苏州市2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

苏州市2022～2023学年第一学期高二期中调研试卷
数
学
2022.11
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．1．直线2
x π
=
的倾斜角为A ．不存在
B ．
2
πC ．0
D ．π
2．等比数列{}n a 中，15116a a ==，，则4a =
A ．8
-B ．8
C ．8
±D ．4
±3．直线0x y b ++=与线段AB 没有公共点，其中()()1,233A B -，，
则实数b 的取值范围是A ．()(),30,-∞-+∞ B ．()
3,0-C ．[]
3,0-D ．()()
,03,-∞+∞ 4．已知等差数列{}n a 公差0d ≠，数列{}n b 为正项等比数列，已知3399a b a b ==，，则下列结论中正确的是A ．22
a b >B ．66
a b <C ．88
a b >D ．1212
a b >5．已知(0,0),(2,0),(2,2),(,1)A B C D m --四点共圆，则实数m 的值为
A 1
B 1
C 1
-D ．16．n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若613S a =，10a >，则使n n S a >的n 的最大值为
A ．2
B ．12
C ．11
D ．10
7．直线l 按向量()3,1a =-
平移后得直线l '，设直线l 与l '之间的距离为d ，则d 的范围是
A ．)
+∞
B ．⎡⎣
C ．[]1,3
D ．[]
0,108．已知数列{}n a 前n 项和n S 满足：223n S n n =+，数列{}n b 前n 项和n T 满足：21n n T b =-，记
12n b b n b M a a a +++= ，则使得n M 值不超过2022的项的个数为
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．．9．下述四个结论，正确的是
A ．过点(1,1)A 在x 轴，y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=
B ．直线0x y k -+=与圆2
2
1x y +=相交的充分不必要条件是1k =C ．直线10ax y ++=表示过点()0,1-的所有直线
D
．过点B 与圆22
4x y +=
相切的直线方程为40
x +-=10．对于数列{}n a ，设其前n 项和n S ，则下列命题正确的是
A ．若数列{}n a 为等比数列，396S S S ，，成等差，则285a a a ，，也成等差
B ．若数列{}n a 为等比数列，则223n n n
S S S =⋅C ．若数列{}n a 为等差数列，且5810S S a =<，，则使得0n S >的最小的n 值为13
D ．若数列{}n a
为等差数列，且1311a a ==，，则{}n a 中任意三项均不能构成等比数列11．设直线()()210,0mx m y m m R m -++=∈≠与圆22(1)(1)2x y -+-=交于,A B 两点，定点()2,0C ，
则ABC ∆的形状可能为A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．正三角形
D ．等腰直角三角形
12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是
A ．12311111
n n
a a a a n ++++=
+ B ．1225既是三角形数，又是正方形数
C ．12311113320
n b b b b ++++<
D ．*
,m N m ∀∈≥2，总存在
*,p q N ∈，使得m p q b a a =+成立
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．已知点P 在直线10x y --=上，点()()1,22,6A B -，，则PA PB -取得最小值时点P 坐标为
●
●
●●●
●●
●
●
●
●●●●●
●●●●●
●●●
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●●●
●
●●
●●
●●
●●●●
●●●
●●●●●
●
●
●
●
________．
14．设正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在,m n a a ，使得14a =，则数列14
m n
+的最小值为________．
15．曲线2
2
21221x y x y x +=-++-所围成图形面积为________．
16．在平面直角坐标系xoy 中，A 为直线:20l x y -=上的点，()5,0B ，以AB 为直径的C （圆
心为C ）与直线l 交于另一点D ，若ABD ∆为等腰三角形，则点A 的横坐标为________；若C 与()2
2
:510B x y -+= 相交于E F ，两点，则公共弦EF 长度最小值为________．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17．(本小题满分10分)
已知直线12:80:210l mx y n l x my ++=+-=，，试分别确定满足下列条件的实数m n ，的值.（1）1l 和2l 相交于点(),1P m -；（2）12//l l ；
（3）12l l ⊥，且1l 在y 轴上的截距为1-．
18．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足263225n n a a S S =+=，．
（1）求9a 的值；
（2）设x 为25a a ，的等比中项，数列{}n b 是以25a x a ，，为前三项的等比数列，试求数列{}n b 的通项n b 及前n 项和n T 的表达式．
已知点()1,1P -，()2
2:211C x y a +--= ，过点P 斜率为a 的直线l 交圆C 于A B ，两点．
（1）当ABC ∆面积最大时，求直线l 方程；
（2）若0a >，在（1）条件下，设点T 为圆C 上任意一点，试问在平面内是否存在定点Q ，使得
2TP TQ =成立，若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．
20．(本小题满分12分)
设正项数列{}n a 前n 项和为n S ，从条件：①
()12311113572121n
n
a a a n a n ++++=
++ ，②()2
41n n S a =+，③11114n n n a a a S +=+=，，任选一个，补充在下面横线上，并解答下面问题．已知正项数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足．
（1）求n S ；（2
）令1
n a n n b a +=⋅
，记数列{}n b 前n 项和为n T ，若对任意的*,2n N n ∈≥，均有
()2641615n T m n n --+≥恒成立，求实数m 的取值范围．
已知圆()2
2
:13D x y +-=，过点()0,1P -的直线l 与圆D 相交于M ，N 两点，且2MN =，
圆Q 是以线段MN 为直径的圆．（1）求圆Q 的方程；
（2）设()()()0,0,652A t B t t +--，≤≤，圆Q 是ABC ∆的内切圆，试求ABC ∆面积的取值
范围．
22．(本小题满分12分)
已知正项数列{}n a 满足11111
22
n n n n n a a a a a +++=
+=，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：12118
n a a a +++<
．
2022～2023学年第一学期高二期中调研试卷
数学参考答案2022.11
一、单项选择题：题号12345678答案
B
C
A
C
D
C
B
C
二、多项选择题题号9101112答案BD
AD
AB
BCD
三、填空题13.
()34--，
14.
3
2
15.48π+16.3或1-，四、解答题
17.(本小题满分10分)解：（1）因为1l 和2l 相交于点
(),1P m -，所以P 点在1l 上也在2l 上，于是有
280210
m n m m ⎧-+=⎨
--=⎩，解得1
7m n =⎧⎨=⎩………………………………………………………………………………………3分（2）因为1
2:80:210l mx y n l x my ++=+-=，，12//l l ，所以有
2168
m mn ⎧=⎨
≠-⎩，解得42m n =⎧⎨≠-⎩或4
2m n =-⎧⎨≠⎩.…………………………………………………………………………6分(3)当0m
≠时，由21
84
m m ⎛⎫⎛⎫-⋅-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，1l 和2l 不垂直。

……………………………………………8分
当0m =时，121
::82
n l y l x =-=，有12
l l ⊥，又1l 在
y 轴上的截距为1-，所以有18
n
-
=-，解得8n =，故0,8m
n ==.………………………………………………………………………………………10分
18.(本小题满分12分)解：（1）设等差数列
{}n a 首项为1a ，公差为d ，则
()()()111121212
653265322a n d a n d a d a d ⎧+-=+-+⎪
⎨⋅⋅⎛
⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎩
，化简为11200a d a -+=⎧⎨=⎩，解得120d a =⎧⎨=⎩，………………3分所以9
1816a a d =+=…………………………………………………………………………………………………4分
（2）
2528a a ==，，因x 是25,a a 等比中项，所以有2
2816x =⋅=，即4x =±，…………6分当4x =时，数列{}
n b 是前三项依次为2,4,8的等比数列，其首项为2，公比为2，故有
()*2n n b n N =∈，()1*22n n T n N +=-∈……………………………………………………………………9分
当
4x =-时，数列{}n b 是前三项依次为2,4,8-的等比数列，其首项为2，公比为2-，故有
()
()1
*12n n n b n N -=-⋅∈，()()
()*2123
n
n T n N =
--∈.………………………………………………12分
19.(本小题满分12分)解：（1）直线:10l ax y a -++=，111
sin sin 222
ABC S CA CB ACB ACB ∆=
⋅∠=∠≤，
当090ACB
∠=时，ABC S ∆取到最大值，…………………………………………………………………………2分
此时()0,21C
a +到直线l
的距离为
2
，即
2
=，解得1a
=±，故直线:20l x y -+=或0x y +=.………………………………4分
(2)因为0a
>，所以1a =，此时()2
2:31C x y +-= ，设(),T x y 是C 上任意一点，则有
22680x y y +-+=，假设存在定点(),Q m n 使得2TP TQ
=成立，即
()()
()()22
22
114x y x m y n ⎡⎤++-=-+-⎣⎦
，………………………………………………………………6分
化简整理得()()2
2223382824420x y m x n y m n +-+--++-=，又22680x y y +-+=，代入整理
得()()228282044260m x n y m n -
+--++-=对任意(),T x y 是C 上任意一点恒成
立，……………………………………………………………………………………………………………………8分
所以有228208200
44260m n m n +=⎧
⎪-=⎨⎪+-=⎩
，此方程组无解，故不存在定点Q 使得2TP TQ =成立.……12分
20.(本小题满分12分)
解：(1)若选①
()123111135721
n n a a a n +++++ ，当*
2,n n N ∈≥时，有()123111111
3572121
n n a a a n a n --++++=
-- ，两式相减得()()()
111
2121212121n n n n a n n n n -=-=
++-+-，即有21n a n =-，又当1n
=时，
111
33
a =，11a =，所以有()*21n a n n N =-∈…………………………2分若选②()
2
41n
n S a =+，当*
2,n n N ∈≥时，有()
2
1
141n n S a --=+，两式相减得
2211422n n n n n a a a a a --=-+-，移项合并同类项因式分解得
()()1120n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以有120n n a a ---=，
在()
2
41n
n S a =+中，令1n
=得11a =，
所以数列
{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，故有()*21n a n n N =-∈…………2分
若选③1
1114n n n a a a S +=+=，，则当*2,n n N ∈≥时，有1114n n n a a S --+=，两式相减得
()114n n n n a a a a +--=，因为0n a >，所以有114n n a a +--=，在11114n n n a a a S +=+=，中，令1
n =得
23
a =，所以当
n
为偶数时，
21421
2n n a a n ⎛⎫
=+-⋅=- ⎪⎝⎭
，当
n
为奇数时，
11
4212
n n a a n -=+
⋅=-，故有()*21n a n n N =-∈.………………………………………………2分所以有()
()2*2112
n n n S n n N -+==∈.………………………………………………………………………4分
(2)因为()*21n
a n n N =-∈，所以()212n n
b n =-，所以有
()121232212n
n T n =⋅+⋅++-⋅ ①
()()231
21232232212n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ②
①－②化简整理得
()16232n n T n +=+-⋅，………………………………………………………………………………………………2分
所以()16232n n
T n +-=-⋅代入()2641615n T m n n --+≥得，
()()()12322325n n m n n +-⋅-⋅-≥，
因2n ≥，所以23
0n >-，故有
1252
n n m +-≥
对任意*
2,n n N ∈≥恒成立。

……………………………………………………………………8分记
()*125
,2,2
n n f n n n N +-=
∈≥，当2n
=时()128f =-，当3n =时()1316
f =，当4n
=时()3432f =
，当5n =时()5564
f =，…………………………………………………………10分当5n ≥时
()()21223257210222n n n n n n f n f n +++---+-=
-=<，故()*
max 3
,2,32
f n n n N =∈≥于是有3
32
m ≥
.…………………………………………………………………………………………………………12分（注：直接作差判断单调性得出结论也正常给分）21.(本小题满分12分)
解：（1）设直线l 的方程为
1y kx =-，因为圆C 2MN =，所以圆心()0,1D 到直线l 的距离
d ==
=，解得1k =±，………………………………………2分
当1k
=时，过()0,1D 与直线:1l y x =-垂直的直线1y x =-+与:1l y x =-交点为()1,0，
所以圆Q 方程为()
2
211x y -+=…………………………………………………………………………………3分
当1k
=-时，过()0,1D 与直线:1l y x =--垂直的直线1y x =+与:1l y x =--交点为()1,0-，所以圆Q 方
程为
()
2
211
x y ++=即所求圆方程为
()
2
211x y -+=或()2
211x y ++=……………………………………………………4分
（2）由圆的性质可知，只研究圆Q 方程为
()
2
211x y -+=时即可
设
1:AC y k x t =+与圆Q
相切，则有
1=，即有22211112k k tk t +=++，
从而有2
112t k t
-=
设
2:6BC y k x t =++与圆Q
1=，
即有()()
2
2
22
221266k k t k t +=++++，从而有()()
2
2
1626t k t -+=
+………………………………6分
联立直线
AC BC ，，由126
y k x t y k x t =+⎧⎨=++⎩得126
C x k k =
-，…………………………………………8分
所以
()()
()22222111866
AB 61812236116116226ABC
c t t S x t t t t t t t t ∆+=⋅=⋅=⋅=++-+-+-++………………………………………………………………………………………………………………………………10分当52t
--≤≤时，2715,42ABC S ∆⎡⎤
∈⎢⎣⎦
.………………………………………………………………………12分
22.(本小题满分12分)解：（1）由11
12n n n n n a a a a ++++=，0n a >得
11
1
11
122n n n
n a a ++++
=，
即
1111
1222n n n n
a a ++=-
⋅，令1
2n
n n
b a =
，有1
112
n n b b +=-，
设()1
12n n b x b x ++=-
+，可得2
3
x =-，所以有1212323n n b b +⎛⎫
-
=-- ⎪⎝⎭
，……………………………………………………………………………………………4分
又1
21033b -
=≠，故2
03
n b -≠，所以有12
13223
n n b b +-
=--，数列23n b ⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭是以13为首项，12-为公比的等比数列，所以1
211332n n b -⎛⎫-=- ⎪
⎝⎭，
所以()()
1
11222213233
n n n n n n b b -⎛⎫
=-+⋅=-- ⎪
⎝⎭
，，
所以有()1312221n
n n n n a b =
=⋅
--，即()
()*31221n
n n a n N =⋅∈--…………………………………6分
（2）因为1
12a =
，21
2
a =，121a a +=，当4n ≥且n 为偶数时，
()111112112113113223223112102212122212222
2n n n n n n n n n n n n n n a a ---------⎡⎤⎡⎤++⎡⎤⎡⎤
+=+=<=+->⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 化简得191
22n n n a a -+<⋅………………………………………………………………………………………………8分
所以22
1221111693131141111128288
14
n n n a a a --⎛⎫ ⎪- ⎪
⎛⎫⎝⎭+++=+
=+-<+= ⎪⎝⎭- ………………………10分
当3n ≥且n 为奇数时，则14n +≥且1n 为偶数，由上述证明可知
121118n n a a a a +++++<
，又因为()131
02221n n
n n n a b ==⋅>--所以有1
21111188n n a a a a ++++<
-< ，综上可知1211
8
n a a a +++< 成立。

……………12分（1）另解：2
11121233n n n n a a +++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭
，令1123n n n b a +=-
，则1
2
3
b =
，1n n b b +=-，所以0n b ≠即()1213n n b -=⋅-，也就是()11122133n n n a +--=⋅-，所以有()()*
31221n n
n a n N =⋅∈--（注：此解法参照上面的评分标准给分）。