云南省昆明市高三适应性考试理科数学试卷

机密★启用前 【考试时间：5月8日 15:00～17:00】
云南省昆明市2008届高三适应性考试
理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 满分150分，考试用时120分钟.
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式
()()()P A B P A P B +=+ 24R S π=
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径
()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么
3
3
4R V π=
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
k n k
k n n P P C k P --=)1()(
第Ⅰ卷（选择题 ，共60分）
注意事项：第Ⅰ卷共2页，共12小题 ,请用黑色碳素笔将答案答在答题卡上，答在试卷上的答案无效.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知函数()lg(1)f x x =-的定义域为集合A ，函数()g x B ，则
A B 等于
（A ）[)0,1 （B ）(),1-∞ （C ）R （D ）∅ 2．已知α是第三象限的角，并且sin α=4
5
-
，则tan α等于 （A ）34
（B ）4
3
（C ）3
4
-
（D ）43
-
3
（A ）第一象限 （B ） 第二象限 （C ） 第三象限 （D ） 第四
象限
4．如果0,0a b ><，那么下列不等式中正确的是
（A ）11a b
< （B ）22a b > （C ）a b a b +>- （D ）a b a b ->+
5．设向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则“
2
121y y
x x =”是“//”的 （A ）充要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6．过坐标原点且与圆224210x y x y +-++=相切的直线方程为
（A ）34y x =
（B ）34y x =- （C ）34y x =或0x = （D ）34
y x =-或0x = 7．正三角形ABC 的三个顶点在球O 的表面上，OA AB =，球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为
（A ）4π （B ）6π （C ）8π （D ）16π
8．在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，33324,
20a b b b b =-=，则数列{}n a 前5项的和
5S 为
（A ）5 （B ）10 （C ）20 （D ）40
9．已知函数()sin 2f x x x =的图象为C ，则下列命题中
①函数()f x 的周期为2π； ②函数()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的最小值为2-； ③图象C 关于直线712x π=
对称； ④图象C 关于点(,0)6
π
-对称. 正确的命题个数为
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 10．某学校在一次数学基础测试统计中, 所有学生成绩服从正态分布(100,4)N （单位：分），现任选一名学生, 该生成绩在96分~104分内的概率是
（A ） (2)(2)F F -- （B ） 1(2)-Φ （C ）2(1)1Φ- （D ）2(2)1Φ- 11．我省某电力部门有5名电力技术员1A 、2A 、3A 、4A 、5A 和4名电力工程师1B 、2B 、
3B 、4B ，现从中选派2名技术员和1名工程师支援某省今年年初遭受的严重雪灾灾后
电力修复工作, 如果1A 、2A 两名技术员只能同时选派或同时不选派，技术员3A 和工程师1B 不能同时选派，则不同的选派方案有
（A ）16种
（B ）15种
（C ） 14种
（D ） 13种
12．路灯距地面9m , 一身高1.8m 的人沿穿过灯下的直路以2m s 的速度自O 处按图示方
向行走, 则人影长度变化速率是
（A ）0.25m s （B ）2m s （C ） 1.5m s （D ）0.5m s
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【考试时间：5月8日 15:00～17:00】
昆明市2008届高三适应性考试
理科数学试卷
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：第Ⅱ卷 共2页，共10小题 ,请用黑色碳素笔将答案答在答题卡上，答在试卷上的答案无效.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案直接答在答题卡上. 13．函数()21(0)x f x x =->的反函数为1()f x -，则1(3)f -= .
14．已知7(a x
-
的展开式中2x 项的系数为3，则实数a 的值为 ．（用数字作答）
15．已知双曲线2
2
1y x m -=与椭圆22172
x y +=有相同的焦点，则双曲线的渐近线方程为 .
16．棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，
点P 、Q 、R 分别是表面1111D C B A 、11B BCC 、 11A ABB 的中心，给出下列结论：
①PR 与BQ 是异面直线； ②⊥RQ 平面11B BCC ； ③平面PQR ∥平面AC D 1；
④过P 、Q 、R 的平面截该正方体所得截面是边长为2的等边三角形. 以上结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）
在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，S 表示该三角形的面积，且
22cos cos 22cos .B B B =+
（Ⅰ）求角B 的大小；
C 1
B
1
A 1
A
E
（Ⅱ）若2,a S ==，求b 的值.
18．（本小题满分12分）
在2008年北京奥运会某项目的选拔比赛中, A 、B 两个代表队进行对抗赛, 每队三名队员, A 队队员是123,A A A 、、B 队队员是123,B B B 、、按以往多次比赛的统计, 对阵队员之间胜负概率如下表, 现按表中对阵方式出场进行三场比赛, 每场胜队得1分, 负队得0分, 设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η, 且3ξη+=.
（Ⅰ）求A 队得分为2分的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列;并用统计学的知识说明哪个队实力较强.
19．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111C B A ABC -，⊥CB 平面11A ABB ，E 是棱11C B 上一点，D 是1AC 的中点，
//1AC 平面B EA 1，21==BB AB ，二面角11B B A E --的大小为
4
π
. （Ⅰ）求11C B 的长；
（Ⅱ）求二面角11B A D B --的大小. 20．（本小题满分12分）
设函数()(1)ln(1)f x x x =++. （Ⅰ）求()f x 的单调区间;
（Ⅱ）若2
()g x x x a =++，且对任意12[0,2]x x ∈、总有12()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围. 21．（本小题满分12分）
设点()0,1F ，动圆P 经过点F 且和直线l ：1y =-相切. 记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W .
（Ⅰ）求曲线W 的方程；
（Ⅱ）设点Q 为直线20x y --=上的动点，过点Q 作曲线W 的切线QA QB 、（A B
、为切点），
证明：直线AB 必过定点并指出定点坐标.
22．（本小题满分12分）
在数列{}n a 中，已知11a =-， 131n n a S n +=+-()
*
n N ∈
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若()
()1
313n n
n n b a λ-=+-+（λ为非零常数），问是否存在整数λ，使得对任
意*
n N ∈都有1n n b b +>？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
昆明市2008届高三适应性考试
理科数学参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.A
2.A
3.B
4.D
5.C
6.C
7.B
8.B
9.B 10.D 11.C 12.D
二、填空题（每小题5分，共20分） 13.2 14.
3
7
15.2y x =± 16.③④
三、解答题（共70分） 17. （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由22cos cos 22cos B B B =+ 可得：22
2cos 2cos 12cos .B B B =-+
1
cos ,2
B ∴=
又
0B π<<
3
B π
∴=
; ………………………… 5分
（Ⅱ）
1
sin 2
ac B =4c ∴=
2221
2cos 416224122
b a
c ac B ∴=+-=+-⨯⨯⨯
=
b ∴=……………………………………
…… 10分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设A 队得分为2分的事件为0A ,
∴022*********
()35535535575
P A =
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
………… 4分 （Ⅱ）ξ的可能取值为3 , 2 , 1 , 0 ;
8(3)75P ξ==
, 28(2)75
P ξ==, 2331231322(1)3553553555P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 1333
(0)35525
P ξ==⨯⨯=,
∴ξ的分布列为:
…
……… 8分 于是 3228822
0123255757515
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯
=
, ……………… 9分 ∵ 3ξη+=, ∴ 23
315
E E ηξ=-+= ……………………… 11分 由于E E ηξ>, 故B 队比A 队实力较强. ……………………… 12分
19．（本小题满分12分） 解法一
（Ⅰ）连结OE ，
∵//1AC 平面B EA 1，平面11C AB ∩平面OE B EA =1
∴OE AC //1 又∵O 是1AB 的中点 ∴E 是11C B 的中点
E
A
A 1
B 1
C 1
∵1BE A E =
∴B A EO 1⊥，B A O B 11⊥
∴1EOB ∠是二面角11B B A E --的平面角.
4
1π
=
∠EOB ， 在
直
角
三
角
形
1
EOB 中，
2
1=OB ，
211==OB EB
222111==EB C B ………… 6分
（Ⅱ）解：过1B 作11DA M B ⊥，垂足为M ，连结OD ，OM
∵OD 是三角形11C AB 的中位线， ∴11//C B OD ∵11B C ⊥面11ABB A ∴OD ⊥面11ABB A
∴OD O B ⊥1，又B A O B 11⊥ ∴⊥O B 1平面1DBA
OM 为M B 1在平面1DBA 上的射影，
又∵11DA M B ⊥，由三垂线定理逆定理，得
D A OM 1⊥
∴MO B 1∠为二面角11B D A B --的平面角 ∵4211211=+=
C B AB AC ，22
1
111==
=AC D A D B 在直角三角形OM B 1中，322
3
1=⨯=
M B ，21=OB 36
3
2sin 111=
==
∠M B OB MO B ∴二面角11B D A B --的大小为3
6
arcsin
. ……………… 12分
解法二：
（Ⅰ）建立如图所示空间坐标系B xyz -，则110
(0,2,),(0,2,),(2,0,0)
C z E z A , 1(0,2,0),B
111
(2,2,0),(1,1,)2
A D z ，1101(2,2,),(0,2,),(2,2,0)AC z BE z BA =-==
平面1BA E 的法向量为1n 由
1110
n BE n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1
02(1,1,)n z =-, 1//AC 平面1EBA ,111110,0,2AC n AC n z z ∴⊥∴⋅=∴=.
所以点E 是棱11C B 的中点.
平面11BA B 的法向量2(0,0,1)n =，1212
cos 4
n
n n n π
⋅
=
⋅
，01z z ∴=
即11BC =（Ⅱ）设平面1BDA 的法向量为
3n ，平面11DA B 的法向量4n
(1,1BD =，1(2,2,0)BA =
，3(1,1,0)n ∴=-
111(2,0,0),(1,
1A B B D =-=
-41)n ∴=- 34cos ,3
n n <>=-
∵二面角11B A D B --
为锐角
∴二面角11B A D B --的大小为cos 3
arc 20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）()f x 的定义域为1(,)-+∞.
11f x x ()ln()'=++11f x x ()ln()'=++，令()0f x '=得:11x e
=
-
所以
()f x 在11e ,⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
内为增函数,在11,1e ⎛
⎤-- ⎥⎝⎦内为减函
数. ……………… 6分
（Ⅱ）由题意得:min max ()()f x g x >, []0,2x ∈
[]0,2,()x f x ∈为递增函数,min ()0f x ∴=; []0,2,()x g x ∈为递增函数, max ()6g x a ∴=+
a ∴的取值范围为6a <-. ……………… 12分
21． （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）过点P 作PN 垂直直线1y =-于点.N
依题意得：||||PF PN =，
所以动点P 的轨迹为是以()0,1F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线， 即
曲
线
W
的方程是
24.x y = ………………………4分
（Ⅱ）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，00(,)Q x y ，则
由24
x y =知，2x
y '=， ∴12AQ x k =，22BQ x k =
又∵切线AQ 的方程为：1
11()2x y y x x -=-，注意到2114
x y =
切线AQ 的方程可化为：11220xx y y --=；
由00(,)Q x y 在切线AQ 上， ∴0110220x x y y --= 于是11(,)A x y 在直线00220x x y y --=上
同理，由切线BQ 的方程可得：0220220x x y y --= 于是22(,)B x y 在直线00220x x y y --=上 所以，直线AB 的方程为：00220x x y y --=， 又把002y x =-代入上式得：002240x x y x --+=
∴直线AB 的方程为：0
2(2)2
x y x -=
- ∴直线AB 必过定点()2,2M . ………………………12分
（Ⅱ）解法二：设00(,)Q x y ，切点的坐标为)4
,(2
11x x ，则
由24x y =知，2x
y '=，得切线方程：)(2
41121x x x x y -=-
即为：04212
1=+-y x x x ，又∵00(,)Q x y 在切线上，
所以可得：04201021=+-y x x x ，又把002y x =-代入上式得： 084201021=-+-x x x x ，解之得：8402
001+-±=x x x x
∴
)
4
)84(,
84(2
0202002
0+-++-+x x x x x x A ，
)4
)84(,84(2
02
00020
0+--+--x x x x x x B
故直线AB 的方程为：)]84([2
4
)84(02
0002
02
00+-+-=
+-+-
x x x x x x x x y 化简得：002240x x y x --+= ∴直线AB 的方程为：0
2(2)2
x y x -=
- ∴直线AB 必过定点()2,2M . 22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由131n n a S n +=+-()
*n N ∈①
得：134n n a S n -=+-()2n ≥②
①-②得123(2)n n a a n +=+≥， 即有()1323n n a a ++=+()2n ≥,
∴数列{}3n a +是从第二项为234a +=，公比为2的等比数列
∴()223322n n n a a -+=+⋅= 即23n n a =-()2n ≥， ……………………5分
而11a =-满足该式， ∴23n n a =-()*n N ∈. ……………………6分 （Ⅱ）()1312n n n n b λ-=+- ， ()111312n n n n b λ+++=+- 要使1n n b b +>恒成立
∴()
11233120n n n n n b b λ-+-=⋅--⋅>恒成立 即()11312n n λ--⎛⎫-< ⎪⎝⎭
当n 为奇数时，132n λ-⎛⎫< ⎪⎝⎭恒成立，而132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为1 ∴1λ< ………………………………………………
10分 当n 为偶数时，132n λ-⎛⎫>- ⎪⎝⎭恒成立，而132n -⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为32- ∴32
λ>- ∴302
λ-<<或01λ<< 所以，存在1λ=-，使得对任意*n N ∈都有1n n b b +>. ……………………………………12分。