第二讲 线性规划导论

标准袋的数量
满足所有约束条件的可行域
D
1200
高档袋的数量
1000
成 型
缝 合
可行域 0 800 600 400 200
切
割 印
染
检验 包装
200 400 600 800 1000 1200 1400
S
标准袋的数量
图2-5 所有的约束条件组合起来 表示出派公司的可行域
可行域——可行解
D
600
高档袋的数量
高档袋的数量
1000
1S +2
高档袋的数量
1000 800 600 400 200 0
(0,720)
800 600 400 200
/3 D= 70
1/2
S+5
缝合 约束条件
8 成
/6D
型
=60
0
缝合
（1200，0）
(708,0)
200 400 600
800 1000 1200 1400
S
D
1200
0
练习


戴海（Diehl）投资公司的财务顾问得知有两家公司很可 能在近期有并购计划。西部电缆公司是制造建筑光缆方 面的优秀公司，而康木交换公司是一家数字交换系统方 面的新公司。西部电缆公司股票的现在每股交易价是40 美元，而康木交换公司的每股交易价是25美元。如果并 购发生了，财务顾问预测西部电缆公司每股价格将上涨 到55美元，康木交换公司每股价格将上涨到43美元。财 务顾问确认投资康木交换的风险比较高。假设投资在这 两种股票上的资金的最大值是50000美元，财务顾问希望 至少在西部电缆公司上投资15000美元，至少在康木交换 公司投资10000美元。又因为康木交换公司的风险比较高， 所以财务顾问建议对康木交换公司的最大投资不能超过 25000. 如何投资才能使总投资回报率最大。
2.金融分析员必须选择一种股票或证券进行 投资。金融分析员希望使自己的投资有最 大的回报率。
线性规划问题的典型应用
3.营销经理希望能够从广播、电视、报纸、 杂志这几种媒体中选择一种合适的组合， 确定广告预算使自己的广告效益最好。 4.公司的仓库分布于全美各地，现在有一些 顾客订单，公司希望确定每个仓库的发货 量，使总成本最低。
松弛变量

最优解情况下，Par公司生产运作所需要的 生产时间的信息。
约束条件 切割印染 缝合 成型 需要时间 S=540，D=252 7/10*540+1*252=630 ½*540+5/6*252=480 1*540+2/3*252=708 最大工作时间 630 600 708 135 未使用时间 0 120 0 18
高档袋的数量
400
最优解
S=540
200
D=252
0
200
400
600
800
S
标准袋的数量
图2-9 派公司的最优解
图解法求解最大化问题小结
1.画出每个约束条件的可行解的范围 2.确定可以满足全部约束条件的可行解的范围。 3.根据特殊的目标函数的值，画出表示决策变量 的目标函数线。 4.通过平行移动目标函数线，使目标函数值增大， 直到可行域全在直线的一侧。 5.在目标函数线上，使目标函数的值最大的解就 是最优解。
一个简单的最大化问题（3）
表2-1 生产每个高尔夫袋所需要的时间
生产耗时 标准袋 高档袋 1 7/10 1/2 1 1/10 5/6 2/3 1/4
部门
切割印染 缝合 完成 检查包装
返回
一个简单的最大化问题（4）
Par公司的生产还受各个部门生产能力的限制。经过
对整个生产部门工作量的研究。生产制定者分析得出，3 个月内每个部门的最大生产时间分别是：切割印染630时， 缝合600小时，成型708小时，检查包装135小时。 会计部门经过对生产数据、各种生产成本的分析得 出了以下的结论，生产一个标准袋的利润是10美元，生 产一个高级袋的利润是9美元。 我们现在可以为Par公司建立数学模型，用来决定高 级袋和标准袋各应生产多少才可以使公司获得最大的利 润。 返回
M&D公司的线性规划模型
min
s.t. 1A ≥125 1A + 1B ≥ 350 2A + 1B ≤ 600 A，B ≥ 0 产品A的需求量 总产量 生产时间
2A+3B

M&D公司问题的可行域
B
生产 时间
600 500
A=125
B的产量
400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600
第六步

用决策变量写出约束条件
约束条件1： （切割和印染所用的时间）≤ （公司切割印染部的最大工作时间）
7 S 1D 630 10

约束条件2 （缝合所用时间）≤（公司缝合部的最大工作时间）
1 5 S D 600 2 6
所需时间
约束
第六步

用决策变量写出约束条件
约束条件3： (成型所用时间)≤(公司成型部的最大工作时间)
1200
高档袋的数量
1000 800 600 400 200 0
7/
10
切割印染约束条件 （C&D）
S+ 1D =6 30
C&
D
200 400 600 800 1000 1200 1400
S
标准袋的数量
图2-3 阴影区域代表满足切割印染约束条件的可行解的 范围
所有约束条件
D
1200
1200
D
（0,1062） 成型 约束条件
1A 0 力 35 能 B= 产 +1 生
图2-15 M—D公司的可行域
2A+ 1B= 600
A
A的产量
M&D公司问题的最优解
B
600 500
B的产量
400 300 200
+3 100 最优解 B= 80 （A=250,B=100） 0
0 100 200 300 400
.
2A
2A+
3B=
120
0
500
极点与最优解
D
600 5 最优解 （S=300,D=420）
高档袋的数量
4
400 (0,300) 最大利润线 5S+9D=5280
结论：最优解一定 可以在可行区域的 一个极点上找到。
200
5S+
9D=
3
270 0
(540,0)
1
0 200 400 600
2
800
S
标准袋的数量
图2-12 在目标函数为5S+9D时，派公司的最优解
400
满足所有约束条件 的解为可行解。
可行域
200
可行解所在的阴影 区域为可行域。
S
0
200
400
600
800
标准袋的数量
图2-6 派公司的可行域
画目标函数直线
D
600
高档袋的数量
400 （0，200） 200 利润线 10S+9D=1800 （180，0）
0
200
400
600
800
S
标准袋的数量
4.检查和包装。
一个简单的最大化问题（2）
生产制定者详细分析生产过程的每一步，得出以下 结论：
生产一个标准的高尔夫袋需要用：7/10小时完成切 割和印染，用1/2小时完成缝合，用1小时完成成型，用 1/10小时检查包装。 生产高级一点的袋则需要：用1小时完成切割和印染， 用5/6小时完成缝合，用2/3小时完成成型，用1/4小时检 查和包装。 生产信息列于表2-1。
2 D 3
1S3
708
1S4 135
S , D, S1 , S2 , S3 , S4 0
原型
松弛变量的值
约束条件 切割印染 缝合 成型 检验和包装
松弛变量的值 S 1= 0 S2= 120 S 3= 0 S4= 18
一个简单的最小化问题

M&D化学制品公司生产两种产品，这两种产品是生产肥皂 和清洗剂的原材料。 基于对现有贮存水平和下一个月的市场购买潜力的分析， M&D管理层确定A和B的总产量至少要达到350加仑。 此外，公司的一个主要客户订了125加仑的A产品，必须 首先满足。 产品A的制造时间是每加仑2小时，而产品B的制造时间是 每加仑1小时。下个月总工作时间是600小时。 M&D的目标是在满足客户要求的前提下，尽量降低成本。 每加仑A的制造成本是2美元，每加仑B的成本是3美元。
第四步
定义决策变量
（1）标准袋的产量；（2）高档袋的产量。 设：
S=是标准袋的产量
D=是高档袋的产量
使用线性规划的术语，S和D是决策变量。
第五步 应用决策变量写出目标：


Par公司的利润来源于两方面：（1）生产标准袋所获得 的利润；（2）生产高档袋所获得的利润。因为，公司生 产一个标准袋的利润是10美元，生产一个高档袋所获得 的利润是9美元。因此，我们可以得到： 总利润=10S+9D 因为公司的目标是使总利润最大，总利润又是决策变量S 和D的函数，所以我们称10S+9D为目标函数。使用max来 表示使函数最大化，则Par公司的目标如下： max 10S+9D
600
A
A的产量
图2-16 用图解法对M—D公司问题进行求解
第二步 描述目标

本题的目标就是使产品的利润最大。
第三步

描述约束条件
约束条件1 用于切割和印染的总时间必须小于 切割和印染部所能承受的最大工作时间。 约束条件2 用于缝合的总时间必须小于等于缝 合部所能承受的最大工作时间。 约束条件3 用于成型的总时间必须小于等于成 型部所能承受的最大工作时间。 约束条件4 用于检查包装的总时间必须小于等 于检查包装部所能承受的最大工作时间。
图解法
D
1200
高档袋的数量
1000 800 600 400 200 0
(0,630)
7/
10
S+
1D
.(600,500)
=6 30
(900,0)
.(200,200)
C&
D
200 400 600 800 1000 1200 1400
S
标准袋的数量
图2-2 切割印染的约束直线
约束条件
画出约束条件
D
检验和包装 1/10*540+¼*252=117
松 弛 变 量
标准型——Par公司数学模型

Max s. t.
10S 9D 0S1 0S2 0S3 0S4
7 S 1D 1S1 10
630
1 5 S D 2 6
1S 2
600
1S
1 1 S D 10 4
问题模型化

或称建模——将语言文字描述转化为数学 描述的过程。
第一步
完整地了解问题
我们选择Par公司作为案例，是因为它 容易理解。对于一个比较复杂的例子来说， 可能就需要更加详细的思考，才能获得准 确的模型。处理复杂的例子，我们可以先 快速地浏览一下整个问题以了解问题所包 含的内容，然后将重点和关键问题记寻下 来以供详细的分析。
2 1S D 708 3

约束条件4： (检测和包装所用时间)≤ (公司检测和包装部的最大工作时间）
1 1 S D 135 10 4
另外，非负约束

高尔夫袋的产量不能是负值，所以还应该有以下两个约 束条件： S≥0和D≥0 非负约束是线性规划问题里经常会遇到的，它可以缩写 成：

S，D≥0
600500图22切割印染的约束直线约束条件画出约束条件2004006008001000120040060080012001400图23阴影区域代表满足切割印染约束条件的可行解的范围切割印染约束条件cd1000所有约束条件2004006008001000120040060010001400标准袋的数量1200缝合约束条件1200007208002004006008001000120020040060080010001200标准袋的数量054013500检验包装约束条件ip20040060080010001200400600800100012001400标准袋的数量010627080成型约束条件满足所有约束条件的可行域20040060080010001200400600800100012001400可行域图25所有的约束条件组合起来表示出派公司的可行域可行域可行解200400600200400600标准袋的数量图26派公司的可行域800可行域满足所有约束条件的解为可行解
Par问题的数学描述

max S.t.
10S+9D
7 S 1D 630 10
1 5 S D 600 2 6
切割与印染 缝合 成型 检查与包装
2 1S D 708 3
1 1 S D 135 10 4
S，D≥0
返回
线性规划模型（线性规划）

目标函数 约束条件 决策变量 目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数
这些例子的共同点
要求使某个量最大化或最小化——目标 限制对目标的追求——约束条件

一个简单的最大化问题（1）
Par公司是一个生产高尔夫器材的小型公司，公司决定 生产高中价位的高尔夫袋。分销商对新产品十分感兴趣 并且同意买进Par公司下3个月内的全部产品。 在对整个高尔夫袋生产步骤进行了详细的调查以后， 管理阶层明确了高尔夫袋的生产过程： 1.切割并印染原材料。 2.缝合。 3.成型（插入支撑架、球棒分离装置等）
200 400 600 800 1000 1200 1400
S
标准袋的数量
标准袋的数量
高档袋的数量
1000 800 600 400 200 0 200 400 600 （0,540）
检验 包装 约束条件 （I&P）
1/1
0S+
1/4
D=1
35
(1350,0)
I&P
S
800 1000 1200 1400
物流管理系 薛伟霞
主要内容
一个简单的最大化问题 图解法 极点与最优解 一个简单的最小化问题 线性规划标准型 特例

线性规划问题的典型应用
1.制造者希望建立一个生产时间表和库存计 划，以满足未来一段时间的市场需求。最 理想的情况是，既满足市场上产品的需求， 同时又使生产和库存的成本最低。
图2-7 派公司的1800美元的可行域
画目标函数直线
D
600
高档袋的数量
400
10 S+
10 S+ 9D =3
9D =5 40 0
200
60
10 S+ 9D =1 80
0
0
图2-8 派公司的几条利润线
0
200 400 600 800
S
标准袋的数量
最优解
D
600
线 润 68 利 76 大 D= 最 S+9 10