湖南省长郡中学2024届高三上学期月考(五)数学试题含答案解析

英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合
{}2
|60A
x x
x =−−<，集合{}2|lo 1g B
x x =<，则A B ∪=
A. ()2,3−
B. (),3−∞
C. ()2,2−
D. ()0,2
（2022.广州二模）
2. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ）
A. 12x
y =
B. 2y
x x =−
C. 1y x =−
D. 1
y x x
=−
3. 已知像2，3，5，7这样只能被1和它本身整除的正整数称为素数（也称为质数），设x 是正整数，用
()x π表示不超过x 的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x 充分大时，()ln x
x x
π≈
，利用此公式求出不超过10000的素数个数约为(lg e 0.4343)≈（ ） A. 1086
C. 980
D. 1060
4. 2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与
过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为()0e 0kt
P P t −=⋅
≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物
数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ） A. 5%
B. 3%
C. 2%
D. 1%
（2022.苏北七市三模） 5. 函数()
()2,,R ax b
f x a b c x c
+=∈+的图象可能是（ ） 的
A
B.
C. D.
6. 现有长为89cm 的铁丝，要截成n 小段(2)n >，每段的长度为不小于1cm 的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为（ ） A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
7. 已知函数211
()sin sin (0)222
x
f x x ωωω=
+−>，x R ∈.若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 A. 10,8
B. 150,,148
∪
C. 50,8
D. 1150,,848
∪
8. 已知函数22
()42
a
f x x x x =−−−在区间(),2−∞−
，)
+∞上都单调递增，则实数a 的取值范围
是（ ）
A. 0a <≤
B. 04a <≤
C. 0a <≤
D. 0a <≤二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 同学们，你们是否注意到；自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为
()x x f x ae be −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e=2.71828…），对于函数()f x ，以下结论正确的是
（ ）
A. 如果a=b ，那么()f x 奇函数
B. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数
C. 如果0ab >，那么()f x 没有零点
D. 如果1ab =，那么()f x 的最小值为2
.为
10. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着1BB 和1DD 分别作上底面的垂面，垂面经过棱,,,EP PH HQ QE 的中点,,,F G M N ，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若2EN AB EA ===，则（）
A. 1BB =
B. //FG AC
C. BD ⊥平面1BFB G
D. 几何体2
的表面积为8
11. 已知函数e x y x =+的零点为1x ，ln y x x =+的零点为2x ，则（ ） A. 120x x +> B. 120x x < C. 12ln 0x
e x +=
D. 12121x x x x −+<
12. 已知0ab ≠，函数()2
e ax
f x x bx =++，则（ ） A. 对任意a ，b ，()f x 存在唯一极值点
B. 对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条
C. 当2a b +=−时，()f x 存在零点
D. 当0a b +>时，()f
x 最小值为1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知sin 3cos 0αα−=，则cos 2tan αα+=________． 14. 函数()1293
x
x
f x −=+的最小值是___________.
15. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =___________.①()f x 是定义域为R 的奇函数；②
()()11f x f x +=−；③()12f =.
16. 函数()sin ln 23f x x x π=−−的所有零点之和为__________．
的
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2
2
2(sin sin sin )1cos2.a A c C b B a C +−=
− （1）求B.
（2）是否存在()0,A π∈，使得2a c b +=，若存在，求;A 若不存在，说明理由.
18. 已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．
（1）证明：BF DE ⊥；
（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大？ 19. 函数22()ln ,()(2) 2.71828...x f x a x x g x x e x m x e =−=−−+=+（其中）. （1）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；
（2）当1a =−时，(0,1]x ∈时，()()f x g x >恒成立，求正整数m 最大值.
20. 已知函数()()ln f x a x a x =+−．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）证明：当0a >时，()2e a
f x a <．
21. 已知函数()ln 1f x x x x =
−−． （1）证明：()0;f x ≤ （2）若e 1x ax ≥+，求a ．
22. 设函数()()2
e sin 1x
f x a x ax a x =+−−+.
（1）当0a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在R 上单调递增，求a
.
的
英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合
{}2
|60A
x x
x =−−<，集合{}2|lo 1g B
x x =<，则A B ∪=
A. ()2,3−
B. (),3−∞
C. ()2,2−
D. ()0,2
【答案】A 【解析】
【分析】先由二次不等式的解法得{}|23A
x x =−<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =
<<，再结合集合并集的运算即可得解.
【详解】解不等式260x x −−<,解得23x −<<,则{}|23A x x =−<<,
解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =
<<,
即A B ∪=
()
2,3− 故选:A.
. （2022.广州二模）
2. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ）
A. 12x
y =
B. 2y
x x =−
C. 1y x =−
D. 1
y x x
=−
【答案】C 【解析】
【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义，对每个选项进行逐一判断，即可选择.
【详解】对A ：容易知12x
y =
是偶函数，且在()0,+∞单调递减，故错误；
对B ：容易知2y
x x =−是偶函数，当0x >时，2y x x =−，
,
其在10,
2
单调递增，在1,2
+∞
单调递减，故错误； 对C ：容易知1y x =−是偶函数，当0x >时，1y x =−是单调增函数，故正确；
对D ：容易知1
y x x
=−是奇函数，故错误； 故选：C.
3. 已知像2，3，5，7这样只能被1和它本身整除的正整数称为素数（也称为质数），设x 是正整数，用
()x π表示不超过x 的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x 充分大时，()ln x
x x
π≈
，利用此公式求出不超过10000的素数个数约为(lg e 0.4343)≈（ ） A. 1086 B. 1229
C. 980
D. 1060
【答案】A 【解析】
【分析】由题中的定义，可知是计算ln110000
0000，再根据对数的运算法则及性质求解即可.
【详解】由题意，可知100002500
(10000)2500lg e 25000.43431086ln100004ln10l 0010
0n 10π≈
===≈×≈. 故选:A
4. 2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与
过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为()0e 0kt
P P t −=⋅
≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物
数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ） A. 5% B. 3%
C. 2%
D. 1%
【答案】B 【解析】
【分析】根据前4小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，求出1
ln104
k =，再计算经过6小时，空气中剩余污染物的残留量，可得答案.
【详解】由题可得，前4小时，废气中的污染物恰好被过滤掉90%，
故由0e kt
P
P −=⋅得()400190%e k
P P −−=
，所以40.1e k −=，即1
ln104
k =， 由再过滤2小时，即共6小时，空气中剩余污染物为
3
2
13
36ln10ln106ln10
42
2
000000e e e e 10k
P P P P P P − −−− −
======
， ()
3,3.5，故污染物所剩比率约为03%P ,
故选：B
（2022.苏北七市三模） 5. 函数()
()2,,R ax b
f x a b c x c
+=∈+的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】
【分析】取0,0,0a c b >>=
，此时()2ax
f x x c
=+，可排除A 、C 、D. 【详解】因为,,R a b c ∈，所以取0,0,0a c b >>=
，此时()2ax
f x x c
=+，0x >时，()0f x >，0x <时，()0f x <，故只有B 符合题意. 故选：B.
6. 现有长为89cm 的铁丝，要截成n 小段(2)n >，每段的长度为不小于1cm 的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为（ ） A. 8 B. 9
C. 10
D. 11
【答案】B 【解析】
【分析】不构成三角形的条件就是任选三条线段较小两条之和不超过最长线段，因n 段之和为定值，欲n 尽可能的大，按从小到大排序后，必须每段的长度尽可能小，即：保证前两段最短的情况下，使得第三项等于前两项之和便不能构成三角形.
【详解】截成的铁丝最小为1，因此第一段为1，
因n 段之和为定值，欲n 尽可能的大，则必须每段的长度尽可能小， 所以第二段为1，
又因为任意三条线段都不能构成三角形， 所以三条线段中较小两条之和不超过最长线段， 又因为每段的长度尽可能小， 所以第三段为2，
为了使得n 最大，因此要使剩下的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻两段之和， 依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34，以上各数之和为88，与89相差1，因此可以取最后一段为35， 这时n 达到最大为9. 故选：B.
7. 已知函数211
()sin sin (0)222
x
f x x ωωω=
+−>，x R ∈.若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 A. 10,8
B. 150,,148
∪
C. 50,8
D. 1150,,848
∪
【答案】D 【解析】
【分析】先把()f x
化成()4f x x πω
=
−
，求出()f x 的零点的一般形式为
+
4,k x k Z ππω
∈，
根据()f x 在区间(,2)ππ内没有零点可得关于k 的不等式组，结合k 为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围.
【详解】由题设有1cos 11
()
sin 222
4f x x x x πωωω−
=+−=−
， 令()0f x =，则有,4
x k k Z πωπ−=∈即
+4,k x
k Z ππω
∈.
因为()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，
故存在整数k ，使得
5+
+
442k k π
π
ππππωω
≤<<
，
即145
28k k ωω ≥+ ≤+
，因为0ω>，所以1k ≥−且15428k k +≤+，故1k =−或0k =，
所以108ω<≤或15
48
ω≤≤， 故选：D.
【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题.
8. 已知函数2
2
()42
a
f x x x x =−−−在区间(),2−∞−
，)
+∞上都单调递增，则实数a 的取值范围
是（ ）
A. 0a <≤
B. 04a <≤
C. 0a <≤
D. 0a <≤【答案】D 【解析】
【分析】设2()42
a
g x x x =−
−的零点为1x ，2x 且12x x <，讨论区间范围写出()f x 的分段函数形式，讨论参数a 结合()f x 各区间的函数性质判断单调性，根据已知区间的单调性求参数范围即可.
【详解】设2
()42a g x x x =−−，其判别式2
1604
a ∆=+>，
∴函数()g x 一定有两个零点，设()g x 的两个零点为1x ，2x 且12x x <，
由2402a x x −−=
，得1x =
2x =
， ∴121224,2()24,24,2a
x x x a f x
x x x x x a
x x x +<
=−−≤≤ +>
， ①当0a ≤时，()f x 在()1,x −∞上单调递减或为常函数，从而()f x 在(),2−∞−不可能单调递增，故
0a >；
②当0a >时，()20g a −=>，故12x >−，则120x −<<， ∵()f x 在()1,x −∞上单调递增，
∴()f x 在(),2−∞−上也单调递增，10g =−<2x <，
由()f x 在2,8a
x
和()2,x +∞上都单调递增，且函数的图象是连续的，
∴()f x 在,8a +∞
上单调递增，欲使()f x 在)
+∞上单调递增，只需
8
a
≤a ≤，
综上：实数a 的范围是0a <≤. 故选：D.
【点睛】关键点点睛：先研究绝对值部分的零点，进而写出()f x 的分段函数表达式，再讨论参数a ，根据函数性质及已知区间单调性求参数的范围.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 同学们，你们是否注意到；自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为
()x x f x ae be −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e=2.71828…），对于函数()f x ，以下结论正确的是
（ ）
A. 如果a=b ，那么()f x 为奇函数
B. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数
C. 如果0ab >，那么()f x 没有零点
D. 如果1ab =，那么()f x 的最小值为2
【答案】BC 【解析】
【分析】利用函数的奇偶性，单调性，零点和基本不等式等性质逐一分析即可得到选项. 【详解】解：对于A ：当a b =时，函数()x
x f x ae ae −=+，此时()()x x f x ae ae f x −−=+=为偶函
数，故A 错误.
对于B ：当0ab <时，令0,0a b ><，函数x y ae =在其定义域上单调递增函数，函数x b
y e
=
在其定为
义域上也为单调递增函数，故函数()x
x
b f x ae e =+在其定义域上为单调递增函数； 当0,0a b <>，函数x y ae =在其定义域上为单调递减函数，函数x b y e
=在其定义域上也为单调递减函数，故函数()x x b f x ae e =+在其定义域上为单调递减函数； 综上，如果0ab <，那么()f x 为单调函数；故B 正确.
对于C ：当0,0a b >>时，函数(
)0x x f x ae be −=+≥=>，
当0,0a b <<时，函数()()
0x x f x ae be −=−−−≤−=−<；
综上，如果0ab >，那么函数()f x 没有零点；故C 正确.
对于D ：由1ab =，则1b a
=， 当0,0a b <<时，函数(
)12x x f x ae e a −
=−−−≤−=− ； 当0,0a b >>
时，函数()12x x f x ae e a −=+≥=； 故1ab =时，函数()f x 没有最小值，故D 错误
故选：BC.
10. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着1BB 和1DD 分别作上底面的垂面，垂面经过
棱,,,EP PH HQ QE 的中点,,,F G M N ，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若2EN AB EA ===，
则（）
A. 1BB =
B. //FG AC
C. BD ⊥平面1BFB G
D. 几何体2
的表面积为8
【答案】ABC .
【解析】
【分析】对于A ，先证得四形边1B FBG 是边长为2菱形，再利用中位线定理求得FG ，从而得解；对于B ，利用面面平行的性质定理证得//AC EH ，从而得证；对于C ，利用勾股定理证得PQ BK ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；对于D ，将几何体2拆分成4个正方形与8个菱形即可得得解.
【详解】将几何体1与几何体2合并在一起，连接1,,,,,BB FG PQ EH AC BD ，记FG PQ K = ，易得1K BB ∈，
对于A ，因为在正四棱台ABCD EPHQ −中，//AB EP ， F 是EP 的中点，
所以//AB EF ，
又N 是EQ 的中点，2EN =，所以4EQ =，则4EP =，2EF =，
又2AB =，所以AB EF =，
所以四边形ABFE 2BF AE ==，
同理：112B F B G
BG ===， 所以四形边1B FBG 是边长为2菱形，
在边长为4的正方形EPHQ 中，HE =
因为,F G 是,EP PH 的中点，所以//FG EH ，
12
FG EH ==
所以1BB ，故A 正确； 对于B ，因为在正四棱台ABCD EPHQ −中，面//ABCD 面EPHQ ，
又面AEHC 面ABCD AC =，面AEHC 面EPHQ EH =，
所以//AC EH ，又//FG EH ，所以//FG AC ，故B 正确；
对于C ，在四边形EPHQ 中，由比例易得14PK PQ ==，
由对称性可知112BK B B ==2PB =，
所以222PK BK PB +=，则PK BK ⊥，即PQ BK ⊥，
而由选项B 同理可证//BD PQ ，所以BD BK ⊥，
因为在正方形ABCD 中，BD AC ⊥，而//FG AC ，所以BD FG ⊥，
因为,,BK FG K BK FG =
⊂ 面1BFB G ，所以BD ⊥面1BFB G ， 对于D ，由选项A 易知四边形1BGB F 是边长为2的正方形，上下底面也是边长为2的正方形，
四边形ABFE 是边长为2 所以几何体2是由4个边长为2正方形和8个上述菱形组合而成，
所以其表面积为2428216×+×+，故D 错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得四形边1B FBG 是边长为2菱形，从而解决选项A ，再利用面面平行的性质定理推得//AC EH ，//BD PQ ，从而解决选项BC ，将几何体2各个面分解成基本图形即可解决D.
11. 已知函数e x y x =+的零点为1ln y x x =+的零点为2x ，则（ ）
A. 120x x +>
B. 120x x <
C. 12ln 0x e x +=
D. 12121x x x x −+< 【答案】BCD
【解析】
【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可.
【详解】12,x x 分别为直线y x =−与e x y =和ln y x =的交点的横坐标，
因为函数e x y =与函数ln y x =互为反函数，
所们这两个函数的图象关于直线y x =，
而直线y x =−、y x =的交点是坐标原点，
故120x x +=
，120x x <，()11,0x ∈−，()20,1x ∈， 1212ln 0e x x x x +=−−=，
()()1212121110x x x x x x −+−=
+−<，故12121x x x x −+<
故选：BCD. 【点睛】关键点睛：利用反函数的性质是解题的关键.
12. 已知0ab ≠，函数()2
e ax
f x x bx =++，则（ ） A. 对任意a ，b ，()f x 存在唯一极值点
B. 对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条
C. 当2a b +=−时，()f x 存在零点
D. 当0a b +>时，()f
x 的最小值为1 【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A ，求出函数导数，数形结合，判断导数正负，从而判断函数单调性，确定函数极值点；对于B ，设切点为2e (,),am m n n bm m =++，利用导数的几何意义可得方程，结合方程的根的个数，判断切线的条数；对于C ，利用导数判断函数单调性，求函数最值，根据最值情况判断函数的零点情况；对于D ，由于()f x 为偶函数，故先判断0x >时函数的单调性，结合偶函数性质，即可判断0x <的单调性，进而求得函数最值.
【详解】对于A ，由已知0ab ≠，函数()2e ax f x x bx =++，可得()e 2ax f x a x b ′=++，
令()()2e 2,e 20ax ax
g x a x b g x a ′=++∴=+>， 则()g x 即()e 2ax
f x a x b ′=++在R 上单调递增， 令()e 20ax f x a x b ′=++=，则e 2ax a x b =−−，
当0a >时，作出函数e ,2ax y a y x b ==−−的大致图象如图：
当a<0时，作出函数e ,2ax y a y x b ==−−的大致图象如图：
可知e ,2ax y a y x b ==−−的图象总有一个交点，即()e 20ax
f x a x b ′=++=总有一个根0x ， 当0x x <时，()0f x ′<；当0x x >时，()0f x '>，
此时()f x 存在唯一极小值点，A 正确；
对于B ，由于()01f =，故原点不在曲线()2e ax f x x bx =++上，且()e 2ax
f x a x b ′=++， 设切点为2e (,),am m n n bm m =++，则()2e e 2am am n m bm f m a m b m m
++′=++==， 即e e am
am a m m
+=，即2e (1)0am am m −+=， 令2()e (1)am h m am m =−+，2()e (1)e 2(e 2)am am am h m a am a m m a ′=−++=
+， 当0m <时，()0h m ′<，()h m 在(,0)−∞上单调递减，
当0m >时，()0h m ′>，()h m 在(0,)+∞上单调递增，
故min ()(0)1h m h ==−，
当m →−∞时，e (1)am am −的值趋近于0，2m 趋近于无穷大，故()h m 趋近于正无穷大，
当m →+∞时，e (1)am am −的值趋近于正无穷大，2m 趋近于无穷大，故()h m 趋近于正无穷大， 故()h m 在(,0)−∞和(0,)+∞上各有一个零点，即2e (1)0am am m −+=有两个解，
故对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条，B 正确；
对于C ，当2a b +=−时，2=−−b a ，()2
e (2)ax
f x x a x =+−+， 故()e 22ax
f x a x a ′=+−−，该函数为R 上单调增函数，()()020,1e (e 1)0a a f f a a a ′′=−<=−=−>，
故(0,1)s ∃∈，使得()0f s ′=，即22e 1as s a a
=−++， 结合A 的分析可知，()f x 的极小值也即最小值为
2222e (2)1(2())as f s a s s s a s a a
s +−+=−+++−+=， 令2221)2)((s s a s a a m s −+++−+=，则()22(2)m s s a a
′=−++，且为增函数，
当a<0时，2(2)2)0(0a a
m −++≥−=>′ ，当且仅当a = 故当0s >时，()()00m s m ′′>>，则()f s 在(0,1)上单调递增， 故2
()(0)1f s f a >=+，令3a =−，则21(0)10,()(0)03
f f s f a =+=>∴>>， 此时()f x 的最小值为()0f s >，()f x 无零点，C 错误；
对于D ，当0a b +>时，()f x 为偶函数，考虑0x >视情况； 此时()2e ,)(()0ax f x f x x bx x ++>==，e ()2ax x a b f x +=+′，
结合A 的分析可知e ()2ax x a b f x +=+′在R 上单调递增，)0(0b f a ′=+>，
故0x >时，()(0)0f x f ′′>>，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，
故()f x 在(,0)−∞上单调递减，()f
x 为偶函数， 故()min (0)1f x f ==，D 正确，
故选：ABD
【点睛】难点点睛：本题综合新较强，综合考查了导数的几何意义以及极值点、零点、最值问题，计算量较大；难点在于利用导数解决函数的零点问题时，要能构造恰当的函数，结合零点存在定理判断导数值的情况，从而判断函数的单调性，求得最值，解决零点问题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知sin 3cos 0αα−=，则cos 2tan αα+=
________． 【答案】115
##2.2##125 【解析】
【分析】由倍角公式结合商数关系求解即可.
【详解】因为tan 3α=，则22222
222cos sin 1tan 4cos 2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα−−=−===−++，
所以411cos 2tan 355αα+=−
=． 故答案为：115
14. 函数()1293
x x f x −=+的最小值是___________.
【答案】【解析】 【分析】先化简为()399
x x f x =+，再结合基本不等式求出最小值即可.
【详解】()12233939939x x x x x x f x −=+=+
=+≥=，当且仅当399x x =，即14x =时取
等.所以最小值为
故答案为：15. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =___________.①()f x 是定义域为R 的奇函数；②()()11f x f x +=−；③()12f =. 【答案】π2sin
2
x （答案不唯一） 【解析】
.
【详解】由条件①②③可知函数对称轴为1x =，定义域为R 的奇函数，可写出满足条件的函数π()2sin
2f x x =. 故答案为：π2sin 2x （答案不唯一） 16. 函数()sin ln 23f x x x π=−−的所有零点之和为__________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据给定条件，构造函数sin y x =
π，ln 23y x −，作出这两个函数的部分图象，确定两个图
象的交点个数，再结合性质计算作答. 【详解】由()0sin ln |23|x x f x π=
⇔=−，令sin y x =π，ln 23y x −， 显然sin y x =π与ln 23y x −的图象都关于直线32
x =对称，
在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x −的图象，如图，
观察图象知，函数sin y x =
π，ln 23y x −的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ， 这6个点两两关于直线32
x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=，则1234569x x x x x x +++++=， 所以函数()sin ln 23f x x x π=−−的所有零点之和为9.
故答案为：9
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()22
2(sin sin sin )1cos2.a A c C b B a C +−=− （1）求B.
（2）是否存在()0,A π∈，使得2a c b +=，若存在，求;A 若不存在，说明理由.
【答案】（1）3
B π=或23π；（2）当3B π=时，存在3A π=，使得2;a c b +=当23B π=时，不存在()0,A π∈，使得2.a c b +=
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得cos B ，进而求得B .
（2）利用正弦定理化简已知条件，对B 进行分类讨论，进而求得A .
【详解】（1）因为()22
2(sin sin sin )1cos2a A c C b B a C +−=−， 所以222(sin sin sin )sin a A c C b B a C +−=，
可得sin sin sin sin a A c C b B a C +−=或sin sin sin sin a A c C b B a C +−=−，
即222a c b ac +−=或222a c b ac +−=
−， 所以2221cos 22
a b c B ac +−==±， 又因为()0,B π∈，所以3
B π=或23π.
（2）因为2a c b +=，所以sin sin 2sin A C B +=. 当3B π=时，sin sin 2sin 33A A ππ ++=
，
可得3sin 2A A +， 所以sin 16A π
+=
， 又因为203A π<<，所以.3A π= 当23B π=时，22sin sin 2sin 33A A ππ ++=
，
可得1sin 2A A +，
所以sin 3A π
+
综上，当3B π=时，存在3A π=，使得2;a c b += 当23
B π=时，不存在()0,A π∈，使得2.a c b += 18. 已知直三棱柱111AB
C A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，
D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．
（1）证明：BF DE ⊥；
（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大？
【答案】（1）证明见解析；
（2）当12B D =时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大．
【解析】
【分析】（1）连接AF ，易知1CF =
，BF =，由11BF A B ⊥，BF AB ⊥，再利用勾股定理求得AF 和AC 的长，从而证明BA BC ⊥，然后以B 为原点建立空间直角坐标系，证得0BF DE ⋅= ，即可；
（2）易知平面11BB C C 的一个法向量为(1p = ，0，0)，求得平面DEF 的法向量n ，再由空间向量的数量积可得cos ,p n <>= 2m =时，得解． 【小问1详解】
证明：连接AF ，
E ，
F 分别为直三棱柱111ABC A B C 的棱AC 和1CC 的中点，且2AB
BC ==， 1CF ∴=
，BF =，
11BF A B ⊥ ，11//AB A B ，
BF AB ∴⊥
3AF ∴===
，AC =， 222AC AB BC ∴=+，即BA BC ⊥，
故以B 为原点，BA ，BC ，1BB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则(2,0,0)A ， (0,0,0)B ， (0,2,0)C ， (1,1,0)E ， (0,2,1)F ， 设1B D m =，且[0,2]m ∈，则(,0,2)D m ，
∴(0,2,1)BF = ， (1,1,2)DE m =−− ，
∴0BF DE ⋅=
，即BF DE ⊥．
【小问2详解】
解：AB ⊥ 平面11BB C C ，∴平面11BB C C 的一个法向量为(1,0,0)p =
，
由（1）知，(1,1,2)DE m =−− ， (1,1,1)EF − ，
设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =
，则00n DE n EF ⋅= ⋅=
，即(1)200m x y z x y z −+−= −++= ，
令3x =，则1y m =+，2z m =−，∴(3,1,2)n m m =+−
，
cos ,||||p n p n p n ⋅∴<>=
=⋅
， 又[0,2]m ∈
∴当2m =时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的余弦值最小，此时正弦值最大，
故当12B D =时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大．
19. 函数22()ln ,()(2) 2.71828...x f x a x x g x x e x m x e =−=−−+=+（其中）. （1）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；
（2）当1a =−时，(0,1]x ∈时，()()f x g x >恒成立，求正整数m 的最大值. 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】
【分析】（1）对()f x 求导，再因式分解，讨论每个因式的正负，再判断()f x ′的正负，进而判断()f x 的单调性；（2）代入1a =−，将不等式()()f x g x >中的x 和m 分离在不等号两边，然后讨论不等号含有x 一边的函数的单调性，进而判断最值，再计算m 的取值范围，由m 是正整数的条件可求出m 的最大值.
【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22()21,a x x a
f x x x x
−++=−+=′
①当1
8a ≤−时，因为(0,)x ∈+∞，故有2
111()0248x a f x x −−++
′ =≤. 此时函数()f x 在区间(0,)+∞单调递减. ②当1
08
a −
<<，有180a +>，方程220x x a −++=的两根分别是：
120,0x x =
>=>
1(0,)()0,x x f x ′∴∈<当，函数()f x 在1(0,)x 上单调递减；
当12(,)()0,x x x f x ′∈>，函数()f x 在12(,)x x 上单调递增； 当2(,)()0,x x f x ′∈+∞<，函数()f x 在2(,)x +∞上单调递减.
③当0a =时，易知()f x 在1
(0,)2上单调递增，在1(,)2
+∞上单调递减. 综上所述，当18
a ≤−时，()f x (0,)+∞上单调递减； 当108a −
<<时，()f x
在上单调递减，
在)+∞ 上单调递增； 当0a =时，()f x 在1
(0,)2
上单调递增，在1(,)2
+∞单调递减. （2）当1(0,1],()(),(2)ln ,x a x f x g x m x e x x =−∈><−+−+， 设1()(2)ln ,(0,1],()(1)(),x
x
h x x e x x x h x x e x
=−+−+∈∴=−−′
∴当01x <≤时，有10x −≥，
设211
(),()0,x
x u x e u x e x x
′=−
=+> ()u x ∴在(]0,1上单调递增，
又()u x 在(0,1]上的函数图像是一条不间断的曲线，
且1
()202
u ，(1)10u e =−>
存在唯一01,12x ∈
，使得0()0u x =，即001x
e x =.
在的
当0(0,),()0,()0x x u x h x ′∈<<； 当0(,1),()0,()0x x u x h x ′∈>≥，
()h x ∴在0(0,)x 上单调递减，在0(,1]x 上单调递增，
0min 000000000
12()()(2)ln (2)212,x h x h x x e x x x x x x x ∴==−+−+=−+⋅+=−++ 2
12y x x
=−+
+ 在(0,1)上单调递减， 01
(,1)2
x ∈ ，0()(3,4).h x ∴∈
3m ∴≤时，不等式(2)ln x m x e x x <−+−+对任意(0,1]x ∈恒成立，
∴正整数m 的最大值是3.
【点睛】本题是典型的导数和不等式的综合题，这种题需要分情况讨论函数单调性再进行判断，属于较难题.
20. 已知函数()()ln f x a x a x =+−．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）证明：当0a >时，()2e a
f x a <．
【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】
【分析】（1）求出函数导数，分类讨论求出函数单调区间；
（2）先证明引理：0a ∀>，
恒有ln 1a a ≤−且1e a a +<，构造函数()ln 1g a a a =−−，()e 1a
h a a =−−，利用导数求证即可，再由引理原命题得证. 【小问1详解】
因为()()ln f x
a x a x =+−，定义域为()0,∞+，所以()1a
f x x
′=−． 当0a ≤时，由于0x >，所以()0f x ′<恒成立，此时()f x 在()0,∞+上单调递减； 当0a >时，()()x a f x x
−′=−
，令()0f x ′=，得x a =，
则当()0,x a ∈时，()0f x '>，有()f x 在()0,a 上单调递增；
当(),x a ∈+∞时，()0f x ′<，有()f x 在(),a +∞上单调递减； 综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；
当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递增，()f x 在(),a +∞上单调递减． 【小问2详解】
我们先证明引理：0a ∀>，恒有ln 1a a ≤−且1e a a +<． 引理的证明：
设()ln 1g a a a =−
−，()e 1a
h a a =−−． 故只需证明0a ∀>，恒有()0g a ≥，()0h a >． 由于()1
1g a a
′=−
，知当()0,1a ∈时，()0g a ′<；当()1,a ∈+∞时，()0g a ′>； 则()g a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 10g a g ==， 所以0a ∀>，恒有()0g a ≥．
由于()e 1a
h a ′=−，知当0a >，均有0e 1e 10a −>−=，
所以恒有()0h a ′>，故()h a 在()0,∞+上单调递增，
则()0
e 010h a >−−=
． 所以0a ∀>，恒有()0h a >． 综上，引理得证．回到原题：
由（1）得()()2max
ln f x f a a a a a ==+−，
故只需证明：对0a ∀>，恒有2ln 2e a a a a a a +−<，即ln 12e a a a +−<． 由引理得()()ln 111212e a
a a a a a +−≤−+−<+<．命题得证．
【点睛】关键点点睛：根据需要证明不等式，进行恰当转化可得ln 12e a a a +−<，根据此式，证明
0a ∀>，恒有ln 1a a ≤−且1e a a +<是解题的关键. 21. 已知函数()ln 1f x x x x =
−−． （1）证明：()0;f x ≤ （2）若e 1x ax ≥+，求a ．
【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】
【分析】（1）求导分析函数的单调性与最大值证明即可；
（2）构造函数()e 1x
g x ax =−−，求导分析单调性可得当0a >时()min ()ln ln 10g x g a a a a ==−−≥，
结合（1）中的结论求解即可 【小问1详解】
证明：()ln 1f x x x x =
−−的定义域为()0+∞，，且()11ln ln .f x x x x x
′=−+⋅=−
令()
0f x '=，得1x =．
当01x <<时，()
0f x '>，()f x 单调递增;
当1x >时，()
0f x '<，()f x 单调递减，
所以()max ()10f x f =
=，所以()0.f x ≤
【小问2详解】
令()e 1x
g x ax =−−，则()e x
g x a ′=−．
当0a ≤时，有()1
1e 10g a −−=+−<，与题设矛盾，故舍去．
当0a >时，令()
0g x '=，得ln .x a =
当ln x a <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当ln x a >时，()
0g x '>，()g x 单调递增，所以
()min ()ln ln 10.g x g a a a a ==−−≥
由()1知，ln 10(a a a −−≤当且仅当1a =时，取等号)， 所以ln 10a a a −−=，所以1a =．
22. 设函数()()2
e sin 1x
f x a x ax a x =+−−+.
（1）当0a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在R 上单调递增，求a .
【答案】（1）在(),0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增
（2）1
2 【解析】
【分析】（1）求得()()e cos 21x
f x a x ax a =+−−+′，设()()
g x f x ′=，得到()()e 2sin x
g x a x +′=−，得
到()y g x =在R 上单调递增，得到()y f x ′=在R 上单调递增，结合()00f ′=，即可求解；
（2）令()e 1x
h x x =−−，利用导数求得()()00h x h ≥=
，得到e 10x x −−≥和e 1x x −≥−， 令()sin x x x ϕ=−，得出0x ≥时，sin x x ≥；0x ≤，得到sin x x ≤，分0a ≤，102a <<
，1
2
a >和1
2
a =
，四种情况讨论，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【小问1详解】
解：因为()()2
e sin 1x
f x a x ax a x =+−−+，可得()()e cos 21x
f x a x ax a =+−−+′，
设()()g x f x ′=，则()()e 2sin x
g x a x +′=−
所以当0a ≤时，()0g x ′>，函数()y g x =在R 上单调递增， 即函数()y f x ′=在R 上单调递增，
又由()00f ′=，所以当0x <时，()0f x ′<；当0x >时，()0f x '>， 所以当0a ≤时，()f x 在(,0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增. 【小问2详解】
解：令()e 1x
h x x =−−，可得()e 1x
h x ′=−，
当0x >时，()0h x ′>，()h x 单调递增； 当0x <时，()0h x ′<，()h x 单调递减，
又由()00h =，所以()()00h x h ≥=
，即e 10x x −−≥， 所以e 1x x ≥+，所以e 1x x −≥−；
令()sin x x x ϕ=−，可得()1cos 0x x ϕ′=
−≥，所以函数()x ϕ单调递增， 因为()00ϕ=，
当0x ≥，可得()()00x ϕϕ≥=
，即sin 0x x −≥，即sin x x ≥； 当0x ≤，可得()()00x ϕϕ≤=
，即sin 0x x −≤，即sin x x ≤，
（2.1）当0a ≤时，由（1）知不合题意； （2.2）当1
02
a <<
时，若(),0x ∈−∞， ()()e cos 21x f x a x ax a =+−−+′()1
cos 211a x ax a x
≤+−−+−
121212111ax x a a ax a x x
−−
≤+−−−=−−； 当1
102x a
−
<<时，()0f x ′<，()f x 单调递减，不合题意； （2.3）当12a >时，若()0,1x ∈，同理可得()12121ax x a f x x
−− ′
≤
−， 当1
012x a
<<−
时，()0f x ′<，()f x 单调递减，不合题意； （2.4）当12
a =时，()2113e sin 222x f x x x x =
+−−，可得()13e cos 22x f x x x =+−−′， 设()()g x f x ′=，则()1
e sin 12x g x x ′=
−−， ①当0x >时，()111
e sin 11sin 10222
x g x x x x x x =−′−≥+−−≥−>，
所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()f x ′在()0,∞+上单调递增， ②当0x >时，
若[)1,0x ∈−，()
()()
1111e sin 11021221x
x x g x x x x x +−−≤−−≤−−′， 若(],1x ∈−∞−，()111
e sin 1102e 2
x
g x x −≤+′−
−<， 所以()g x 在(),0∞−上单调递增，()f x ′在(),0∞−上单调递增，
由①②可知，()()00f x f ′′≥=
，所以()f x 在R 上单调递增， 综上所述，1
2
a =
.。