2019年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题

年高中数学联赛浙江赛区初赛试题
阳泉十一中：杨翔鹏整理（说明：本试卷满分分，共题，道填空题，道解答题。

填空题的答案和解答题的解答过程写在答题纸上。

）
一、填空题（每题分，共分）
如图，将长度为的线段分为两段，再将长度为的线
段弯成半圆周，将长度为的线段折成矩形
三条边，构成闭“曲边形”，则
该曲边形面积的最大值为 .
已知集合为正整数，若集合中所有元素之和为
则当取最大值时，集合 .
设，则的最大值为 .
设三条不同的直线：
则它们相交于一点的充分必要条件为 .
如图，在中，.在
边上取一点，将沿线段折
起，得到，当平面垂直平面时，则
到平面的距离最大值为 .
如图，在中，分别为上的点，且
.设为四边形
内一点.若则实数的
取值范围为 .
设，定义则 .
设为复数，且满足，，则取值
为 .
设，数列满足，.若，则的取值范围为 .
在复平面上，任取方程的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为 .
二、解答题（第题分，第题各分）
如图，椭圆，抛物线.
设相交于两点，为坐标原点.
若的外心在椭圆上，求实数的值；
若的外接圆经过点，求实数的值.
设.若，证明：
设是有限集，为正整数，是包含个子集的子集族：如果中的部分子集构成的集族满足：对中任意两个不相等的集合
均不成立，则称为反链.设为包含集合最多的反链，是任意反链.证明存在到的单射，满足，成立.。