B 02.=-b a C 0.=+-c b a D
（第5题） （第6题） 6．【贵阳】已知二次函数62++-=x x y 及一次函数=y ,m x +-将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图），当直线m x y +-=与新图象有4个交点时，m 的取值范围是( )．
3425.<<-
m A 24
25.<<-m B 32.<<-m C 26.-<<-m D 7．【武汉】飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数表达式为.23602t t y -
=在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是________m.
8．【绵阳】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，若水面宽4m ，则水面下降2m ，水面宽度增加_______m.
（第8题） （第9题）
9．【湖州】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线=y )0(2>+a bx ax 的顶点为C ，与x 轴的正半轴交于点A ，
它的对称轴与抛物线)0(2>=a ax y 交于点B ．若四边形ABOC 是正方形，则b 的值是_________.
10.【乐山】对于函数,m n x x y +=我们定义+=-1n nx y 1-m mx (m ，n 为常数)．
例如：.24,324x x LJy x x y +=+= 已知：.)1(3
1223x m x m x y +-+= (1)若方程0=y 有两个相等实数根，则m 的值为_________.
(2)若方程4
1-
=m y 有两个正数根，则m 的取值范围是_________.
11.【德阳】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--=)4(2)6(),4(2)2(22x x x x y 使a y =成立的x 的值恰好只有3个时，a 的值为________
12．【宁波】已知抛物线c bx x y ++-=221经过点,1().2
3,0(),0 (1)求该抛物线的函数表达式．
(2)将抛物线c bx x y ++-=22
1平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
13.【衢州】某游乐园有一个直径为16 m 的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3m 处达到最高，高度为5m ，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式．
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m 的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 32m ，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
14.【江西】已知抛物线).0(54:2
1>--=a ax ax y C
(1)当1=a 时，求抛物线与x 轴的交点坐标及对称轴．
(2)①试说明无论a 为何值，抛物线i C 一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．
②将抛物线]C 沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线,2C 直接写出2C 的表达式．
(3)若(2)中抛物线2C 的顶点到T 轴的距离为2，求a 的值．
15.【杭州】设二次函数b a b a bx ax y ,)((2+-+=是常数，).0=/a
(1)判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数，并说明理由．
(2)若该二次函数图象经过A （-1，4），B （O ，-1），C(l ，1)三个点中的两个点，求该二次函数的表达式．
(3)若,0<+b a 点)0)(,2(>m m P 在该二次函数图象上，求证：.0>a
1．若二次函数222+-=x x y 在自变量x 满足≤≤x m 1+m 时的最小值为6，则m 的值为( )．
51,5,5.+-A 或21- .1B -+ 1.C .1D --2．【温州】小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A ，出 水口B 和落水点C 恰好在同一直线上，点A 至出水管BD 的距离为12 cm ，洗手盆及水龙头的相关数据如图2．现用高10.2 cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E ，则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为_______cm.
3．对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为<x>，即：当n 为非负整数时，如果,2
121+<≤-
n x n 则.n x >=< 如：,22,1493.164.0,0)48.0()0(>=<>=>=<<==.412.45.3>=>=<<
试解决下列问题： >=<π①)1(__________（π为圆周率）．
②如果,312>=-<x 则实数x 的取值范围是_________.
①)2(当m x ,0≥为非负整数时，求证：+=+m m x )(.x <>
②举例说明x y x y <+>=<>+<>不恒成立．
(3)求满足43
x x <>=的所有非负实数x 的值． (4)设n 为常数，且为正整数，函数412+
-=x x y 的自变量x 在1+<≤n x n 范围内取值时，函数值y 为整数的个数记为a ；满足n k >=<
的所有整数k 的个数记为b ，求证：.2n b a ==
4．【全国初中数学联合竞赛】已知抛物线+-=26
1x y c bx +的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于),0,(1x A ))(0,(212x x x B <两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线，设),2
3,0(-M 若//AM ,BC 求抛物线的表达式．
5．【全国初中数学竞赛】如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A ，B 两点关于x 轴对称，过点A 作任意直线交抛物线 23
2x y =于P ，Q 两点．
(1)求证：.ABQ ABP ∠=∠
(2)若点A 的坐标为(0，1)，且,60 =∠PBQ 试求所有满足条件的直线PQ 的函数表达式．
答案。