新课标人教B 高二年级必修五+选修2-1前两章年前考试试题(含答案)

高二年级上学期期末数学（理科）试题2011.1
命题人：肖成荣
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）
A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,08⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭
2．语句5>x 的一个充分不必要条件是（ ）
A ．8<x
B ．0>x
C ．5>x
D ．8>x
3．动圆C 与定圆06:221=++x y x o 外切，且与定圆406:222=-+x y x o 内切，那么动圆圆心C 的轨迹是（ ） A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线的一支
D ．抛物线
4．下列命题中的假命题．．．
是( ) A. ,lg 0x R x ∃∈= B. ,tan 1x R x ∃∈= C . 3,0x R x ∀∈> D. ,20x
x R ∀∈>
5．若不等式022
>++bx ax 的解集⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧<<-3121|x x 则a －b 值是 ( )
A.－10
B.－14
C.10
D.14 6. 在等比数列{a n }中，4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是 ( )
A ．16
B ． 31
C ．81
D ．121
7. 一抛物线型拱桥，当水面离拱桥顶2米时，水面宽为4米，则水面下降1米后水面宽为（ ）米
A 、6
B 、26
C 、4.5
D 、9
8. 已知y x y
x y x +=+>>则且,19
10,0的最小值是（ ）
A ．12
B ．16
C ．18 D.20
9．在ABC ∆中，三边c b a ，，与面积S 的关系是4
2
22c b a S -+=，则∠C =( )
A ．045
B ．060
C ．0
90
D ．0
120
10．设双曲线的两条渐近线为1
2
y x =±
, 则该双曲线的离心率e 为 （ ） A ．5
B
54 C
．
2
D ．54
11．若不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥+≥43430
y x y x x 所表示的平面区域被直线y=kx+4分成面积相等的两部分，则k 的值为( )
A.
37 B.73 C.173- D.317
- 12．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是 ( )
A
.42n +
B.42n -
C.24n +
D.33n +
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．一高脚酒杯上部是一个旋转体，其轴截面是一个满足抛物线y x =2的部分，一个小球放入酒杯能
落在酒杯底部，则小球的半径r 的取值范围是 。

14．在等差数列{}n a 中，公差 0≠d ，且431,,a a a 成等比数列，则其公比=q . 15．已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，则b a -10的取值范围 。

16. 对于曲线C ∶1
42
2-+-k y k x =1，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆；
②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆；
③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜
2
5
第1个
第2个
第3个
其中所有正确命题的序号为 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分） 已知ABC ∆三内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，关于x 的不等式
06sin 4cos 2<+⋅+⋅C x C x 的解集为空集
（1）求角C 的最大值. （2）已知27=c ，ABC ∆的面积2
33=S ，当C 最大时，求b a +的值
18. （本小题满分12分）命题P ：关于x 的方程2(1)0mx m x m --+=没有实数解；
命题Q ：关于x 的方程2(3)30x m x m -+++=有两个不等正实数根；若命题P 为真且命题Q 为
假，求m 的取值范围。

19.（本小题满分12分）已知点(2,0),(2,0)A B -，点P 是平面内一动点，直线PA 、PB 斜率之积为
34
-
. (Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程；
(Ⅱ)过点1
(,0)2
作直线l 与轨迹C 交于E F 、两点，线段EF 的中点为M ,求中点M 的轨迹方程.
20. （本小题满分12分）如图，某海轮以60 海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 分钟到达C 点，求P 、C 间的距离．
21. (本小题满分12分) 已知{}n a 是等差数列，前n 项和是S n ，且972=+a a , 367a S =
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令n n n a b 2⋅=，求数列{}n b 的前n 项和T n
（3）令2+⋅=n n n a a C ，求数列 ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n C 1的前n 项和n G
22. （本小题满分14分）已知抛物线 C:2y x =-与直线(1)y k x =+相交于A 、B 两点, 点O 是坐标原点，M (,1)m 是抛物线C 上的一点. (1) 求证: OA ⊥OB;
(2) 当弦长AB
, 求k 的值.
(3)过M 点的两条直线的倾斜角之和为0
180，与抛物线C 交点为P,Q ，求证直线PQ 的斜率是一个常数，并求出该常数值。

C
数学（理）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．D 2D 3.B 4.C 5.B 6.A.7. A 8.B 9.A 10. C 11.C12．A 二、填空题（每小题4分，共16分） 13．2
10≤<r 14．21
15．23101≤-≤-b a 16． ③④
三、解答题
17．解：（1）06sin 4cos 2
<++C x C x 的解集是空集
0cos >C 且0≤∆，解得2
1
cos ≥
C ……………………...4分 又),0(π∈C ，所以C 的最大值为
3
π
……………………...6分 （2）2
3
3sin 21==C ab S ,3π=C ,
6=∴ab ……………………...9分
而2
1
2cos 2
2
2
=-+=
ab c b a C
6)2
7
(222==-+∴ab b a …………………...11分
4
121
2)(222=++=+∴ab b a b a
2
11
=+∴b a …………………...12分
18.解：命题P ：关于x 的方程2(1)0mx m x m --+=没有实数解。

当0m =时不符合题意。

所以0m ≠ 且2
2
(1)40m m ∆=--< 解得1
13
m m >
<-或。

……………………...5分 命题Q ：关于x 的方程2(3)30x m x m -+++=有两个不等正实数根。

所以满足21212(3)4(3)03030m m x x m x x m ⎧∆=+-+>⎪
+=+>⎨⎪=+>⎩
得1m > 则非Q 为1m ≤……………………...11分
命题P 且命题非Q 为真得m 的范围是11m m <-<≤1
或3。

……………………...12分
19.解：（1）设动点坐标为(,)P x y ，由题意得 003
224
PA PB y y K K x x --=
⋅=--+ 化简得 22
143
x y +=()2x ≠± ……………………...6分
（2）设EF 中点坐标为(,)M x y ,11(,)E x y ,22(,)F x y 得
22
1122
22143
1
4
3x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得
()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+= 又12121
2
EF y y y K x x x -==
-- 得 22
33402x y x +-= ()0x ≠……………...12分 （另解）
依题意，直线l 过点1(,0)2
且斜率不为零，故可设其方程为12
x my =+. 由方程组22
1214
3x my x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去x ，并整理得22
4(34)12450m y my ++-=. 设),(),,(2211y x F y x E ,),(00y x M , 122334
m
y y m ∴+=-+ ，
所以()121224134
x x m y y m +=++=+ 又12122,2y y y x x x +=+=
消去 m 得2
2
3
3402
x y x +-= ()0x ≠……………...12分
20．解： ∵在A 点测的海面上油井P 在南偏东60度， ∴∠PAS=60°。

∵海轮以30海里/小时的速度航行，向北航行40分钟后到达B 点， 测的油井P 在南偏东30度， ∴AB=30⨯
40
60
=20(海里），∠PBA=30°，……………4分 ∵海轮改为北偏东60度航行80分钟到达C 点,
2
1)21(2--n
∴∠CBN=60°，BC=3080
60
⨯
=40（海里）。

∵∠PAS=60°，∠PBA=30°， ∴∠APB=30°， ∴△ABP 是等腰三角形。

∴可求得
BP=……………8分 ∵∠PBA=30°，∠CBN=60°， ∴∠CBP=90°。

∴△CBP 是直角三角形。

∴由勾股定理得222
PC BC BP =+=2800。

故PC
之间的距离海里. ……………12分
21．解：（1
） 解得n a n = …………... 4分
（2）b n = a n ·2n
=n·2
n
T n =1·2+2·22+3·23+…+n·2
n
2T n = l·22+2·23+···+(n-1)·2n +n·2
n+1
∴-T n =1·2+22+23+…+2n -n·2n+1= -n·2n+1 ∴T n =（n-1)·2n+1+2 ……………………...9分
（3）C n = 311⨯+421⨯+531⨯+…+)
2(1
+n n =21[1-31+21-41+31-51+…+n 1-21+n ]
=21(1+21-11+n -21+n )=
)
23(45322+++n n n n ……………………...12分
22．解：（1）设A 、B 两点的坐标为()()1122,,,x y x y ，由题意得
2
(1)y k x y x
=+⎧⎨=-⎩ 消去y 得2222
(21)0k x k x k +++= 20k ≠ 2242(21)4410k k k ∴∆=+-=+> 由韦达定理得
2
12122
21
,1k x x x x k ++=-
= ……………………..4分
可得121y y =- 又因为12120OA OB x x y y ⋅=+=
所以OA ⊥OB; ………………...6分
（2）AB == 解得1k =± ……………...9分
（3）解法一M (,1)m 是抛物线C 上的一点,得(1,1)M -。

设直线MP 与x 轴交点为R ，直线MQ 与x 轴
交点为S,则MPQ ∆为等腰三角形，MP MQ =，不妨设(1,0),(1,0)R a S a ---+可以解得
22
(1)(1)(,1),(,1)11
a a P a Q a ---+---+--即22((1),1),((1),1)P a a Q a a -+----+-+……...12分
所以()()()()()()22112142
11PQ a a a K a a a -+---=
==--+--+ 是常数 ……...14分
解法二M (,1)m 是抛物线C 上的一点,得(1,1)M -。

设直线MP ：(1)y kx k =++ 直线MQ ：(1)y kx k =-+-+
有2
(1)y kx k y x
=++⎧⎨
=-⎩ 得()2222
221(1)0k x k k x k +++++= 有交点(1,1)M -得 ()()2
2
11P
k x k +-=
得()2
2
1P
k x k +=-
所以()22
11,k k P k k ⎛⎫
++-- ⎪ ⎪⎝⎭
同理()22
11,k k Q k k ⎛⎫
-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭
……...12分 所以()()222211214211PQ
k k k k k K k k k k k -++⎛⎫-- ⎪⎝⎭==
=⎛⎫⎛⎫-++--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
为常数 ……...14分
2a 1+7d = 9
6a 1+15d=7a 1+14d
a 2 + a 7= 9 S 6=7a 3 C。