第40讲 数列最值的求法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

【知识要点】
一、数列是一个函数，所以函数求最值的很多方式一样适用于它，又由于数列是一个特殊的函数，在求最值时，又表现出它的特殊性.有些特殊的方式要理解并记住.
二、数列求最值常常利用的方式有函数、数形结合、根本不等式、导数、单调性等，特殊的方式有夹逼法等. 【方式讲评】
【例1】在等差数列}{n a 中，1,101-==d a ，n S 为}{n a 前n 项和，求n S 的最大值. 【点评】数列是一个特殊的函数，等差数列的前n 项和可以看做是一个关于n 的二次函数
2n S An Bn =+，利用图像解答.
【反映检测1】 设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，3a =12，12s >0,130s <, (1)求公差d 的取值范围；
〔2〕指出1s ，2s ，…，12s 中哪个值最大，并说明理由.
【例2】在等比数列{}n a 中，)(0*
N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ，且252825351=++a a a a a a ，3a 与5a 的等
比中项为2.
〔1〕求数列{}n a 的通项公式；
〔2〕设n n a b 2log =，数列{}n b 的前n 项和为S n ，当
n
S S S n +++ 212
1最大时，求n 的值. 【点评】〔1〕等差数列的通项n a 可以看做是一个关于n 的一个一次函数，画出函数的图像，比拟直观地看出数列的哪些项是正数，哪些项是负数，从而取得前多少项的和最大或最小.〔2〕注意数列{}n a 中，由 于9a 0=，所以前8项的和和前9项的和相等，且都最大，所以在考虑问题时，注意那些“零〞项，以避免得犯错误的结论.
【例3】数列{}n a
中，)n a n N *=
∈那么在数列{}n a 的前n 项中最小项和最大项别离是〔 〕
A.150,a a
B. 18,a a
C. 89,a a
D.950,a a
【点评】该题中的函数是双曲线，画出函数的图像，可以看出在靠近渐近线的地方函数取到最小值或最大值. 【反映检测2】等差数列{n a },*
n a N ∈,n S =212)8n a +（.假设1
302
n n b a =-，求数列 {n b }的前n 项和的最小值.
【例4】 数列}{n a 的通项公式n
n n a )10
)(
1(+=，)(N n ∈，求}{n a 的最大值. 【点评】〔1〕数列依照单调性分可以分为单调增函数、单调减函数、非单调函数.〔2〕判断数列的单调性一般有两种方式，方式一是作差判断，若是
110{}0{}n n n n n n a a a a a a ++->⇒-<⇒单调递增；单调递减.方式二是作商判断，若是
【例5】设单调递增函数()f x 的概念域为()0,+∞，且对任意的正实数,x y 有：()()()f xy f x f y =+且
1
()12
f =-． ⑴一个各项均为正数的数列{}n a 知足:()()(1)1n n n f s f a f a =++-其中n S 为数列{}n a 的前n 项和,求数列{}n a 的通项公式；
⑵在⑴的条件下，是不是存在正数M 使以下不等式：
对一切*n N ∈成立？假设存在，求出M 的取值范围；假设不存在，请说明理由． ⑵假设M 存在知足条件， 即21)(21)
(21)n n
n a M a a ≤
--对一切*n N ∈恒成立．
令2
()1)(21)(21)
n n
n a g n a a =
--，
∴1((1)(21)(2
n n n g n
n +⨯⨯⨯+=
⨯
⨯-，
故(1)1()
g n g n +=
=
>，
(1)()g n g n ∴+>，∴()g n 单调递增，*n N ∴∈，()(1)g n g ≥
=
．
∴0M <≤
【点评】〔1〕此题就是利用作商法判断数列的单调性，再求数列的最值；〔2〕是选择作差法判断函数的单调性，仍是选择作商法判断数列的单调性，主要看数列的形式，若是数列是商的形式，一般利用作商法判断数列的单调性，若是数列是和的形式，一般选择作差法判断数列的单调性.
【反映检测3】 数列{}n a 中，,11=a 且点()()
1,n n P a a n N *+∈在直线10x y -+=上．
〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕假设函数()123
111
1
(),n
f n n N n a n a n a n a *=
++++
∈++++求函数)(n f 的最小值； 〔3〕设n n
n S a b ,1
=
表示数列{}n b 的前n 项和， 试证明：1231(1),(,2)n n S S S S n S n N n *-++++=-∈≥．
【例6】广州市某通信设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产，第一年需要的各类费用是12万元，从第二年开场，所需费用会比上一年增加4万元，而每一年因引进该设备可取得的年利润为50万元. 〔1〕引进该设备多少年后，开场盈利？ 〔2〕引进该设备假设干年后，有两种处置方案：
第一种：年平均盈利抵达最大值时，以26万元的价钱卖出；
第二种：盈利总额抵达最大值时，以8万元的价钱卖出.问哪一种方案较为合算？并说明理由.
【点评】根本不等式一样可以求数列的最值.若是n 取等时的值不是正整数，可以求它周围的点的函数值，比拟就可以够了.
【反映检测4】某大学毕业生响应国家“自主创业〞的号召，今年年初组织一些同窗自筹资金196万元购进一台设备，并当即投入生产自行设计的产品，方案第一年维修、保养费用24万元，从第二年开场，每一年所需维修、保养费用比上一年增加8万元，该设备利用后，每一年的总收入为100万元，设从今年起利用n 年后该设备的盈利额为()f n 万元. 〔Ⅰ〕写出()f n 的表达式；
〔Ⅱ〕求从第几年开场，该设备开场盈利；
〔Ⅲ〕利用假设干年后，对该设备的处置方案有两种：方案一：年平均盈利额抵达最大值时，以52万元价钱处置该设备；方案二：当盈利额抵达最大值时，以16万元价钱处置该设备.问用哪一种方案处置较为合算?请说明理由．
【例7】在数列}{n a 中，n
n a •a k•a n n +-
+=+=+2
111,1〔n *∈N 〕，其中k 是常数，且3625≤≤k . 〔Ⅰ〕求数列}{n a 的通项公式；〔Ⅱ〕求数列}{n a 的最小项.
以上1n -个式子相加得)1
1(11n k n a a n ---=-，即)11(11n
k n a a n ---+=. 又k a +=11，所以)11(11n k n k a n ---++=，即(2,3,)n k
a n n n
=+=. 当1n =时，上式也成立.
所以数列}{n a 的通项公式为(1,2,3,)n k
a n n n
=+
=. 〔Ⅱ〕为考察数列}{n a 的单调性，注意到(1,2,3,)n k a n n n =+=，可设函数)1)()(≥+=x x
k
x x f ，那么
21)(x
k
x f -='，即2
2)(x k x x f -='.
可知x ⎡∈⎣
时，0)(<'x f ；k x =
时，0)(='x f ；)x ∈+∞时，0)(>'x f .
所以函数x
k
x x f +
=)(在[1，k ]上是减函数；在)
+∞上是增函数.
因为3625≤≤k ，所以65≤≤k .
〔3〕当56a a =，即6
655k
k +=+
，即30k =时， 12345567,a a a a a a a a >>>>=<<
. 所以数列}{n a 的最小项为
116
30
665=+
==a a . 〔4〕当65a a <且5>k 时，6
655k
k +<+
且25>k ，那么3025<<k ， 12345567,a a a a a a a a >>>>><<. 所以数列}{n a 的最小项为5
55k
a +=.
〔5〕当665<>k a a 且时，6
655k
k +>+且36k <，那么3630<<k ，
<<>>>>>76654321,a •a •a a a a a a .
所以数列}{n a 的最小项为6
66k a +
=. 综上所述：当25k =时，数列}{n a 的最小项为5a =10；当3025<<k 时，数列}{n a 的最小项为5
55k a +=；当30k =时，数列}{n a 的最小项为56a a ==11；当3036k <<时，数列}{n a 的最小项为6
66k
a +
=；当36k =时，数列}{n a 的最小项为612a =.【点评】〔1〕利用导数求数列的最值，不能直接求，必需先构造数列对应的函数，因为数列是离散型函数，不可导.〔2〕注意数列对应的函数的单调性和数列本身的单调性是有区别的，有人以为“数列对应的函数在),0(a 上单调递增，在),(+∞a 上单调递减，那么数列在最靠近a x =的地方取得最大值〞.如以下图所示，数列对应的持续函数在),0(a 上单调递增，在),(+∞a 上单调递减，可是数列并非是在最靠近c x a x ==的处取得最大值，而是在b x =处取得最大值〔其中)0,,>∈*
a N c
b .所以可知当数列对应的函数在),0(a 上单调递增，在),(+∞a 上单调递减，那么数列不必然在最靠近a x =的地方取得最大值，必需把a x =周围的整数值代进去比拟，才可以判断谁是最大值.所以一般不利用导数求数列的最值.
【例8】二项式122n
x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
．
〔1〕假设展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
〔2〕假设展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
【点评】利用数列离散的特点，考察⎩⎨⎧≥≥-+11k k k k a a a a 或⎩⎨⎧≤≤-+11
k k
k k a a a a ，然后判断数列}{n a 的最值情况.〔1〕、假设数
列}{n a 中的最大项为k a ，那么⎩⎨
⎧≥≥-+1
1k k k k a a a a ；〔2〕、假设数列}{n a 中的最小项为k a ，那么⎩⎨⎧≤≤-+11k k k k a a a a .注意：这只
是k a 为数列最值的必要不充分条件，不是充要条件，假设k 不止一解时，需要代入查验.
【反映检测6】n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992，求n x
x 2)1
2(-的展开式中：〔1〕二项式系数最大的项；〔2〕系数的绝对值最大的项.
高中数学常见题型解法归纳及反映检测第40讲：
数列最值的求法参考答案
【反映检测1答案】〔1〕〔-
24
7
,-3〕；〔2〕当6n =时，n S 最大. 解法二：由题意可得：n S =1na +(1)2n n d -=(122)n d -+22n n d -=25
(12)22
d n d n +- 显然0d ≠, n S 是关于自变量n 的二次函数， 由〔1〕知：0d <,
二次函数的图像抛物线的对称轴为512
2n d
=
-, 由〔1〕知：24
37d -<<-， 所以6<5122d -<13
2
,
又因为n *N ∈,
故当6n =时，n S 最大，即6s 最大. 【反映检测2答案】225- 因此等差数列{n a }的公差大于0.
1a =1s =211
2)8
a +（,解得1a =2.
所以42n a n =-,那么1
302312
n n b a n =-=-.
即数列{n b }也为等差数列且公差为2.
由23102(1)310{
n n -≤+-≥，解得293122
n ≤≤，
因为n *
N ∈，所以15n =, 故{n b }的前15项为负值， 因此15s 最小， 可知1b =-29，d =2,
所以数列 {n b }的前n 项和的最小值为
15s =
1529215312
-+⨯-（）
=-225.
【反映检测3答案】〔1〕n a n =；〔2〕)(n f 的最小值是1(1)2
f =
；〔3〕观点析. 【反映检测3详细解析】〔1〕由点P ),(1+n n a a 在直线01=+-y x 上，即11=-+n n a a ，
且11=a ，数列{n a }是以1为首项，1为公差的等差数列1(1)1n a n n =+-⋅=，∴n a n = 〔2〕n
n n n f 21
2111)(+
++++=
所以)(n f 是单调递增，故)(n f 的最小值是1
(1)2
f =
()1n n nS n n S =-=-.(,2)n N n *∈≥
【反映检测4答案】〔Ⅰ〕()2
480196f n n n =-+-〔n *∈N 〕；〔Ⅱ〕从第三年开场盈
利；〔Ⅲ〕采用方案一合算．
【反映检测4详细解析】〔Ⅰ〕2(1)
()100196[248]480196()2
n n f n n n n n n N *-=--+
=-+-∈． 〔Ⅱ〕由()0f n >得：24801960n n -+->即220490n n -+<，
解得1010n <+，由n N *∈知，
317n ≤≤，即从第三年开场盈利
〔Ⅲ〕方案①：年平均盈利为
()f n n
，那么()494()8048024f n n n n =-++≤-⋅=，当且仅当49
n n
=，即7n =时，年平均利润最大，共盈利24×7＋52＝220万元．
方案②：2
()4(10)204f n n =--+，当10n =时，取得最大值204，即通过10年盈利总额最大，共计盈利204＋16＝220万元
两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算． 【反映检测5
答案】31{} 1.n a a a =的最大项为最小项为
【反映检测6答案】〔1〕8064)1()2(555106-=-⋅⋅=x x C T ；〔2〕437310415360)1()2(x x
x C T -=-=。

【反映检测6详细解析】由题意知992222=-n n ，解得5=n .
〔1〕10)12(x x -
的展开式中第6项的二项式系数最大，即8064)1()2(555106-=-⋅⋅=x
x C T 〔2〕设第1+r 项的系数的绝对值最大，因为r r r r x
x C T )1()2(10101-⋅⋅=-+r r r r x C 21010102)1(--⋅⋅⋅-= 那么⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅--+-+---110110101011011010102222r r r r r r r r C C C C ，得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-1
1010
1101022r r r r C C C C 即⎩⎨⎧-≥+≥-r r r r 10)1(2211解得≤≤r 38311
所以3r =，故系数的绝对值最大的项是第4项即437310415360)1
()2(x x
x C T -=-=。