《数系地扩充》教学设计课题

《数系的扩充与复数的概念》
教学设计
-----高中人教A版选修2-2
王
海
艳
唐山市第六十二中学
【教材分析】
本章《数系的扩充与复数的概念》是中学课程里数的概念的最后一次扩展。

引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定基础。

教材编写的线索是：先将复数看成是有序实数对，然后学习复数代数形式的四则运算，最后介绍复数的几何意义。

本节是该章的基础课、起始课，具有承上启下的作用。

【学情分析】
在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。

另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。

【三维目标】
知识与技能：了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件
过程与方法：经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求，让学生学会对事件归纳与认识的方法。

情感、态度与价值观：
（１）培养学生分类讨论、等价转化等数学思想和方法；
（２）培养学生矛盾转化、分与合、实与虚等辩证唯物主义观点；
（３）感受人类理性思维的作用。

【教学重点】复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件
【教学难点】数集扩充的必要性和过程
【教学设计】
设计思想
知识来源于实际生活。

教学中应注重把教材内容与生活实践结合起来，加强数学教学的实践性。

本节课对知识结构进行创造性地“教学加工”，教学方法上则采用“合作－探究”的模式，保证学生对知识的主动获取，促进学生充分、和谐、自主、个性化发展。

媒体设计
本节课是概念课，要避免单一下定义再作练习模式，应努力使课堂元素更丰富，因此借助于多媒体课件配合教学，添加与教学内容匹配的图片背景，激发学生的学习兴趣；而例习题用媒体展示分析，则可以提高课堂教学效率。

设计特色
（１）重视数学的人文价值。

（２）知识建构采用合作探究模式。

【教学过程】
一、创设情境，提出问题
回顾数的发展史：数，是数学中的基本概念。

到目前为止，我们学习了哪些数
集？用符号表如何表示？它们之间有怎样的包含关系？用图示法可以如何表示（投影）
（设计意图：数集及之间关系的回顾，特别是“图示法”的直观表示，旨在帮助学生对“数系的扩充”有个初步感受）
（投影）：自然数系、整数系、有理数系、实数系变化过程及“图示法”表示数集之间的包含关系。

问题：今天的课题是什么？从刚才这张“图示法”表示数集之间的包含关系的图也可以看出数逐步发展壮大的过程。

将实数继续扩展，是不是就是今天要学的复数呢？所有的复数能不能构成新的集合呢？
（设计意图：设置悬念，激发学生的学习积极性。

）
二、学生活动，意义建构
互动探究点一 复数的概念
问题1 为解决方程x2—2=0，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
在有理数集中，方程022=-x 无解，为此引入无理数，数集扩充到实数集。

从
使得方程有解的角度来看，每一次数的概念的扩充有什么特征？（新的数集都是
在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的。

）如何使方程012=+x 有解呢？
（设计意图：通过一个简单方程解的情况的“陷阱”，培养学生严谨的科学态度，同时通过如何使一系列方程解问题的“诱导”，使学生不断受到数的概念的扩充的
“基本特征”的冲击，形成思维定势，从而使引入一个新数i 使方程012=+x 有解
的方法水到渠成，自然给出“虚数单位”的第一个“规定”。

）
问题2 如何理解新引入的数i?
（１）12-=i （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的
加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。

(3)由于i2＜0与实数集中a2≥0(a ∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在新的数集中不再成立． （学生自学课本，以填空形式完成问题3，问题4）
问题3 复数及复数集定义是什么？怎样表示它们呢？(板书)
形如bi a +的数，（其中R b a ∈,）我们把它们叫做复数。

全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C 。

复数通常用字母z 表示，即),(R b a bi a z ∈+=其中b a ,分别叫做复数z 的实部与虚部。

这一表示形式叫做复数的代数形式。

（设计意图：通过对数与数之间的运算特征的研究与归纳，建立复数的基本概念）
问题4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？（板书）
（1）对于复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，当 b ≠0 时叫做虚数；
（2）当a=0 , b ≠0 时，叫做纯虚数．
试试 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．（口
答）
①2＋3i ；②－3＋12
i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.
（设计意图：巩固复数的实部与虚部的概念及区分虚数、纯虚数。

）
问题5 实数是复数吗？何时为实数？复数集C 和实数集R 之间有什么关系
根据复数中b a ,的取值不同，复数可以有以下的分类：（1）
时为纯虚数）当虚数（实数（复数0)(0)0a b b bi a z （２）复数集C 是实数集R 的真子集
问题6 复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？（投影）
（设计意图：巩固复数集，虚数集，实数集，纯虚数集概念）
典题训练1 当实数m 为何值时，复数z ＝(m+1)＋(m －1)i 为
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数
（设计意图：旨在明确复数的分类这一内容，特别要强调纯虚数的条件） 探究点二 两个复数相等（学生小组讨论探究）
问题7 两个复数能否比较大小？
问题8 两个复数相等的充要条件是什么？
复数bi a +可以看成是关于i 的一次二项式，类比两个二项式相等的意义，我们规定：两个复数bi a +与di c +相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等，记作di c bi a +=+
（设计意图：培养学生合作精神，转化思想）
典题训练2 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y)i ，求x 与y.
（设计意图：对复数相等问题的研究，可让学生体会、总结复数问题的一般的处理方法――实数化）（实物投影，及时更正学生错误）
跟踪训练 已知x2－x －6x ＋1
＝(x2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值 （设计意图：及时巩固、检查课堂效果）
课堂检测（限时5分钟）
1．已知复数z ＝a2－(2－b)i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是 ( )A ．2，1 B ．2，5 C ．±2，5 D ．±2，1
2．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )
A ．±1
B ．±I
C ．±2i
D ．±2i
3．如果z ＝m(m ＋1)＋(m2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．－1或1
4.已知复数a+bi 与3+（4-k ）i 相等，且a+bi 的实部和虚部是方程x 2-4x+3=0的两根，试求a,b,k 的值。

5．实数m为何值时，复数z＝m m＋2
m－1
＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；
(3)纯虚数
（设计意图：当堂检验学生掌握情况，限时训练学生时间观念。

）
课堂小结（学生总结）
今天我们与大家一起学习复数的有关内容。

复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充。

大家一定体会到了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，但在数学史上复数系的建立，却是经历了一段曲折而漫长的过程。

数系的不断扩充体现了人类在数的认识上的深化，就像人类进入太空实现了对宇宙认识的飞跃一样，复数的引入是对数认识的一次飞跃。

我们今天都学到了什么？
（设计意图：再一次巩固知识点，回答了课前的疑问，达到前呼后应的效果。

）课后作业教材P60 习题3.1
【教后反思】
一、可取之处
（１）以人为本，以学生为主体，充分考虑学生的认知规律。

如直击课题以及后面的从实际需求与数学内部矛盾两个方面发现数系扩充的基本特征，都是从学生的角度出发，帮助学生解决头脑中的疑问，同时注重发挥学生的主观能动性，让学生参与方法的总结、知识的归纳，真正让学生成为课堂的“主人”。

（２）重视问题的设置。

无论是课题的提示，还是知识的生成、规律的总结，都能以一个个的问题为切入点，设置好适当的梯度，让学生在体验成功中提升能力。

（３）注重数学的人文价值。

本节课一开始并未直接给出虚数的定义，再用机械重复的运算去巩固知识，而是通过对数系扩充过程的回顾，让学生感受人类理性思维在数学发展中作用，认识到数学发展既有来自外部的实际需求也有来自数学内部的逻辑规律，帮助学生更好地体会数学理论产生与发展的过程，形成正确的数学观。

二、待改进之处
（１）问题设置不够生动。

如何使问题更能激发学生的课堂积极性。

（２）培养学生的学习能力，特别是自主学习的能力，做得不够。

课前我已经准备了一些数学发展史的材料，这些材料如果能让学生自己去搜集，那么学生对这一部分知识会有更深刻的了解，但迫于平时自主学习的时间较少，扼杀了学生的能力。

§3.1.1 数系的扩充与复数的概念导学案
【教学目标】 1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.
2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.
3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
【教学重点】掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
【教学过程】
一、课前准备（预习教材P60~ P62，找出疑惑之处）
复习：实数系、数系的扩充脉络是：
→→→，
用集合符号表示为：⊆⊆⊆
二、新课导学
互动探究点一复数的概念
问题1为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
问题2如何理解新引入的数i?
问题3 复数及复数集定义是什么？怎样表示它们呢？
问题4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？
试一试：请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．
①2＋3i；②－3＋1
2
i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0.
问题5 复数集C和实数集R之间有什么关系
问题6 复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？
典题训练1： 当实数m 为何值时，复数z ＝(m +1)＋(m －1)i 为
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
跟踪训练： 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m
＋(m 2－2m )i 为 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
互动探究点二： 两个复数相等
问题7 两个复数能否比较大小？
问题8 两个复数相等的充要条件是什么？
典题训练2：已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .
跟踪训练 已知x 2－x －6x ＋1
＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．
三、课堂小结： 1.虚数单位i 的引入 2.复数有关概念： 复数的代数形式: 复数的实部 、虚部 ； 虚数、纯虚数 ； 复数相等的充要条件
四、考一考，你过关了吗
1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别
( )
A ．2，1
B ．2，5
C ．±2，5
D ．±2，1
2．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是 ( )
A ．±1
B ．±i
C ．±2i
D ．±2i
3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．－1或1
4．已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是2x
- 4x+3 =0 方程的两根，试求：,,a b k 的值.
5 实数m为何值时，复数z＝m m＋2
m－1
＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；
(3)纯虚数。