贝塞尔函数PPT课件

由条件(4），得
u 0 , u U (4)
z0
zh
u(, 0)
m1
(Cm
Dm
)
J
0
(
(0 m b
)
)
0
于是得
Cm Dm 0 (m 1,2, ) (11)
再由条件（5）得
u 0 (5) b
u(, h)
m1
m(0) h
(Cm e
m(0) h
(0)
Dm
e
)J0(
m
b
)
U
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F r C1J0 r C2Y0 r
由 u(r, t) 的有界性, 可以知道 C2 0. 再由条件
u 0, r 1
知：J0 0, 即 是 J0( x) 的零点.
用
(n =1,2…) 表示
以上结果可得:
的正零点, 综合
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方程
的特征值为：
相应的特征函数为： 这时方程
-0.5
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Jn( x) 的零点和 Jn1( x) 的零点是彼此相间分 布，即 Jn( x) 的任意两个相邻零点之间有且仅有 一个 Jn1( x) 的零点，反之亦然；
1.0 J0( x)
0.5
J1( x)
o
246
-0.5
8 10 12
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以
(n) m
(m 1, 2,
由条件（8）知 D 0 .
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二、求本征值、本征函数
再由条件（9）得,
R(b) CJ0 ( b) 0
即，J0 ( b) 0 ，由此可知 b 是 J0 (x) 的零点。
以
(0) m
表示
J0 (x) 的正零点，有
J0
(
(0) m
)
0
从而，得到方程（7）在条件（8）、（9）下的
n
2J2 n
(n )2
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从而
Cn
4J2 n n 2 J12 n
所求定解问题的解为：
u(r,t) n1
4J2 n n 2 J12 n
J0
nr
ea2n 2t
其中 n 是 J0(r ) 的正零点。
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例（圆柱形域内的电势分布）由导体壁构成的空圆柱，
) 表示 Jn( x) 的非负零点, 则
lim
m
(n)
(n)
m1
m
.
1.0 J0( x)
0.5
J1( x)
函数以为周期振荡
o
2 4 6 8 10 12
-0.5
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方程
的解为：
R mn , m 1, 2,
即贝塞尔方程相应定解问题的特征值为
m(n)
m n
R
2
,
m 1,2,
(0)
(Cm e
Dm
e
)J0(
m
b
)
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总结：贝塞尔函数
重点：
• 贝塞尔方程的标准形式 • 贝塞尔方程的通解 • 第一类贝塞尔函数的形式 • 贝塞尔函数的奇偶性及有界性 • 贝塞尔函数的递推公式 • 贝塞尔函数的正交性及函数展开
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2P" P' 2 n2 P 0
分析: 由于是在圆域内求解问题, 故采用极坐
标. 考虑到定解条件和 无关, 所以温度 u 只
能是 t 和 r 的函数.
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解 根据问题的要求, 即可归结为求下列方程 的定解问题：
u t
a2
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
,
0 r 1
由于
u
和
无关,
u 0,
可以化简为问题
m(0) z
(0)
Dm
e
)J0(
m
b
)
由叠加原理，方程（3）满足（5）的解为
u(, z)
m1
m(0) z
m(0) z
(0)
(Cm e
Dm e
)J0(
m
b
)
(10)
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四、确定常数
u(, z)
m1
m(0) z
m(0) z
(0)
(Cm e
Dm e
)J0(
m
b
)
(10)
r2P(r) rP(r) (r2 n2 )P(r) 0 0 r R
的通解为 P(r)第25A页J/共n3(7页 r) BYn ( r)
一、建立方程 方程（7）为零阶贝塞尔方程，其通解为
R() CJ0 ( ) DY0 ( )
由问题的物理意义知，u ，由此推出
R(0) (8)
2u 1 u 1 2u 2u 0
2 2 2 z2
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一、建立方程
由于边界条件与角度 无关，因此所求 的电势 u 只是 、z 两个自变量的函数，
于是归结为求下列定解问题：
2u 1
2
u 2u
z2 0
(0 b, 0 2 , 0 z h)
与这些特征值相应的特征函数为
Pm
r
Jn
m n
R
r
,
m 1, 2,
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贝塞尔函数的正交性
结论１：n 阶贝塞尔特征函数系
Pm
r
Jn
m n
R
r
,
m 1, 2,
在区间 (0, R) 上带权 r 正交，
模值的平方
即
R
0 rJn
m n
R
r
Jn
k n
R
r
dr
0, m k
四、确定常数
Cm Dm 0 (m 1,2, ) (11)
将（5.11）与先前得到的（5.12）联立，解得
Cm
(0) m
sh
U
(0) m b
hJ1(m(0) )
Dm
(0 m
)
sh
U
(0) m b
hJ1(m(0) )
将上述结果代入（10），得到原问题的解
u(, z)
m1
m(0) z
m(0) z
Jn
m n
R
r
2
R2 2
J
2 n1
m n
R2 2
J n21
mn ， m k
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结论2：在区间［0, R］上具有一阶连续导数以及 分段连续的二阶导数的函数 f (r) 如果在 r=0 处 有界, 在 r =R 处等于零, 则它必可以展开为如 下形式的绝对且一致收敛的级数：
f
r
m1
Am J n
m n
R
r
函数
其中
权
贝塞尔函数
Am
1
R2 2
J
2 n1
m n
R 0
rf
r
Jn
m n
R
r
dr
模的平方
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§5.6 贝塞尔函数应用举例
例 设有半径为 1 的薄均匀圆盘，其侧面绝缘， 边界上的温度始终保持为零度，初始圆盘内温度 分布为 1 r2, 其中 r 为圆盘内任一点的极半径， 求圆盘的温度分布规律。
其高为 h ，半径为 b ，设上底的电势为 U ，侧 面和下底的电势为零，试求圆柱体内部的电势分布。
z
o•
x
y
x o
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一、建立方程
解 由于区域为圆柱形，所以采用柱坐标系。
1 ( u ) 1 2u 2u 0 R , 0 2 , 0 z 2 2 z2
(3)
u 0 , u U (4)
z0
zh
u 0 (5) b
“翻译”边界 条件
U为常数，为上底的电势。
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一、建立方程
应用分离变量法，令 u(, z) R()Z (z) ，代入方程得
由此得
R
1
R
z
R
z
z z 0 (6) 2R R 2R 0 (7)
我们知道
2
m1
x2
1 x
d dx
m
cos x
x
这里微分算子
1 x
d dx
m
表示算子
1 x
d dx
连续
作用 m 次的缩写.
可见，半奇数阶的贝塞尔函数都是初等函数。
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令
x
r,
y
x
P
x
方程转化为
x2
d2y dx2
x
dy dx
x2 n2
yx 0
方程的通解为 P r CJn r DYn r
因此，必须判明 Jn x 的零点是否存在；如果存
在，则需要研究其分布情形。
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关于贝塞尔函数零点的结论：
Jn( x) 有无穷多个单重实零点, 这些零点在 x 轴上关于原点对称分布, 因而 Jn( x) 有无穷多个 正的零点；
1.0 J0( x)
0.5
J1( x)
o
2 4 6 8 10 12
本节内容
• 贝塞尔函数第二次课内容总结 • 贝塞尔函数的递推公式 • 函数展成贝塞尔函数的级数
• 贝塞尔函数应用举例
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贝塞尔函数的递推公式
d dx
[
x
n
J
n
x]
x n J n1
x
(1)
dx
[
xnJn
x
]
x n J n1
x
(2)
上面两式左边的导数求出来, 并经过化简
xJ 'n x nJn x xJn1 x (3) xJ 'n x nJn x xJn1 x (4)
F " 1 F ' r
F
,
由此得
T ' a2 T 0, (1)
r 2F " rF ' r 2F 0, (2)
解(1)得：T t Cea2 t ,
∵ t 时，u 0, ∴
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令
则方程 (1) 的解为 T t Cea2 2 t .
(2) 为零阶非标准的贝塞尔方程,它的通解为：
的解为：
从而
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由叠加原理, 可得原问题的解为 由初始条件得 其中
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因为 令 所以
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d xnJn t x txnJn1 t xdx
1 0
r
3
J
0
nr
dr
1 0
r
2d
rJ1
nr
n
J1 n
n
2r2J2 nr
(n )2
1 0
J1 n
四、确定常数
依据贝塞尔级数展开系数公式，得
R
Ak 0
r
f
(r )J n (
(n) k R
r)d
r
R 2
J
( 2
(n)
n1 k
)
b
m(0) h
m(0) h
Cm e Dm e 0
U
J
0
(
(0 m b
)
)
b 2
J
01
(
(0) m
)
d
2U
(0) m
J1
(m(0
)
)
(12)
第32页/共37页
做代换 r
,并记
F
r
P
r
P(
)
方程转化为
r2F "r r F 'r r2 n2 F r 0
---- n 阶贝塞尔方程的常见形式
(重要！！)
第35页/共37页
谢谢大家！
第36页/共37页
感谢您的观看！
第37页/共37页
u t
a2
2u r 2
1 r
u r
,
0 r 1,
t 0,
u 1 r 2 , 0 r 1,
t0
u r 1
0,
t 0.
第14页/共37页
此外, 由问题的物理意义, 还有条件 u ,
且 t 时，u 0. 代入到上述方程, 有
令 ur,t F rT t,
T' a 2T
本征值以及本征函数
m
(
(0) m
b
)
Rm ( ) J第0 (29bm页(0)/共 )37页
(m 1, 2
)
三、由叠加原理 写出解。
z z 0 (6)
将上述 的值代入方程（6），可得
从而
m(0) z
m(0) z
Zm (z) Cm e Dm e
um (, z)
m(0) z
(Cm e
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两式相加减分别消去 Jn ' x 和 Jn x
J n1
x
J n1
x
2n x
Jn
x
(5)
Jn1 x Jn1 x 2J 'n x (6)
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半奇数级贝塞尔函数的表达式
J 2m1 x 1m
2
2
m1
x2
1 x
d dx
m
sin x
x
J 2m1 x 2
由于 Yn (0) , 由条件 | P(0) | , 知 D 0 ,
从而
P r CJn r ,
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贝塞尔函数的零点
求特征问题
r2P "r r P 'r r2 n2 P r 0
P R 0, P 0 .
0rR
由 P R 0 可得: Jn R 0.
再由边界条件（5）得
R(b) 0 (9)
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一、建立方程
于是，构成具体问题的新的方程组为
2R R 2R 0 (7) R(0) (8) R(b) 0 (9)
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二、求本征值、本征函数 方程（7）为零阶贝塞尔方程，其通解为
R() CJ0 ( ) DY0 ( )