广东省湛江市麻章区第一中学2020年高三数学文月考试卷含解析

广东省湛江市麻章区第一中学2020年高三数学文月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. .若，，则的值为（）
A.正数
B.负数
C. 非负
数 D.与的值有关
参考答案：
B
略
2. 下列说法正确的是
A.若，则
B.函数的零点落在区间内
C.函数的最小值为2
D.若，则直线与直线互相平行
参考答案：
B
本题考查命题的真假。

若a=1，b=-1，不等式不成立，排除A；，而且函数在区间内单增，所以在区间内存在唯一零点，B正确；令x=-1，则，不满足题意，C错；若，则直线重合，D错；所以选B。

3. 已知定义在的函数存在极值点，则的取值范围是（）
参考答案：
C
4. 过曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|=|MN|，则曲线C1的离心率为（）
A．B．﹣1 C． +1 D．
参考答案：
D
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用O为F1F2的中点，M为F1N的中点，可得OM为
△NF1F2的中位线，从而可求|NF1|，再设N（x，y）过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c 的关系式，最后即可求得离心率．
【解答】解：设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为（c，0）
因为曲线C1与C3有一个共同的焦点，所以y2=4cx
因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，所以OM为△NF1F2的中位线，
所以OM∥NF2，
因为|OM|=a，所以|NF2|=2a
又NF2⊥NF1，|FF2|=2c 所以|NF1|=2b
设N（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，
∴x=2a﹣c
过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a
由勾股定理 y2+4a2=4b2，即4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2）
得e2﹣e﹣1=0，
∴e=．
故选：D
5. 从编号分别为，，…，的张卡片中任意抽取张，将它们的编号从小到大依次记为，，，则-≥且-≥的概率
为 ( ) A． B． C． D．参考答案：
B
6. 已知全集U={－1,0,1,2,3}，集合A={0,1,2}，B={－1,0,1}，则（）
A. {－1}
B. {0,1}
C. {－1,2,3}
D. {－1,0,1,3}
参考答案：
A
【分析】
本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】，则
【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.
7. 在中，内角所对的边分别为，其中，
且面积为,则( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
8. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为
A. B.
C. D.
参考答案：
C
9. 已知α，β是三次函数的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），则的取值范围是( )
A．B．C．D．
参考答案：
A
考点：函数在某点取得极值的条件．
专题：计算题．
分析：由已知中α，β是三次函数的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），我们易得f′（x）=x2+ax+2b的两个零点分别在区间（0，1）和（1，2）上，由零点存在
定理，我们易构造关于a，b的不等式组，将问题转化为一个线性规划问题，分析的几何意义，即可根据数形结合求出答案．
解答：解：∵函数
∴f′（x）=x2+ax+2b
又∵α∈（0，1），β∈（1，2），
∴
其对应的平面区域如下图所示：
由图可得：当x=﹣3，y=1时，取最小值；
当x=﹣1，y=0时，取最大值1；
故选A
点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中根据函数在某点取得极值的条件，将问题转化为函数的零点问题，再根据零点存在定理，将问题转化为线性规划问题是解答本题的关键．
10. 已知函数，若函数的图像关于点
对称，且，则 （ ）
A ．
B 。

C 。

D 。

参考答案： C 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如果存在实数使不等式
成立，则实数的取值范围是_________．
参考答案：
12. 如图, 已知圆中两条弦
与
相交于点
，
是
延长线上一点, 且
，
∶
∶
∶∶. 若与该圆相切，则线段
的长为 .
参考答案：
设
， 则
，
. 则由相交弦定理，得
，
即，即.
由切割线定理，得，所以.
13. 已知一个棱锥的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个棱锥的侧面积是
参考答案：
4+4
+2
（cm 2）
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】数形结合；分割补形法；空间位置关系与距离．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，计算出各个侧面的面积，相加即可．
【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体直观图如下：
其中PA⊥底面ABCD ，
PA=AB=AD=2cm ，BC=4cm ，底面ABCD 是以AB 为直角角的直角梯形， 所以S △PAB =S △PAD =×2×2=2cm 2
， PB=PD=CD=2
cm ，AC=2
cm ，PC=2cm ， 所以PB⊥BC，S △PBC =×2
×4=4
cm 2，
等腰△PCD 底边PC 上的高为：=cm ，
所以S △PCD =×2
×
=2
cm 2，
所以棱锥的侧面积S=2×2+4+2=4+4+2cm2，．
故答案为：4+4+2cm2
【点评】本题考查了根据几何体的三视图求表面积的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的形状，是基础题目．
14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线c的极坐标方程为
，则直线l和曲线C 的公共点有个.
参考答案：
1
15. 已知正方体的棱长为4
，点是的中点，点是内的动点，若
，则点到平面
的距离的范围是.
参考答案：
[3,4]
16. 的最小正周期是＿＿＿＿。

参考答案：
略
17. 已知向量，，其中.若，则= ．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，），在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：.
（1）试将曲线C1与C2化为直角坐标系xOy中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a的取值范围；（2）当时，两曲线相交于A、B两点，求.
参考答案：
（1）曲线：，消去参数可得普通方程为.
由，得.故曲线：化为平面直角坐标系中的普通方程为.
当两曲线有公共点时的取值范围为.
（2）当时，曲线：，即，
联立方程，消去，得两曲线交点，所在直线方程为.
曲线的圆心到直线的距离为，
所以.
19. （本小题共12分）
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行.
（1）求A；
（2）若，求△ABC的面积.
参考答案：
解：(1)因为与平行，所以，
由正弦定理得，又，从而，
由于，所以
（2）由余弦定理得，故面积为.
20. （本题14分）设函数.
（Ⅰ）求函数的图像在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（III）若，为整数，且当时，，求的最大值．西安市第一中学
参考答案：
（Ⅰ），，
函数的图像在点处的切线方程为
（Ⅱ）.
若，则恒成立，所以，在区间上单调递增.
若，则当时，，当时，，
所以，在区间上单调递减，在上单调递增.
（III）由于，所以，
故当时，①
令，则
函数在上单调递增，而
所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点.
设此零点为，则.当时，；当时，；所以，在上的最小值为.由可得
所以，由于①式等价于.
故整数的最大值为2.
21. 已知函数，。

⑴讨论函数的单调性；⑵如果存在、，使得成立，求满足上述条件的最大整数；
⑶如果对任意、，都有成立，求实数的取值范围。

参考答案：
解：⑴，
①当时，由于所以，函数在上单调递增；
②当时，，函数的单调递增区间为；
，函数的单调递减区间为
⑵存在、，使得成立，
等价于
，
当变化时，和的变化情况如下表：
由上表可知：，
，
所以满足条件的最大整数。

⑶当时，恒成立，
等价于恒成立。

记，所以。

，。

当时，，，
即函数在区间上递增，
当时，，，
即函数在区间上递减，
当时，函数取得极大值也是最大值
所以。

略
22. 为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省于2012年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160度以下（含2160度），执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯电量：年用电量2161至4200度（含4200度），执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯电量：年用电量4200度以上，执行第三档电价0.8653元/度.
某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下表：
（Ⅱ）现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；
（Ⅲ）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k
的值.
参考答案：
解：（Ⅰ）因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4600度，则该户本年度应交电费为
4600×0.5653 +（4200-2160）×0.05 +（4600-4200）×0.3=2822.38元…………3分
（Ⅱ）设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有4户，则可取0，1，2，3，4.
,，
,
故的分布列是
所以……………………7分
（Ⅲ）由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足，可知
,解得，
所以当时，概率最大，所以.…………………………………………12分。